МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)

Методические рекомендации для проведения практических занятий для студентов направления подготовки 38.03.01 Экономика (Профили: Маркетинг, Маркетинг услуг, Рекламный бизнес, Экономика предприятия) образовательной программы ВПО «бакалавриат», очной, заочной форм обучения по интегрированным учебным планам

Report
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
Государственная организация высшего профессионального образования
«Донецкий национальный университет экономики
и торговли имени Михаила Туган-Барановского»
Кафедра высшей и прикладной математики
Н.С. Иванисенко, М.Ю. Бадекин
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
(МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
(Методические рекомендации для проведения практических занятий)
Донецк 2019
2
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ГО ВПО «ДонНУЭТ»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГО ВПО «Донецкий национальный университет
экономики и торговли
имени Михаила Туган-Барановского»
Кафедра высшей и прикладной математики
Н. С. Иванисенко, М. Ю. Бадекин
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
(МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Методические рекомендации для проведения практических занятий
для студентов направления подготовки 38.03.01 Экономика
(Профили: Маркетинг, Маркетинг услуг, Рекламный бизнес, Экономика
предприятия) образовательной программы ВПО «бакалавриат», очной, заочной
форм обучения по интегрированным учебным планам
Донецк
ГО ВПО «ДонНУЭТ»
2019
3
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
УДК 519:33(076.5)
ББК 22.1я73+65я73
И19
Рецензенты:
Ковтонюк Д. А.
Скрыпник С. В.
канд. физ. – мат. наук, доцент кафедры высшей математики
ГОУ ВПО «ДонАУиГС при Главе ДНР ;
канд. физ. – мат. наук, профессор кафедры высшей
математики ГО ВПО «ДонНУЭТ».
Иванисенко Н. С., Бадекин М. Ю.
И19 Математика для экономистов (Математический анализ. Линейная алгебра.
Теория вероятностей и математическая статистика) : методические
рекомендации для проведения практических занятий для студентов
направления подготовки 38.03.01 Экономика (Профили:
Маркетинг,
Маркетинг
услуг,
Рекламный
бизнес,
Экономика
предприятия)
образовательной программы ВПО «бакалавриат», очной, заочной форм
обучения по интегрированным учебным планам / Н. С. Иванисенко,
М. Ю. Бадекин. – Донецк : ГО ВПО «ДонНУЭТ», 2019. – 220 с.
Методические рекомендации для проведения практических занятий
предназначены для студентов направления подготовки 38.03.01 Экономика
(Профили: Маркетинг, Маркетинг услуг, Рекламный бизнес, Экономика
предприятия).
Цель пособия – помочь студентам освоить высшую математику, теорию
вероятностей и математическую статистику. Материал изложен в соответствии
с программой учебной дисциплины «Математика для экономистов (Математический
анализ. Линейная алгебра. Теория вероятностей и математическая статистика)»
высших учебных заведений. Предлагаемый в краткой форме теоретический
материал, содержащий основные понятия, определения и утверждения,
контрольные вопросы, сопровождается подробным решением типовых задач и
комплексом заданий для проведения практических занятий и организации
самостоятельной работы студентов. Данное пособие может быть использовано
студентами других специальностей, а также студентами заочного отделения.
УДК 519:33(076.5)
ББК 22.1я73+65я73
И19
© Иванисенко Н. С., Бадекин М. Ю.,2019
© ГО ВПО «Донецкий
национальный
университет экономики и торговли имени
4
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Михаила Туган-Барановского», 2019
5
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
СОДЕРЖАНИЕ:
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 8
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ................................................... 10
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 10
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 17
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 17
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 25
ТЕМА 2. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ....................................... 29
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 29
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 31
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 32
III. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 34
ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ............................................ 37
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 37
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 41
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 42
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 46
ТЕМА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ......................................................... 48
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 48
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 52
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 52
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 54
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. .............................. 55
ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ............................................... 55
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 55
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 58
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 59
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 63
ТЕМА 6. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ................................................... 65
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 65
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 68
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 69
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 70
ТЕМА 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
..................................................................................................................................... 72
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 72
6
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 77
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 77
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 78
ТЕМА 8. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ ................................. 83
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 83
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 86
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 86
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 88
ТЕМА 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ.. ................ 90
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ................................................. 90
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................... 93
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................ 94
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................ 97
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА .................................................................... 101
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 .................................................................................................... 102
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 .................................................................................................... 107
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 .................................................................................................... 110
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 .................................................................................................... 111
7
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ВВЕДЕНИЕ
Современному экономисту необходима серьезная математическая
подготовка – это положение общепризнанно. К числу наиболее важных для
экономистов областей математики относятся, по-видимому, линейная алгебра
и, в особенности, матричная алгебра. Дело в том, что экономикоматематические модели, которые широко применяются сейчас в
исследовательской и плановой работе, часто предназначены для описания
взаимосвязи экономических структур, их динамики во времени, зависимости от
ряда факторов и т.д. Один из наиболее компактных способов описания таких
структур, зачастую крупных и сложных, заключается, как известно, в
матричном отображении. Применение матриц не только позволяет “экономно”
формализовать поставленную проблему, но и, что существенно важнее,
использовать в экономических расчетах многие достижения матричной
алгебры.
Методы матричной алгебры в настоящее время широко применяются не
только в нормативных экономико-математических моделях, но и в
статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. В этой
связи можно сослаться, на методы анализа отчетного межотраслевого баланса:
прибегая к операциям с матрицами, экономисты и статистики получают
возможность не только представить все балансовые расчеты в весьма
компактной и наглядной форме, но и использовать более удобные
вычислительные процедуры при расчете тех или иных народнохозяйственных
показателей (например, при определении коэффициентов полных затрат).
Матричное исчисление применяется и во многих разделах математической
статистики; оно широко используются, например, при анализе так называемых
взаимозависимых уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализе.
Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности массовых
случайных явлений с количественной их стороны.
Методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только
для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности
предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность
предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных
явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный
исход каждого из которых остается случайным. Чем большее количество
однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определёнее
проявляются присущие им специфические законы, тем с большей
уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.
Вероятностный или статистический метод в науке не противопоставляет себя
классическому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющем
глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.
Знания, полученные при изучении курса «Математика для экономистов
(Математический анализ. Линейная алгебра. Теория вероятностей и
8
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
математическая статистика)», являются базовыми, на которые опираются такие
математические курсы, как математические методы исследования операций,
ряда экономико-математических дисциплин, а также для изучения специальных
дисциплин. В настоящем методическом пособии рассматриваются следующие
вопросы:
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
элементы линейной алгебры;
элементы векторной алгебры;
введение в математический анализ;
дифференциальное исчисление;
интегральное исчисление;
дифференциальные уравнения;
ряды;
элементы теории вероятностей;
случайные величины;
эмпирические законы распределения;
элементы математической статистики.
Данное методическое пособие нацелено на стимулирование и
самоорганизацию систематической учебной деятельности студента по
соответствующему модулю. Излагаемые понятия, определения, свойства,
теоремы, знакомят с элементами теории, разобранные типовые примеры
иллюстрируют конкретные приложения теоретического материала. Излагаемый
материал разделен на две части. Первая часть посвящена определителям,
матрицам,
системам
линейных
уравнений,
пределам
функций,
дифференциальному
и
интегральному
исчислению,
вторая
–
дифференциальным уравнениям, числовым и степенным рядам, элементам
теории вероятности.
В пособии содержится материал, составляющий логически завершенную
часть курса (модуль), вместе с тем это всего лишь часть единого целого курса
высшей математики, о котором у студентов должно сложиться цельное
впечатление.
9
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Элементы линейной алгебры. Пределы. Дифференциальное исчисление.
Интегральное исчисление.
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Матрицы
Матрицей размерности m  n называется прямоугольная таблица чисел
(элементов матрицы), содержащая m строк и n столбцов:
 a11

a
А =  21


 am1
a12
a22

am 2
 a1n 

 a2 n 
.
 

 amn 
(1.1)
Виды матриц:
1. Квадратная матрица – матрица, у которой число строк равно числу
столбцов. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее
порядком:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
(1.2)
 ... ... ... ... 


 a a ... a 
 n1 n 2
nn 
Символы аij – элементы матрицы: первый индекс i показывает номер
строки, второй индекс j – номер столбца на пересечении которых расположен
данный элемент.
Элементы a11 , a22 ,..., ann квадратной матрицы образуют главную
диагональ, а элементы a1n , a2,n−1 ,..., an1 – побочную диагональ.
2.
3.
Матрица-столбец – матрица, имеющая один столбец:
 a11 


 a 21 
 ... 


a 
 m1 
(1.3)
Матрица-строка – матрица, имеющая одну строку:
(а
11
a12 ... a1n )
10
(1.4)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
4. Диагональная матрица – это квадратичная матрица, у которой все
элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю:
 a11 0 ... 0 


 0 a 22 ... 0 
(1.5)
 ... ... ... ... 


 0 0 ... a 
nn 

5.
Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все
элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице:
1 0  0


0 1  0
E =
.
   


0
0

1


(1.6)
6.
Треугольной матрицей – называется квадратная матрица, у которой все
элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны
нулю:
0 ... 0 
 a11 0
 a11 a12 a13 ... a1n 




 a21 a22 0 ... 0 
 0 a22 a23 ... a2 n 
a
0
a32 a33 ... 0 
0 a33 ... a3 n 
(1.7)
 31



 ... ... ... ... ... 
 ... ... ... ... ...


a

0 0 ... ann 
 n1 an 2 an 3 ...

0
Треугольная матрица сверху
Треугольная матрица снизу
7. Две матрицы A и B одинаковой размерности называются равными,
если равны их соответствующие элементы aij = bij .
8. Транспонированная матрица – это матрица у которой строки поменяны
местами со столбцами.
11
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Свойства операции транспонирования:
( АТ )Т = А;
(A + B)
T
= AT + B T ;
(kA)T = kAT , k = const;
( A  B )T = BT  AT .
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Действия над матрицами:
1. Суммой (или разностью) двух матриц A и B одинаковой размерности
называется матрица C такой же размерности, элементы которой равны
cij = aij + bij. (cij = aij − bij ).
2. Произведением матрицы A на число k есть матрица B такой же
размерности, элементы которой равны bij = kaij .
3. Произведением матрицы A размерности m  n на матрицу B
размерности n  k есть матрица С , размерности m  k , элементы которой
находятся по формуле cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (то есть элемент cij ,
расположенный в і-й строке и j-м столбце матрицы С , равен сумме
произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы
j-го столбца матрицы B ).
Замечание. Операция умножения двух матриц возможна, если
количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй
матрицы B . При умножении матриц нельзя менять местами множители, то есть
A  B  B  A.
Замечание. AE = EA = A.
Определители
Определителем порядка n - называется число или алгебраическое выражение,
записанное в виде алгебраических выражений, содержащее n строк и n
столбцов.
Определителем второго порядка называется выражение, имеющее вид:
a11 a12
= a11a22 − a12 a21.
(1.12)
a21 a22
Определителем третьего порядка называется выражение, имеющее вид:
=
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a23a32 a11.
a33
Основные свойства определителей:
12
(1.13)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
1. Значение определителя не изменится, если все его строки заменить
соответствующими
столбцами
(столбцы
при
этом
заменяются
соответствующими строками).
2. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец) равен нулю.
3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он
равен нулю.
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак.
5. Общий множитель элементов некоторого столбца (строки) можно
вынести за знак определителя.
6. Для умножения определителя n – го порядка на число, достаточно
все элементы некоторого столбца (стоки), умножить на это число.
7. Определитель не меняется, если к элементам одной строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные
на это число.
8. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (столбцы),
равен нулю.
9. Если в определителе некоторая (например, і-й) строка является
суммой двух слагаемых, то этот определитель можно представить в виде суммы
двух определителей, у которых все строки, кроме і-й, будут такие же, как в
данном определителе, а і-я строка первого определителя состоит из первого
слагаемого і-й строки исходного определителя, а і-я строка второго
определителя состоит из второго слагаемого і-й строки исходного
определителя.
Минором M ij элемента aij определителя n – го порядка называется
определитель (n − 1) – го порядка, образованный из исходного определителя в
результате вычеркивания i − й строки и j − столбца, содержащих элемент aij .
a21 a23
,
a31 a33
получаемый из определителя (1.13), вычеркиванием в нем первой строки и
второго столбца.
Например, минором элемента a12 есть определитель M 12 =
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя третьего порядка
называют его минор M ij , взятый со знаком (−1) , то есть:
i+ j
Aij = (−1) i + j M ij .
(1.14)
На практике, определители 3-го и старше порядков находятся по
теореме Лапласа разложением по элементам строки (столбца).
Теорема
Каждый определитель можно представить как сумму
Лапласа. произведений элементов некоторой строки (столбца) на их
13
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
алгебраические дополнения.
Например, разложение определителя (1.13) по элементам второго
столбца имеет вид:
 = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 ,
где A12 = −
a21 a23
;
a31 a33
A22 =
a11 a13
;
a31 a33
A32 = −
Определитель третьего порядка можно
треугольника или правилу Саррюса (рис. 1.1).
 =
• • •
• • •
• • •
+
• • •
• • •
• • •
+
• • •
• • •
• • •
-
• • •
• • •
• • •
a11 a13
.
a21 a23
находить
-
• • •
• • •
• • •
по
-
правилу
• • •
• • •
• • •
.
Рисунок 1.1 – Правило треугольников
Можно воспользоваться правилом дописывания двух столбцов для
вычисления определителя 3-го порядка (рис. 1.2) по алгоритму:
1. Дописывают к определителю с правой стороны два первых его
столбца.
2. Начиная с левого верхнего угла перемножают все элементы,
расположенные вдоль главной диагонали определителя и складывают с
аналогичными произведениями всех элементов, которые находятся на двух
других диагоналях, параллельных главной.
3. Аналогично перемножают все элементы, которые расположены на
диагоналях, параллельных побочной, начиная с верхнего правого угла
дополненного «определителя», и три полученных произведения вычитают из
предыдущей суммы.
a11
 = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a11
a12
a21
a22
a32 - a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Рисунок 1.2 – Правило дописывания двух столбцов
Матрица А −1 называется обратной к квадратичной матрице A , если
выполняется условие: A  A−1 = A−1  A = E , где E – единичная матрица.
Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель равен
нулю (  = 0 ) и невырожденной, если   0 .
Теорема.
Для существования обратной матрицы A−1 необходимо
достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.
14
и
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Обратная матрица находится по формуле:
 A11 A21 ... An1 


1  A12 A22 ... An 2 
−1
А = 
;
... ... ... 
 ...


A
A
...
A
2n
nn 
 1n
(1.15)
где Aij – алгебраические дополнения элементов aij определителя матрицы A .
Системы линейных уравнений. Методы решени я линейных
уравнений
Системою m линейных уравнений с n неизвестными называется система
вида:
где aij
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1;
 a x + a x + ... + a x = b ;
 21 1
22 2
2n n
2
(1.16)

..........
..........
..........
..........
...

 am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm .
– коэффициенты, bi – свободные члены, xi – неизвестные, i = 1, m,
j = 1, n .
Решением системы линейных уравнений называется упорядоченная
совокупность n чисел (x1, x2, … , xn), которые при подстановке в систему (1.16)
как неизвестные, преобразовывают все уравнения в тождества.
Система уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены
равны нулю, и неоднородною – если хотя бы один из них отличен от нуля.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной – если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной – если она имеет бесконечное
множество решений.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они
имеют одно и тоже множество решений.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
x1 , x2 , x3 :
15
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1;

(1.17)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 =b 2 ;
a x + a x + a x = b .
32 2
33 3
3
 31 1
Чтобы решить систему (1.17), из коэффициентов при неизвестных и
свободных членов составим определители третьего порядков , 1 ,  2 ,  3 .
Определитель (), составленный из коэффициентов при неизвестных
называется главным определителем системы и имеет вид:
a11 a12 a13
 = a21 a22 a23 .
(1.18)
a31 a32 a33
Определители 1,  2 , 3 образовываются из определителя  (1.17)
соответственно заменою первого, второго и третьего столбцов столбцом
свободных членов:
b1
1 = b2
b3
a12 a13
a22 a23 ,
a32 a33
a11 b1
 2 = a21 b2
a31 b3
a13
a23 ,
a33
a11 a12
 3 = a21 a22
a31 a32
b1
b2 .
b3
При решении системы уравнений (1.17) могут быть три случая:
1.   0, тогда система (1.17) имеет единственное решение, которое можно
найти по формулам Крамера (1.19):



x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 .
(1.19)



2.
Если  = 0, и хотя бы один из определителей 1,  2 ,  3 не равен
нулю, то система (1.17) не имеет решений.
 = 0, 1 = 0,  2 = 0, 3 = 0,
3.
Если
то система (1.17) имеет
бесчисленное множество решений.
Метод обратной матрицы
Задана система, содержащая n линейных уравнений с n неизвестными.
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ;
 a x + a x + ... + a x = b ;
 21 1
22 2
2n n
2
(1.20)

..........
..........
..........
..........
...

 an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn .
 a11 a12

 a21 a22
Введем матрицы: A = 
... ...

 an1 an 2
... a1n 

... a2 n 
;
... ... 

... ann 
16
 x1 
 
x 
X = 2;
...
 
 xn 
 b1 
 
b 
B = 2.
...
 
 bn 
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Матрицу A , составленную из коэффициентов системы (1.20), называют
основной матрицей, матрицу-столбец X – матрицею неизвестных, а матрицустолбец B – матрицею свободных членов. Согласно правилу умножения двух
матриц, систему (1.20) можно записать одним матричным уравнением с
неизвестной матрицей X :
(1.21)
A  X = B.
−1
Допустим, что матрица A имеет обратную матрицу A . Умножим обе
части равенства (1.21) на A−1 слева: A−1 AX = A−1B . Поскольку A−1 A = E и
EX = X , то матричная запись решения системы имеет вид:
(1.22)
X = A−1 B.
Замечание. Решение системы уравнений в матричной форме возможно
только тогда, когда матрица системы квадратная и невырожденная.
Метод Гаусса
Метод последовательного исключения неизвестных. С помощью
элементарных преобразований систему уравнений приводят к треугольному
виду, из которой последовательно находят все переменные. При решении
системы линейных уравнений удобнее приводить к треугольному виду
расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную
присоединением к матрице коэффициентов столбец свободных членов.
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Определение квадратной матрицы. Порядок квадратной матрицы.
2. Правило «строка на столбец».
3. Определитель – это матрица или число?
4. В каких случаях определитель равен нулю?
5. Если k строк определителя умножить на одно и тоже число n, то как
изменится определитель?
6. В разложение определителя по элементам строки входят миноры или
алгебраические дополнения?
7. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом
Гаусса.
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.1. Выполнить действия с матрицами
17
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
 2 −1 3 
 1 − 3

  2 − 1 



−
2
0
−
1
−
2
0



  2 − 1

−
1
2
−


−3 1 1 
 4 − 1    − 3 2  .


