lecture7

Report
‫جلسه ‪7‬‬
‫فصل ‪ 4‬کتاب گروسو‬
‫تقریب تک الکترونی‬
‫هامیلتونین بزرگ سیستم‬
‫هامیلتونین سیستم از این قرار است‪:‬‬
‫که در آن‪:‬‬
‫اما با این هامیلتونین کاری نمی توان کرد!!‬
‫برهمکنش ها یا تکذره ای هستند و یا دو ذره ای‬
‫هامیلتونین بزرگ سیستم‬
‫• فرض ابتدایی ثابت فرض کردن یونهای سنگین است‪.‬‬
‫معادله ی شرودینگر مستقل از زمان از این قرار است‪:‬‬
‫که در باال برهمکنش اسپینی را در نظر نگرفته ایم‪ .‬از روش هارتری برای بدست آوردن تابع موج‬
‫پایه ی یک سیستم بس ذره ای شوع می کنیم که در آن تابع موج کلی سیستم ضرب ساده ی‬
‫‪ N‬ذره مستقل است‪:‬‬
‫تقریب هارتری‬
‫تقریب هارتری‪ ،‬تقریبی بسیار بد است‪ ،‬به این معنی که اثرات اصل طرد در آن وجود ندارد‬
‫و همچنین از همبستگی ذرات کامال صرف نظر شده است‪.‬‬
‫چگالی الکترونی‪:‬‬
‫پتانسیل کوملبی الکترونها‬
‫فرض بر این است که هر الکترون در محیط‪ ،‬پتانسیل موثری را از ذرات دیگر احساس‬
‫میکند‪ .‬بنابراین معادله ی شرودینگر از قرار زیر خواهد بود‪:‬‬
‫ذرات یکسان و حاالت دترمینانی‬
‫را فرض کنید‪ .‬معروف است که‬
‫مجموعه حاالت تکذره ای اورتونرمال‬
‫حاالت الکترونی باید تحت تعویض هر دو ذره پادمتقارن باشد‪ .‬این کار را با ترکیب بندی زیر‬
‫انجام میدهیم‪:‬‬
‫که در آن‬
‫دترمینانی زیر را دراراست‪:‬‬
‫‪ .‬میتوان بسادگی فهمید که تابع موج باال شکل‬
‫ذرات یکسان و حاالت دترمینانی‬
‫یکی از نتایج انتخاب تابع موج باال این است که برای ذرات با اسپین یکسان‪ ،‬ذرات به لحاظ‬
‫فضایی ترجیح میدهند از هم دور شوند‪ .‬در تابع موج باال فرض کنید تمام اسپینها یکسانند‪ .‬با‬
‫جدا کردن قسمت اسپینی و قسمت فضایی توابع موج داریم‪:‬‬
‫که بطور واضحی خاصیت گفته شده را داراست‪.‬‬
‫عناصر ماتریس ی در حالتهای دترمینانی‬
‫کمیتهای مورد عالقه ی ما یا تکذره ایند و یا دو ذره ای‪:‬‬
‫در این قسمت مقادیر چشمداشتی این کمیت ها را در پایه ی حالتهای دترمینانی محاسبه‬
‫مینماییم‪ .‬از ‪ G1‬شروع میکنیم‪:‬‬
‫براحتی اثبات میشود‪:‬‬
‫برای تعیین توابع دو ذره ای‪ ،‬رابطه ی زیر را باید تعیین نماییم‪:‬‬
‫عناصر ماتریس ی در حالتهای دترمینانی‬
‫عنصر ماتریس ی‬
‫را بعنوان مثال در نظر بگیرید‪ .‬براحتی میتوان فهمید‪:‬‬
‫بنابراین خواهیم داشت‪:‬‬
‫عناصر ماتریس ی حاالت برانگیخته‬
‫حاالت کوانتومی زیر را در نظر بگیرید‪:‬‬
‫عناصر ماتریس ی براحتی قابل محاسبه اند‪:‬‬
‫حال حالت برانگیخته ی دوتایی را فرض نمایید‪:‬‬
