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误差理论与测量平差基础
复习
主讲:王华
1
第一章 绪论
2
观测误差
• 测量(观测)数据:用一定的仪器、工具、传感器或其它
手段采集、获取反映地球或其他实体空间分布有关信息的
数据,包含信息和干扰或误差两部分。信息就是有用的数
据,干扰也称为误差。
• 测量误差:对某量进行测量时,其测量结果(即观测值)
与该量客观存在的真正大小(即真实值)或理论上应满足
的数值(即应有值)之间的差异。
• 真实值和应有值通称真值,从概率与数理统计的观点看就
是观测值的数学期望
3
观测误差的分类
• 偶然误差:在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系
列观测,观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即从
表面上看,误差的大小和符号均呈现偶然性,但就大量误
差总体而言,具有一定的统计规律。
• 系统误差:在相同的观测条件下作一系列观测,误差在大
小、符号上保持系统性,或在观测过程中按一定的规律变
化,或者为某一常数。
• 粗差:明显歪曲测量结果的误差(粗大误差),指比在正
常观测条件下所可能出现的最大误差还要大的误差,通俗
的说,粗差要比偶然误差大好几倍。
4
多余观测与不符值
• 必要观测(t):确定某些未知量所必需进行的观测。如
测定一条边长,只需丈量一次;确定某三角形的形状,只
需测定任意两个内角即可。
• 多余观测(r):确定某些未知量所进行的观测中多于必
要观测的观测。如测量某边n次,就多余了n-1次观测;
确定某三角形的形状,测量了三个内角,多余了一次观测。
(作用:发现粗差;提高精度)
• 不符值(或闭合差)与多余观测:由于有了多余观测,才
使得各次观测偶然误差引起的矛盾得以暴露。
5
第2章 误差分布与精度指标
6
偶然误差的特性小结
1. 在一定的观测条件下,误差
的绝对值有一定的限值,或
者说,超出一定限值的误差,
其出现的概率为零;
2. 绝对值较小的误差比绝对值
较大的误差出现的概率大;
3. 绝对值相等的正负误差出现
的概率相同;
4. 偶然误差的数学期望为零。
7
精度
• 精度:指误差分布的密集或离散的
程度,也就是指离散程度的大小。
• 假如两组观测成果的误差分布相
同,便是两组观测成果的精度相同;
反之,若误差分布不同,则精度也
就不同。
• 在相同的观测条件下所进行的一
组观测,由于它们对应着同一种误
差分布,因此,对于这一组中的每
一个观测值,都称为是同精度观测
值。
8
衡量精度的指标
q=
n
1. 方差与中误差
sˆ =
åD
2
i
i=1
n
s=
2
s
p
p
2
q
4 ü
» 0.7979s » s ï
5 ï
ý
5
ï
» 1.253q » q ï
þ
4
n
1. 平均误差
2. 或然误差
qˆ =
+r
òr
-
3. 极限误差
åD
i
i=1
n
1
f ( D) dD =
2
△限=3σ
4. 相对误差:中误差与观测值之比
2 ü
r » 0.6745s » s ï
3 ï
ý
3 ï
s » 1.4826 r » r ï
2 þ
sˆ
D
=
1
D
sˆ
9
• 作业:综合练习题2.6.17-19(P4)
10
第三章 协方差传播律
11
协方差传播律
• 在实际测量工作中,往往有些未知量不是直接测定,而是
由观测值按一定函数关系计算出来的,即某些未知量是直
接观测值的函数。
• 协方差传播律:阐述观测值与其函数之间方差或协方差传
播规律的关系式。
12
小结
• 协方差传播律:观测值向量X=[X1,X2, …,Xn],其协方差
阵为
DZZ  K DXX K T
t ,t
t ,n
n,n
n ,t
DYY  F DXX F T
r ,r
Z = K X + K0
t1
tn n1
t1
Y = F X + F0
r1
rn n1
r ,n n,n
n,r
DYZ = F DXX K T
r,t
r,n
n,n
n,t
DZY  K DXX F T
t ,r
t ,n
n,n
n,r
r1
13
例3-2:设X为独立观测值L1、L2和L3的函数 X = 1 L1 + 2 L2 + 4 L3
7
7
已知L1、L2和L3的中误差是 s 1 = 3mm, s 2 = 2mm, s 2 =1mm
7
求函数的中误差。
解:因为L1、L2和L3是独立观测值,所以有
æ1ö 2 æ2ö 2 æ4ö 2
2
s x = ç ÷ s 1 + ç ÷ s 2 + ç ÷ s 3 = 0.84
è 7ø
è 7ø
è 7ø
s x = 0.9mm
2
2
2
14
例3-3:设在测站A上,已知 ÐBAC = a ,设无误差,
观测角1和2的中误差 s 1 = s 2 =1.4¢¢ ,协方差 12  1(秒2 )
求角x的中误差
思考:协方
差如何影响
误差传播?
15
例3-5:设有函数 Z = F1 X + F2 Y ,已知X和Y的协方差阵 DXX和 DYY ,X关于Y的互
协方差阵为 DXY ,求Z的方差阵和Z关于X及Y的互协方差阵。
t1
tn n1
t r r1
n n
r r
n r
解:
Z = [ F1
éXù
F2 ] ê ú
ëY û
由协方差传播律得: DZZ = [ F1
éD
F2 ] ê XX
ë DYX
DXY ùéF1T ù
úê T ú
DYY ûëF2 û
由此得: D = F D F T + F D F T + F D F T + F D F T
ZZ
1 XX 1
1 XY 2
2 YX 1
2 XX 2
X、Y可写成
éX ù
X = [ I 0]ê ú
ëY û
éX ù
Y = [0 I ]ê ú
ëY û
éXù
Z = [ F1 F2 ] ê ú
ëY û
DZX = F1DXX + F2 DYX ü
ý
DZY = F1DXY + F2 DYY þ
DZX = [ F1
DZY = [ F1
éD
F2 ] ê XX
ë DYX
é DXX
F2 ] ê
ë DYX
DXY ùé I ù
úê ú
DYY ûë0û
DXY ùé0ù
úê ú
DYY ûë I û
DZZ = F1DXX F1T + F2 DYY F2T ü
ï
若X、Y独立,则:D = F D
ý
ZX
1 XX
ï
DZY = F2 DYY
þ
16
三、非线性函数的情况
• 设有观测值X的非线性函数Z=f(X),已知X的协方差阵为DXX,
需求Z的方差DZZ。
• 解:假定X的近似值 Xn 1  X , X  X
0
0
1
0
2