  4 1  
 
5 
− 2 4 5 
 1
Решение. Обозначим
 2 -1 3 
 1 − 3




 2 − 1


−
2
2
0
0
1
 2 − 1




C
A=
=
B
=
−
1
2

 .
,
,
,
D
=


 4 − 1
-3 1 1 
−
3
2


4 1






5 
- 2 4 5 
 1
Произведение A B имеет смысл, так как число столбцов матрицы A
равно числу строк матрицы B . Находим матрицу M = A  B , элементы которой
mij = ai1  b1 j + ai 2  b2 j + ai 3  b3 j , i = 1,4 , j = 1,2 . Имеем
 2 −1 3 

  2 − 1

−
2
0
−
1

 
M = A B = 

−
1
2

=
−3 1 1  

  4 1 
− 2 4 5 
2  (−1) + (−1)  2 + 3  1   17 − 1
 2  2 + (−1)  (−1) + 3  4

 

 (−2)  2 + 0  (−1) + (−1)  4 (−2)  (−1) + 0  2 + (−1)  1  − 8 1 
=
=
.
(−3)  2 + 1  (−1) + 1  4
(−3)  (−1) + 1  2 + 1  1   − 3 6 

 

(
−
2
)

2
+
4

(
−
1
)
+
5

4
(
−
2
)

(
−
1
)
+
4

2
+
5

1
12
15

 

Произведение C  D имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы
C равно числу строк матрицы D . Находим матрицу P = C  D , элементы
которой pij = ci1  d1 j + ci 2  d 2 j , i = 1,4 , j = 1,2 . Имеем
 1 − 3


 − 2 0   2 − 1
=
P =CD =

4 − 1   − 3 2 


1
5


 1  2 + (−3)  (−3) 1  (−1) + (−3)  2   11 − 7 

 

 (−2)  2 + 0  (−3) (−2)  (−1) + 0  2   − 4 2 
=
=
.
4  2 + (−1)  (−3) 4  (−1) + (−1)  2   11 − 6 

 

1

2
+
5

(
−
3
)
1

(
−
1
)
+
5

2
−
13
9

 

18
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Разность M − P имеет смысл, так как матрицы M и P имеют
одинаковую размерность 4 2 . Находим искомую матрицу X = M − P ,
элементы которой xij = mij − pij , i = 1,4 , j = 1,2 . Имеем
 17

−8
=
−3

 12
X=M −P=
− 1  11
 
1   −4
−
6   11
 
15   − 13
− 7   17 − 11
− 1 − (−7)   6
6
 
 

2   − 8 − (−4)
1 − 2   − 4 − 1
=
=
.
− 6   − 3 − 11
6 − (−6)   − 14 12 
 
 

9  12 − (−13)
15 − 9   25
6 
Ответ : Результатом действия данных матриц является матрица
6
 6


4
1


X=
.
- 14 12 


 25 6 
1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило
треугольников). Это правило заключается в равенстве
а11 а12
 = а21 а22
а31 а32
а13
а23 = а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 −
а33
.
− (а13а22а31 + а12а21а33 + а23а32а11 )
Таким образом,
1 2 −3
4 6
5 = 1  6  1 + 2  5  2 + 4  (−1)  (−3) − ( (−3)  6  2 + 2  4  1 +
2 −1 1
+ 1  5  (−1) ) = 71.
2) Второе правило вычисления  называется разложением  по
элементам некоторой строки (или столбца). Например, разложение по
элементам первой строки имеет вид
а11 а12 а13
а
а 23
а
а 23
 = а 21 а 22 а 23 = а11  (−1)1+1  22
+ а12  (−1)1+ 2  21
+
а32 а33
а31 а33
а31 а32 а33
.
+ а13  (−1)1+3 
а 21
а31
а 22
а32
Определитель
19
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
4
2 1
 = 0 13 0
− 7 30 0
разложим по элементам третьего столбца, т.е.
0 13
4
2
4 2
 = 1  (−1)1+3
+ 0  (−1)2+3
+ 0  (−1)3+3
=
− 7 30
− 7 30
0 13
= 91 + 0 + 0 = 91 .
Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей
значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только
один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя
свойства определителей. В определителе
−1 3 2
= 2 8 1
1 1 2
умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к
третьей, получим
−1 3 2
14 5
 = 0 14 5 = −4
= −36 .
1 1
0 4 4
Пример 1.2. Вычислить определитель высшего порядка
5 8 7 4 −2
−1 4 2 3 1
 = 9 27 6 10 − 9 .
3 9 6 2 −3
1 3 2 8 −1
Решение :
Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой
целью прибавим пятый столбец к первому
3 8 7 4 −2
4 2 3 1
0 4 2 3 1
27 6 10 − 9
 = 0 27 6 10 − 9 = 3 
;
9 6 2 −3
0 9 6 2 −3
3 2 8 −1
0 3 2 8 −1
в полученном определителе 4-го порядка четвертый столбец умножим на 3 и
прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму
столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем
20
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
4 2 3 1
7
4
11
1
27 6 10 − 9
0 − 12 − 62 − 9
= 3
= 3  7(−12)(−22)(−1) = −5544 .
9 6 2 −3
0 0 − 22 − 3
3 2 8 −1
0 0
0
−1
Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей
высших порядков значительно упрощается, если определитель привести к
треугольному виду.
3
Пример 1.3. Решить систему по формуле Крамера:
 2 x − 4 y + 3z = 1

 x − 2 y + 4z = 3 .
 3x − y + 5 z = 2

Решение: Воспользуемся формулами (8):
2 −4 3
 = 1 − 2 4 = 2(− 10 + 4 ) + 4(5 − 12 ) + 3(− 1 + 6 ) = −25 ;
3 −1 5
1 −4 3
x = 3 − 2 4 = 1(− 10 + 4 ) + 4(15 − 8) + 3(− 3 + 4 ) = 25 ;
2 −1 5
2 1 3
y = 1 3 4 = 2(15 − 8) − 1(5 − 12 ) + 3 − 9 = 0 ;
3 2 5
2 −4 1
z = 1 − 2 3 = 2(− 4 + 3) + 4(2 − 9) + 1(− 1 + 6 ) = −25 ;
3 −1 2
Тогда
x=
Ответ: − 1;0;1 .
25
0
− 25
= −1; y =
= 0; z =
= 1.
− 25
− 25
− 25
Пример 1.4. Решить систему матричным способом:
2 x − 4 y + 3 z = 1

 x − 2 y + 4z = 3 .
 3x − y + 5 z = 2

Решение: Введём матрицы:
21
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
 2 − 4 3


A =  1 − 2 4
 3 −1 5


 x
1
 
 
X =  y ; B =  2 
z
 3
 
 
- из коэффициентов при неизвестных;
- столбец свободных членов.
Тогда систему можно записать матричным уравнением: AX = B .
Воспользуемся формулой (9). Найдём обратную матрицу A−1 по формуле
(6):
2 −4 3
det A = 1 − 2 4 = −25 ;
3 −1 5
−2
A =
11 − 1
−4
A =
21 − 1
−4
A =
31 − 2
2
1
= −6; A =
12 3
5
3
2
= 17; A =
22 3
5
3
2
= −10; A =
32 1
4
Тогда
A −1
4
1 −2
= 7; A =
= 5;
13 3 − 1
5
3
2 −4
= 1; A =
= −10;
23 3 − 1
5
3
2 −4
= −5; A =
= 0.
33 1 − 2
4
 − 6 17 − 10 

1 
=
7
1
−
5

.
− 25 
0 
 5 − 10
Следовательно,
 − 6 17 − 10  1 
 − 6  1 + 17  3 − 10  2 
 25   − 1






  
1
1
1 
x=−  7
1
− 5  2  = −  7  1 + 1  3 − (− 5)  2  = −  0  =  0 
25 
25 
25 

  
0  3 
 5 − 10
 5  1 + (− 10)  3 + 0  2 
 − 25   1 
Получили:
Ответ: − 1;0;1 .
x = −1
 x   − 1
   
 y  =  0  = y = 0 .
z  1 
z =1
   
Пример 1.5. Решить методом Гаусса систему:
22
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
2 x − 4 y + 3 z = 1

 x − 2 y + 4z = 3 .
 3x − y + 5 z = 2

Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака
эквивалентности ~.
 2 − 4 3 1 1 − 2 4 3 1 − 2 4 3  1 − 2 4 3 

 
 
 

 1 − 2 4 3 ~ 2 − 4 3 1  ~ 0 0 − 5 − 5 ~ 0 5 − 7 − 7 ~
 3 − 1 5 2  3 − 1 5 2  0 5 − 7 − 7  0 0 − 5 − 5

 
 
 

1 − 2 4 3 

7 7

~ 0 1 − − .
5 5

0
0
1
1 

По полученной матрице выписываем преобразованную систему:
x − 2 y + 4z = 3

7
7
 y− z=− .
5
5

z
=
1

Тогда
Ответ: − 1;0;1 .
7 7
7 7
z = 1; y = − + z = − + = 0
5 5
5 5
x = 3 + 2 y − 4 z = 3 + 2  0 − 4  1 = 3 − 4 = −1
Пример 1.6. Найти все решения системы:
 3x + 4 y + 2 z = 0

 x − y + 4z = 0 .
5 x + 2 y + 10 z = 0

Решение. Определитель этой системы
3 4 2
 = 1 − 1 4 = 3(− 10 − 8) − 4(10 − 20 ) + 2(2 + 5) = 0 .
5 2 10
Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые
два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно
независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к
первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим
систему двух уравнений с тремя неизвестными:
23
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
3x + 4 y + 2 z = 0
.

x
−
y
=
−
4
t

Полагая, например, z = t , получим
3x + 4 y = −2t
.

x
−
y
=
−
4
t

Решая систему двух линейных уравнений, выразим x и y через t :
x=−
18
10
t ; y = t . Следовательно, решение системы можно записать в виде:
7
7
x=−
18
10
t ; y = t ; z = t , где t - произвольное число.
7
7
Пример 1.7. Найти все решения системы:
 x − y + 4z = 0

2 x − 2 y + 8 z = 0 .
 − x + y − 4z = 0

Решение. Нетрудно видеть, что в данной системе только одно независимое
уравнение (два других ему пропорциональны). Система из трёх уравнений с
тремя неизвестными свелась к одному уравнению с тремя неизвестными.
Появляются два свободных неизвестных. Найдя, например, из первого
уравнения x = y − 4 z при произвольных y и z , получим решения данной
системы. Общих вид решения можно записать x = t − 4h, y = t , z = h , где t и
h - произвольные числа.
24
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
 3 4 1  1 5 3 4 1 3 

 
 
  1 2 4 1

1.  2 1 5    2 − 1 0 1  +  5 0   
0
1
3
1

 6 4 1  2 0 1 3 1 − 4 

 
 

1

2
 2 1 0 1 3 
  5
2. 
3
0
1
2
4

 
−1
2

3 4 

0 1 
 1 0 3


1
4
1


   3 2 1 
1 − 4  + 
  2 1 3 

0 2 
 2 1 5
1 3 
1 3 4  1 − 3 4 1  5 2 

 
 
 2 7 1 3 

3.  5 1 4    2 1 0 2  +  1 − 6   
0
1
2
11

3 1 4  3 1 5 7  2 0  

 
 

7
1 − 3 4 5 

 0
4.  0 1 − 2 3   
1 1
 5
1
2

 
1
2

3
5. 
6

7
4
3
7
5
2
 1 1 1  1 2
 

1 
+
3
−
2
2

1
0




3 
  5 − 4 0   2 3 
4
5
1 3 
 1 3 5 4 

 1 − 4  2 1 4 5
1 
  4 −1 0 2 + 
   1 0 6 4 
1 
5
0

  6 0 3 7  
 
3
4 1 
 3 2 1  2 5 4 3  3 1 

 
 
 1 0 3 1

6.  4 1 6    2 − 1 0 2  +  6 2   
2
1
6
2


 6 4 2  3 0 4 1 1 − 4

 
 

4
2 3


 0 3 1
1 0 1 


2
1
4
 1 2 0 4 3 


  5 1 − 1 + 
   3 2 1 
7. 
  3 2 3 
 2 1 3 2 0 

2
−
1
2


 2 5 3
1 2
3 

25
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
5

 2 4 − 2 3  2
  
8. 
 6 3 5 2  6
4

8

 3 2 1

0  6 0 5 


−

4
6
3


2   4 2 7  


 2 3 5
1
3
4
7
2
 3 1 4  2 3 4  3 2

 
 
 8 − 1 4 

9.  5 2 1    4 2 1  +  1 6   
1
6
−
7

 6 1 2  1 0 4  7 2 

 
 

 − 4 1 2  5 −1 3 4  4 2 

 
 
 1 2 3 4

10.  5 0 7    2 0 1 6  +  1 2   
2
4
6
7


 6 2 4  4 − 3 2 3  3 − 6

 
 

3

2
2 1 4 3 0  
  5
11. 
1
−
4
3
1
−
2

 
2
1

 3

1 4 − 1 2  1
  
12. 
3 −1 5 3  − 7
 4

2
4
1
1
1 − 5

0 1 
3 1 1 


2
3
4


   4 0 2 
2 − 1  + 
  1 0 2 

3 − 4
 3 5 − 1
3 2 
1

 1 2 3

0  1 0 4 


−

3
4
2


3   2 − 3 5  


 − 2 5 0
2
1 2 −1 − 2

 −1 2 
0 1 2 4 

  2 1 − 3 1 
 0 1
5
4 
 −  − 1 2 − 1 − 1  
13.  4 1   
0
2
−
1
3
3 −4 0
1 

 
 3 − 1




 2 1 3 0  
 6 1 −1 0 
1
0
5


3 2 1 

1   4 1 6 
 −1 0 2 3  −1 2
  


+

2
5
−
3
14. 



 
 − 2 1 3 − 4  0 − 2 1   2 −1 0 

0 1 2 
1

4 − 1

26
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Вариант 1
1 1 0 2 1
1 2 3
1. 1 4 9
1 8 27
1
2. 0
2
1
1
2
0
2
2
1
3
0
0
3
1
4
2
0
4
1
Вариант 3
2 4 −1 2
3 1 3
−1 2
1 − 1 3 1 2.
2 5
3 −1 3
1 2
5 1 5
1. − 1 5 1
5 −1 5
1
4
3
2 1 2
−5
1. − 1 2 1 .2.
1
2 −1 2
−9
4 1 4
1. − 1 4 1
4 −1 4
Вариант 5
1 −2 5 9
2.
1 −1 7 4
1 3 3 4
1 2 3 4
Вариант 7
2 1
2 −2 2
3 2
1. 2 2 − 2 2.
1 2
2 −2 −2
1 1
7 1 7
1. − 1 7 1
7 −1 7
3
1
0
Вариант 2
30 − 10 120
5 1
1 2
3 −4
5 1
Вариант 9
2 3 11 5
2.
1 1
3 3
2 1
5
9
3
2
5
2
Вариант 11
1 1 −2 0
8 1 8
3 6 −2 5
1. . − 1 8 1 2.
1 0 6
4
8 −1 8
2 3 5 −1
80
− 34 − 23
3
−7
8
− 15
3
1
2
Вариант 4
1
2
3
0
2
5
2.
0
0
3
−2 −4 −6
4
9
7
0
Вариант 6
7 8 5 5 3
1 −1 1
1. 1 1 − 1
1 −1 −1
5 1 5
1. − 1 5 1
5 −1 5
10 11 6 7 5
2. 5 3 6 2 5
6 7 5 4 2
7 10 7 5 0
Вариант 8
1 2 3 4
2.
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
Вариант 10
2 1
1
8
6 1 6
1 −3 −6 9
1. − 1 6 1 2.
0 2
2 −5
6 −1 6
1 4
6
0
Вариант 12
3 0 −1
9 1 9
−1 3
1. − 1 9 1 2.
0 2
9 −1 9
2 −1
Вариант 13
2
3
0
Вариант 14
27
2
0
−1
3
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
5 3 2 0
−3 1
3
2 −4 1 2
−8 1
8
1. 0 − 3 − 1 2.
4 1 5 3 1 0 − 8 − 1 2.
3
1 −3
0 4 2 −3
8
1 −8
Вариант 15
2 7
0
10 1 10
4 −2 9
1. − 1 10 1 2.
0 8 −3
10 − 1 10
1 0
6
1 5 0
0 3 −1
5 1 2
−1 0 4
0 2 1
Вариант 16
1
0
5
3
2
3
11 1 11
2
1. − 1 11 1 2.
0
11 − 1 11
1
1
1
0
3
4
0
1
0
1
1
2
1
0
5 1
3 0
1 5
0 −1
2 0
0
1
1
2
1
0
1
0
3
4
0
1
2
3
2
0
1
1
Решить систему методом Крамера, обратной матрицы и проверить
решение методом Гаусса.
 4 x + 5z = 1

1) 7 x − 2 y + 9 z = 2
 4x + 2 y − z = 0

3x + 4 y + 2 z = 8

4) 2 x − y − 3z = −1
 x + 5y + z = 0

 x + 2 y + 4 z = 31

7) 5 x + y + 2 z = 29
 3x − y + z = 10

 4x − 3y + 2z = 9
 x − 5 y + 2z = 1


2) 2 x + 2 y − 4 z = 2 3)  2 x + 5 y − 3 z = 4
5 x + 6 y − 2 z = 18
 x − 2z = 3


 2 x − y + z = −4
 x + 2 y + 3z = 5


5)  2 x − y − z = 1 6)  3 x + y − z = −1
4 x − 2 y + 3 z = −7
x + 3 y + 4z = 6


 2x + y + 2z = 1
 2x − y + z = 0


8) 3 x − 2 y − 5 z = 1 9) − 4 x + 3 y + z = 2
 2 x + 3 y + 5z = 0
 x + 3y − 2z = 4


 3x + y − 5 z = 3
 x + y − x =1
 2x − y + z = 1



10)  8 x + 3 y − 6 z = 2 11) 3x + 5 y − 2 z = −2 12)  5 x − 2 y + 7 z = 5
 2x − 4 y + z = 2
 x + 2 y + 5z = 5
− 4 x − y + 3z = −3



 x − 2 y + 3z = 2
 x − 3 y + 5z = 3
 − x + 2 y − 5z = 1



13) 2 x + 3 y − 7 z = −3 14)  2 x + y − 2 z = 1 15)  3 x + 5 y + z = 8
 2 x − 3 y − 3 z = −1
 3x − 5 y + 2 z = 5
5 x − 2 y + 4 z = 7



28
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 2. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Предел числовой последовательности и функции
Последовательность по определению есть функция, то есть предел
последовательности — отдельный случай предела функции. Наоборот, в
некотором смысле предел функции может быть сведен к пределу
последовательности. Поэтому теоремы о пределах последовательностей также
выполняются для пределов функций.
Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если
каждому значению x соответствует единственное значение y .
Область определения функции – это все значения, которые может принимать
аргумент (переменная x ).
Область значений функции – это все значения, которые может принимать
функция (переменная y ) при всех x из области определения функции.
Число А называется пределом функции y = f ( x ) при x → a , если для любого
малого положительного числа  найдется такое число  > 0, что для всех
x − a   выполняется неравенство:
f (x ) − A <  .
Это записывают так: lim f ( x ) = A.
(2.1)
x→a
Функция y = f ( x ) называется бесконечно-малой, если
lim f ( x ) = 0.
x→a
Функция y = f ( x ) называется бесконечно-большой, если
lim f ( x ) = .
x→a
(2.2)
(2.3)
Теорема. Связь между бесконечно-малыми и бесконечно-большими
функциями.
1
Если функция f ( x ) есть бесконечно-большая, то функция
будет
f (x )
бесконечно-малой.
29
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Предельный переход при арифметических
операциях
Теорема.
Если существуют пределы lim xn = a, lim yn = b , то:
n→
lim (xn  yn ) = lim xn  lim yn ;
n →
n →
n→
(2.4)
n →
xn
xn nlim
→
=
при lim yn  0;
lim
n →  yn
n →
lim yn
(2.5)
n →
lim (xn yn ) = lim xn  lim yn  lim cyn = c lim yn .
n →
n →
n →
n →
n →
(2.6)
 a0
 b , если k = m;
k
k −1
a0 n + a1n + ... + ak −1n + ak     0
=   = , если k > m;
(2.7)
lim
m
m −1
n →  b0 n + b1n
+ ... + bm −1n + bm    
0, если k < m.


0 
Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а  .
0 
Для рациональных функций неопределенность этого вида раскрывают
выделением в числителе и знаменателе двухчлена ( x − a ), последующим
сокращением на него и вычислением предела.
Для иррациональных функций – необходимо числитель и знаменатель
умножить на сопряженное выражение для иррационального, выполнить
преобразования и вычислить предел.
Неопределенность вида  − . Замечательные пределы
Раскрывают умножением и делением выражения под знаком предела на
сопряженное, в результате чего можно осуществить предельный переход
выражения по правилам предельного перехода при n →  .
Первый замечательный предел:
sin x
= 1.
(2.8)
x→0 x
Следствия первого замечательного предела:
sin ax a
tgx
sin x
= 1,
= .
= 1,
lim
lim
lim
x →0 x
x→0 sin bx
b
x → 0 tg x
Второй замечательный предел:
x
 1
(2.9)
lim 1 +  = e.
x
x → 
lim
x
= 1,
x → 0 sin x
lim
30
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Следствия второго замечательного предела:
1
bx
ln (1 + x )
 a
ab
x = e,
= 1,
(
)
1
+
x
lim
lim 1 +  = e , lim
x
x →0
x →0
x
x → 
ex −1
= 1.
lim
x
x →0
Непрерывность функции
1)
2)
3)
Функция непрерывна в точке х=х0 если:
она определена в точке х0, т.е. существует f(x0);
существует предел функции при х стремящемся к х0;
этот предел равен значению функции в точке х0.
Функция f(x0) непрерывна в точке х0, если она определена в этой точке и
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Функцию, непрерывную в каждой точке некоторой области, называют
непрерывной в этой области.
Точка розрыва функции – это точка x = x0 , в которой нарушается хотя бы одно
из условий равенства:
lim
x → x0 − 0
f ( x ) = lim
x → x0 + 0
f ( x) = f ( x ).
(2.10)
Точка разрыва x = x0 функции y = f ( x ) называется точкою разрыва первого
рода, если функция в этой точке имеет конечные односторонние пределы. В
общем виде они разные.
lim f (x )  lim f (x ).
(2.11)
x → x0 − 0
x → x0 + 0
Точка разрыва первого рода x = x0 называется точкой устраненного разрыва
функции y = f ( x ) , если односторонние пределы функции равны:
lim
x → x0 − 0
f ( x ) = lim
x → x0 + 0
f ( x )  f ( x0 ).
(2.12)
Точкой розрыва второго рода называется точка x = x0 для функции y = f (x ),
если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов
(слева или справа).
lim f ( x ) = .
x → x0  0
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Определение предела функции при x → x0 .
31
(2.13)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
2.
Определение предела функции при x →  .
3.
Односторонние пределы.
4.
Определение предела числовой последовательности.
5.
Свойства бесконечно малых величин.
6.
Связь между бесконечно малыми величинами и пределами.
7.
Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин.
8.
Теорема о пределе суммы.
9.
Основные теоремы о пределах.
10. Бесконечно малые функции и их свойства.
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 2.1
Вычислить предел последовательности xn  =
(2n + 1)(n − 3)(3n + 5) .
2n 3
Решение:
В данном примере последовательность представляет собой рациональную
дробь, для вычисления пределов такого вида необходимо знаменатель и
числитель дроби разделить на n в наивысшей степени. В нашем примере это
n3.
(2n + 1) (n − 3) (3n + 5)
(2n + 1)(n − 3)(3n + 5) = lim n
n
n
lim
=
3
3
n →
n →
2n
2n
n3
1  3 
5

 2 + 1 −  3 + 
n  n 
n  2 1  3
= lim 
=
=3
n→
2
2
c
Так как → 0 , если n →  , а c - ограниченная величина.
n
(2n + 1)(n − 3)(3n + 5) = 3
Ответ: lim
n →
2n 3
Пример 2.2
Вычислить предел последовательности x n  =
n
3
3
3n + 10
.
Решение:
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей,
содержащих иррациональности.
32
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
n
n
n
lim
= lim
=
n → 3
3n 3 + 10 n→ 3 3n 3 10
+
n3 n3
1
1
= lim
=3 .
n →
10
3
3 3+
3
n
Ответ: lim
n → 3
n
3n 3 + 10
=3
1
.
3
Пример 2.3
Вычислить предел последовательности x n  = n + 1 − n .
Решение:
Для вычисления подобных пределов с неопределенностью ( − ) ,
необходимо умножить и разделить x n  на его сопряженное. Это необходимо
для того, чтобы воспользоваться формулой «разность квадратов»
a 2 − b 2 = ( a − b)( a + b) и, избавившись от квадратного корня, получить дробь.
(
)
lim ( n + 1 − n ) = lim
n →
n →
(
)(
)
n +1 − n n +1 + n
=
n +1 + n
1
= 0.
n →
n +1 + n
Ответ: lim ( n + 1 − n ) = 0.
lim
n→
2 
 4
−

lim
Пример 3.4. Найти предел x →0 х − 1 x + 2 .