‫تنها عملگرهای دوتایی عنصر غیر صفر دارند‪:‬‬
‫معادالت هارتری‪-‬فاخ‬
‫مقدار چشمداشتی انرژی از قرار زیر است‪:‬‬
‫‪ .‬میدانیم بازای تابع حالت پایه ی واقعی مقدار‬
‫با شرط‬
‫چشمداشتی فوق باید کمینه باشد‪ ،‬بعالوه اینکه شرط باال ارضا شود‪ .‬از روش ضرایب الگرانژ‬
‫بهره میجوییم‪ .‬تابع زیر را تعریف مینماییم‪:‬‬
‫حال وردش نسبت به ∗  میگیریم‪.‬‬
‫معادالت هارتری‪-‬فاخ‬
‫معادله ی غیر خطی انتگرال‪-‬دیفرانسیلی زیر را بدست می آوریم‪:‬‬
‫که در آن‬
‫پتانسیل بیان شده در اولین جمله‪ ،‬همان پتانسیل هارتری میباشد‪ .‬توجه داریم که اگر اسپین‬
‫ذرات متفاوت باشد‪ ،‬جمله ی تعویض ی (‪ )exchange‬صفر می شود‪:‬‬
‫معادالت هارتری‪-‬فاخ‬
‫همواره میتوان تبدیالت یکانی پیدا نمود که جمله ی آخر را قطری نماید‪ ،‬توجه داشته باشید‬
‫که هر دو پتانسیل باال تحت تبدیالت یکانی ناوردا هستند‪.‬‬
‫حال بسراغ تعیین و تفسیر این معادالت میرویم‪ .‬ویژه توابع اشغال شده ی عملگر ‪ F‬که در‬
‫ساختن خود این عملگر دهیلند را ویژه توابع اشغال شده و الباقی را ویژه توابع مجازی‬
‫(‪ )virtual‬مینامیم‪.‬‬
‫معادالت هارتری‪-‬فاخ‬
‫توجه داشته باشید که‬
‫که بدست می آورد‪:‬‬
‫این تعریف تفاوت اساس ی با تعریف انرژی حالت پایه سیستم دارد‪ .‬داریم‪:‬‬
‫بعنوان انرژی‬
‫طبیعتا این رهیافت‪ ،‬مقدار دقیق انرژی پایه را بدست نمیدهد‪.‬‬
‫همبستگی ذرات شناخته می شود‪ .‬این به این خاطر است که همبستگی بین ذرات در این‬
‫رهیافت از ابتدا دور ریخته شده است‪.‬‬
‫معموال تقریبهای مراتب باالتر از این رهیافت برای سیستمهای واقعی الزامی است‪ ،‬به این معنی‬
‫که یک حالت دترمینانی تنها نمیتواند فیزیک سیستمهای واقعی را بپوشاند‪.‬‬
‫انرژی یونیزاسیون و برانگیختگی‬
‫انرژی یونیزاسیون و برانگیختگی‬
‫انرژی یونیزاسیون برابر است با انرژی الزم برای کندن یک الکترون از حالت دلخواه ‪ .m‬برای‬
‫بدست آوردن این کمیت باید تفاوت انرژی زیر را محاسبه نماییم‪:‬‬
‫برای محاسبه ی برانگیختگی کافیست انرژی حالت برانگیخته را از انرژی حالت پایه که کنیم‪:‬‬
‫محاسبه ی این کمیت کار بیشتری مطلبد‪ .‬در کالس اثبات میکنیم‪:‬‬
‫انرژی یونیزاسیون و برانگیختگی‬
‫تفسیر رابطه ی باال ساده است‪ .‬وقتی ذره ای از حالت ‪ m‬با حالتی باالتر میرود اختالف انرژی‬
‫ ‪  −‬را میطلبد‪ .‬از این این انرژی‪ ،‬انرژی کوملبی و تعویض ی مربوط به این دو حالت باید‬
‫کاسته شود‪ .‬این را میتون بصورت برهمکنش الکترون‪-‬حفره نگریست‪.‬‬
