Experimentos Fatoriais Fracionarios I I_2014 - IME-USP

Report
Título do slide
EXPERIMENTOS FATORIAIS
FRACIONÁRIOS (II)
Prof.ª Elisete Quintaneiro
1
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
volta
Exemplo: Micróbios
 Delineamento fracionário 24-1 com gerador de confundimento I = ABCD,
que produziu o esquema de confundimento
AB = CD
AC = BD
AD = BC
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
resultando que os tratamentos que devem ser realizados são:
1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16
A0
B0
C0
C1
A1
B1
B0
B1
D0
(1)
(3)
(2)
(4)
D1
(5)
(7)
(6)
(8)
D0
(9)
(11)
(10)
(12)
D1
(13)
(15)
(14)
(16)
2
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
volta
Observação:
Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9,
12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo
o esquema de confundimento AB = - CD
AC = - BD
AD = - BC
A = - BCD
B = - ACD
C = - ABD
D = - ABC
ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário,
e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo.
A0
B0
C0
C1
D0
D1
D0
D1
A1
B1
B0
B1
(1)
(3)
(2)
(4)
(5)
(7)
(6)
(8)
(9)
(11)
(10)
(12)
(13)
(15)
(14)
(16)
Obs.: Os dois planos fornecem informações
similares e qualquer um pode ser usado. No
entanto, se o pesquisador tem interesse em
checar o tratamento com todos os níveis
baixos e todos altos, o anterior deve ser
escolhido.
3
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-1
Rebatimento de delineamentos fatoriais fracionários
Exemplo: Em um processo químico, suspeita-se que quatro fatores possam influir
no rendimento da operação:
temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e quantidade de catalisadores (D).
Foram considerados dois níveis para cada fator e a indústria optou, então, por um
experimento fatorial. Como o custo com tal tipo de experiência é alto, decidiu-se,
inicialmente, executar somente metade do total de experiências possíveis.
Utilizando a relação de definição, I = ABCD, já sabemos que os tratamentos a
serem realizados são : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16.
O experimento foi realizado e os valores de rendimento sob esses tratamentos
foram obtidos.
 Estimar os efeitos envolvidos no estudo.
Trata-se de um experimento 24-1 cujas observações encontram-se a seguir.
4
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
Dados:
(1)
(10)
(11)
(4)
(13)
(6)
(7)
(16)
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
 lembrar que D = ABC
Rendim
71
50
89
82
59
61
87
78
 Esquema de
confundimento
AB = CD
AC = BD
AD = BC
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
Para estimar os efeitos, expandimos a tabela de contrastes com as interações :
Trat
1
4
6
7
10
11
13
16
Y
Rend
A
y0000 71
-1
y1100 82
1
y1010 61
1
y0110 87
-1
y1001 50
1
y0101 89
-1
y0011 59
-1
y1111 78
1
Efeitos -8,75
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
23,75
-1,75
-6,25
0,75
5,25
-1,25
-1,25
5,25
0,75
-6,25
-1,75
23,75
-8,75
5
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1

Resumindo:
Efeitos e Inter. Confund.
Estimativas
A = BCD
-8,75
B = ACD
23,75
C = ABD
-1,75
D = ABC
-6,25
AB = CD
0,75
AC = BD
5,25
AD = BC
-1,25
 O efeito do fator B (pressão) produziu a maior estimativa, no entanto, este
fator está confundindo com a interação tripla ACD. Surge, então, a dúvida, se
a significância estatística é devido ao fator B ou à interação entre os outros
fatores (temperatura, concentração e quantidade de catalisador).
Para resolver este tipo de dúvida (se a interação tripla não pode ser assumida
desprezivel!) poderia ser utilizado o experimento rebatido deste, ou seja, repetir o
experimento considerando o confundimento I = -ABCD, que implica B = - ACD.
Então a coluna do fator B terá sinais trocados e, consequentemente, todas as
colunas em que B aparece, também.
6
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
Novos dados:
(3)
(12)
(9)
(2)
(15)
(8)
(5)
(14)
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
Rendim
91
83
61
61
85
80
68
51
 23 completo (A, B, C), com D=ABC
e, depois, B trocado por -B.