Решение.
Приведем к общему знаменателю две дроби, выполним преобразование в
полученной дроби и вычислим предел:
2 
4(x + 2) − 2(x − 1)
2 x + 10
2 x + 10
 4
−
= lim
= lim 2
= −5.
 =  −  = lim
lim 
(x − 1)(x + 2) x→0 (x − 1)(x + 2) x→0 x + x − 2
x →0  х − 1 x + 2 
x →0
sin 2 3x
.
x→ 0 xtg 2 x
Решение. Используем следствия из первого замечательного предела,
получим:
Пример 2.4. Найти предел lim
33
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
2
2
sin 2 3x  0 
sin 2 3x  x
x
2x
 sin 3x 
 3 sin 3x 
=   = lim 2
= lim 
= lim 
=
 
 
lim
x  tg2 x x →0  3x  2tg2 x
x → 0 xtg 2 x
x →0 
 0  x →0 x tg2 x
sin 3x
⎯⎯
⎯→1
x →0
9
2x
9
 sin 3x 
3
x
= lim 
= 2x
= = 4,5.
 
2 x →0  3x  2tg2 x
⎯⎯⎯→1 2
tg2 x x →0
2
2 x −1
 x + 3
Пример 2.5. Найти предел lim 
 .
x →  x − 2 
Решение. Выполним преобразования для выделения единицы, а затем
используем второй замечательный предел.
 x +3

lim 
x →  x − 2 
2 x −1

 x+3 
= 1 = lim 1 +
− 1
x−2 
x → 

2 x −1
x−2 5
(2 x −1)

 5 x−2
5

= lim 1 +

x −2
x → 
= lim
x →
10 x − 5
e x−2
 
=   = e10 .
 
Пример 2.6. Исследовать на непрерывность функцию
 x 2 − 4, если x  3,
f ( x) = 
в точке x0 = 3 .
8
−
x
,
если
x

3

Решение. Значение функции при x = 3 есть f (3) = 32 − 4 = 5 . Вычислим
односторонние пределы функции в точке x = 3 :
f (3 − 0) = xlim
f ( x) = xlim
( x 2 − 4) = 5 ,
→3− 0
→3− 0
f (3 + 0) = xlim
f ( x) = xlim
(8 − x) = 5 .
→3+ 0
→3+ 0
Так как односторонние пределы при x = 3 равны между собой и равны
значению функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке x = 3 .
III. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
n2 + 1 + n
1. lim
n→ 4
n3 + 2 − n
n+ n+ n
n→
n+2
2
1 + 2 + 32 +  + n 2
3. lim
n →
n3
2. lim
34
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
12n + 5
4. lim 3
n→
27 n3 + 6n 2 + 8
2n 4 − 5n 3 − 9
5. lim
x →
3n 5 − 6n 3 + 1
1 + 3 + 5 +  + (2n − 1)
6. lim
n→
1+ 2 + 3 ++ n
10 n 3 − 6n 2 + 7n + 5
7. lim
n →
8 − 4n + 3n 2 − 2n 3
(n −
lim
) (
6
n2 − 1 + n + n2 + 1
8.
n→
n6
4n 2 − 3
9. lim
n →
2n + 1
1+ 2 + 3 ++ n
10. lim
n→
n2 − 1
6n − 5
11. lim
n→
1 + n2 + 3
1 − 2n − 3 1 − 3n
12. lim
n→
n2
1
 2n 2

n
13. lim 
+
3

2
n→
1− n

3
14. lim
n→
)
6
n2 − n + n
2
n3
2
1 + 32 +  + (2n − 1)
15. lim
2
n →
2 2 + 4 2 +  + (2n )
1. lim1 arcsin( x)
x→
2
2. lim arctg ( x)
x→
3
3
5
x →1
sin ( x − 1)
2
−
4. lim
x →0
tg (3 x)
1
5. lim
x→−2
ctg 3 (2 x + 4)
3. lim
3
Первый замечательный предел
1 − cos x
1 + x sin( x) − 1
6. lim
11. lim
2
x →0
x →0
x
x2
7. lim xctg ( x)
1 − cos(5 x )
x→0
12. lim
x →0
1 − cos(3x )
tg ( x) − sin( x)
8. lim
3
x →0
tg ( x) − sin( x)
sin ( x)
13. lim
x →0
x3
x
9. lim
3 arcsin( x)
x →0
1 − cos(x)
14. lim
x →0
4x
tg ( x)
1 − cos(2 x)
10. lim
lim
15.
2
x →0 3
(1 − cos(x))
x →0
x2
35
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Второй замечательный предел
2 x+4
x
+
7


 2x + 3 
5. lim 

lim


x→
x →
x
+
5


 5x + 7 
x +3
2 x +5
3x + 4 

2
6. lim 

 x + x + 1  x −1
x →
lim


3
x
+
5


2
x →
 3x + 2 x + 7 
2 x +1
 x + 3
x
lim
7.


x
+
1


x →
x − 2
lim



x →
 x −1
x
x
 x2 + 2 
8. lim  2

 2x − 1 
x →
lim


x
+
1


x →
 2x + 4 
x
 5x3 + 2 
9. lim 

3
x →
 5x 
2 x −1
x+2
1.
2
2
2.
3.
2
4.
(1 + 2 x
10. lim
x →0
2
)
1
2 x2
11. lim
(1 + sin x )
x →0
cos ec ( x )
12. lim
(1 + 3tg 2 x)ctg 2 x
x →0
 x +3
13. lim 

x →
 x + 2
2 x +1
2
 2x  3x
14. lim
1 + 
x →0
3 

2x
5

15. lim 1 + 
x →0
 3x 
Исследуйте функции на непрерывность, покажите схематично их
поведение вблизи точек разрыва:
1. f ( x ) = 4
2. f ( x ) = 4
2
x −5
3. f ( x ) = 0,3
4. f ( x ) = 0,7
5. f ( x ) = 5
6. f ( x ) = 0,5
;
−2
7− x
2
3− x
2
x −1
7. f ( x ) = 0,5
;
−1
x −3
;
;
;
8. f ( x ) = 5
9. f ( x ) = 8
2
x −3
2
3− x
−2
3− 2 x
1
2 x −6
10. f ( x ) = 0,3
12. f ( x ) = 0,6
;
;
;
;
−2
3− 6 x
.
3
;
4 +5
−3
14. f (x ) = 6−x
;
4 +1
3
15. f (x ) = 5− 2 x
;
4 +6
13. f ( x ) =
;
2
8− 2 x
36
11. f ( x ) = 4
;
−2
3− 4 x
x −5
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции — это предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю:
y
f ( x + x ) − f ( x )
y  = lim
= lim
.
(3.1)
x →0 x
x →0
x
Производная представляет собой скорость изменения функции в точке
х, т.е. скорость, с которой изменяется функция при переходе через точку.
Геометрический смысл производной.
Производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной к
кривой в точке М, т.е. угловому коэффициенту касательной.
Функция y = f ( x ) называется дифференцированной в точке, если в этой точке
она имеет производную.
Функция y = f ( x ) называется диференцированной на интервале (а; b), если
она дифференцирована в каждой точке данного интервала.
Теорема.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке
функция непрерывна.
Основные правила дифференцирования
С  = 0, С = const ;
(СU ) = CU , С = const ;
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(U  V ) = U   V ;
(UV ) = U V + UV ;
(3.5)

 U  U V − UV 
; U = U ( x ), V = V ( x ).
  =
V2
V 
(3.6)
Таблица производных от основных функций

(x ) = 1
x n = nx n −1
(e ) = e
x
x
( )
(a ) = a
x
37
x
ln a
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
(ln x ) = 1
(log a x ) =
(sin x ) = cos x
(cos x ) = − sin x
(tgx ) =
(ctgx ) = −
x
1
cos 2 x
(arcsin x ) =
(arctgx ) =
1
1− x2
1
1 + x2
1
x ln a
1
sin 2 x
(arccos x ) = −
(arcctgx ) = −
1
1− x2
1
1+ x2
Производная сложной функции
Если y = f (u ) , где u =  ( x ) , тогда y = f ( (x )) . Функция f (u ) называется
внешней, а функция  ( x ) — внутренней.
Если y = f (u ) и u =  (x) — дифференцированные функции своих
аргументов, то производная сложной функции существует и равна:
yx = fu  ux .
(3.7)
Производная неявной функции
Пусть уравнение F ( x; y ) = 0 есть неявная функция у от х. Считаем, что
функция — дифференцируема. Продифференцируем тогда по х обе части
уравнения F ( x; y ) = 0 и решим уравнение относительно y .
Теорема. Пусть заданы две взаимно обратные дифференцируемые функции
y = f ( x ) и x =  ( y ). Производная xy обратная функции x =  ( y ) по
переменной у равна обратной величине производной yx от прямой
1
функции y = f ( x ) : xy = .
yx
Производная параметрически заданной функции
Функция y от x задана параметрическими уравнениями:
 x =  (t );
(t1  t  t2 ) , тогда производная равна:

 y =  (t ).
y
yx = t .
xt
38
(3.8)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной положительной
производная от логарифма данной функции.
функции
есть
Производная функции старших порядков
Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го


порядка y (n−1) : y (n ) = y (n −1) , n = 1, 2, ... .
(
)
(
)
Произведение f ( x )dx называется дифференциалом функции y = f ( x ) и его
обозначают символом dy, то есть:
dy = f ( x )dx.
(3.9)
Дифференциал функции n -го порядка имеет вид:
d n y = f (n ) ( x )dx n .
(3.10)
Правило
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно
Лопиталя. больших функций равен пределу отношения их производных
(конечный или бесконечный), если последний существует.
1. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри
некоторого интервала f ( x )  0 , то функция возрастает на этом интервале.
2. Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри
интервала f ( x )  0 , то функция убывает на этом интервале.
Функция f ( x ) имеет максимум f ( x1 ) , если в некоторой окрестности точки x1
выполняется неравенство f (x1 )  f (x ), (x  x1 ) .
Функция f ( x ) имеет минимум f ( x2 ), если в некоторой окрестности точки x2
выполняется неравенство f ( x2 )  f ( x ), ( x  x2 ).
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а
значение аргумента, при которых достигается экстремум функции, называется
точками экстремума функции (соответственно точками максимума или точками
минимума функции).
Необходимое условие В точке экстремума дифференцируемой функции
экстремума функции. производная равна нулю
f ( x0 ) = 0 или не
39
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
существует.
Точки, в которых
стационарными.
производная
функции
равна
нулю,
называются
Достаточные условия экстремума функции.
Теорема
1
Пусть функция f ( x ) непрерывна на некотором
(первое
интервале, в котором содержится критическая точка x0 , и
правило).
дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме,
возможно, той точки x0 ). Если при переходе слева направо через
эту точку производная:
1) изменяет знак с «+» на «–», то в точке x = x0 функция имеет
максимум;
2) изменяет знак «–» на «+», то в точке x = x0 функция имеет
минимум;
3) не изменяет своего знака, то в точке x = x0 функция
экстремума не имеет.
Теорема
(второе
правило).
2
Если для дифференцируемой функции f ( x ) в некоторой
точке x0 ее первая производная f ( x ) равна нулю, а вторая
производная f ( x ) существует и отлична от нуля, то есть
f ( x0 ) = 0 , f ( x0 )  0 , тогда:
1) если f ( x0 )  0 , то в точке x0 функция f ( x ) имеет минимум;
2) если f ( x0 )  0 то в точке x0 функция f ( x ) имеет максимум;
3) если f ( x0 ) = 0 то в точке x0 необходимо использовать первое
правило.
Функция на отрезке a, b достигает своего наибольшего значения на одном из
концов этого промежутка или в такой точке, которая является точкой
максимума.
Аналогичное утверждение можно сформулировать о наименьшем
значении функции: оно достигается на одно из концов данного промежутка или
в такой внутренней точке, которая есть минимумом.
Теорема.
1) Если во всех точках промежутка (с, b ) для функции y = f (x )
вторая производная положительна ( f ( x )  0) , то график функции
вогнутый.
2) Если во всех точках промежутка (a, c ) вторая производная
отрицательна ( f ( x )  0) , то график функции выпуклый.
Точка перегиба, это точка которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой
40
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
или наоборот.
Асимптотой кривой есть прямая, если расстояние d от переменной точки М
кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к
нулю.
x = x0
Прямая
называется
вертикальной
асимптотой
графика
функции y = f (x ) , если хотя бы один из односторонних пределов в точке x = x0
равен бесконечности, то есть
lim f ( x ) =  или
lim f ( x ) =  , или
x → x0 + 0
lim f ( x ) =  .
x → x0 − 0
x → x0
Прямая
называется
горизонтальной
асимптотой
графика
y =b
функции y = f (x ) , если существует конечный предел функции при x →  , то
есть lim f ( x ) = b .
x →
Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции
y = f (x ) , если
k = lim
x→
f (x )
,
x
b = lim ( f (x ) − kx ) .
x→
План исследования функций
1. Найти область определения функции.
2. Проверить четность (нечетность) и периодичность функции.
3. Найти точки разрыва функции и определить их вид.
4. Определить точки пересечения функции с осями координат.
5. Найти точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.
6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости функции.
7. Найти асимптоты.
8. Построить график.
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
Понятия приращения аргумента и приращения функции.
Производная функции, ее геометрический смысл.
Понятие дифференцируемости функции.
41
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
4.
Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.
5.
Понятие сложной и обратной функции.
6.
Правила вычисления производных сложной и обратной функций.
7.
Основные теоремы дифференцирования.
8.
Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.
9.
Производные высших порядков.
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 3.1.
Найти производную сложной функций:
1
2
;
y=
arctg
x
2
Решение.
а) y =
1
2
arctg
x
2
1
y =

2

 2

1
2
1
1





=

−
=
−
=
−
2 

2   x 2 
2

x2 + 2
2 
2  x 
2

1
+
x

1
+





2
2
 x 
 x 
x 
1

1 + 

Пример 3.2.
 x = arctg t
Найти производную y x , функции 
.
2
 y = ln 1 + t
Решение.
(
)
Находим производные x и y от переменной t :
1

xt = (arctg t ) =
;
1+ t2
yt = ln 1 + t 2
( (
)) = 1 +1t  (1 + t ) = 1 +2tt
Тогда: ух =
yt
2t
1
2t 1 + t 2
=
:
=

= 2t .
xt 1 + t 2 1 + t 2 1 + t 2 1
2
2
2
Пример 3.3.
42
;
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Найти дифференциал функции y = e x sin 2 x .
Решение.
(
) (
)
( )
(
)




dy = d e x sin 2 x = e x sin 2 x  dx =  e x  sin 2 x + e x  sin 2 x   dx =


(
)
= e x sin 2 x + e x  2 sin x cos x  dx = e x sin x  (sin x + 2 cos x )  dx .
Пример 4.4.
Вычислить с помощью правила Лопиталя предел:
x2
;
lim
x → e2 x + 3
Решение.
( )

x2
x2
2x   
x
 
а) lim 2 x
=   = lim
= lim 2 x =   = lim
=
x→ e
+ 3    x→ e 2 x + 3  x→ 2e
   x→ e 2 x 
1
= lim 2 x = 0 .
x→ 2e
Пример 3.5.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y = 2 x + 3 3 x 2 .
(
)
( )
Решение.
Функция определена на всей числовой оси. Область определения
функции имеет вид: D( y ) : x  (− ; +  ) .
Найдем первую производную функции:
1
2 −3
2 23 x + 2

y = 2 + 3 x = 2 + 3 = 3
.
3
x
x
Найдем критические точки первого рода:
23 x + 2
y = 3
= 0.
x
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю:
23 x + 2 = 0
3 x = −1  x = −1
;
; 
.
3

 x  0
x  0
x  0
Следовательно, точки x = −1 и x = 0 – критические точки І рода.
Разбиваем всю числовую ось на интервалы и определяем знак
производной на каждом интервале.
43
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
(− ; − 1) – 1
( 0; +  )
(− 1; 0 )
0
x
y
не сущ.
+
+
0
–
y
1
0
↗
↘
↗
max
min
Так как на интервалах x  (− ; − 1)  ( 0; +  ) производная положительная
значит, на этих интервалах функция возрастает.
Так как на интервале x  (− 1; 0 ) производная отрицательная значит, на
этом интервале функция убывает.
Так как при переходе через критическую точку x = −1 производная
меняет знак с «+» на «–», то в этой точке функция имеет максимум.
Так как при переходе через критическую точку x = 0 производная меняет
знак с «–» на «+», то в этой точке – минимум функции.
Определим значения функции в критических точках.
y (−1) = 2  (−1) + 3 3 (−1) 2 = −2 + 3 = 1 ;
y(0) = 2  0 + 3 3 02 = 0 .
Приближенный вид графика функции y = 2 x + 3 3 x 2 показан на рис 4.1.
y
1
–3,375
–1 0
x
Рис. 4.1
Пример 3.6.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x 3 − 12 x + 7 на
отрезке  0; 3  .
Решение.
Вычислим производную и найдем критические точки первого рода.
y = 3x 2 − 12 ;
x2 = 4;
y = 0 , если 3 x 2 − 12 = 0 ;
x = 2 .
Из найденных двух критических точек только точка x = 2 принадлежит
заданному интервалу  0; 3  .
44
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Вычислим значения функции в критической точке x = 2 и на концах
отрезка x = 0 и x = 3 :
y (2) = 23 − 12  2 + 7 = −9 ;
y (0 ) = 03 − 12  0 + 7 = 7 ;
y (3) = 33 − 12  3 + 7 = −2 .
Сравнивая три полученных значения функции, определяем, что:
наибольшее значение функции ymax = y (0 ) = 7
наименьшее значение функции ymin = y (2) = −9 .
Пример 3.7.
Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика
функции y = 2 x + 3 3 x 2 .
Решение.
Функция определена на всей числовой оси. Область определения
функции имеет вид: D( y ) : x  (− ; +  ) .
Найдем первую производную функции:
1
1
−
2 −
y = 2 + 3  x 3 = 2 + 2  x 3 .
3
Найдем вторую производную функции:
4
2
 1 −
y = 2   −   x 3 = − 3
.
4
 3
3 x
Найдем критические точки второго рода:
2
y = − 3
= 0.
3  x4
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю:
2  0
x  0.
;
 3 4
3  x  0
Следовательно, точка x = 0 – критическая точка ІІ рода.
Разбиваем всю числовую ось на интервалы и определяем знак второй
производной на каждом интервале.
x
y
y
(− ; 0)
0
не сущ.
0
–

45
( 0; +  )
–

Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Так как на интервалах x  (− ; 0)  ( 0; +  ) вторая производная
отрицательная значит, на этих интервалах график функции выпуклый.
Интервалов вогнутости график функции не имеет.
Так как при переходе через критическую точку x = 0 вторая производная
не меняет свой знак, то в этой точке перегиба нет.
Приближенный вид графика функции приведен на рис 1.
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Функция заданная явно
1. y = sin cos2 (tg 3 ( x))
8. y = −
2. y = 1 + 3 1 + 4 1 + x 4
( ( ))
3. y = ln 2 sec 2
3
9. y =
x
 arcsin (sin ( x) ) 
4. y = 
arctg 2 ( x)

2
 arccos(cos ( x)) 
1
2
5. y = tg 3 ( x) + sin 3 ( x)
3
3
 2
3 
6. y =  4
+
 sin( x)
2
cos
(
x
)
cos
(
x
)


 6x 
7. y = arctg 
4 
 1 + 9x 
2
10. y = −
4x
 1
arctg  2 
x +1
x 
4
2 1 − x2
1−
( 1− x )
2
3
20 arccos3 (5 x)
1 − 25 x 2 − x 3
 cos(x) 

11. y = arctg 
1
+
sin(
x
)


 2 + 5 cos(6 ln( x) ) 

12. y = arctg 
(
)
5
+
2
cos
6
ln(
x
)


2
x
13. y = tg 2 (arcsin( x) )
1− x2
Функция заданная неявно
3
2
1. x sin( y) + y cos ( x) = x
x
arccos 
 y  − 3 xy = 5
2.
arcsin( x)
3.
4.
5
 7x 
5. arctg  2  + cos(2 xy 3 ) = 3 y 4 − x
y 
ctg ( y) cos(x)
6.
+
− 2y = 0
tg ( x) sin( y)
 y
x 2 + y 2 − 6 x + 2 y = sin  
 x
x− y 3 2
+ x y + y2x + 2 = 7y
x+ y
7.
3
2x 2 − y
+ 6e − x = ln( 5 x)
2
3y + 7x
 x
 y
8. e − xy − cos  = tg  
 x
 y
Исследовать функцию и построить график
46
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
1
x2
y=
1. y =
;
x − х2
x2 − 1
6.
7. y = x – lnx;
( x − 1) 2
2. y =
;
eln x
x
8. y =
;
1
х2
3. у = х е ;
4. y = x lnx;
1
5. y = 2
;
х −1
9. y =
x
2
4− х
2
;
1
10.y =
;
2 − х − х2
47
11.y = xe–x;
12.y =
13.y =
x2 + 4х +1
х2
х3
2( х − 1)2
;
;
2
14.y = ln( x − 2 x + 2) ;
2
3
15.y = x e
−
x2
3
;
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на отрезке a,b,
если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F ( x ) = f ( x ).
Операция нахождения первообразных для функции f ( x ) называется
интегрированием.
Функция F ( x ) + C представляет собой общий вид всего множества
первообразных для функции f(x) на отрезке a,b, и называется неопределенным
интегралом от функции f(x) на отрезке a, b и обозначается:
(4.1)
 f (x )dx = F (x ) + C , С = соnst .
Теорема Для существования неопределенного интеграла для функции f ( x ) на
Коши.
данном отрезке достаточно, чтобы f ( x ) была непрерывной на этом
отрезке.
Свойства неопределенного интеграла
( f (x )dx) = f (x ),
d  f ( x )dx = f ( x )dx,
 dF (x ) = F (x ) + C ,
 Cf ( x )dx = C  f ( x )dx,
  f1 ( x )  f 2 ( x )  ...  f n ( x )dx =  f1 ( x )dx   f 2 ( x )dx  ...   f n ( x )dx,
1
 f (ax + b )dx = F (ax + b ) + C.
a
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Теорема
Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при
инвариантности. подстановке вместо независимой переменной некоторой
функции U = U ( x ) , что дифференцируется, то есть если
 f (x )dx = F (x ) + C ,
 f (U )dU = F (U ) + C.
Таблица основных интегралов
48
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
dx
x +1