‫قضیه ی بریلوئن‪:‬‬
‫در تقریب هارتری‪-‬فاخ صفر است‪.‬‬
‫می توان نشان داد‬
‫محاسبات قبلی با احتساب اسپین‬
‫حالت پوسته ی بسته (‪ )closed shell‬را در نظر بگیرید‪.‬‬
‫در این حالت براحتی میتوان نشان داد‪:‬‬
‫محاسبات قبلی با احتساب اسپین‬
‫در این حالت گذار بین یک حالت پر و یک حالت خالی به اشکال زیر اتفاق می افتد‪:‬‬
‫محاسبات قبلی با احتساب اسپین‬
‫باید ماتریس زیر را قطری نماییم‪:‬‬
‫در کالس نشان می دهیم‪:‬‬
‫که در آن‪:‬‬
‫محاسبات قبلی با احتساب اسپین‬
‫جوابها بصورت زیرند‪:‬‬
‫میتوان بصورت خالصه نوشت‪:‬‬
‫محاسبات قبلی با احتساب اسپین‬
‫حالتهای سه تایی (مغناطیس ی) دارای انرژی کمتری نسبت به حالت تکتایی (غیر مغناطیس ی)‬
‫است‪.‬‬
‫تقریب های دیگر‬
‫روش هارتری‪-‬فاخ‪-‬سلیتر‪:‬‬
‫مثال) کاربرد روش هارتری‪-‬فاخ‪-‬سلیتر در فیزیک اتمی‪:‬‬
‫روش هارتری‪-‬فاخ‪-‬روتان‪:‬‬
‫در این روش بجای حل معادالت هارتری‪-‬فاخ‪ ،‬به قطری کردن هامیلتونی در پایه های توابع موج‬
‫تکذره ای پرداخته میشود‪.‬‬
‫مثال)‬
‫توابع سلیتر‪:‬‬
‫توابع گاوس ی‪:‬‬
‫روشهای فرا تک الکترونی‬
‫در تئوری هارتری‪-‬فاخ همبستگی بطور کامل وارد نشده است‪ .‬البته در این نظریه‪ ،‬برای ذرات با‬
‫اسپین یکسان همبستگی تبادلی وجود دارد (که باعث بوجود آمدن مفهوم حفره تبادلی‬
‫(‪ )exchange hole‬یا حفره فرمی (‪ )Fermi hole‬شده است‪.).‬‬
‫سوال این است که چگونه میتوان تاثیر همبستگی را وارد محاسبات نمود‪ .‬نظریه هایی مانند‬
‫روش برهمکنش آرایش ی (‪ )configuration interaction method‬و نظریه ی اختالل‬
‫بس‪-‬ذره ای (‪ )many-body perturbation theory‬تاثیر همبستگی را وارد محاسبات‬
‫میکنند‪ .‬در این نوع محاسبات عمدتا جوابهای نظریه ی هارتری‪-‬فاخ بعنوان تقریب مرتبه اول‬
‫وارد محاسبات میشود‪ .‬در این روشها برانگیختگیهای تکذره ای و دو ذره ای و ‪ ...‬در نظر گرفته‬
‫میشود و سپس هامیلتونی بس‪-‬ذره ای در این پایه ها قطری میشود‪.‬‬
‫یکی از روشهای بسیار قوی‪ ،‬روش تابع گرین در فیزیک بس‪-‬ذره ای است‪.‬‬
‫حفره کوملبی و پوشش برهمکنش تبادلی‬
‫()‪) Coulomb hole and Screening exchange app. (COHSEX‬‬
‫روشهای فرا تک الکترونی‬
‫تکنیکهای دیگر عبارتند از‪:‬‬
‫**نظریه تابعی چگالی‬
‫**محاسبات مونته کارلو‬
‫**روش تابع موج جاسترو‬
‫**روش تابع موج گوتزویلر (برای سیستمهای فرومغناطیس)‬
‫مدل ژله ای برای گاز الکترونی‬
‫عالقمندی به مطالعه این سیستم به سبب توانایی این نظریه برای توصیف الکترونهای‬