 Esquema de
confundimento
AB = - CD
AC = - BD
AD = - BC
A = - BCD
B = - ACD
C = - ABD
D = - ABC
Com a tabela de contrastes expandida a partir da tabela acima (multiplicando
as colunas dos efeitos principais para obter as colunas de todas as interações)
encontramos as estimativas dos efeitos da mesma forma que antes.
7
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1

Efeitos e Inter. Confund.
Estimativas
A = -BCD
-7,50
B = -ACD
24,50
C = -ABD
-3,00
D = -ABC
-5,00
AB = -CD
1,00
AC = -BD
-3,50
AD = -BC
-1,500
O efeito de B é, então, estimado por
½ (23,75+24,50) = 24,125
e a significância estatística, se for observada, será atribuída ao fator B,
exclusivamente.
8
Título do slide
Planejamentos com fração ¼ ou
frações menores
Resolução de um delineamento fatorial fracionário
Vimos que, para a fração 24-1 = ½ 24 = 23 de um delineamento fatorial
completo 24, o gerador de confundimento é D = ABC ou I = ABCD, ou seja,
efeitos principais confundidos com interações triplas. Neste caso, dizemos
que o planejamento fracionário tem resolução IV.
Há outros tipos de resolução em planejamentos fatoriais, que se diferenciam
de acordo com a quantidade de fatores envolvidos e da fração de interesse.
9
Título do slide
Planejamentos com fração ¼ ou
frações menores
Os delineamentos fatoriais fracionados são planejados segundo algum dos
seguintes tipos de resolução:
Resolução
Confundimentos
III
efeitos principais confundidos com interações duplas
(I = ABC)
IV
V
VI
etc ....
efeitos principais confundidos com interações triplas e
interações duplas com duplas
(I = ABCD)
efeitos principais confundidos com interações quádruplas e
interações duplas com triplas
(I = ABCDE)
efeitos principais confundidos com interações quíntuplas, duplas
com quádruplas e triplas com triplas
(I = ABCDEF)
etc ...
10
Título do slide
Planejamentos com fração ¼ ou
frações menores
Alguns autores utilizam uma notação, que especifica o tipo de resolução do
experimento fracionário, como, por exemplo,
2
4 1
IV
significando,
 delineamento fatorial fracionário
 dois níveis
 quatro fatores
 fração de ½ do fatorial completo correspondente
 resolução IV (em algarismo romano)
Obs.: Na literatura estatística, existem alguns livros que apresentam
sugestões para os geradores de confundimento em planos fatoriais
fracionários, variando o número de fatores e a fração utilizada, por exemplo,
“Design and analysis of experiments”, Montgomery, D.C., 3 ed., New York,
John Wiley, 1991.
11
Título do slide
Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
O delineamento ¼ 25 é, em verdade, um delineamento 25-2. Neste situação,
somente ¼ do total de experiências do fatorial completo serão realizadas
(¼ 32 = 8) .
Como antes, temos as seguintes etapas:
a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 1/4 25 = 23, sem
incluir os dois últimos fatores (D e E):
Experiência
1
2
3
4
5
6
7
8
Tratamento
A0B0C0
A1B0C0
A0B1C0
A1B1C0
A0B0C1
A1B0C1
A0B1C1
A1B1C1
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
12
Título do slide
Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
b) Completar a tabela com os dois últimos fatores, usando os geradores
propostos na Tabela “Sugestões de Geradores de Confundimento” (anexa):
D = AB e E = AC (ou I = ABD e I = ACE)
I = ABD = ACE = BCDE
em que o último termo do gerador foi obtido como produto dos anteriores.
Exp
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D = AB
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
E = AC
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
anexo
13
Título do slide
Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
c) Determinar o esquema de confundimento, utilizando produto módulo 2, a
partir da relação de definição
I = ABD = ACE = BCDE
Obtem-se, então,
A = BD = CE = ABCDE
B = BD = ABCE = CDE
C = ABCD = AE = BDE
D = AB = ACDE = BCE
E = ABDE = AC = BCD
BC = ACD = ABE = DE
BE = ACDE = ABC = CD
ou seja, basta estimar os efeitos principais A, B, C, D, E e as interações
duplas BC e BE, que as demais interações estarão confundidas com estas
(não é necessário construir toda tabela de contrastes de um experimento
completo 25 para estimar todos os efeitos).