= ln x + C
x
dx
=
+ C ,   −1


x
 +1
ax
x
x
x
a
dx
=
+ C, a  1
e
dx
=
e
+
C


ln a
 cos xdx = sin x + C
 sin xdx = − cos x + C

dx
= − ctg x + C
sin 2 x

 ctg xdx = ln sin x + C
 arcsin x + C
dx
=

1 − x 2 − arccos x + C
 arctg x + C
dx
=


1 + x 2 − arcctg x + C
dx
= ln x + x 2  a + C
 2
x a
dx
= tg x + C
cos 2 x
 tg xdx = − ln cos x + C

dx
a2 − x2
= arcsin
x
+C
a

dx
1
x
= arctg + C
2
a
a
a +x

dx
1
x−a
=
ln
+ C, a  0
2
2a x + a
x −a
2
2
Метод непосредственного интегрирования
Метод
основывается
на
использовании
основных
свойств
неопределенного интеграла и проведении тождественных преобразований
подынтегральной функции с целью получения табличных интегралов.
Метод замены переменной
Если функция f ( x ) интегрируется, а x =  (t ) имеет непрерывную
производную, то интеграл  f ( x )dx можно найти, сделав замену переменной, то
есть:
(4.8)
 f (x )dx =  f  (t )  (t ) dt.
где dx =  (t )dt.
Метод интегрирования по частям
Теорема.
Если функции U(x) и V(x) имеют непрерывные производные, то:
(4.9)
 U  dV = U  V −  VdU .
Определенный интеграл. Его свойства
Теорема
Если функция f (x) — непрерывна на x  [a; b], то
(Ньютона— определенный интеграл от функции f (x) на отрезке [a; b] равен
Лейбница).
изменению первообразной функции f (x) на этом отрезке, то
есть
49
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
b
 f (t )dt = F (x ) a = F (b) − F (a), де F ( x) = f ( x).
b
(4.10)
a
Свойства определенного интеграла
b
1 Если f ( x) = С = const , то:  С dx = С  (b − a).
(4.11)
a
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2
b
b
a
a
 C  f ( x)dx =C   f ( x)dx.
(4.12)
Если f1 ( x) и f 2 ( x) интегрируемые на отрезке [a;b], то:
4
5
b
b
b
a
a
a
 ( f1 ( x)  f 2 ( x) ) dx =  f1 ( x)dx  f 2 ( x) dx.
3
(4.13)
При перстановке пределов интегрирования знак определенного
интеграла меняется на противоположный:
b
a
a
b
(4.14)
 f ( x)dx = −  f ( x)dx.
Если f (x) интегрируема в любом из интегралов: [a; b], [a; c], [с;b],
тогда:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx.
(4.15)
b
6 Если f ( x)  0 интегрируема на x  [a, b], b  a, то  f ( x)dx  0.
(4.16)
a
Если f (x) , g (x) — интегрируемые и f ( x)  g ( x) для x  [a, b],
7
8
b
b
a
a
b  a, то:  f ( x)dx   g ( x) dx.
(4.17)
Значение определенного интеграла не зависит от переменной
интегрирования:
b
b
a
a
(4.18)
 f ( x)dx =  f (t )dt.
Для вычисления определенных интегралов используют такие же методы,
как и для неопределенного интеграла.
Несобственный интеграл с бесконечными пределами
b
Пусть f(x) интегрируема на промежутке b  [a;+ ) , так что  f ( x )dx
a
существует.
b
Предел  f ( x )dx при b → + называется несобственным интегралом от
a
функции f(x) на бесконечном промежутке [a; + ) и обозначается так:
50
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
+
b
lim  f ( x ) dx =  f ( x ) dx.
b →+ a
(4.19)
а
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся, а если не существует, то — расходящимся.
Если f ( x ) – интегрируема для конечных a и b, то формулы для
вычисления несобственных интегралов на отрезке имеют вид:
+
b
 f ( x ) dx = lim  f ( x ) dx = lim (F (b ) − F (a )),
a
b
b → + a
b
b → +
−
+
a →− a
c
a →−
(4.20)
 f (x )dx = lim  f (x )dx = lim (F (b ) − F (a )) ,
+
 f (x )dx =  f (x )dx +  f (x )dx , де
−
−
(4.21)
c = const .
(4.22)
c
Несобственный интеграл от разрывных функций
Пусть f ( x ) непрерывна на отрезке (a; b] и при x = a имеет разрыв 2-го
рода.
b
b
lim  f ( x )dx =  f ( x )dx называется несобственным интегралом от разрывной
 →+0 a +
функции f ( x ) .
a
Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, а если не
существует то – расходящимся.
Для вычисления таких несобственных интегралов используют формулы:
b
b
 f ( x )dx = lim  f ( x )dx = lim (F (b ) − F (a +  )),
 → +0 a + 
a
 → +0
(4.23)
x = a — точка разрыва функции f ( x ).
b −
b
 f ( x )dx = lim  f ( x )dx = lim (F (b −  ) − F (a )),
a
 → +0 a
 → +0
(4.24)
x = b — точка разрыва функции f ( x ).
b
c
b
a
a
c
c −1
b
 f (x )dx =  f (x )dx +  f (x )dx = lim  f (x )dx + lim  f (x )dx ,
1 →+0 a
 2 →+0 c + 2
x = c  (a; b ) — точка разрыва функции f ( x ).
51
(4.25)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Что называется первообразной функцией?
Что называется неопределенным интегралом?
Как выполняется проверка правильности нахождения неопределенного
интеграла?
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
Перечислите интегралы, входящие в таблицу неопределенных интегралов.
В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
В чем заключается интегрирование методом подстановки?
В чем заключается метод интегрирования по частям?
Сформулируйте формулу интегрирования по частям.
Что называется интегральной суммой?
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 4.1.
1


Найти интеграл:   3 cos x − 4 x 2 + + 5 dx ;
x


Решение.

  3 cos x − 4 x
2
+
1
1

+ 5 dx =3 cos xdx − 4 x 2 dx +  dx + 5 dx =
x
x

4 x3
= 3 sin x −
+ ln x + 5 x + C .
3
Пример 4.2.
Найти интеграл:
а)
dx
 1 − 2x
Решение.
1 

 t 1
1
1 − 2x = t ;
dx = d  − +  = − dt 
− dt

dx
2
 2 2
= 2 =
=
а) 
1 − 2x 
t
t −1
t 1

x
=
=
−
+


−2
2 2
1 dt
1
1
= −   = − ln t + C = − ln 1 − 2 x + C .
2 t
2
2
Пример 4.3
52
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Найти интегралы, используя замечание о линейной подстановке:
dx
 3x +1 ;
Решение.
а)
dx
1
 3x + 1 = 3  ln
3x + 1 + C ;
Пример 4.4.
Найти интеграл методом по частям:
 xe
−2 x
dx
Решение.
 xe
−2x
; du = dx
 u=x

 e− 2 x   e− 2 x 

− 2 x  = x −
 −   −
dx =
dx =

dv = e − 2 x dx ; v = e − 2 x dx = − e 
2
2

 



2 
1
1
1
1  1
1
1

= − xe − 2 x +  e − 2 x dx = − xe − 2 x +   − e − 2 x  + C = − xe − 2 x − e − 2 x + C .
2
2
2
2  2
2
4

Пример 4.5.
1
Вычислить определенный интеграл:
 (x
2
+ 1)dx ;
0
Решение.
1
 x3

 03
 1
13
1
2
 ( x + 1)dx =  3 + x  = 3 + 1 −  3 + 0  = 3 + 1 = 1 3 ;
0

0


1
Пример 4.6.
+
Вычислить несобственные интегралы І рода: а)

1
dx
x
2
0
; б)
 cos x dx .
−
Решение.
+
а)

1
t
t
t
 1
 1 
=
lim
=
lim
x
dx
=
lim
−
=
lim


 − + 1 = 1.


t →+  x 
t →+  t

x 2 t →+ 1 x 2 t →+ 1
1
dx
dx
−2
Так как предел – конечный, то несобственный интеграл сходится.
0
б)
 cos x dx = lim
−
t → −
0
0
 cos x dx = lim sin x = lim ( 0 − sin t ) = +  .
t
t → −
t
t → −
Так как предел – бесконечный, то несобственный интеграл расходится.
53
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1)

2)

3)

4)

5)

dx
(x + 4)  x
dx
x  2x − 9
2x −1
dx
4
3 − cos x

dx
dx
2x − 2
2
x − 4x + 3
xdx
x 4 + 2x 2 + 5
dx

9)  x 3  arcctgxdx
10)  ( x 2 + 1)  e2 x dx
8)
dx
ex − 4
sin 2 x
 x 2 − 2x + 2
7)
2 x −1
e
2x + 3
6)

11) (2 x 2 − x + 1)  sin 4 xdx

13)  ln 2 (2 x + 3 )dx
14)  e2 x  sin xdx
15)  cos(ln x )dx
12) ln xdx
Определенный интеграл

9

1)
4
0
 /2
ln 2
 sin x cos x dx;
4)
e
5)
0
e
3)
2x
 /6
 /6
1
10)  x 5 (1 − x 6 ) dx;
0
7
1
11)
−1
1
xdx
0 x 2 + 5 ;

 sin 6 x dx;
9)
0
1 + x dx;
 /2
 cos
2
12)
x sin xdx;
0
0
1
14)
dx;
 sin (2 x −  / 6 )dx;
6)
dx;
x 3 dx
8) 
;
4
0 3+ x
3 xdx
;
7) 
2
1 4 − x
−x
0
 /4
0
0
13)
ln 2
2)  sin x dx;
x dx;
xdx

5 − 4x 2
−1
x 2 − 4x3 + x 4
15) 
dx;
x2
1
2
;
Несобственный интеграл
+

dx
;
x2

dx
;
x

dx
;
1 + x2
1
+
2
0
−
0
e
5x
dx;
−
+

0
3−5 x dx;
+

dx
.
9 + x2

x3 dx
−
+
0
+

+

16 x + 1
0
+
4x −1

dx
;
x + 4x + 5
−1
4
2
−
2
54
arctg 2 x
x 2 dx
3
x
;
;
 1 + 4x2
0
+


1
+

;
cos xdx;
xdx
25 x 4 − 1
1
+
4
1
+
xdx
( x3 + 5) 4
2
;
dx
;
− 2x + 2
dx;
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education

 (1 + 9 x )arctg 3x ;
dx
2
2
1
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Обычным дифференциальным уравнением называется уравнение, которое
содержит независимую переменную x , функцию y = f ( x, y ) и производную
функции y . Наибольший порядок производных называется порядком
дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение (ДУ) n-го порядка имеет вид:
F x, y, y, y,..., y (n ) = 0.
(
)
Дифференциальное уравнение
относительно производной:
первого
порядка
(5.1)
не
разрешенное
F ( x, y , y  ) = 0 .
(5.2)
Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно
производной:
y  = f ( x, y )
(5.3)
Решением ДУ y  = f ( x, y ) называется функция
подстановке в ДР преобразует его на равенство.
y =  (x ) ,
которая при
График функции y =  ( x ) называется интегральной кривой.
Задача Коши – это задача нахождения решения ДУ
y =  (x ) ,
удовлетворяющего условиям:
(5.4)
y = y0 при x = x0
Условие (5.4) называются начальными условиями, числа y0 , x0
называются начальными значениями.
55
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Функция y =  ( x, C ) , содержащая произвольную постоянную С, называется
общим решением ДУ первого порядка.
Если
общее решение ДУ представляется неявным
 ( x, y, C ) = 0, то уравнение называется общим интегралом ДУ.
уравнением
Решение y =  ( x,C0 ) при фиксированном значении постоянной С
называется частным решением.
Задача нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.
Само
решение
называется
также
интегралом
ДУ,
так
как y = f (x )  y =  f (x )dx.
Дифференциальные
переменными
уравнения
с
разделяющимися
ДУс разделяющимися переменными имеет вид:
M ( x ) dx + N ( y ) dy = 0.
(5.5)
ДУ первого радяка с разделяющимися переменными имеет вид:
N1 ( y ) M1 (x )dx + M 2 (x ) N 2 ( y )dy = 0.
(5.6)
При этом считаем, что N1 ( y )  0, M 2 ( x )  0.
Разделив уравнение (6) на N1 ( y ) M 2 (x ) , получим ДУ с разделяющимися
переменными:
M 1 (x )
N (y)
dx + 2
dy = 0 .
M 2 (x )
N1 ( y )
(5.7)
Дифференциальные уравнения I порядка однородные
Однородной функцией n-го порядка называется функция f (x, y ) такая, что:
(5.8)
f (tx, ty ) = t n f ( x, y ).
Уравнение вида f ( x, y )dx = g ( x, y )dy называется однородным, если
функции f (x, y ), g (x, y ) - однородные функции одного порядка.
Решение уравнения ищем с помощью замены переменной:
(5.9)
y = ux, y = ux + u.
Дифференциальные уравнения I порядка линейные
56
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
y + P( x ) y = Q( x ).
(5.10
Если Q( x )  0 , то линейное ДУ называется однородным.
Если Q(x )  0 , то линейное ДУ называется неоднородным.
Решение линейного ДУ уравнение (5.10) ищем в виде произведения
двух функций y = u  v. Подставляя, получим уравнение:
u v + uv + P( x )uv = Q( x ).
(5.11)
Функцию v можно выбрать произвольно, то есть приведем уравнение к
системе ДУ уравнений:
uv + P( x )uv = 0 ,
(5.12)

u v = Q( x ).
Из первого уравнения находим переменную v:
v = − P(x )v, 

dv
dv
= − P(x )v,  = − P(x )dx ,
dx
v
dv
− P ( x )dx
= −  P(x )dx,  ln v = −  P(x )dx,  v = e 
.
v
Из второго уравнения находим переменную u:
u  = Q( x )v −1  u  = Q( x )e 
P ( x )dx
 u =  Q( x )e 
P ( x )dx
dx + C .
В результате получим общее решение линейного дифференциального
уравнения первого порядка в виде:
(
y =  Q( x )e 
P ( x )dx
)
− P ( x )dx
dx + C e 
.
(5. 3)
Основные понятия дифференциальных уравнений второго
порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка
y  = f (x)
можно решить путем понижения порядка и интегрированием.
Так y  =
 f ( x)dx + C , где С
1
1
(5.14)
– произвольная постоянная. Интегрируя
еще раз, получим общее решение дифференциального уравнения (14) в виде
y =  f ( x)dx dx + C1 x + C2 , которое содержит две произвольных постоянных


С1 и С2.

Дифференциальные уравнения второго порядка F ( x, y , y ) = 0 .
57
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Дифференциальное уравнение второго порядка
F ( x, y , y ) = 0 ,
(5.15)
которое не содержит явно неизвестную функцию у, с помощью подстановки
dp
y = p(x) , y  =
(5.16)
dx
сводится к уравнению первого порядка относительно функции р(х).
Решив это уравнение, найдем p =  ( x, C1 ) или y  =  ( x, C1 ) . Таким
образом, получаем уравнение первого порядка относительно неизвестной

функции у, решение которого будет иметь вид y =  ( x, C1 )dx + C2 .
Линейные дифференциальные
постоянными коэффициентами
уравнения
II
порядка
с
Линейное ДР второго порядка с постоянными коэффициентами:
ay + by + cy = 0.
(5.18)
где a, b, с — постоянные величины, a  0.
Для нахождения общего решения уравнения (5.18) частное решение
ищем в виде y = e px , тогда y = pe px , y = p 2e px .
Подставим это в уравнение (5.18), и получим соответствующее
характеристическое уравнение:
ap2e px + bpe px + ce px = 0, e px  0.
Тогда
ap 2 + bp + c = 0.
(5.19)
Уравнение (5.19) называется характеристическим, а его корни
называются характеристическими показателями.
Корни характеристического
уравнения (5.19).
Действительные, разные
Общее решение ДР (13.2)
С постоянными коэффициентами.
y = C1e p1x + C2e p2 x .
(5.20)
Действительные, кратные
y = C1e p1x + C2e p2 x x.
(5.22)
y = e x (C1 cos  x + C2 sin  x ).
(5.23)
р1  p2 .
р1 = p2 .
Комплексные p =   i ,
i = − 1.
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Что называется порядком дифференциального уравнения?
2.
Какая задача называется задачей Коши?
58
(5.21)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
3.
Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным
уравнением?
4.
Какое уравнение называется дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными?
5.
Какое
уравнение
называется
однородным
дифференциальным
уравнением первого порядка?
6.
Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением
первого порядка?
7.
Какое уравнение называется уравнением с разделяющимися
переменными?
8.
Какое решение будет иметь однородного дифференциального уравнения
второго порядка, если корни характеристического уравнения
действительные и разные, то есть k1  k 2 ?
9.
Какое решение будет иметь однородного дифференциального уравнения
второго порядка, если корни характеристического уравнения
действительные и равные, то есть k1 = k 2 ?
10. Какое решение будет иметь однородного дифференциального уравнения
второго порядка, если корни характеристического уравнения комплексно
сопряженные, то есть k1 =  + i, k 2 =  − i , где i 2 = −1 ?
11. С помощью какой подстановки решается дифференциальное уравнение
второго порядка вида F ( x, y , y ) = 0 ?
12. С помощью какой подстановки решается дифференциальное уравнение
второго порядка вида F ( y, y , y ) = 0 ?
13. Как можно решить дифференциальное уравнение второго порядка вида
y  = f (x) ?
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 5.1.
Решить уравнение
x2
y2
dx
+
dy = 0
x3 + 5
y3 + 5
Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию x = 0 ,
y =1.
Решение:
Имеем уравнение с разделенными переменными. Интегрируем обе части
уравнения.
x2
y2
1 d ( x 3 + 5) 1 d ( y 3 + 5)
 x 3 + 5 dx +  y 3 + 5 dy = C1 3  x 3 + 5 + 3  y 3 + 5 = C1
1
1
1
1
ln x 3 + 5 + ln y 3 + 5 = ln ln C C1 = ln C
3
3
3
3
3
3
3
3
( x + 5)( y + 5) = С
ln ( x + 5)( y + 5) = ln C
59
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Используя начальное условие, найдем С: подставляя x = 0 , y = 1 в общее
решение, находим С
(0 + 5)(1 + 5) = С
С = 30
Из общего решения при С = 30 получаем частное решение:
( x 3 + 5)( y 3 + 5) = 30
Пример 5.2.
Найти общее и частное решения дифференциального уравнения.
xydx + (1 + y 2 ) 1 + x 2 dy = 0 y (0) = 1
Решение:
Почленно разделим на y 1 + x 2
x
dx +
1+ x2
1+ y2
dy = 0
y
Интегрируя, получаем:

x
1+ x2
dx + 
1

1 d (1 + x 2 )
1+ y2
+   + y dy = C
dy = C 
2
y
y

1+ x2
2
y
1 + x 2 + ln y +
=C
2
получили общий интеграл.
Частное решение получим, подставляя в общий интеграл x = 0, y = 1
1 + 0 + ln 1 +
C=
1
=C
2
3
2
Частное решение
y2 3
1 + x + ln y +
=
2 2
2
или
2 1 + x 2 + ln y 2 + y 2 = 3
Пример 5.3.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
y +
x2 + y2
=0
xy
Решение:
y
Приведем уравнение к виду y = f  
x
x y
x
y
1 u
y + +
= 0 y + + = 0 y + + = 0 ,
y x
y x
xy xy
x
2
2
следовательно, данное уравнение однородное.
y
x
Полагая u = , y = ux , y = ux + u и уравнение примет вид
60
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
1
1
+ u = 0 ux + + 2u = 0
u
u
2
1 + 2u
du
1 + 2u 2
ux = −
x=−
u
dx
u
ux + u +
Разделим переменные
− udu
dx
=
2
1 + 2u
x
Интегрируя, получим
−u
 1 + 2u
2
Заменим u на
du = 
1
− ln( 1 + 2u 2 ) = ln x + ln C − ln( 1 + 2u 2 ) = 4 ln( x  C )
4
1
ln( 1 + 2u 2 )−1 = ln( x  C )4
= (Cx ) 4
2
1 + 2u
dx
x
y
x
1
= (Cx ) 4
2 y2
1+ 2
x
1
x2
= (Cx ) 4
= C4x2
2
1+ 2 y
1+ 2 y2
1
= C4
(1 + 2 y 2 ) x 2
1
1
C1 = 4
4
C
C
2
2
x (1 + 2 y ) = C1
x 2 (1 + 2 y 2 ) =
Пример 5.4.
Найти решение уравнения
условию y (0) = −
y + y = e x , удовлетворяющее начальному
1
2
Решение:
Данное уравнение линейное, применим подстановку.
y = uv
y = uv + uv
u v + uv + uv = e x
1. uv + uv = 0
2. uv = e x
u ( v + v ) = 0
ue − x = e x
du
= e2 x
dx
v + v = 0
dv
2x
= −v
 du =  e
dx
dv
1 2x
 x = − dx u = 2 e + C
ln x = − x
v = e−x
1
1

y = uv =  e 2 x + C e − x = e x + Ce− x
2
2

Определим произвольную постоянную C , начальное условие
y ( 0) = −
−
1 1 0
= e + Ce0
2 2
61
−
1
2
1 1
= + C C = −1
2 2
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Частным решением является
y=
1 x
e − ex
2
Пример 5.5. Проинтегрировать уравнение (3x − 5 x 2 y 2 )dx +  3 y 2 −