‫رسانش در فلزات معمولی است‪ .‬همچنین کریستال شدن ویگنر در این نظریه دیده میشود‪ .‬در‬
‫مدل ژله ای برهمکنش با یونها (که بصورت یکنواخت فرض میشود) با برهمکنش هارتری‬
‫(مستقیم) دقیقا حذف میشود و نتیجه از این قرار است‪:‬‬
‫و توابع موج پایه‪:‬‬
‫در این معادالت‬
‫که در آن‬
‫با استفاده از توابع موج تخت ساخته میشود‪:‬‬
‫مدل ژله ای برای گاز الکترونی‬
‫محاسبات زیر را داریم‪:‬‬
‫این محاسبات نشان میدهند‪:‬‬
‫نتیجه بسیار مهم این است که در این حالت توابع موج تخت‪ ،‬ویژه حاالت عملگر فاخ است با‬
‫ویژه مقادیر‪:‬‬
‫مدل ژله ای برای گاز الکترونی‬
‫انحرافات از مدل سامرفلد به شکل زیر است‪:‬‬
‫نتایج باال کامال اشتباه است‪ ،‬برای مثال در ‪ k=kF‬مشتق )‪ e(k‬بینهایت میشود که کامال غیر‬
‫فیزیکی است‪ .‬با این وجود انرژی حالت پایه را محاسبه میکنیم‪.‬‬
‫مدل ژله ای برای گاز الکترونی‬
‫داریم (به فاکتور ‪ 2‬و ‪ 1‬توجه کنید)‪:‬‬
‫رابطه ی بسیار مهم زیر را بدست می آوریم‪:‬‬
‫اگر در معادالت باال بجای ‪ F‬مقدار متوسط آنرا (‪ )3/4‬قرار دهیم بدست می آوریم‪:‬‬
‫و در حالت کلی چگالی متغیر خواهیم داشت‪:‬‬
‫پارامغناطیس و فرومغناطیس‬
‫در مدل الکترون آزاد همواره انرژی فرو از پارا بیشتر است‪:‬‬
‫اما در مدل هارتری‪-‬فاخ اوضاع به گونه دیگری است‪ .‬این شرط را باید چک کنیم‪:‬‬
‫کریستال شدن ویگنر‬
‫فاز فرومغناطیس غالب میشود‪ .‬بازای مقادیربزرگتر ‪ rs‬الکترونها در‬
‫دیدیم برای‬
‫دام پتانسیل کوملبی یکدیگر اسیر میشوند و ترجیح میدهند یک کریستال الکترونی تشکیل‬
‫دهند‪ .‬این را میتوان به سادگی با حساب نمودن انرژی پتانسیل و انرژی جنبش ی صفر آنها‬
‫اثبات نمود‪ .‬به این نوع عایقها که در آنها الکترونها در اثر برهمکنش ترابرد هود را از دست‬
‫میدهند‪ ،‬عایق مات میگویند‪ .‬این پدیده اولین بار توسط ویگنر پیشبینی شد‪.‬‬
‫مابقی این مسئله بعنوان تمرین بشما داده شده است‪.‬‬
‫نتایج مونته کارلو‬
‫در این روش از توابع موج امتحانی اسلیتر‪-‬جاسترو استفاده شده است‪:‬‬
‫که در این رابطه )‪ D(N‬دترمینان اسلیتر ‪ N‬ذره است (برای شاره الکترونی پالریزه نشده هر‬
‫حالت با دو الکترون پر میشود‪ ،‬برای پالریزه شده با یک الکترون)‪ .‬حاالت تکذره ای‪ ،‬توابع‬
‫گاوس ی حول نقاط شبکه فرض میشوند‪ .‬تابع نمایی در این تابع‪ ،‬که شکل دو‪-‬ذره ای دارد باعث‬
‫میشود الکترونها از هم دور بمانند‪( .‬تابع ‪ u‬شکلی پارامتری دارد که خود از روش مونته کارلو‬