14
Título do slide
Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
Exemplo: Um posto de triagem de correspondência está fazendo um estudo
de produtividade, visando aumentá-la mediante a redução de erros na
separação de cartas. Suspeita-se que a produtividade possa ser afetada
pelos seguintes fatores, considerados em dois níveis:
Fator
iluminação (A)
temperatura (B)
ruído (C)
layout (D)
hora (E)
Nível (-)
150 lux
18 oC
45 dB
atual
9 hs
Nível (+)
250 lux
25 oC
30 dB
novo
15 hs
Como o experimento completo demandaria um tempo que foi considerado
excessivo pela Diretoria, optou-se por um fatorial fracionado do tipo 25-2. Os
resultados, em termos de erros por 10.000 cartas estão a seguir:
15
Título do slide
Planejamentos com fração ¼
Dados:
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
B
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
C
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
D
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
E Erros/10000
+1
50
-1
56
+1
40
-1
57
-1
48
+1
59
-1
43
+1
59
1. Expandir a tabela para encontrar as estimativas dos efeitos principais e
interações
B
C
D
E
BC
BE
Exp.
Erros/103
A
1
2
3
4
5
6
7
8
50
56
40
57
48
59
43
59
S “-”/4
S “+”/4
Estimativa dos efeitos
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
45,25
57,75
12,50
-1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
53,25 50,75 49,50 51,00 51,00 52,25
49,75 52,25 53,50 52,00 52,00 50,75
-3,50 1,50 4,00 1,00 1,00 -1,50
16
Título do slide
Planejamentos com fração ¼
2. Inspeção dos efeitos e interações ativos
Planejamentos com fração ¼
1,5
0,85
A
0,75
0,65
0,55
0,45
0,35
0,25
D
0,5
C
0
E e BC
-0,5
z
BE
-1,0
0,15
B
-1,5
0,05
PROBABILIDADE
1,0
-2,0
0,01
-2,5
-3,0
-15
-10
-5
0
5
10
15
17
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
PROCEDIMENTO GERAL PARA CONSTRUÇÃO DE UM
DELINEAMENTO FRACIONÁRIO 2k-p
Para construir um experimento fatorial fracionado 2k-p, as seguintes etapas
podem ser adotadas:
1)
Escrever a tabela de contrastes para o fatorial completo 2c, onde c = k-p;
2)
Completar a tabela com os fatores faltantes, usando os confundimentos
propostos por Montgomery (Anexo);
3)
Obter o gerador de confundimentos (I);
4)
Determinar o esquema de confundimentos, obtido pelo produto de
efeitos principais e algumas interações de baixa ordem na relação de
definição.
18
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
Exemplo: DELINEAMENTO 27-4
Trata-se de um delineamento (1/16)27, em que corresponde a realização de
8 experiências, das 128 possíveis.
a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo (1/16)27 = 23, sem
incluir os quatro últimos fatores (D, E, F e G):
Experiência
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
19
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
anexo
Exemplo: DELINEAMENTO 2
7-4
b) Completar a tabela usando os geradores do ANEXO.
Geradores são: D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC, que equivale ao
gerador de confundimentos
I=
Experiência
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D =AB
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
E=AC
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
F=BC
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
G=ABC
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
20
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
Exemplo: DELINEAMENTO 2
7-4
anexo
c) Determinar os confundimentos para efeitos principais, a partir do
gerador de confundimento:
I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = ABEF = CDG =
BEG = AFG = DEF = ADEG = BDFG = CEFG = ABCDEFG
Observar que, para este delineamento, a relação de definição tem
16 = 24 termos iguais.
21
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
anexo
Regra geral para determinar os termos na relação de definição
num delineamento 2k-p
Num planejamento 2k-p , a relação de definição (gerador de confundimento)
terá 2p termos. São eles:
1. O termo de intercepto I;
2. p termos de interação obtidos a partir dos geradores sugeridos na tabela de
confundimentos (anexo), utilizando produto módulo 2 para obter a relação
com I;
3. os restantes (2p - p – 1) termos são construídos pela multiplicação módulo 2
entre os termos do passo 2. Logo, cada efeito principal será confundido com
2p – 1 outros efeitos.
4. Estabelecida a relação de definição, obter o esquema de confundimento,
totalizando, portanto, 2p relações de confundimento.
5. Os tratamentos escolhidos para formar o planejamento devem obedecer à
relação de definição.