10 3 
x y dy = 0
3

10
Решение: P = 3x − 5 x 2 y 2 , Q = 3 y 2 − x 3 y
3
Проверим выполнение условия:
P Q
=
y x
P
= (3x − 5 x 2 y 2 )y = −10 x 2 y ,
y
P
10
= (3 y 2 − x 3 y )x = −10 x 2 y .
y
3
Условие выполняется, следовательно, данное
уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Найдем функцию U , используя равенства
U
= 3x − 5 x 2 y 2 ,
x
дифференциальное
U
10
= 3 y 2 − x3 y
y
3
интегрируем первое равенство по x ( y считаем постоянным).
3 2 5 3 2
x − x y +  ( y)
2
3
 ( y ) − произвольная дифференцируемая (по y ) функция. Найдем  ( y ) , для
U ( x, y ) =  (3x − 5 x 2 y 2 )dx =
чего продифференцируем последнее равенство по y

U  3 2 5 3 3
10

=  x − x y +  ( y) = − x 3 y +  ( y) .
y  2
3
3
y
U
10
= 3 y 2 − x 3 y , при равняем
Учитывая, что
y
3
10
10
− x 3 y +  ( y ) = 3 y 2 − x 3 y ,  ( y) = 3 y 2  ( y) = y 3 + C ,
3
3
следовательно
U ( x, y ) =
3 2 5 3 2
x − x y + y3 + C
2
3
Общим интегралом является соотношение
3 2 5 3 2
x − x y + y 3 + C1 = C2
2
3
или
3 2 5 3 2
x − x y + y3 = C
2
3
где
C = C2 − C1
Пример 5.6.
Решить уравнение
y ( IV ) = sin x
Решение:
Проинтегрируем четырежды функцию y = sin x
62
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
x2
y = cos x + C1 + C2 x + C3
2
y = − sin x + C1 x + C2
y = − cos x + C1
1
1
y = sin x + C1 x 3 + C2 x 2 + C3 x + C4
6
2
Пример 5.7. Найти частное решение уравнения ( y) 2 + 2 yy = 0 . x = 1 , y = 1 ,
y = 1 .
Решение:
Уравнение не содержит x . Полагаем y = p = p( y ) , y = p  p и уравнение
запишется
p 2 + 2 yp  p = 0
p + 2 y  p = 0 −
уравнение с разделяющимися переменными
dp
2dp
dy
=0
=−
2 ln p = − ln y + ln C12
dy
p
y
C
dy C1
C
p = 1 y  = p y = 1
=
y dy = C1dx
y
y dx
y
p + 2y
p2 =
C12
y
3
2 2
y = C1 x + C2
3
2
3
 3 3
y = (C1 x + C2 ) y =   (C1 x + C2 ) 3
2
2
3
2
2
Вычислим значение C1 , используя начальные условия
1=
C1
, C1 = 1
1
Определим C2 : y = 1, x = 1, C1 = 1
2
2
1 3
 3 3 
3
1 =  ( x + C2 ) 2 = 3 + C2 , C2 = −1 y =    x − 
3
2
2 
y=
2
3
3 (3 x − 1)
2
2
3
3
2
3
2
3
2
=
1
(3 x − 1) 3 .
3
4
Пример 5.7. Решить дифференциальное уравнение y + 5 y + 6 y = 0 .
Решение:
Корни характеристического уравнения k 2 + 5k + 6 = 0 k1 = −2, k2 = −3 . Общее
решение данного уравнения имеет вид:
y = C1e −2 x + C2e −3 x
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1
 y+2 

 x + y −1
2
y
y
а) xy  sin   + x = y sin  
а) y  = 2
б) xy + ( x + 1) y = 3x 2 e− x
в) xydx + ( x + 1)dy = 0
3
2
x
y(1) = 0
3
2
б) y  + y = 3
x
x
в) xy = 1 + cos 2 y
x
y (1) = 1
4
63
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
а) x( x + 2 y )dx + ( x 2 − y 2 )dy = 0
а) xy = y − 2 x − 2 xy − x 2
б) x 2 y + 2 xy = ln x y(e) = 1
б) y + y = e− x y(0) = 1
в) ( x 2 − 1) y = 2 xy2
в) y = e x − y
5
6
а) y  =
x− y
x − 2y
а)
б) y  sin x − y = 1 − cos x
в) dx − 1 − x 2 dy = 0
7
−y
а) y  = e x +
−x
 
y   = 1 б) y + y = e 2 y(0) = 2
1+ x
2
в) 2 x 1 − y 2 dx + ydy = 0
8
y
x
y
x
б) xy − 3 y = x 4 e x
dx
dy
=
y+x y−x
а) xy  = ln
y(1) = e
в) x( y 2 − 1)dx + y( x 2 − 1)dy = 0
y
x

б) y  − y sin x = e −Cosx sin x y   = 3
2
в) y  =
2 xy
1+ x2
9
а) xy = x 2 + y 2 + y
б) y cos x − 2 y sin x = 2 y(0) = 3
в) y  =
sin y
1+ x2
10
а) xdy − ( x + y )dx = 0
б) yctgx + y = 2 y(0) = −1
в) y  =
ey
x
11
а) ( y 2 − 3x 2 )dy + 2 xydx = 0
б) ( xy  − 1) ln x = 2 y y ( e) = 0
в) x 2 − 1dy − dx = 0
13
а) y =
2
y
xy − x 2
12
y
а) xy  = y cos ln 
 x
б) x( y − y ) = e x + y
в) y = 2 xe− x
14
а) y =
xy − y
x2
2
б) y = 2 x( x 2 + y ) y(0) = 1
б) y  + 2 xy = xe− x
в) xdx − 1 − x 2 dy = 0
15
в) y  = y ln y
а) y =
2
y
x + xy
2
б) y  + ytgx = sin 2 x y (0) = 3
в) xy = 2 y
y (0 ) = 1
2
2
y (0 ) = −
1
2
16
а) ( x + y )dx + ( y − x )dy = 0
x −1
б) x 2 y − y = x 2 + e x y(1) = 2
в) ( y 2 + xy2 )dx + ( x 2 − yx 2 )dy = 0
64
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 6. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Основные понятия
Пусть u1 , u 2 ,  , u n ,  — бесконечная последовательность чисел. Построенное
из этих чисел выражение называется бесконечным рядом, а сами числа
u1 , u2 , u3 , — членами ряда; n-ы член u n — называется общим членом ряда.

u1 + u 2 + u3 +  + u n +  =  u n .
n =1
(6.1)
Сумма первых n-членов ряда называется n-ю частною суммою ряда.
S n = x1 + x2 + .... + xn .
(6.2)
Числовой ряд сходится, если существует предел последовательности
частных сумм ряда:
lim S n = S .
n →
(6.3)
Необходимое условие сходимости числового ряда
Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к 0, то есть:
lim u n = 0.
(6.4)
n →
Теорема
(признак
сравнения
рядов).
Достаточные условия сходимости числового ряда
Если для рядов с положительными членами:

u1 + u2 +  + un +  =  un ,
(6.5)
v1 + v2 +  + vn +  =  vn .
(6.6)
n =1

n =1
Начиная с некоторого номера n выполняется условие vn  un ,
тогда:
а) из сходимости ряда (6.6) следует сходимость ряда (6.5);
b) из расходимости ряда (6.5) следует расходимость ряда (6.6).
Для сравнения чаще выбирают ряды:
 1
1. Гармонический ряд  расходится.
n =1 n
2. Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле):
65
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education

1  p  1, ряд сходится ;
: 

n =1
n p  p  1, ряд расходится .
3. Геометрический ряд

 aq
n −1
:
n =1

Ряд сравнения 
n =1
1
n −1
3
ряд сходится;
 q  1,

 q  1, ряд расходится.
сходится как ряд геометрической прогрессии из
1
1
1
 n −1 .
 1 . Легко убедится, что начиная с n = 4 выполняется условие
n! 3
3
 1
Значит, за признаку сравнения ряд  — сходится.
n =1n!
q=
Теорема
Если для рядов с положительными членами (6.5), (6.6)
u
(признак
существует предел lim n = c (0  c  + ) , то ряды (6.5) и (6.6)
сравнения в
n → vn
предельной
сходятся или расходятся одновременно.
форме).
Теорема
(признак
Даламбера).
Если для ряда

 un
n =1
с положительными членами un  0
un +1
= l , тогда при l  1 ряд сходится;
n →  un
существует предел lim
при l  1 ряд расходится; при l = 1 вопрос о сходимости ряда
признак не решает.

Теорема
Если для ряда  un с положительными членами un  0
(радикальный
n =1
признак
существует предел lim n un = l , тогда: при l  1 ряд сходится;
n →
Коши).
при l  1 ряд расходится; при l = 1 вопрос о сходимости ряда
признак не решает.
Теорема
Если функция f ( x ) непрерывна, положительна и монотонно

(интегральный
убывающая
при
то
ряд
f (n ) и несобственный
x

1
,

признак
n =1
Коши).
+
интеграл  f ( x )dx сходятся или расходятся одновременно.
1
66
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Знакопеременные ряды
Ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное число как
положительных, так и отрицательных членов.
Теорема
(Коши).
Если сходится ряд из абсолютных величин членов
знакопеременного ряда, то сходится и знакопеременный ряд.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если этот ряд
сходится, а ряд из абсолютных величин его членов расходится.
Признак Лейбница
Ряд, каждый член которого отличается знаком от предыдущего,
называется знакопеременным. Этот ряд имеет вид:
a1 − a2 + a3 − a4 +  + (− 1)
n −1

an +  =  (− 1)
n −1
n =1
an .
(6.7)
Общий член ряда (6.7) un = (− 1)n −1 an , де an  0 .
Признак
Если члены знакопеременного ряда совпадают по абсолютной
Лейбница. величине и предел абсолютных величин общего члена ряда равен
нулю, то ряд сходится:
n −1
a  an +1  0   

 n
    (− 1) a — збіжний  .
(6.8)
n


lim an = 0   n =1


 n → 

Степенные ряды
Ряд, членами которого есть функции от х, называется функциональным рядом:
u1 (x ) + u 2 (x ) +  + u n (x ) + 
(6.9)
Все значения аргумента х, при которых функциональный ряд сходится,
называются областью сходимости функционального ряда.
Функциональный ряд называется степенным, если общий член ряда
равен - u n ( x ) = a n x n ; числа a0 , a1 , a2 ,,an , называются коэффициентами
степенного ряда.

a0 + a1 x + a2 x 2 +  + an x n +  =  an x n .
n =1
67
(6.10)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Общий вид степенного ряда:

a0 + a1 (x − c ) + a2 (x − c ) +  + an (x − c ) +  =  an (x − c ) .
2
n
n
n =1
(6.11)
Теорема Если степенной ряд:
Абеля.
1) сходится при x = x0 , то он абсолютно сходится для любого
х, удовлетворяющего неравенству x  x0 ;
2) расходится при x = x1 , то он расходится при всех х,
удовлетворяющих неравенству x  x1 .
Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал, во
всех внутренних точках которого ряд сходится абсолютно x  R , а для всех
точек x  R ряд расходится; при этом число R  0 называется радиусом
сходимости степенного ряда.
Для степенного ряда интервал сходимости (c − R; c + R ) имеет центр
симметии в точке x = с.

Областью сходимости степенного ряда  an x n называется интервал
n =1
(− R; R ) . На концах интервала ряд может сходится или расходится.

Радиус сходимости степенного ряда  an x n находится по формуле:
n =1
1
a
1
R = = lim n , або R = lim
.
l n → an +1
n → n a
n
(6.12)
Замечание. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в
точку при R = 0 , в других охватывает всю Ох при R = .
Замечание. При исследовании ряда (11) интервал сходимости
определяется из соотношения x − c  R, або c-R  x  c + R.
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Какие ряды называются знакочередующимися?
Какие ряды называются условно сходящимися?
Какие ряды называются абсолютно сходящимися?
Сформулируйте признак сходимости Лейбница.
Какой ряд называется степенным?
Какой ряд называется функциональным?
Сформулируйте теорему о почленном интегрировании степенного ряда.
Как найти область сходимости степенного ряда?
Как найти радиус ходимости?
68
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 6.1. Рассмотрим ряд


1
 ln 1+ k 
. Здесь z
k
1
= ln 1+  = ln( k + 1) − ln k ,

k =1
n
Sn = =  z k =
k =1
n
 (ln( k + 1) − ln k ) =
k
ln2 + ( ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + ( ln n – ln(n-
k =1
1)) +
+ ( ln(n+1) – ln n ) = ln (n+1). Очевидно, S n→ +∞ . Значит, ряд
расходится, его сумма равна + ∞.
n
Пример6.2. Пусть z k =(-1) k +1 , S n =  z k = 1 – 1 + … …+ (-1) n +1 . При четных
k =1
n
эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице ; значит,
последовательность {S n} частичных сумм
ряда

z
k =1
k
не имеет предела, ни
конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.
Пример 6.3. Рассмотрим ряд

1
 k! .
При всяком натуральном k
k! ≥ 2 k −1.
k =1
Следовательно, при всех натуральных k
1
1
 k −1
k! 2
1
Ряд   
2
k −1
сходится
(пример 1, q = = ½), значит,сходится и рассматриваемый ряд.
Пример 6.4. Исследуем на сходимость ряд


k =1
производящую функцию : f ( x) =
k +1 − k −1
. Запишем его
k+2
x +1 − x −1
. Выделим ее главную часть при
x+2
х→ +∞ :
1
1
− 1−
x
x ~ 1 + 1 − 1 − 1 = 1 + 1  1 + о 1   − 1 + 1  − 1  + о 1   =
f ( x) =
  

  
х
х  2 х
2
 х   2  х   x 
1+
x
1
1
1
= + о  ~ , х→ +∞.
х
х  х
1+
Итак, С = 1 , λ = 1, поэтому рассматриваемый ряд ведет себя так же, как
гармонический ряд

1
k
, т.е. расходится.
k =1
Пример 6.5. Применим признак Даламбера к ряду
(2k − 1)!!
( 2k − 1)!!
: ak =
,
k
3k k !
3 k!
k =1


(2(k + 1) − 1)!!
ak +1
(2k + 1)!! 3k k!
1
2k + 1 2
3k +1 (k + 1)!
lim
= lim
= lim
= lim
=  1.
k +1
(
2
k
+
1
)!
!
ak
(2k − 1)!! 3 (k + 1)! 3
k +1 3
3k k!
Значит, ряд сходится.
69
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
k2
Пример 6.6.
 k +3
ak = 

k + 2
k2
 k +3
  k + 2  :
Применим радикальный признак Коши к ряду
k
1 
k 
 k +3


, lim ak = lim 
)  = exp  lim
 = exp  lim k ln (1+
 = e 1.
k +2 
k + 2
k + 2


k
Следовательно, ряд расходится.
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
I. Используя признаки сравнения, исследовать сходимость рядов:

1
,

n
n=1

2n
2.  n
,
n =1 5 + 1

1
3.  2
n =1 n − 3n + 4

1
n =1 3 + 1

1.
n
,

n =1 2n − 1

1
,

3
n +1
n =1

1

2 n −1
n =1 ( 2 n − 1)  2

1

n ,
n =1 ( n + 1)  5
6.
7.
8.
2n + 1
,

n
n =1 5 + 1

1
5. 
,
n= 2 ln n

9.
4.


10.  sin
1
11. 

1
1 ( n + 2 )  ( n + 3)

1
13. 
n ,
n =1 n  6

n +1
14. 
,
1 ( n + 2)  n

ln( n + 1)
15.  3
,
n
n =1
12. 
,
2n
n
II. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера:
n−3
,
7n
3

n  ( n + 1)
2. 
,
3n
1

2n + 3
3.  n ,
5
1

1.

n 3 + 2n + 1
4.  n +5 2
,
 ( n + 5)
1 2


5.

(n 2 + 1)  3n
1
n2
3n + 1
6.  n ,
6
1
n
2


7.
3
2 n  n!
1 n n ,

( 2n − 1) !
10. 
,
n!
1

,
9.
2 n −1
11. 
,
1 ( n − 1) !

4 n  n!
12.  n ,
n
1

n
 ( 2n ) ! ,
1

5n
8.  n
,
1 3  ( 2n − 1)
Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Коши:
 2
6.    ,
n =1 n
n
4n − 3 
7.  
 ;
n =1  5n + 1 
 n +1 
 ,
2.  

n =1 2n − 1

n
n
 n +1 
 ,
1.  

n =1 3n − 1


n

70
n
2n + 1 
2
12.  
  (n + 1) ;
3
n
+
1

n =1 

1
13.  sin n n =1 .
2
n =1

Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
n
 2n 2 + 1
3.   2
 ;
n =1  n + 1 


1
 ( ln n)
4.
n= 2
n
n

2n 
9.  
 ;
n =1  3n + 5 
,
n
2n + 1 
5.  
 ;
n =1  3n − 2 

 2n 2 + 2n + 1
8.   2

n =1  5n + 2n + 1 

n
n
n+2
14.  
 ;
n =1  3n − 1 


1
1
15.  n 1 + 
n
n =1 2

10.
n

 n 5
11.  
 ,


n =1 2n + 1
n 
16.  

n =1  10n + 5 
n2
,
n2
;
Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального признака
Коши.

n =1
2
,
6.
2
 1+ n 
2.   2  ,
n =1 n + 1


1
,

n =1 2 n − 1

ln( n + 1)
4. 
,
n2
n =1

n+2
5.  2 ,
n =1 n
3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1
n +1
 ln
,
n −1
n
n =1

1
7.   ,
n =1 n

1
1+ n
1.

2
 1 + n2 
8.   3  ,
n =1  n + 1 

2n − 1
,
n2
n =1

1
10. 
p ,
n=1 (ln n)

9.


n
4 ,
n =1 1 + n
11. 
ln  n
12.  2 ,
n =1 n

1

13. 
n =1

( 2n + 1) 2 − 1
.
ln n
 ,
n =1 n
14. 

1
n =1 (10n − 1)  ln(10n − 1)
15. 
Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:


1,1 − 1,01 + 1,001 − ...
( − 1) n +1  3 n
( − 1) n+1
7. 
,
12. 
,
n

n+2
( − 1) n+1  (n − 1) 2
n =1
n =1 n  5
,



( − 1) n +1
n2 + 1
( − 1) n+1
n =1
13.  4 5 ,
8.   ,

( − 1) n +1
n
n =1
n
n =1
,

n


( − 1) n +1  n10
n

n =1
(
)
−
1

sin
9.
,
14.
,



( − 1) n +1  ln n
n
e10
n =1
n =1
,



( − 1) n +1
( − 1) n +1  ( n + 1)
n n
n =1
10.
,
15.



