Интеграл Стилтьеса Томас Стилтьес Бернхард Риман a=x_0

Report
Интеграл
Стилтьеса
Томас Стилтьес
Бернхард Риман
Можно принять в качестве аксиом свойство приращений моментов:
Приращение момента пропорционально приращению массы, и потому
приращение на интервале, составленном из конечного числа меньших
интервалов, складывается из приращений на этих последних.
Таким образом, если подразделить интервал  <  ≤  точками деления
a=x_0<x_1<x_2<⋯<xN=b,
=
 ,  =
(−1 ,  )
=1
общее значение  называется интегралом Стилтьеса функции () с
интегрирующей функцией Ф(), взятым в пределах от a до b, что
обозначается так:

=
  Ф()



  ′ ()
  () =
1




1  + 2    =
2



1    +

2    ,


    = 

    , ∀ ∈ ℝ




 () =



При  <  <  имеем
4
Если  ′  и () интегрируемы по Риману, то имеет место
следующее правило интегрирования по частям:


  () =     | −

   +



3
 ′    ,

Основные свойства
 ()
I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо,
чтобы () была непрерывна во всех точках разрыва  (х).
интегрируемости () по  () необходимо и
достаточно выполнение следующего условия: при любом
заданном положительном  можно покрыть точки разрыва
непрерывности () конечным или счетным множеством
промежутков [ ,  ] (которые могут и перекрываться)
так, что имеет место неравенство
II. Для
[  −  ( )] ≤ ,

Существование интеграла
Геометрический смысл


   

 =   , =  
 = 0 < 1 <. . . <  < +1 <. . . <  = 
=
 Δ  ,  =

 Δ  .

Применение в квантовой
механике
Вычислим интегралы:
π
2
 2 ln 1 +  ,


sin ,
0
2
2
 2 ln 1 +  = 

0
π

0
π
2
= sin −
 = 
−1
π
 .
−1
2

1 2
 =
 −  + ln 1 + 
1+
2
2
sin = 
0


0
Решение:
1
1
2
 ⋅ cos =
0
2
=
 = 
2
= ln3
0
 = cos
 = sin
π
π
π
π
⋅ sin + cos − cos0 = − 1
1
21
2 2 2
2
0 
1
1  1+
1
1
2
=
=
ln
1
+

=
(ln2 − ln2) = 0
1 + 2 2
1 + 2
2
2
−1
−1
sin =
Примеры
−1
Вычислить по формуле:


  ′   +     + 0 −  
    = =

+   

∗ =
0∗ = , 1∗ , … , 
+2
2
  =
2 + 3
2

 
−2
Решение:
2
1
′  = 0
2
−1
  =
−2
- точки разрыва функции  и её производной ′
−2 ≤  ≤ −1,
−1 <  < 0,
0 ≤  ≤ 2.
−2 ≤  ≤ −1,
−1 <  < 0,
0 <  ≤ 2.
2
 2  + −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 =
 + 2
−2
при
при
при
при
при
при
0
2
2
−1
−2
2
+ x3
3
2
5
−1=2 .
6
0
Применения интеграла Стилтьеса в
настоящее время уже настолько проникли в
некоторые области математики, физики и
квантовой механики, что достаточно
серьезное изучение этих областей без
интеграла Стилтьеса немыслимо и активно
применяется в теории вероятностей,
теории функций, а так же в
функциональном анализе.

similar documents