22
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
anexo
fracionário 2k-p
Exemplo:
Considere um 25. Obter ¼ (25).
Devemos realizar 25-2 = 23 = 8 tratamentos.
 Relação de definição terá 22 = 4 termos.
Na tabela de confundimentos (anexo), os confundimentos sugeridos para
este planejamentos são:
que produz I =
eI=
Então o gerador de confundimento, com 4 termos é:
I=
sendo o último termo obtido por produto módulo 2 entre ____ e ____;
O esquema de confundimento é dado pelas seguintes relações:
Tratamentos incluídos serão aqueles em se tem ABD=1, ACE=-1 e ACDE=-1,
simultaneamente.
23
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
anexo
fracionário 2k-p
Exemplo: Joãozinho decidiu fazer uma nova experiência com sua nova
bicicleta, testando sete fatores (ou variáveis):
(A) posição do assento: alto ou baixo
(B) farolete: ligado ou desligado
(C) posição do guidão: alto ou baixo
(D) marcha utilizada: alta ou baixa
(E) tipo de roupa: justa ou folgada
(F) comida: sim ou não
(G) pressão dos pneus: alta ou baixa
em que irá observar o tempo (em seg) para percorrer um dado trecho.
Responda:
a) Quem é a variável resposta?
b) Quantas experiências seriam feitas (sem repetição) no caso de um
delineamento fatorial completo ?
c) E no caso de um fatorial fracionado do tipo 27-4 ?
d) Como ficaria a tabela de contrates neste último caso ?
24
anexo
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
Admitindo-se um delineamento fatorial fracionado 27-4, com os resultados na
tabela a seguir, calcular os efeitos principais
Exp
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
B
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
C
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
D
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
E
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
F
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
G
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
Resp.
69
52
60
83
71
50
59
88
Estimativas de efeitos principais
A=
B=
C=
D=
E=
F=
G=
25
anexo
TítuloDelineamento
do slide
fatorial
fracionário 2k-p
Interações:
• todas interações duplas estão confundidas com efeitos principais (resolução III);
• existem ainda outras interações, de ordem superior, não confundidas com efeitos
principais, mas não vamos nos preocupar com estas.
Como o experimento foi feito sem repetição, então pode-se analisar os
resultados através do PPN. , utilizando a expressão
P = (i – 0,5) x 100%
7
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Confund.
Estimativa
P
Fazer o gráfico de Estimativas versus P. O que se pode concluir?
26
anexo
Título do slide
ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES
DE CONFUNDIMENTO
volta
No. de Fatores
no. Exp (fração) Delineamento
31
3
4 (1/2)
2 III
4
8 (1/2)
2 IV
16 (1/2)
2V
8 (1/4)
2 III
32 (1/2)
2 VI
16 (1/4)
2 IV
8 (1/8)
2 III
64 (1/2)
2 VII
32 (1/4)
2 IV
16 (1/8)
2 IV
8 (1/16)
2 III
5
6
7
Geradores
C = AB
4 1
D = ABC
5 1
E= ABCD
D = AB
E = AC
F = ABCDE
E = ABC
F = BCD
D = AB
E = AC
F = BC
G= ABCDEF
F = ABCD
G = ABDE
E = ABC
F = BCD
G = ACD
D = AB E = AC
F = BC G= ABC
5 2
6 1
62
63
7 1
72
73
74
volta
27
Título do slide
ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES
DE CONFUNDIMENTO (cont)
No. de Fatores
8
no. Exp (fração) Delineamento
82
64 (1/4)
2V
32 (1/8)
2 IV
16 (1/16)
2 IV
128 (1/4)
2 VI
64 (1/8)
2 IV
32 (1/16)
2 IV
16 (1/32)
2 IV
9
83
84
92
93
94
95
Geradores
G = ABCD
H = ABEF
F = ABC
G = ABD
H = BCDE
E = BCD F = ACD
G = ABC H= ABD
H= ACDFG
J = BCEFG
G = ABCD
H = ACEF
J= CDEF
F= BCDE G = ACDE
H= ABDE J = ABCE
E = ABC F = BCD
G= ACD H = ABD
J= ABCD
Fonte: MONTGOMERY, D.C. Design and analysis of experiments. 3 ed.
New York, John Wiley, 1991.
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