ln n
( − 1) n
( n + 1) 3 + n
n =1
n =1
,

n
n
n


1
n = 2 n − ln n
1

(
)
−
1

tg
11.
,
(
)
16.  − 1  1 +  ,


( − 1) n +1
n
n
n =1
n =1
 n ,
n =1
3
71
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Основные понятия теории вероятностей
Событие – это всякий факт, который может произойти или не
произойти в результате испытания.
Обозначаются события
алфавита – А, В, С и т. д.
обычно
заглавными
буквами
латинского
Испытание – выполнение определенного комплекса условий, в
которых наблюдается то или иное явление.
Например, испытание – выстрел, событие – попадание, непопадание;
испытание - подбрасывание монеты один раз, событие – появление герба.
Различные события отличают между собой по возможности их
появления и по характеру взаимосвязи. Поэтому существует следующая
классификация событий: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называется событие, которое при данном комплексе
условий обязательно произойдет.
Например, в урне содержится 10 белых шаров. Событие – вынуть из
этой урны белый шар – достоверное.
Невозможным называется событие, которое при данном комплексе
условий никогда не произойдет.
Например, в магазин поступила партия обуви высшего сорта. Событие –
наудачу взятая из этой партии пара обуви будет первого сорта – невозможное.
Случайным называется событие, которое при данном комплексе
условий может произойти или не произойти.
Например, попадание в мишень, выигрыш по лотерейному билету,
погрешность измерения.
Несовместными называются несколько событий, появление одного из
которых исключает появление других.
Например, попадание и промах по мишени при одном выстреле,
выигрыш и проигрыш по одному билету лотереи.
Совместными называются несколько событий, появление одного из
которых не исключает появления других.
72
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Например, если есть два лотерейных билета, событие – выигрыш по
первому билету и событие – выигрыш по другому билету – это совместные
события.
Несколько событий образуют полную группу, если они единственно
возможные (т.е. в результате испытания хотя бы одно из них
обязательно произойдет) и несовместные.
Например, если есть два лотерейных билета, тогда события –
А1 - выигрыш по первому и выигрыш по второму билету,
А2 - проигрыш по первому и выигрыш по второму билету,
А3 - проигрыш по первому и проигрыш по второму билету,
А4 - выигрыш по первому и проигрыш по второму билету
– образуют полную группу.
Равновозможными называются такие события, для которых нет
основания считать, что одно из них более возможно, чем другие.
Например, появление герба или цифры при бросании монеты; появление
любого количества очков от единицы до шести при бросании игральной кости.
Равновозможные события могут появляться только в испытаниях,
обладающих симметрией возможных исходов. Причем при отсутствии такой
симметрии незнание того, какой из исходов более возможен, не может быть
причиной того, чтобы считать исходы равновозможными.
Противоположными называются два события, которые являются
несовместными и образуют полную группу.
Например, появление герба или цифры при одном бросании монеты;
попадание и промах по мишени при одном выстреле, выигрыш и проигрыш по
одному билету лотереи.
Классическое определение вероятности события.
Численная мера объективной возможности наступления события
называется вероятностью события. Определим вероятность математически.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу и
равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами или
случаями. Случай называется благоприятствующим (благоприятным)
событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.
Вероятностью события А называется отношение числа m
элементарных исходов, которые благоприятствуют появлению
события А, к общему числу n всех единственно возможных
несовместных и равновозможных элементарных исходов испытания
m
P( A) = .
(7.1)
n
73
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Свойства вероятности события. Для любого события
0  P( A )  1.
(7.2)
Если А – невозможное событие, то вероятность его появления равна нулю, то
есть Р(А) = 0;
если А – достоверное событие, то вероятность его появления равна единице, то
есть Р(А) = 1;
если А – случайное событие, то вероятность 0 < P(A) < 1.
События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень
велики (близки к единице), называются соответственно практически
невозможными или практически достоверными.
Статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события А называется отношение числа m
испытаний, в которых событие А произошло, к общему числу
проведенных испытаний п
m
W ( A) = .
(7.3)
n
Геометрическое определение вероятности.
Вероятность попадания точки в область g , которая является
подмножеством области G , равна отношению меры области g к мере
всей области G :
P ( A) =
mes g
mes G .
(7.4)
При решении различных задач очень часто приходится представлять
сложные события в виде комбинации более простых событий, используя
операции сложения и умножения событий.
Суммой (или объединением) событий А и В называется событие С,
которое состоит в появлении хотя бы одного события: или события А
или события В, или событий А и В одновременно:
С = А + В= А  В.
(7.5)
Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется
событие D, которое состоит в появлении и события А и события В
одновременно
D = А · В= А  В.
(7.6)
Разностью событий А и В называется событие K, которое состоит в
том, что события А произойдет, а событие В не произойдет
74
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
K = А / В.
(7.7)
Теоремы сложения
Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий).
Вероятность суммы двух несовместных событий равна
вероятностей каждого этих событий:
P ( A + B ) = P( A) + P( B)
сумме
(7.8)
Следствие 1.
Если события А1, А2,…, Ап несовместны, то вероятность суммы
конечного их числа равна сумме вероятностей каждого этих событий:
(7.9)
P ( A1 + A2 + + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + + P( An ) .
Следствие 2.
Если события А1, А2,…, Ап образуют полную группу и несовместны, то
сумма вероятностей этих событий равна единице:
(7.10)
P( A1 ) + P( A2 ) + + P( An ) = 1
Следствие 3.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть
(7.11)
P( A) + P( A) = 1
Замечание.
Если Р(А) = р, Р( A ) = q, то р + q = 1.
Из следствия 3 получаем формулу для вычисления вероятности
противоположного события:
(7.12)
P( A) = 1 − P( A)
Теорема сложения вероятностей (для совместных событий).
Вероятность одновременного появления хотя бы одного из двух
совместных событий равно сумме вероятностей каждого из этих
событий без вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
(7.13)
Теоремы умножения
Два события называются независимыми, если вероятность одного из
них не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них
75
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
зависит от того, произошло другое событие или нет.
Например, если в цеху действуют две автоматические линии не связанные
между собой условиями производства, то остановки этих линий являются
независимыми событиями.
Вероятность события В, найденная при условии, что событие А уже
произошло называется условной вероятностью. Обозначение PA (B ) .
Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий).
Вероятность одновременного появления двух событий равна
вероятности появления одного из них, умноженной на условную
вероятность другого, найденную при условии, что первое событие уже
произошло:
(7.14)
P ( A  B ) = P( A)  PA ( B) = P( B)  PB ( A)
Теорема умножения вероятностей (для независимых событий).
Если события А и В независимые, то
P ( A  B ) = P( A)  P( B)
(7.15)
Следствие.
Вероятность произведения независимых в совокупности событий равна
произведению вероятностей этих событий
(7.16)
P ( A1  A2   An ) = P( A1 )  P( A2 )   P( An ) .
Теорема.
Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 , A2 ,...An ,
независимых в совокупности, равна разности между единицей и
произведением
вероятностей
противоположных
событий
A1 , A2 ,...An :
P( A) = 1 − P( A1 )  P( A2 )  ...P( An )
(7.17)
Формула полной вероятности.
Следствиями теорем сложения и умножения вероятностей являются
формулы полной вероятности и Бейеса.
Формула
Полная вероятность события А, которое может произойти
76
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
полной
вместе с одной из несовместных гипотез H i , образующих
вероятности. полную группу, равна сумме произведений вероятности
каждой гипотезы на условную вероятность события А при
условии выполнения этой гипотезы:
P( A) = P( H1 ) PH1 ( A) + ... + P( H n ) PHn ( A)
(7.18)
Замечание.
Сумма вероятностей всех гипотез должна равняться
единице, так как эти события образуют полную группу несовместных событий.
На практике часто приходиться делать переоценку первоначальных
гипотез. Для этого используют формулу переоценки вероятностей появления
гипотез.
Формулы Бейеса
Формулы Вероятность гипотезы H i , вычисленная после того, как событие А
Бейеса.
произошло, равна произведению вероятности этой гипотезы на
условную вероятность события А при условии выполнения этой
гипотезы, деленному на полную вероятность события А
P ( H i )PH i ( A )
PA ( H i ) =
.
(7.19)
P( A)
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Виды событий.
Сформулируйте классическое определение вероятности.
Сформулируйте статистическое определение вероятности.
Охарактеризуйте и перечислите действия над событиями.
Сформулируйте теоремы сложения.
Сформулируйте теоремы умножения.
Сформулируйте формулу полной вероятности.
Сформулируйте формулу Бейеса.
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример7.1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на
верхней грани появится:
а) число « 2 »; б) четное число; в) число « 7 »; г) не более 6и очков.
Решение. При бросании игральной кости на верхней грани может
появится одна из следующих цифр {1,2,3,4,5,6}
77
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
а) Пусть событие A – на верхней грани появится число « 2 ».
Число благоприятствующих событию A исходов, m = 1 (выпадет 2 );
Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 разных цифр);
P ( A) =
1
;
6
б) Пусть событие B – на верхней грани появится четное число.
Число благоприятствующих событию B исходов, m = 3 (выпадет 2,4,6 );
Число возможных исходов n=6.
P(B ) =
3 1
= ;
6 2
в) Пусть событие C – на верхней грани появится число « 7 ».
Число благоприятствующих событию C исходов, m = 0 (т.к. 7
выпадет);
P (C ) =
не
0
= 0.
6
г) Пусть событие D – на верхней грани появится не более 6и очков.
Число благоприятствующих событию D исходов, m = 6 (т.к. любое
выпавшее число не превышает 6 );
P(D ) =
6
= 1.
6
Пример 7.2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19
попаданий. Относительная частота поражения цели
W ( A) =
19
24 .
Пример7.3. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует
вариантов распределить места между ними.
Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по
местам – равно числу перестановок из четырех элементов: Р4 = 4!= 1  2  3  4 = 24 .
Пример 7.4. Сколько существует вариантов размещения 3 х призовых мест,
если в розыгрыше участвуют 7 команд?
Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций
извлеченных из 7 элементов и включающих по 3 элемента (причем {I–
«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–
«Спартак»}– различные комбинации). Используем число размещений из 7
элементов по 3 :
А73 =
7! 4!5  6  7
=
= 210 .
4!
4!
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Задание 1. Классическое определение вероятности.
1.
В отделе работают 7 мужчин и 3 женщины. В командировку
отобраны 5 человек. Определить вероятность того, что среди них две женщины.
78
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
2. Из шести карточек с буквами И К С Т У Э наугад одну за другой
выбирают четыре карточки и располагают в ряд в порядке появления. Какова
вероятность того, что получится слово «СТУК»?
3.
Совет директоров состоит из трех бухгалтеров и четырех
менеджеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова
вероятность того, что все трое в подкомитете будут менеджеры.
4.
На складе имеется 15 телевизоров, причем 10 из них изготовлены
Симферопольским заводом «Фотон». Найти вероятность, что среди четырех
выбранных наудачу телевизоров, нет изготовленных в Симферополе.
5. В папке 10 квитанций, три из которых заполнены неверно. Наудачу
извлечены 6 квитанций. Найти вероятность того, что среди извлеченных – две
квитанции заполнены неверно.
6. В группе 13 студентов, среди которых 5 отличников. По списку
наудачу отобраны 8 студентов. Найти вероятность того, что среди них трое
отличников.
7. В компьютерном классе 10 машин, 7 из которых подключены к сети
Internet. Наудачу выбраны три машины. Найти вероятность того, что одна из
них подключена к сети Internet.
8. Устройство содержит 7 элементов, из которых три изношены. При
включении устройства включаются случайным образом три элемента. Найти
вероятность того, что включенными окажутся два изношенных элемента.
9. В ящике содержится 10 деталей, из них 4 бракованные. Наудачу
извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных только
одна бракованная.
10. Набирая номер телефона абонент забыл три последние цифры и,
помня лишь, что эти цифры разные набрал их наугад. Найти вероятность того,
что набраны нужные цифры.
11. В чемпионате института по футболу участвуют 6 команд, 4 из которых
представляют факультет экономики. Для жеребьевки декан пригласил трех
капитанов команд, какова вероятность того, что все они с факультета
экономики?
12. В отделе работают 7 мужчин и 3 женщины. В командировку
отобраны 5 человек. Определить вероятность того, что среди них только одна
женщина.
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
1. В мешке смешаны нити, среди которых 80% белые, а остальные –
красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити
окажутся одного цвета.
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение
смены его внимания потребует первый станок равна 0.3, второй – 0.35, третий –
0.15. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего
потребуют какие-либо два станка.
3. Вероятность того, что пришедший в библиотеку студент закажет
учебное пособие по теории вероятностей равна 0.05. Найти вероятность того,
79
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
что среди троих первых студентов, пришедших в библиотеку, только один
закажет учебное пособие по теории вероятностей.
4. Среди производимых рабочим деталей 6% брака. Какова вероятность
того, что среди взятых на испытание четырех деталей хотя бы одна
бракованная.
5. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет
принят первый вызов равна 0.4, второй – 0.7, третий – 0.3. События, состоящие
в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того,
что корреспондент услышит вызов радиста.
6. По цели стреляют два торпедных катера. Вероятность попадания в
цель для первого катера равна 0.7, для второго – 0.85. Для поражения цели
достаточно попадания в нее одной торпеды. Каждый катер делает по одному
выстрелу. Определить вероятность того, что цель поражена.
7. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих
устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство
равна 0.7, второе – 0.9. Найти вероятность того, что при аварии сработает
только одно устройство.
8. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она
окажется бракованной после первой операции равна 0.05, после второй – 0.07,
после третьей – 0.1. Найти вероятность того, что после трех операций деталь
окажется бракованной, предполагая, что появление брака на отдельных
операциях – независимые события.
9. В механизм входят три детали. Работа механизма нарушается, если
хотя бы одна деталь выйдет из строя. Вероятность выйти из строя для первой
детали – 0.1, для второй – 0.15, для третьей – 0.05. Найти вероятность
нормальной работы механизма.
10. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что
студент ответит на первый вопрос равна 0.9, на второй – 0.6, на третий – 0.8.
Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо
ответить по крайней мере на один вопрос.
11. Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре
базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0.7, на
второй – 0.9, на третьей – 0.75, на четвертой – 0.8. Найти вероятность того, что
хотя бы на одной базе не окажется нужного материала.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
1.
Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 4 белых
и 6 красных шаров, во втором 5 белых и 10 красных. Наудачу выбирают один
ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар
окажется белым?
2.
Предприятие имеет три источника поставки комплектующих –
фирмы А, В, С. на долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В
– 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А
80
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
деталей – бракованные, В – 5% и С – 6%. Какова вероятность того, что наугад
взятая деталь стандартная?
3.
В студенческой группе 20 человек. из них 4 человека сдали экзамен
по высшей математике на «отлично», 11 на «хорошо» и 5 на
«удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для
отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Определить
вероятность того, что наудачу выбранный студент не решит задачу.
4.
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9,
для велосипедиста 0.8 и для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что наудачу
выбранный спортсмен не выполнит норму.
5.
В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй – 6 белых и 4
черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из
первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый
шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый.
6.
Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях
выделено из первой группы второго курса 4 студента, из второй группы 6
студентов, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что студент
первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно
равны 0.6, 0.9, 0.5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент не
попадет в сборную.
7.
В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартные. Во втором
ящике 25 деталей, из них 20 стандартные. Найти вероятность того, что наудачу
извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.
8.
Сборщик получил 5 коробок деталей изготовленных заводом №1 и
4 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь
завода №1 стандартна равна 0.9, а завода №2 – 0.72. Сборщик наудачу извлек
деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена
стандартная деталь.
9.
В студенческой группе 25 человек. из них 5 человека сдали экзамен
по высшей математике на «отлично», 12 на «хорошо» и 8 на
«удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для
отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Определить
вероятность того, что наудачу выбранный студент решит задачу.
10. На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина
производит 25% всех изделий, вторая 35%, третья 40%. Брак составляет
соответственно 5%, 4% и 10%. Какова вероятность того, что случайно
выбранная деталь имеет дефект?
11. В группе спортсменов 15 лыжников, 9 велосипедистов и 6 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.95,
для велосипедиста 0.9 и для бегуна 0.7. Найти вероятность того, что наудачу
выбранный спортсмен выполнит норму.
12. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях
выделено из первой группы второго курса 5 студентов, из второй группы 4
81
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
студента, из третьей группы 6 студентов. Вероятности того, что студент первой,
второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны
0.6, 0.9, 0.7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в
сборную.
82
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 8. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Формула Бернулли
Пусть проводится серия из n испытаний (или опытов), в каждом из
которых можно наблюдать появление (или непоявление) события A . Если
вероятность появления этого события в каждом испытании не зависит от
исходов других испытаний этой же серии, то такие испытания называют
независимыми относительно события A .
Например, независимыми будут следующие испытания: выстрелы в
мишень без корректировки; отдельные дни работы конвейера; отдельные
розыгрыши в лотерею и т.д.
Рассмотрим независимые испытания, в которых событие A может
появиться с постоянной вероятностью p . Тогда вероятность противоположного
события A (событие A не наступит) также постоянна в каждом испытании и
равна q = 1 − p .
Определим вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит m
раз. Вначале определим вероятность того, что в первых n испытаниях это
событие наступит, а в остальных n – m испытаниях нет. По формуле
произведения независимых событий (14) получим P( A) = p m q n − m . Это лишь
одна из возможных комбинаций выбора m испытаний из n , в которых может
n!
произойти событие A . Всего таких комбинаций C nm =
. Таким
m! (n − m)!
образом, вероятность того, что событие A наступит в каких-либо m
испытаниях из n определяется по формуле
Pn (m ) = C nm p m q n − m .
(8.1)
Это формула Бернулли. Она удобна лишь для вычислений при
сравнительно небольшом числе испытаний n .
p = 0,1
n = 10
Pn (m)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
1
2
3
4
5
6
7 m
Рис. 8.1. - Многоугольник распределения вероятностей ( p = 0,1 и n = 10 ).
83
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Вероятности (8.1) можно изобразить графически, построив точки с
координатами (m, Pn (m )) и соединив их ломаной. Эта кривая называется
многоугольником распределения вероятностей. На рис. 8.1 построен
многоугольник распределения вероятностей, определяемых по формуле
Бернулли при p = 0,1 и n = 10 . Заметим, что некоторым значениям m
соответствует наибольшая вероятностью Pn (m ) .Число m 0 наступления события
A в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если
вероятность осуществления этого события Pn (m0 ) не меньше вероятностей
Pn (m ) при любом другом m , т.е. Pn (m0 )  Pn (m ) для любого m  m0 .
Используя формулу Бернулли, можно получить двойное неравенство для
определения наивероятнейшего значения m 0 :
np − q  m0  np + p .
(8.2)
Так как разность граничных значений в (8.2) np + p − (np − q ) = 1 , то
всегда существует целое число m 0 , удовлетворяющее этому неравенству. Так,
для распределения на рисунке 1 m 0 = 3 . Если np + p – целое число, то
наивероятнейшими будут два числа: m 0  = np + p и m 0  = np − q .
Формула Пуассона
При больших сериях независимых испытаний, когда n велико, а p –
мало, рекомендуется использовать приближенную формулу Пуассона для
расчета вероятности наблюдения события A в m испытаниях из n :
Pn (m ) 
m
m!
e − ,
(8.3)
где постоянная величина  = np . Можно показать, что (8.3) получается
приближенно из формулы Бернулли при n →  и p → 0 .
Приближенную формулу Пуассона рекомендуется применять вместо
формулы Бернулли, когда n – велико, а p – мало, причем  = np  10
(существуют и другие рекомендации).
Локальная теорема Лапласа
Для вычислений вероятностей появления события A m раз в n
независимых испытаниях, когда n – достаточно велико, можно использовать и
другую приближенную формулу.
84
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Локальная
Если вероятность p наступления события A в каждом
теорема
испытании постоянна, то вероятность Pn (m ) того, что
Лапласа.
событие A наступит в n испытаниях ровно m раз,
приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) значению
функции
Pn (m) 
где x =
m − np
npq
;  (x ) =
1
2
e
−
x2
2
1
npq
 (x ) ,
(8.4)
.
Значения функции  ( x ) для различных положительных значений
x приведены в таблице (приложение 1).
Свойства 1.  (x ) является четной функцией, т.е.  (− x ) =  (x );
функции
2.  (x ) – монотонно убывающая функция при положительных
 (x ) :
значениях x (уже при x  4  (x )  0 ).
Интегральная теорема Лапласа
Как вычислить приближенно вероятность того, что событие A наступит в
n испытаниях не менее m1 и не более m 2 раз? На этот вопрос отвечает
инте6гральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже без
доказательства.
Интегральная Если вероятность p наступления события A в каждом
теорема
испытании постоянна, то вероятность Pn (m1  m  m 2 ) того,
Лапласа.
что событие A наступит в n испытаниях от m1 до m 2 раз,
приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) значению
определенного интеграла
2
Pn (m1  m  m2 ) 
m 2 − np
1
2
m1 − np
x2 − z
e 2

dz = Ô (x 2 ) − Ô (x1 ) ,
(8.5)
x1
1
x
−
z2
2
и x1 =
. Ô (x ) =
 e dz – функция Лапласа (или
npq
npq
2 0
нормированная функция Лапласа). Значения функции Ф(x ) приведены в
таблице (приложение 2) для различных положительных значений x .
где x 2 =
85
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Свойства 1. Ф(x ) является нечетной функцией, т.е. Ф(− x ) = −Ф(x ) ;
функции
2. Ф(x ) - монотонно возрастающая функция при положительных
Лапласа:
значениях x (уже при x  5 Ô (x )  0,5 ).
Рассмотрим следствие из интегральной теоремы Лапласа. По формуле
(8.5) можно рассчитать вероятность того, что абсолютная величина отклонения
m
относительной частоты
появления события A от вероятности p не
n
превысит положительное число  . Эта вероятность приближенно равна
n
удвоенной функции Лапласа при x =  
, т.е.
pq

