Problema di Cauchy mal condizionato

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Problema di Cauchy mal condizionato
y' HxL = 100 y HxL - 101 e-x
:
y H0L = 1
H1L
Problema perturbato
y' Hx; eL = 100 y Hx; eL - 101 e-x
:
y H0; eL = 1 + e
H2L
Si vede facilmente che y HxL = e-x
è soluzione di H1L infatti essendo
y' HxL = -e-x si ha :
-e-x = 100 e-x - 101 e-x HverificataL
y H0L = e0 = 1
HverificataL
Per il problema H2L
y Hx; eL = yP HxL + yH HxL
à
dyH
yH
= à 100 â x
;
[email protected] HxL • cD = 100 x
yH HxL = ce100 x inoltre
y Hx; eL = e-x + ce100 x
yP HxL = e-x
dalla condizione iniziale
2
SLIDE8_LEZIONE_DEL_19_12.nb
y H0; eL = 1 + e = 1 + c ;
c=e
pertanto
y Hx; eL = e-x + ee100 x
Si vede che come mi allontano da x = 0
a destra la soluzione y Hx; eL si allontana
velocemente da y HxL anche per e molto
piccolo
Ad esempio y H0.5L = e-0.5 = 0.606531
Mentre per e = 0.000001
y H0.5; eL = e-0.5 + 0.000001 e50 > 5.2 * 1015
Abbiamo infatti che
¶y f Hx, yL = ¶y H 100 y HxL - 101 e-xL = 100
SLIDE8_LEZIONE_DEL_19_12.nb
Ricorsione della H3.24L
e1
£ H1 + hKL
e0
+ht HhL
e2 £ H1 + hKL e1 +ht HhL £
£ H1 + [email protected] + hKL e0 +ht HhLD + ht HhL =
= H1 + hKL2 e0 [email protected] + H1 + hKLD ht HhL
3
4
SLIDE8_LEZIONE_DEL_19_12.nb
In[20]:=
H*Grafico propagazione errore
di troncamento e di macchina*L
k1 = 10;
k2 = 20;
[email protected] * h + k2 • h, 8h, 0, 10<,
AxesOrigin ® 80, 0<, PlotStyle ®
[email protected], 0, 0D, [email protected]<,
BaseStyle ® 8FontSize ® [email protected]<D
150
100
Out[22]=
50
2
4
6
8
10

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