‫استخراج میشود)‪ .‬در این روش تابع زیر باید کمینه شود‪:‬‬
‫نتایج مونته کارلو‬
‫معادالت کوهن‪-‬شم‬
‫در این رهیافت تاکید بجای تابع موج بس ذره ای حالت پایه‪ ،‬بر روی چگالی الکترونی تکذره ای‬
‫)‪ n(r‬است‪ .‬نشان داده میشود که انرژی حالت پایه بس ذره ای تابعی ای از )‪ n(r‬است‪ .‬در این‬
‫رهیافت ما با معادله شرودینگر تکذره ای سروکار داریم‪.‬‬
‫قضیه هوهنبرگ‪-‬کوهن‪ :‬همواره تناظر یک به یکی بین چگالی الکترونی تکذره ای و پتانسیل‬
‫خارجی اعمال شده بر روی آن وجود دارد‪ .‬قسمت اول این قضیه ساده است‪:‬‬
‫یا بصورت شماتیک‪:‬‬
‫در کتاب آمده است و بسیار ساده است‪.‬‬
‫‪ .‬اثبات عکس این‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫معادالت کوهن‪-‬شم‬
‫که باید برای حالت پایه دقیق سیستم کمینه باشد‪.‬‬
‫معادالت کوهن‪-‬شم‪ :‬در این معادالت ما چگالی سیستم برهمکنش ی را بصورت زیر تجزیه‬
‫مینماییم‪:‬‬
‫تعبیر‪ :‬میتوان همواره سیستم ساختگی بدون برهمکنش ی را متصور شد که چگالی آن با چگالی‬
‫سیستم برهمکنش ی یکسان است‪ .‬بجای بررس ی سیستم برهمکنش ی‪ ،‬سیستم غیر برهمکنش ی را‬
‫بررس ی مینماییم‪.‬‬
‫معادالت کوهن‪-‬شم‬
‫توجه شود که تجزیه )‪ n(r‬بر حسب توابع دترمینانی‪ ،‬بدون توجه به اینکه آیا تابع حالت پایه‬
‫سیستم اصلی را میتوان بصورت دترمینانی نوشت یا خیر‪ ،‬صحیح است‪ .‬با استفاده از این‬
‫نکته که ]‪ T[n‬و ]‪ Vee[n‬جهانشمول هستند و مستقل از جزییات سیستم اند‪ ،‬میتوان آنها را‬
‫برای سیستم بدون برهمکنش حساب نمود و برای سیستم با برهمکنش بکار برد‪.‬‬
‫معادالت کوهن‪-‬شم‬
‫انرژی همبستگی‪-‬تبادلی عموما با روشهای بس ذره ای بدست می آید‪.‬‬
‫حال از حساب وردش ی میتوان معادله ی حاکم بر  ها را استخراج نمود‪ .‬توجه‬
‫داریم‪:‬‬
‫با کمی محاسبه به نتیجه زیر میرسیم‪:‬‬
‫و انرژی حالت پایه را داریم‪:‬‬
‫تقریب چگالی موضعی‬
‫)‪Local Density App. (LDA‬‬
‫در این نگرش سیستم را مش بندی میکنیم و فرض میکنیم در هر خانه چگالی ثابت است‪،‬‬
‫بصورتیکه‪:‬‬
‫در اینصورت‪:‬‬
‫که نتیجه میدهد‪:‬‬
‫تقریبهای دیگری همچون ‪ LSDA ،GGA‬نیز وجود دارند‪ .‬در اولی گرادیان چگالی نیز در انرژی‬
‫همبستگی‪-‬تبادلی وارد میشود و در دومی نیز اسپین الکترونها نیز در کار می آیند‪.‬‬
‫تقریب چگالی موضعی‬
‫)‪Local Density App. (LDA‬‬
‫در مقاالت مختلفی انرژی همبستگی‪-‬تبادلی محاسبه شده است‪ ،‬اما پذیرفته شده ترین آنها‬
‫مربوط بخ محاسبات مونته‪-‬کارلو است‪:‬‬

similar documents