m

Pn  − p    = 2Ô   
 n


n 
.
pq 
(8.6)
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Сформулируете формулу Бернулли.
Сформулируете формулу Лапласа.
Сформулируете формулу Пуассона.
Сформулируете свойства функции Лапласа Ф(x ) .
Сформулируете свойства функции  (x ) .
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 8.1. Вероятность появления события А в каждом из 7
независимых испытаний постоянна и равна 0.6 . Определить вероятность того,
что:
1) Событие А наступит ровно 5 раз;
2) Событие А наступит не менее 5 раз.
Решение. По условию n = 7 ; p = 0.6 . Т.о. для решения задачи используют
формулу Бернулли.
1)
Вероятность того что событие А наступит 5 раз: k = 5 ;
q = 1 − 0.6 = 0.4 .
Искомая вероятность:
P7 (5) =
7!
7!
 0.6 5  0.4 7 −5 =
 0.6 5  0.4 2 = 0.2613 .
5! (7 − 5)!
5!2!
2) Событие А наступит не менее 5 раз (следовательно событие А
наступит или 5 раз, или 6 раз, или 7 раз). Используем теорему сложения
вероятностей несовместных событий и формулу Бернулли:
P7 (k  5) = P7 (5) + P7 (6) + P7 (7) .
86
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
P7 (5) = 0.2613 ;
7!
7!
 0.6 6  0.4 7 −6 =
 0.6 6  0.4 = 0.1306 ;
6! (7 − 6)!
6!1!
7!
7!
P7 (7) =
 0.6 7  0.4 7 − 7 =
 0.6 7  0.4 0 = 0.0280 .
7! (7 − 7)!
7!0!
P7 (6) =
Искомая вероятность:
P7 (k  5) = 0.2613 + 0.1306 + 0.028 = 0.4199 .
Пример 8.2. Процент всхожести семян 80% . Определить вероятность
того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780 .
Решение. Т.к. процент всхожести семян 80% , то вероятность взойти для
80
= 0.8 . Количество посеянных семян
100
(общее количество испытаний) n = 1000 . Т.к. n  10 и p  0.1 , то используем
каждого семени постоянна и равна p =
локальную теорему Лапласа:
1
Pn (k ) 
npq
  ( x) , где x =
k − np
npq
;
k = 780 ; q = 1 − 0.8 = 0.2 .
780 − 1000  0.8
 −1.58 .
Откуда x =
1000  0.8  0.2
По таблице значений функции  (x ) (приложение 1), учитывая четность
функции, найдем:
 (−1.58) =  (1.58) = 0.1145 .
Искомая вероятность:
P1000 (780) 
1
1000  0.8  0.2
 0.1145  0.0091 .
Пример8.3. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие
постоянна и равна 0.02 . Найти вероятность того, что из 400 произведенных
станком изделий:
1) ровно 3 бракованных;
2) не менее 3 бракованных.
Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и
равна p = 0.02 . Общее количество изготовленных изделий (общее количество
испытаний) n = 400 . Т.к. n  10 и p  0.1 , то используем формулу Пуассона:
Pn (k ) 
k  e −
k!
, где  = np .
1) Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных: k = 3 ;
 = 400  0.02 = 8 .
Искомая вероятность:
P400 (3) 
8 3  e −8 512  0.000335
=
= 0.0286 .
3!
6
87
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
2) Для определения вероятности того, что среди изготовленных деталей
не менее 3 бракованных целесообразно найти вероятность противоположного
события: среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных.
P400 (k  3) = 1 − P400 (k  3) .
Событию, среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных,
благоприятны исходы: 0 бракованных деталей, или 1 бракованная деталь, или
2 бракованных детали.
Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и
формулу Пуассона, найдем вероятность того, что среди изготовленных деталей
меньше 3 бракованных:
P400 (k  3) = P400 (0) + P400 (1) + P400 (2) .
8 0  e −8 1  0.000335
P400 (0) 
=
= 0.000335 ;
0!
1
81  e −8 8  0.000335
P400 (1) 
=
= 0.00268 ;
1!
1
8 2  e −8 64  0.000335
P400 (2) 
=
= 0.01073 ;
2!
2
Следовательно
P400 (k  3) = 0.00034 + 0.00268 + 0.01073 = 0.01375 .
Искомая вероятность:
P400 (k  3) = 1 − 0.01375 = 0.98625 .
Пример 8.4. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в
партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна 0.95 .
Решение. По условию n = 300 , p = 0.95 ; следовательно q = 1 − 0.95 = 0.05 .
Используя неравенство:
np − q  k 0  np + p
имеем
300  0.95 − 0.05  k 0  300  0.95 + 0.95 ;
откуда
284.95  k 0  285.05 .
Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии
из 300 изделий равно k 0 = 285 .
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Повторные независимые испытания по схеме Бернулли
1. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти
вероятность того, что среди 600 взятых наугад изделий 25 бракованных.
2. Вероятность получения хорошего результата при проведении
маркетинговых исследований равна 0.7. Найти вероятность наивероятнейшего
числа удачных исследований, если общее их количество равно 8.
88
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
3. Среди семян ржи имеется 0.2% семян сорняков. Какова вероятность
при случайном отборе 5000 семян обнаружить не более 3 семян сорняков?
4. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0.4. Найти
вероятность того, что при 550 испытаниях успех наступит не менее 210 и не
более 240 раз.
5. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в
течение часа, равна 0.01. Телефонная станция обслуживает 900 абонентов.
Какова вероятность того, что в течение часа позвонят пять абонентов?
6. В первые классы должно быть принято 400 детей. Определить
вероятность того, что среди них окажется 200 девочек, если вероятность
рождения мальчика равна 0.515.
7. Вероятность рождения мальчика равна 0.515, а девочки – 0.485. в
некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не
больше двух девочек.
8. Имеется группа, состоящая из 500 человек. Найти вероятность того,
что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что
вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
9. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти
вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена не менее 230
раз.
10. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый
вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в
урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров
окажется два черных?
11. Известно, что 5% продукции, поставляемой заводом на торговую базу,
не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу поступило 9 изделий.
Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям
стандарта, и вычислить вероятность того, что среди поступивших окажется
наивероятнейшее число годных изделий.
12. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 75 раз в 400
испытаниях, если вероятность события А в каждом испытании равна 0.2.
89
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ТЕМА 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ..
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Понятие случайной величины
Случайной величиной называется такая величина, которая в
результате испытания может принимать одно из своих возможных
значений, причем заранее неизвестно какое.
Например, число мальчиков среди 100 новорожденных; рост человека,
вес угля, выданный на гора за день, дальность полета пули.
Дискретной (прерывной) называется случайная величина, которая
может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга
значения.
Например, число мальчиков среди 100 новорожденных, число звонков
на АТС за час.
Непрерывной называется случайная величина, которая может
принимать любое значение из некоторого определенного интервала.
Например, рост человека, дальность полета пули.
Законом распределения случайной величины называется всякое
соотношение, которое устанавливает связь между возможными
значениями случайной величины и вероятностями их появления.
Закон распределения
аналитическим способами.
можно
задавать
табличным,
графическим,
Ряд распределения – это перечень всех возможных значений
дискретной случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Х
х1
х2
…
хп
Р
р1
р2
…
рп
Замечание. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной
случайной величины равна единице p1 + ... + pn = 1.
Ряд распределения может быть изображен графически.
В прямоугольной системе координат построим точки (x1,p1), (xn,pn) и
соединим их отрезками прямых. Полученную ломаную называют
многоугольником распределения или полигоном.
90
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Функция распределения и плотность распределения
Дискретные и непрерывные случайные величины можно задавать с
помощью интегральной функции распределения.
Интегральной
функцией
распределения
(или
функцией
распределения) называется функция F(x), которая определяет для
каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет
значение, меньшее числа x:
(9.1)
F ( x ) = P( X  x ) .
Свойства интегральной функции распределения
1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0;1]:
0  F ( x)  1 .
2. Функция F (x) - неубывающая, то есть
если x2  x1 , то F ( x2 )  F ( x1 ) .
3. F (−) = 0 , F (+) = 1 .
4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из
интервала (a; b), равна приращению интегральный функции на этом
интервале
P(a < X < b) = F(b) – F(a).
(9.2)
Непрерывные случайные величины можно задавать с помощью
дифференциальной функции.
Дифференциальной функцией или плотностью
называется производная от интегральной функции
f ( x ) = F ( x ) .
вероятностей
(9.3)
Свойства дифференциальной функции распределения
1. Дифференциальная функция неотрицательна, то есть f ( x)  0 .
2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от
−  до +  равен единице:
+
 f ( x) dx = 1.
(9.4)
−
3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет
значение из интервала (a; b), равна определенному интегралу от
плотности распределения на этом интервале
b
P ( a  X  b) =
 f ( x )dx .
a
Связь между дифференциальной и интегральной функциями
91
(9.5)
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
f ( x) = F ( x) ;
x
F ( x) =
 f ( x) dx .
(9.6)
−
Числовые характеристики случайных величин
Числовыми характеристиками случайной величины называются
характеристики, которые в сжатой форме выражают наиболее
существенные особенности распределения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех возможных значений случайной
величины на их вероятности:
n
M ( X ) =  xi pi .
(9.7)
i =1
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х
называется несобственный интеграл
+
M (X ) =
 x f ( x)dx ,
(9.8)
−
где f (x) – дифференциальная функция.
b
Замечание.

Если случайная величина X  (a; b) , то M ( X ) = x f ( x )dx .
a
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой
постоянной:
М(С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
М(СХ) = СМ(Х).
3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных
величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:
М(Х  Y) = М(Х)  M(Y).
4. Математическое ожидание произведения двух независимых
случайных величин равно произведению их математических
ожиданий:
M ( X  Y ) = M ( X )  M (Y ) .
Дисперсией
случайной
величины
92
X
называется
математическое
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ожидание квадрата отклонения случайной
математического ожидания М(Х):
D(X) = M(X - M(X))2.
величины
от
X
Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:
D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X )
1.
ее
(9.9)
Замечание.
Дисперсию дискретной случайной величины Х можно вычислить по
формуле:
n
D( X ) =  xi  pi − M 2 ( X ) .
2
(9.10)
i =1
2.
Дисперсию непрерывной случайной величины Х можно вычислить по
формуле:
+
D( X ) =  x 2 f ( x) dx − M 2 ( X ) ,
(9.11)
−
b
причем если X  (a; b) , то D( X ) =  x 2 f ( x) dx − M 2 ( X )
a
Свойства
дисперсии:
1. Дисперсия константы равна нулю:
D(C) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
возведя его в квадрат:
D(CX) = C2D(X).
3. Дисперсия алгебраической суммы нескольких независимых
случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X  Y) = D(X) + D(Y).
4. Дисперсия есть величина неотрицательная:
D( X )  0 .
Средним квадратическим отклонением случайной величины X
называется корень из дисперсии случайной величины X:
 ( X ) = D( X )
(9.12)
II. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Назовите свойства дисперсии.
2.
Назовите свойства математического ожидания.
3.
Охарактеризуйте связь между интегральной и дифференциальной
функциями.
93
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
4.
Назовите свойства дифференциальной и интегральной
распределения.
функций
III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 9.1. Найти математическое ожидание М ( Х ) , дисперсию D ( X ) и
среднее квадратическое отклонение  ( X ) дискретной случайной величины Х ,
закон распределения которой задан в виде таблицы:
Х
Р
−2
2
0.3
0.1
3
0.2
4
0.3
7
0.1
Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех
возможных значений Х на их вероятности:
М ( Х ) = −2  0.3 + 2  0.1 + 3  0.2 + 4  0.3 + 7  0.1 = 2.1 .
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:
D( X ) = M ( X 2 ) − [ M ( X )]2 .
Составим закон распределения Х 2 :
Х2
Р
4
4
0.3
0.1
9
0.2
16
0.3
49
0.1
Найдем математическое ожидание Х 2 :
М ( Х 2 ) = 4  0.3 + 4  0.1 + 9  0.2 + 16  0.3 + 49  0.1 = 13.1.
Подставив в формулу для вычисления дисперсии М ( Х 2 ) и М ( Х )
найденное ранее, получим:
D( X ) = M ( X 2 ) − [M ( X )]2 = 13.1 − 4.41 = 8.69 .
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
 ( X ) = D( X ) = 8.69  2.948 .
Пример. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
x  −1,
 0,
1
f ( x) =  , − 1  x  1,
2
x  1.
 0,
Найти математическое ожидание M ( X ) и среднее квадратическое
отклонение  ( X ) .
Решение. Найдем математическое ожидание
94
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
1
1
1
1
x2
M ( X ) =  xf ( x)dx =  x  dx =
2
4
−1
−1
=
−1
1 1
− = 0.
4 4
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
b
D( X ) =  ( x − M ( X )) 2 f ( x)dx .
a
Учитывая, что M ( X ) = 0 получим
1
1
1
1
1
D( X ) =  x 2 f ( x)dx =  x 2  dx =  x 2 dx = .
2
3
−1
−1
0
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение
 ( X ) = D( X ) = 1 3 =
1
3
.
Пример 9.2. Дискретные независимые случайные величины заданы
распределениями:
X
P
1
0.4
Y
P
3
0.6
2
4
0.8
0.2
Составить распределение случайной величины Z = X + Y .
Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного
значения X со всеми возможными значениями Y :
z1 = 1 + 2 = 3; z 2 = 1 + 4 = 5; z 3 = 3 + 2 = 5; z 4 = 3 + 4 = 7 .
Найдем вероятности этих возможных значений.
Для того чтобы Z = 4 , достаточно, чтобы величина X приняла значение
x1 = 1 и величина Y - значение y1 = 3 .вероятности этих возможных значений, как
следует из данных законов распределения, соответственно равны 0.4 и 0.8 .
Аргументы X и Y независимы, поэтому события X = 1 и Y = 2
независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е.
вероятность события Z = 1 + 2 = 3 ) по теореме умножения равна 0.4  0.8 = 0.32 .
Аналогично найдем:
P( Z = 1 + 4 = 5) = 0.4  0.2 = 0.08;
P( Z = 3 + 2 = 5) = 0.6  0.8 = 0.48;
P( Z = 3 + 4 = 7) = 0.6  0.2 = 0.12
запишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности
несовместных событий Z = z 2 , Z = z 3 (0.08 + 0.48 = 0.56) :
95
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Z
P
5
0.56
3
0.32
7
0.12
Контроль: 0.32 + 0.56 + 0.12 = 1.
Пример 9.3. Найти эмпирическую функцию по данному распределению
выборки:
xi
1
3
5
ni
10
20
30
и построить ее график.
Решение. Найдем объем выборки n = 10 + 20 + 30 = 60 .
Наименьшая варианта равна единице, следовательно,
F * ( x) = 0 при x  1.
Значение X  3 , а именно x1 = 1 , наблюдалось 10 раз, следовательно,
F * ( x) =
10 1
= при 1  x  3 .
60 6
Значения X  5 , а именно x1 = 1 и x2 = 3 , наблюдались 10 + 20 = 30 раз,
следовательно,
F * ( x) =
30 1
= при 3  x  5 .
60 2
Так как x = 5 наибольшая варианта, то
F * ( x) = 1 при x  5 .
Напишем искомую эмпирическую функцию:
x  1,
 0,
 1 , 1  x  3,

F * ( x) =  6
1
 2 , 3  x  5,
 1,
x  5.

График этой функции изображен на рис.9.3.
F * ( x)
1
1
1
2
Рис. 9.3
6
O
1
3
96
5
x
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
Закон распределения дискретной случайной величины X задан в виде
таблицы.
Найти: 1) математическое ожидание M ( X ) ;
2) дисперсию D ( X ) ;
3) среднее квадратическое отклонение  ( X ) ;
4) начальные и центральные моменты первого, второго и третьего
порядков.
Построить многоугольник распределения.
xi
1.
pi
xi
3.
pi
xi
5.
pi
xi
7.
pi
xi
9.
pi
11.
xi
pi
13.
xi
pi
15.
xi
pi
20
0.2
15
0.2
20
0.1
10
0.2
40
0.1
11
0.2
3
0.1
17
0.3
25
0.3
25
0.3
30
0.4
35
0.3
50
0.2
22
0.4
23
0.1
27
0.1
30
0.2
35
0.1
40
0.1
50
0.1
60
0.1
33
0.1
33
0.5
47
0.2
35
0.1
45
0.2
50
0.3
75
0.3
70
0.5
44
0.2
43
0.1
57
0.1
40
0.2
55
0.2
60
0.1
90
0.1
80
0.1
55
0.1
53
0.2
77
0.3
xi
2.
pi
xi
4.
pi
xi
6.
pi
xi
8.
pi
xi
10.
pi
xi
12.
pi
xi
14.
pi
xi
16.
pi
10
0.1
10
0.3
15
0.1
5
0.1
35
0.1
55
0.1
6
0.2
4
0.2
20
0.3
30
0.1
35
0.3
25
0.4
50
0.5
66
0.2
16
0.1
14
0.3
30
0.2
50
0.2
55
0.1
50
0.1
75
0.1
77
0.1
26
0.5
44
0.2
40
0.1
70
0.1
75
0.4
75
0.3
80
0.2
88
0.4
46
0.1
64
0.1
50
0.3
90
0.3
95
0.1
80
0.1
90
0.1
99
0.2
66
0.1
94
0.2
Система двух случайных величин
Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины
задано таблицей.
Найти: 1) законы распределения составляющих X и Y ;
2) математические ожидания и дисперсии составляющих;
3) коэффициент корреляции;
1.
Y
X
4
9
12
2.
Y
X
7
12
16
6
0.16 0.14 0.35
6
0.13
0.15
0.18
7
0.20 0.10 0.05
8
0.26
0.17
0.11
97
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
3.
10
15
4.
X 5
X 8
Y
Y
5.
7.
9.
11.
13.
15.
13
17
3
0.19 0.11 0.25
10
0.18
0.21
0.04
4
0.15 0.25 0.05
12
0.27
0.17
0.13
9
12
18
Y
X
3
11
14
6.
X
Y
7
0.18 0.02 0.3
11
0.19
0.34
0.07
8
0.21 0.10 0.19
12
0.17
0.18
0.05
10
13
19
Y
X
2
8
17
8.
X
Y
5
0.22 0.18 0.03
12
0.21
0.07
0.15
6
0.12 0.32 0.13
13
0.06
0.32
0.19
11
17
20
Y
X
3
5
12
10.
Y
X
2
0.17 0.06 0.12
13
0.06
0.31
0.07
4
0.24 0.15 0.26
15
0.18
0.17
0.21
12
14
21
Y
X
4
7
15
12.
Y
X
3
0.14 0.27 0.08
14
0.04
0.22
0.09
5
0.23 0.04 0.24
15
0.29
0.08
0.28
13
18
24
Y
X
5
10
14
14.
Y
X
4
0.13 0.21 0.07
15
0.15
0.03
0.16
6
0.08 0.29 0.22
17
0.12
0.31
0.23
11
18
22
Y
X 6
11
15
16.
Y
X
5
0.11 0.22 0.08
16
0.26
0.11
0.07
7
0.21 0.36 0.02
17
0.04
0.39
0.13
Непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией.
Найти: а) дифференциальную функцию f ( x ) и построить ее график;
б) вероятность того, что в результате испытания X примет значение,
принадлежащее интервалу ( ,  ) ;
в) математическое ожидание M ( X ) и среднее квадратическое отклонение
 (X ) .
98
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
1.
x2
0

2

 ( x − 2)
F(X ) = 
9

1


2.
2 x5
x5
 = 3;  = 4.
3.
x 1
 0
2

 ( x − 1)
F(X ) = 
 25

 1
4.
1 x  6
x6
x3
 0
 ( x − 3) 2
F(X ) = 
 9
 1
6.
3 x  6
x6
x4
 0
 ( x − 4) 2
F(X ) = 
 16
 1
 0
 ( x − 5) 2
F(X ) = 
 9
 1
8.
4 x 8
x8
x5
5 x 8
 0
 ( x − 6) 2
F(X ) = 
 9
 1
0

 ( x + 1.5) 2
F(X ) = 
9

1

0

 ( x + 2.1) 2
F(X ) = 
49

1

 0
 ( x + 4) 2
F(X ) = 
 49
 1
x 8
x  −1
−1 x 1
x 1
x  −3
− 3 x  2
x2
x  −4
−4 x3
x3
 0
 ( x + 5) 2
F(X ) = 
 64
 1
x  −5
−5 x 3
x3
 = −2.3;  = 3.
x6
12.
6 x9
x9
 0
 ( x + 6) 2
F(X ) = 
 25
 1
x  −6
− 6  x  −1
x  −1
 = −4.4;  = −1.
x  −1.5
14.
− 1.5  x  1.5
x  1.5
0


F ( X ) = ( x − 1.6) 2

1

x  1.6
1.6  x  2.6
x  2.6
 = 1;  = 2.6.
 = 3;  = 4.
15.
 0
2

 ( x + 3)
F(X ) = 
 25

 1
10.
 = 7;  = 8,5.
13.
 0
 ( x + 1) 2
F(X ) = 
 4
 1
 = −1.5;  = 1.5.
 = 5.5;  = 8.
11.
x2
 = −2;  = 2.
 = 5;  = 6.9.
9.
−2 x2
 = 0;  = 1.
 = 4;  = 5.
7.
x  −2
 = −1;  = 2.
 = 0;  = 6.
5.
 0
 ( x + 2) 2
F(X ) = 
 16
 1
x  −2.1
16.
− 2.1  x  4.9
x  4.9
 = −1.5;  = 4.
0

