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實驗一 布朗運動實驗
49912008 郭明哲 目的 原理 公式推導
49912010 王維得 公式推導 PPT整理
49912006 蕭孟元 儀器 實驗步驟 數據處理
目的
1. 以顯微鏡觀察水中粒子的布朗運動,求得亞弗
加厥常數。
2. 瞭解隨機程序(Random Process)的性質及統計特
質。
原理
1827年,植物學家布朗以顯微鏡觀察水中花粉,發
現花粉做一不規則運動。
布朗運動:液體分子不斷從各個方向碰撞懸浮粒
子,導致粒子出現不規則運動狀態。
懸浮粒子
液體分子
液體分子移動路徑
懸浮粒子移動路徑
長時間觀察懸浮粒子的路徑圖
懸浮粒子受力情形:
重力: mg向下
周圍分子碰撞的作用力 : (1) 浮力mg
(2) 阻力-fv

(3) 亂力即隨機作用的力 F
只考慮粒子在水平面 X方向的投影,方程式可寫成
2
d x
dx
m 2 f
X
dt
dt
(1)
公式推導
2
d x
dx
m 2 f
X
dt
dt
(1)
m : 質量
x : 位置
t : 時間
f : 6r = 阻力常數
X : 亂力在x方向上的投影
2
d
x
dx
將 (1) 兩邊同乘 x
   
 m x 2   fx  xX
dt
dt
(2)
2
dx 1 dx
x 
dt 2 dt
2
(a)
2
dx
dx dx
dx
(

 2x )
dt
dx dt
dt
d x 1 d  dx2   dx 

   
x 2 
dt
2 dt  dt   dt 
2
2
(b)
dx dx
d dx 1 d  dx

(
x

dt dt
dt dt 2 dt  dt
2
  dx 
d 2 x 1 d  dx2 
     x 2 

)
dt
2 dt  dt 
  dt 
2
2
d
x
dx
將 (a).(b)代入
 
 m x 2   fx  xX
dt
dt
m d  dx


2 dt  dt
2

 f dx
 dx 
  m  
 xX
2 dt
 dt 

2
(2)
2
(3)
將方程式(3)對大群粒子取平均,可得
m d  dx

2 dt  dt
2
2

dx

f
dx
 
  m  
 xX
2 dt
 dt 

2
(4)
對液體中的懸浮粒子, xX 可正可負,因此正負機率相等,平均值為零
m d  dx

2 dt  dt
2
2

 f dx
 dx 
  m  
 xX
2 dt
 dt 

2
將粒子視為一個大分子,應用能量均分原理,可得平均動能為
2
1 2 m  dx 
1
mv     kT
2
2  dt 
2
將 (5) 以及
(5)
dx2
d 2

x 代入(4),可得
dt
dt
m d 2 2 f d x2
x 
 kT
2
2 dt
2 dt
(6)
m d 2 2 f dx2
x 
 kT
2
2 dt
2 dt

2
m
(6)
2
d 2 f d 2 2kT
 2 x 
x 
dt
m dt
m
令
d x2
u
dt
d d 2 f d 2 2kT
du fu 2kT
x 
x 



dt dt
m dt
m
dt m
m
利用一階線性微分方程式通解,可得
2kT
x 
t  C1e
f
2

ft
m
 C2
(7)
斯托克斯(Stokes)證明

f  6r
取
= 流體的黏滯係數
r = 球體的粒子半徑
3
(8)
  102 poise,   1 g cm , r  1m
f 6r
9
7



10
m
m
2r 2
代入(7)的指數項
4 3
(m   r )
3
當 t  106,指數項可以忽略不計,若將 X 從原點開始算起,可得
2kT
X 
t  2 Dt
f
(9)
kT
kT
D

f
6r
(10)
2
其中擴散係數
前述式子的推導中,是對一群粒子取平均所得的結果
對一群粒子取平均與對單一個粒子多次取平均的結果會相同
每隔 τ 秒量一次粒子的位移,共量 n 次
n 次的位移為△X1、 △X2、…、 △Xn
t  n
總位移 x 
n
 X
i
kT
RT
x  2 D 

3r 3rN 0
2
對一個粒子的多次位移平方取平均值
求出亞弗加厥常數
(11)
i
儀器與步驟
顯微鏡
電視
拿穩攝像影機
後,再將下方
鎖緊,讓其可
固定在顯微鏡
的上方。
 將載玻片以試鏡紙擦拭乾淨後,把懸浮液體




滴於凹槽中,再用蓋玻片覆蓋,若有氣泡則
重新填裝。
使用水平儀使顯微鏡呈水平。
玻片至於夾物台上,使光源均勻照射,若不
均勻則部分溫度偏高,會產生對流。
調粗調節輪使夾物台距物鏡2mm。
用X軸、 Y軸調節螺線移動玻片後,再調細調
節輪直至發現作布朗運動之粒子。
 選取一粒子調整至視野中央,每隔30秒紀錄
一次粒子之XY位置。
 觀察25分鐘,紀錄51組數據。若粒子於
觀測25分鐘前跑出視野外,調整玻片使之
從新回至中央。
 若有X次調整玻片,須觀察(50+X)/2
分鐘。
 粒子座標的記錄方式:粒子接觸線以整數紀錄
粒子未接觸線以0.5紀錄。
數據處理
 將紀錄的座標(Xi, Yi)分別算出(△Xi, △Yi)
 合併兩值得到100組的△X,按照負到正排列,並算
出△X的出現機率和累積機率。
 將統計好的表格做成機率對△X的折線圖,圖形應近
似高斯分佈。
 再做一張累積機率對△X的折線圖。
求亞佛加厥常數N0
 以通過圖上(-1/4,50)的點,繪一最適直線。
 找出其標準差σ,再以方格線校正值換算成
實際的σ值 (單位:公尺) 。
 代入愛因斯坦導式求得亞佛加厥常數N0。
kT
RT
x  2 D 

3r 3rN 0
2
參考資料
http://www.zwbk.org/zh-tw/Lemma_Show/161998.aspx
http://www.particle2cosmos.com/home/?action-viewnews-itemid-118
http://web.phys.ntu.edu.tw/asc/FunPhysExp/ModernPhys/exp/BrownianMotion.pdf
Thanks!!

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