Formules de dérivation

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Formules de dérivation
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
Dérivée d’une fonction constante
 Dérivée de la fonction identité
 Dérivée d’un produit par un constante
 Dérivée d’une somme
 Dérivée d’une puissance
 Dérivée d’un produit
 Dérivée d’un quotient

Département de mathématiques
2
Dérivée d’une fonction constante
Si
f(x) = k, où k  IR
Alors
Soit
f (x) = 0
f(x + h) - f(x)
f (x) = lim
h 0
h
c
k -c
k
= lim
= lim 0 = 0
h 0
h 0
h
On peut retenir (k)’ = 0
Département de mathématiques
3
Dérivée de la fonction identité
Si f(x) = x
Alors f (x) =1
Soit
f(x + h) - f(x)
f (x) = lim
h 0
h
(x+ h) - x
= lim
h 0
h
h
= lim  lim1 = 1
h 0 h
h 0
On peut retenir (x)’ = 1
Département de mathématiques
4
Dérivée du produit d’une constante par une fn
Si k IR et f(x) une fonction dérivable
d[k f(x)]
d f(x)
Alors
=k
dx
dx
Soit
dkf(x)
dx
k[f(x + h) - f(x)]
kf(x + h) - kf(x)
= lim
= lim
h 0
h0
h
h
df(x)
[f(x + h) - f(x)]
=k
= k lim
h 0
dx
h
On peut retenir [kf(x)]’ = kf’(x)
Département de mathématiques
5
Dérivée d’une somme de fonctions
Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables
Alors
d[f(x)  g(x)] d f(x) d g(x)
=

dx
dx
dx
Démonstration :
Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : (u ± v)’ = u’ ± v’
Généralisation : page 140 (corollaire 2)
Département de mathématiques
6
Dérivée de xn
Si
f(x)  xn ,où nIN
Alors f (x)  n xn  1
Démonstration :
Exemple : Si f(x) = x5, alors f’(x) = 5x5-1 = 5x4
Généralisation : Si f(x) = xr, où rIR, alors f’(x) = rxr-1
Exercice : Si f(x) = 1/x et g(x) = x trouver f’(x) et g’(x)
Département de mathématiques
7
Exemples

Trouver la dérivée de f(x) = 4x3 +8x2 – 5x +7

Trouver h’(x) si h(x) = 8x3 – 7x2 + 4x +9
Département de mathématiques
8
Dérivée d’un produit de fonctions
Si
f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables
d[f(x) g(x)] d f(x)
dg(x)
Alors
=
g(x)  f(x)
dx
dx
dx
Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir : (u v)’ = u’v + uv’
Généralisation : page 143 (corollaire 1)
Attention, on a donc que (uv)’  u’v’
Département de mathématiques
9
Exemples


Trouver la dérivée de f(x) = (x2 – 3) (3x – 5)
Trouver g’(x) si g(x) = 2x3 (3x2 – x)
Département de mathématiques
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Dérivée d’un quotient de fonctions
Si
f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables
Alors
d f(x)
d g(x)
f(x)


d
g(x)

f(x)
g(x)

dx
= dx
2
dx
[g(x)]
,
Si u = f(x) et v = g(x), on peut retenir :  u   u'v -2uv'
v
v
Remarques : g(x)  0 et (u/v)’  u’/v’
Département de mathématiques
11
Exemples
2x 3 - 4
 Trouver la dérivée de f(x) =
x2 + 5
3
x -1
 Trouver r’(x) si r(x) = 2
x +1
Département de mathématiques
12
Exemple

Trouver la dérivée de f(x) =
Département de mathématiques
(x 2 +1)2
x
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Résumé
puissance
 
produit
d
n
n 1
x  nx
dx
d
du
dv
uv   v  u
dx
dx
dx
somme
quotient
d
du dv
u  v   
dx
dx dx
Département de mathématiques
du
dv
vu
d  u  dx
dx

 
dx  v 
v2
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Devoir

Exercices 4.1, page 136, nos 1 à 4.

Exercices 4.2, page 147, nos 1, 2 (sauf j),
3, 4, 6 (a à k), 7 (sauf e), 9 et 10.
Département de mathématiques
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