 ( x − 2.2) 2
F(X ) = 
9

1

x  2.2
2.2  x  5.2
x  5.2
 = 3;  = 5.2.
Функция двух случайных аргументов.
Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y .
Найти закон распределения случайной величины Z = X + Y .
1.
X
p
2.
X
p
3.
X
p
1
0.1
2
0.6
1
0.2
3
0.7
4
0.1
3
0.7
5
0.2
6
0.3
6
0.1
99
Y
p
Y
p
Y
p
12
0.5
11
0.2
10
0.6
13
0.1
12
0.5
12
0.1
15
0.4
14
0.3
13
0.3
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Y
X
4.
1
2
5
13
p
p
0.5
0.1
0.4
0.1
Y
X
5.
3
4
7
13
p
p
0.1
0.7
0.2
0.4
Y
X
6.
4
6
8
10
p
p
0.2
0.6
0.2
0.6
Y
X
7.
5
7
9
19
p
p
0.4
0.2
0.4
0.2
Y
X
8.
5
6
8
18
p
p
0.3
0.4
0.3
0.1
Y
X
9.
3
5
7
17
p
p
0.4
0.1
0.5
0.1
Y
X
10.
2
4
8
21
p
p
0.1
0.2
0.7
0.6
Y
X
11.
0
1
3
25
p
p
0.1
0.6
0.3
0.8
Y
X
12.
1
2
5
0
p
p
0.7
0.1
0.2
0.1
Y
X
13.
0
2
4
5
p
p
0.2
0.6
0.2
0.2
Y
X
14.
1
7
9
0
p
p
0.1
0.4
0.5
0.7
Y
X
15.
0
10
20
4
p
p
0.2
0.6
0.2
0.1
Y
X
16.
9
10
11
0
p
p
0.3
0.1
0.6
0.2
100
17
0.1
16
0.1
18
0.3
21
0.6
20
0.8
19
0.7
25
0.3
27
0.1
3
0.3
7
0.3
2
0.1
14
0.7
1
0.7
19
0.8
18
0.5
20
0.1
23
0.2
21
0.1
21
0.2
27
0.1
28
0.1
4
0.6
10
0.5
10
0.2
34
0.2
3
0.1
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. –
Москва : Наука, 2003. – 870 с.
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учебное пособие для студентов вузов /
В. Е. Гмурман. – изд. 7-е., доп. – Москва : Высшая школа, 2006. – 405 с.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика /
В. Е. Гмурман. – 7-е изд., стер. – Москва : Высшая школа, 2000. – 479 с.
4. Горелова Г. В. Теория вероятностей и математическая статистика. В
примерах и задачах с применением Excel / Г. В. Горелова, И. А. Кацко. –
Ростов н/Д : Феникс, 2002. – 400 с.
5. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 1 :
Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве : учебное пособие
для вузов / И. А. Каплан. – 5-е изд., стер. – Харьков : Харьк. ун-т, 1973. –
203 с.
6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 3:
Интегральное исчисление функции одной независимой переменной.
Интегрирование дифференциальных уравнений / И. А. Каплан. – Харьков :
Высшая школа, 1974. – 374 с.
7. Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие для
студ. вузов / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – Изд. 4-е, перераб. и доп. –
Москва : Наука, 1975. – 624 с.
8. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие
для вузов / В. П. Минорский. – 13-е изд. – Москва : Наука, 1987. – 352 с.
9. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. – 4-е
изд., стер. – СПб : Лань, 2001. – 736 с.
10. Шипачев В. С. Высшая математика: рекоменд. М-вом образования и науки
РФ учебник для студентов высшых учебных заведений. / В. С. Шипачев;
М-во образования и науки РФ. – Москва : Высшая школа, 2010. – 479 с.
11. Шипачев В. С. Высшая математика. – 5-е изд., стер. – Москва : Высшая
школа, 2001. – 479 с.
1.
101
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
1 −
e
Таблица значений функции  ( x ) =
2
 (x )
0,80 0,28969
1,20
0,19419
1,60 0,11092
2,00 0,05399
0,41 0,36678
0,81 0,28737
1,21
0,19186
1,61 0,10915
2,01 0,05292
0,39886
0,42 0,36526
0,82 0,28504
1,22
0,18954
1,62 0,10741
2,02 0,05186
0,03
0,39876
0,43 0,36371
0,83 0,28269
1,23
0,18724
1,63 0,10567
2,03 0,05082
0,04
0,39862
0,44 0,36213
0,84 0,28034
1,24
0,18494
1,64 0,10396
2,04 0,04980
0,05
0,39844
0,45 0,36053
0,85 0,27798
1,25
0,18265
1,65 0,10226
2,05 0,04879
0,06
0,39822
0,46 0,35889
0,86 0,27562
1,26
0,18637
1,66 0,10059
2,06 0,04780
0,07
0,39797
0,47 0,35723
0,87 0,27324
1,27
0,17810
1,67 0,09893
2,07 0,04682
0,08
0,39767
0,48 0,35553
0,88 0,27086
1,28
0,17585
1,68 0,09728
2,08 0,04586
0,09
0,39733
0,49 0,35381
0,89 0,26848
1,29
0,17360
1,69 0,09566
2,09 0,04491
0,10
0,39695
0,50 0,35207
0,90 0,26609
1,30
0,17137
1,70 0,09405
2,10 0,04398
0,11
0,39654
0,51 0,35029
0,91 0,26369
1,31
0,16915
1,71 0,09246
2,11 0,04307
0,12
0,39608
0,52 0,34849
0,92 0,26129
1,32
0,16694
1,72 0,09089
2,12 0,04217
0,13
0,39559
0,53 0,34667
0,93 0,25888
1,33
0,16474
1,73 0,08933
2,13 0,04128
0,14
0,39505
0,54 0,34482
0,94 0,25647
1,34
0,16256
1,74 0,08780
2,14 0,04041
0,15
0,39448
0,55 0,34494
0,95 0,25647
1,35
0,16038
1,75 0,08628
2,15 0,03955
0,16
0,39387
0,56 0,34105
0,96 0,25164
1,36
0,15822
1,76 0,08478
2,16 0,03871
0,17
0,39322
0,57 0,33912
0,97 0,24923
1,37
0,15608
1,77 0,08329
2,17 0,03788
0,18
0,39253
0,58 0,33718
0,98 0,24681
1,38
0,15395
1,78 0,08183
2,18 0,03706
0,19
0,39181
0,59 0,33521
0,99 0,24439
1,39
0,15183
1,79 0,08038
2,19 0,03626
0,20
0,39104
0,60 0,33322
1,00 0,24197
1,40
0,14973
1,80 0,07895
2,20 0,03547
0,21
0,39024
0,61 0,33121
1,01 0,23955
1,41
0,14764
1,81 0,07754
2,21 0,03470
 (x )
0,00
0,39894
0,40 0,36827
0,01
0,39892
0,02
x
x
102
x
 (x )
 (x )
x
 (x )
x
 (x )
x2
2
x
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Продолжение приложения 1
1 −
e
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ  ( x ) =
2
 (x )
1,02 0,23713
1,42
0,14556
1,82 0,07614
2,22 0,03394
0,63 0,32713
1,03 0,23471
1,43
0,14350
1,83 0,07477
2,23 0,03319
0,38762
0,64 0,32506
1,04 0,23230
1,44
0,14146
1,84 0,07341
2,24 0,03246
0,25
0,38667
0,65 0,32297
1,05 0,22988
1,45
0,13943
1,85 0,07206
2,25 0,03174
0,26
0,38568
0,66 0,32086
1,06 0,22747
1,46
0,13742
1,86 0,07074
2,26 0,03103
0,27
0,38466
0,67 0,31874
1,07 0,22506
1,47
0,13542
1,87 0,06943
2,27 0,03034
0,28
0,38361
0,68 0,31659
1,08 0,22265
1,48
0,13944
1,88 0,06814
2,28 0,02965
0,29
0,38251
0,69 0,31443
1,09 0,22025
1,49
0,13147
1,89 0,06687
2,29 0,02898
0,30
0,38139
0,70 0,31225
1,10 0,21785
1,50
0,12952
1,90 0,06562
2,30 0,02833
0,31
0,38023
0,71 0,31006
1,11 0,21546
1,51
0,12758
1,91 0,06438
2,31 0,02768
0,32
0,37903
0,72 0,30785
1,12 0,21307
1,52
0,12566
1,92 0,06316
2,32 0,02705
0,33
0,37780
0,73 0,30563
1,13 0,21069
1,53
0,12376
1,93 0,06195
2,33 0,02643
0,34
0,37654
0,74 0,30339
1,14 0,20831
1,54
0,12188
1,94 0,06077
2,34 0,02582
0,35
0,37524
0,75 0,30114
1,15 0,20594
1,55
0,12001
1,95 0,05959
2,35 0,02522
0,36
0,37391
0,76 0,29887
1,16 0,20357
1,56
0,11816
1,96 0,05844
2,36 0,02463
0,37
0,37255
0,77 0,29659
1,17 0,20121
1,57
0,11632
1,97 0,05730
2,37 0,02406
0,38
0,37115
0,78 0,29430
1,18 0,19886
1,58
0,11450
1,98 0,05618
2,38 0,02349
0,39
0,36973
0,79 0,29200
1,19 0,19652
1,59
0,11270
1,99 0,05508
2,39 0,02294
 (x )
0,22
0,38940
0,62 0,32918
0,23
0,38853
0,24
x
x
103
x
 (x )
 (x )
x
 (x )
x
 (x )
x2
2
x
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Продолжение приложения 1
1 −
e
Таблица значений функции  ( x ) =
2
x2
2
x
 (x )
x
 (x )
x
 (x )
x
 (x )
x
 (x )
2,40 0,02239
2,70
0,01042
3,00
0,00443
3,30
0,00172
3,60
0,00061
3,90
0,00020
2,41 0,02186
2,71
0,01014
01
0,00430
3,31
0,00167
3,61
0,00059
3,91
0,00019
2,42 0,02134
2,72
0,00987
02
0,00417
3,32
0,00161
3,62
0,00057
3,92
0,00018
2,43 0,02083
2,73
0,00961
03
0,00405
3,33
0,00156
3,63
0,00055
3,93
0,00018
2,44 0,02033
2,74
0,00935
04
0,00393
3,34
0,00151
3,64
0,00053
3,94
0,00017
2,45 0,01984
2,75
0,00909
05
0,00381
3,35
0,00146
3,65
0,00051
3,95
0,00016
2,46 0,01936
2,76
0,00885
06
0,00370
3,36
0,00141
3,66
0,00049
3,96
0,00016
2,47 0,01888
2,77
0,00861
07
0,00358
3,37
0,00136
3,67
0,00047
3,97
0,00015
2,48 0,01842
2,78
0,00837
08
0,00348
3,38
0,00132
3,68
0,00046
3,98
0,00014
2,49 0,01797
2,79
0,00814
09
0,00337
3,39
0,00127
3,69
0,00044
3,99
0,00014
2,50 0,01750
2,80
0,00792
3,10
0,00327
3,40
0,00123
3,70
0,00042
2,51 0,01709
2,81
0,00770
3,11
0,00317
3,41
0,00119
3,71
0,00041
2,52 0,01667
2,82
0,00748
3,12
0,00307
3,42
0,00115
3,72
0,00039
2,53 0,01625
2,83
0,00727
3,13
0,00298
3,43
0,00111
3,73
0,00038
2,54 0,01585
2,84
0,00707
3,14
0,00288
3,44
0,00107
3,74
0,00037
2,55 0,01545
2,85
0,00687
3,15
0,00279
3,45
0,00104
3,75
0,00035
2,56 0,01506
2,86
0,00668
3,16
0,00271
3,46
0,00100
3,76
0,00034
2,57 0,01468
2,87
0,00649
3,17
0,00262
3,47
0,06097
3,77
0,00033
2,58 0,01431
2,88
0,00631
3,18
0,00254
3,48
0,00094
3,78
0,00031
2,59 0,01394
2,89
0,00613
3,19
0,00246
3,49
0,00090
3,79
0,00030
2,60 0,01358
2,90
0,00595
3,20
0,00238
3,50
0,00087
3,80
0,00029
2,61 0,01323
2,91
0,00578
3,21
0,00231
3,51
0,00084
3,81
0,00028
x
 (x )
104
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Продолжение приложения 1
1 −
e
Таблица значений функции  ( x ) =
2
x2
2
 (x )
x
 (x )
x
 (x )
3,22
0,00224
3,52
0,00081
3,82
0,00027
0,00545
3,23
0,00216
3,53
0,00079
3,83
0,00026
2,94
0,00530
3,24
0,00210
3,54
0,00076
3,84
0,00025
0,01191
2,95
0,00514
3,25
0,00203
3,55
0,00073
3,85
0,00024
2,66
0,01160
2,96
0,00499
3,26
0,00196
3,56
0,00071
3,86
0,00023
2,67
0,01130
2,97
0,00485
3,27
0,00190
3,57
0,00068
3,87
0,00022
2,68
0,01100
2,98
0,00470
3,28
0,00184
3,58
0,00066
3,88
0,00021
2,69
0,01071
2,99
0,00457
3,29
0,00178
3,59
0,00063
3,89
0,00021
 (x )
x
 (x )
2,62
0,01289
2,92
0,00562
2,63
0,01256
2,93
2,64
0,01223
2,65
x
x
105
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
106
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица значений функции Ф( x ) =
x
Ф( x )
x
Ф( x )
Ф( x )
x
1
2
2
x − z
e 2

dz
0
x
Ф( x )
x
Ф( x )
0,00
0,0000
0,30
0,1179
0,60
0,2257
0,90
0,3159
1,20
0,3849
0,01
0,0040
0,31
0,1217
0,61
0,2291
0,91
0,3186
1,21
0,3869
0,02
0,0080
0,32
0,1255
0,62
0,2324
0,92
0,3212
1,22
0,3883
0,03
0,0120
0,33
0,1293
0,63
0,2357
0,93
0,3238
1,23
0,3907
0,04
0,0160
0,34
0,1331
0,64
0,2389
0,94
0,3264
1,24
0,3925
0,05
0,0199
0,35
0,1368
0,65
0,2422
0,95
0,3289
1,25
0,3944
0,06
0,0239
0,36
0,1406
0,66
0,2454
0,96
0,3315
1,26
0,3962
0,07
0,0279
0,37
0,1443
0,67
0,2486
0,97
0,3340
1,27
0,3980
0,08
0,0319
0,38
0,1480
0,68
0,2517
0,98
0,3365
1,28
0,3997
0,09
0,0359
0,39
0,1517
0,69
0,2549
0,99
0,3389
1,29
0,4015
0,10
0,0398
0,40
0,1554
0,70
0,2580
1,00
0,3413
1,30
0,4032
0,11
0,0438
0,41
0,1591
0,71
0,2611
1,01
0,3438
1,31
0,4049
0,12
0,0478
0,42
0,1628
0,72
0,2642
1,02
0,3461
1,32
0,4066
0,13
0,0517
0,43
0,1664
0,73
0,2673
1,03
0,3485
1,33
0,4082
0,14
0,0557
0,44
0,1700
0,74
0,2703
1,04
0,3508
1,34
0,4099
0,15
0,0596
0,45
0,1736
0,75
0,2734
1,05
0,3531
1,35
0,4115
0,16
0,0636
0,46
0,1772
0,76
0,2764
1,06
0,3554
1,36
0,4131
0,17
0,0675
0,47
0,1808
0,77
0,2794
1,07
0,3577
1,37
0,4147
0,18
0,0714
0,48
0,1844
0,78
0,2823
1,08
0,3599
1,38
0,4162
0,19
0,0753
0,49
0,1879
0,79
0,2852
1,09
0,3621
1,39
0,4177
0,20
0,0793
0,50
0,1915
0,80
0,2881
1,10
0,3643
1,40
0,4192
107
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 2
Таблица значений функции Ф( x ) =
x
Ф( x )
x
Ф( x )
Ф( x )
x
1
2
2
x − z
e 2

dz
0
x
Ф( x )
x
Ф( x )
0,21
0,0832
0,51
0,1950
0,81
0,2910
1,11
0,3665
1,41
0,4207
0,22
0,0871
0,52
0,1985
0,82
0,2939
1,12
0,3686
1,42
0,4222
0,23
0,0910
0,53
0,2019
0,83
0,2967
1,13
0,3708
1,42
0,4236
0,24
0,0948
0,54
0,2054
0,84
0,2995
1,14
0,3729
1,44
0,4251
0,25
0,0987
0,55
0,2088
0,85
0,3023
1,15
0,3749
1,45
0,4265
0,26
0,1026
0,56
0,2123
0,86
0,3051
1,16
0,3770
1,46
0,4279
0,27
0,1064
0,57
0,2157
0,87
0,3078
1,17
0,3790
1,47
0,4292
0,28
0,1103
0,58
0,2190
0,88
0,3106
1,18
0,3810
1,48
0,4306
0,29
0,1141
0,59
0,2224
0,89
0,3133
1,19
0,3830
1,49
0,4319
1,50
0,4332
1,80
0,4641
2,20
0,4861
2,80
0,4974
1,51
0,4345
1,81
0,4649
2,22
0,4868
2,82
0,4976
1,52
0,4357
1,82
0,4656
2,24
0,4875
2,84
0,4977
1,53
0,4370
1,83
0,4664
2,26
0,4881
2,86
0,4979
1,54
0,4382
1,84
0,4671
2,28
0,4887
2,88
0,4980
1,55
0,4394
1,85
0,4678
2,30
0,4893
2,90
0,4981
1,56
0,4406
1,86
0,4686
2,32
0,4898
2,92
0,4982
1,57
0,4418
1,87
0,4693
2,34
0,4904
2,94
0,4984
1,58
0,4429
1,88
0,4699
2,36
0,4909
2,96
0,4985
1,59
0,4441
1,89
0,4706
2,38
0,4913
2,98
0,4986
1,60
0,4452
1,90
0,4713
2,40
0,4918
3,00
0,49865
1,61
0,4463
1,91
0,4719
2,42
0,4922
3,20
0,49931
108
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 2
Таблица значений функции Ф( x ) =
x
Ф( x )
Ф( x )
x
2
x − z
e 2
1

2 0
x
dz
Ф( x )
Ф( x )
x
1,62
0,4474
1,92
0,4726
2,44
0,4927
3,40
0,49966
1,63
0,4484
1,93
0,4732
2,46
0,4931
3,60
0,199841
1,64
0,4495
1,94
0,4738
2,48
0,4934
3,80
0,499928
1,65
0,4505
1,95
0,4744
2,50
0,4938
4,00
0,499968
1,66
0,4515
1,96
0,4750
2,52
0,4941
4,50
0,499997
1,67
0,4525
1,97
0,4756
2,54
0,4945
5,00
0,499997
1,68
0,4535
1,98
0,4761
2,56
0,4948
1,69
0,4545
1,99
0,4767
2,58
0,4951
1,70
0,4554
2,00
0,4772
2,60
0,4953
1,71
0,4564
2,02
0,4783
2,62
0,4956
1,72
0,4573
2,04
0,4793
2,64
0,4959
1,73
0,4582
2,06
0,4803
2,66
0,4961
1,74
0,4591
2,08
0,4812
2,68
0,4963
1,75
0,4599
2,10
0,4821
2,70
0,4965
1,76
0,4608
2,12
0,4830
2,72
0,4967
1,77
0,4616
2,14
0,4838
2,74
0,4969
1,78
0,4625
2,16
0,4846
2,76
0,4971
1,79
0,4633
2,18
0,4854
2,78
0,4973
109
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица значений критерия Пирсона  (n, )
2

0.995
0.990
0.975
0.950
0.900
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.0039 0.0158
2.71
3.84
5.02
6.63
7.88
N
1
0.000039 0.00016 0.00098
2
0.0100
0.0201
0.0506
0.1026 0.2107
4.61
5.99
7.38
9.21
10.60
3
0.0717
0.115
0.216
0.352
0.584
6.25
7.81
9.35
11.34
12.84
4
0.207
0.297
0.484
0.711
1.064
7.78
9.49
11.14
13.28
14.86
5
0.412
0.554
0.831
1.15
1.61
9.24
11.07
12.83
15.09
16.75
6
0.676
0.872
1.24
1.64
2.20
10.64
12.59
14.45
16.81
18.55
7
0.989
1.24
1.69
2.17
2.83
12.02
14.07
16.01
18.48
20.28
8
1.34
1.65
2.18
2.73
3.49
13.36
15.51
17.53
20.09
21.96
9
1.73
2.09
2.70
3.33
4.17
14.68
16.92
19.02
21.67
23.59
10
2.16
2.56
3.25
3.94
4.87
15.99
18.31
20.48
23.21
25.19
11
2.60
3.05
3.82
4.57
5.58
17.28
19.68
21.92
24.73
26.76
12
3.07
3.57
4.40
5.23
6.30
IS.55
21.03
23.34
26.22
28.30
13
3.57
4.11
5.01
5.89
7.04
19.81
22.36
24.74
27.69
29.82
14
4.07
4.66
5.63
6.57
7.79
21.06
23.68
26.12
29.14
31.32
15
4.60
5.23
6.26
7.26
8.55
22.31
25.00
27.49
30.58
32.80
16
5.14
5.81
6.91
7.96
9.31
23.54
26.30
28.85
32.00
34.27
18
6.26
7.01
8.23
9.39
10.86
25.99
28.87
31.53
34.81
37.16
20
7.43
8.26
9.59
10.85
12.44
28.41
31.41
34.17
37.57
40.00
24
9.89
10.86
12.40
13.85
15.66
33.20
36.42
39.36
42.98
45.56
30
13.79
14.95
16.79
18.49
20.60
40.26
43.77
46.98
50.89
53.67
40
20.71
22.16
24.43
26.51
29.05
51.81
55.76
59.34
63.69
66.77
60
35.53
37.48
40.48
43.19
46.46
74.40
79.08
83.30
88.38
91.95
80
51.17
53.54
57.15
60.39
64.28
96.58 101.88
106.63 112.33
116.32
100
67.33
70.06
74.22
77.93
82.36
118.50 124.34
129.56 135.81
140.17
120
83.85
86.92
91.58
95.70 100.62
140.23 146.57
152.21 158.95
163.64
110
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Квантили распределения Стьюдента t (n )

0.80
0.60
0.50
0.40
0.20
0.10
0.05
0.02
0.01
0.325
0.289
0.277
0.271
0.267
0.265
0.263
0.262
0.261
0.260
0.260
0.259
0.259
0.258
0.258
0.258
0.257
0.257
0.257
0.257
0.257
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.255
0.254
0.254
0.254
0.253
0.727
0.617
0.584
0.569
0.559
0.553
0.549
0.546
0.543
0.542
0.540
0.539
0.538
0.537
0.536
0.535
0.534
0.534
0.533
0.533
0.532
0.532
0.532
0.531
0.531
0.531
0.531
0.530
0.530
0.530
0.529
0.527
0.526
0.525
0.524
1.000
0.816
0.765
0.741
0.727
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
0.684
0.684
0.683
0.683
0.683
0.681
0.679
0.677
0.676
0.675
1.376
1.061
0.978
0.941
0.920
0.906
0.896
0.889
0.883
0.879
0.876
0.873
0.870
0.868
0.866
0.865
0.863
0.862
0.861
0.860
0.859
0.858
0.858
0.857
0.856
0.856
0.855
0.855
0.854
0.854
0.851
0.848
0.845
0.843
0.842
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.303
1.296
1.290
1.286
1.282
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.684
1.671
1.660
1.652
1.645
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.021
2.000
1.984
1.972
1.960
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.423
2.390
2.364
2.345
2.326
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.306
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.660
2.626
2.601
2.576
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
100
200

111
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
112
Кафедра высшей и пркладной математиким ДонНУЭТ
http://matemat.donnuet.education
Учебно-методическое издание
Иванисенко Наталья Сергеевна
Бадекин Максим Юрьевич
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
(МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Методические рекомендации для проведения практических занятий
для студентов направления подготовки 38.03.01 Экономика
(Профили: Маркетинг, Маркетинг услуг, Рекламный бизнес, Экономика
предприятия) образовательной программы ВПО «бакалавриат», очной, заочной
форм обучения по интегрированным учебным планам
Технический редактор
Осипов Е.А.
Сводный план 2019 года, поз. № 594
Подписано к печати_______ г. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Times New Roman. Печать – ризография.
Усл. печ. л. 13,75 . Уч.-изд. л.
.
Тираж
экз. Заказ №
.
ГОВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли
имени Михаила Туган-Барановского»
283050, г. Донецк, ул. Щорса, 31.
Редакционно-издательский отдел УИИИТ
283023, г. Донецк, ул. Харитонова, 10.
Телефон: +38 (062) 297-60-45
Свидетельство о внесении в Государственный реестр издательств,
изготовителей и распространителей издательской продукции ДК № 3470 от
28.04.2009 г.
113

similar documents