0 T
n
在X°处按台劳级数展开,并略去二次以上各项,则得
 f 
 f 
 f 
0
0
 X n  X n0




Z  f X , X ,, X  
X1  X1  
X 2  X 2    


 X 1  0
 X 2  0
 X n  0

令:
0
1
0
2
0
n
K  k1 k2



 f 

 kn   
 X 1 0




 f  
 f 
 

  
 X 2 0
 X n 0 
 f  0
X i
k0  f X ,X , ,X   
i 1  X i 

得:
0
1
0
2
0
n

n
Z  k1 X1  k2 X 2   kn X n  k0  KX  k0
DZZ  KDXX K T
17
æ ¶f ö
令 dZ = Z - Z , dXi = Xi - X , ki = ç ÷
è ¶Xi ø Xi0
0
0
i
则有:
 f 
 f 
 f 
 dX n  KdX
 dX 1  
 dX 2    
dZ  
 X 1  0
 X 2  0
 X n  0
• 因为,求DZZ时只要求出K即可,所以,可以用求全微分的
方法得到K,再用协方差传播定律求出函数的方差。
• 由以上推导知,求非线性函数的方差—协方差矩阵比求线
性函数的方差—协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。
18
协方差传播律计算规则
1. 按要求写出函数式
2. 对函数式求全微分
3. 将微分关系写成矩阵形式
4. 应用协方差传播律求方差或协方差阵
练习:习题集P5:3.2.07
19
二、书本方法
20
作业:P7:3.3.24/26/28/30
21
3.权与定权的常用方法
22
一、权的定义
• 权是表示观测值方差之间的比例关系的数字特征,是表征精度
的相对数字指标。
• 设有一系列观测值Li(i=1,2, …,n),它们的方差是σi,如果
选定任意常数σ0,则观测值的权定义为:
s 02
pi = 2
si
• 各观测值权之间的比例关系
 02  02
 02 1 1
1
p1 : p2 :  : pn  2 : 2 :  : 2  2 : 2 :  : 2
1  2
 n 1  2
n
• 对于一组观测值,其权之比等于相应方差的倒数之比 ,方差越
小,权值越大,精度越高。
• 权值的大小与σ0有关,但各权的比例关系不变
23
定权的注意事项
1. 选定了一个值  02 ,即有一组对应的权。或者说,有一组
权,必有一个对应的  02 值。
2. 一组观测值的权,其大小与 02 有关,但权之间的比例关
系不变, 即 p1 : p 2 :  : p n  p1 : p 2 :  : p n
3. 在同一个问题中只能选定一个 02 值,否则,破坏了权
之间的比例关系 。
4. 只要事先给定一定的观测条件,就可以确定出权的数值。
24
二、单位权中误差
• 单位权:权值为1的权。
• 单位权中误差:权为1的观测值的中误差,即中误差等于σ0。
• 单位权观测值:权等于1的观测值。
• 单位权方差因子:即σ02
• 权的量纲:
– 在确定一组同类元素观测值的权时,选取的单位权中误差的单位与观测
值中误差的单位一致,所定出的一组权是无量纲的数值,即此时的权无
单位。
– 在确定一组含有两种及其以上不同元素观测值的权时,如角度和长度,
若选取的单位权中误差的单位是秒,则角度观测值的权是无量纲的,而
长度观测值权的量纲则是“秒2/mm2”或其它形式。
25
一、协因数
• 权是一种比较观测值之间精度高低的指标,可以用权来比较各个观测
值函数之间的精度,也存在根据观测值的权来求观测值函数权的问题。
• 由权的定义可知,观测值的权与方差成反比。
• 对于观测值Li和Lj
1  


pi  
2
1 j

Q jj 
 2
pi  0 

 ij

Q ij  2

0

Q ii 
2
i
2
0
 i2   02 Q ii 

或  2   2 Q 
j
0
jj

 ij   02 Q ij 
Qii 和Qjj 是观测值Li 和Lj 的协因数(权倒数)
Qij是观测值Li 和 Lj 的互协因数(互相关权倒数)
pij 是观测值Li 和Lj 的相关权。
Qii 是比较观测值精度高低的一种指标
Qij是比较观测值间相关程度的一种指标
26
二、协因数阵
• 将协因数的概念扩展到对于观测向量X、Y,则:
QXX 
n ,n
1
 02
DXX
n ,n
 x21
 2 
0
 


 xn x1
 2 
 0
x x 

 02  Qx x
1 n
 


 x2n  Qxn x1

 02 
1 1

 y21
 y1 yr
 2 
2


0
 0
1
QYY  2 DYY   
 
r ,r
 0 r ,r 
 y2r
 yr y1
 2 
2


0
 0
 Qx1xn 

 

 Qxn xn 


 Qy1 y1  Qy1 yr 

 



 
 Qyr y1  Qyr yr 


27
二、协因数阵
QXY 
n ,n
1

2
0
DXY
n ,n
 y1 yr
 x1 y1
 2 
2


0
 0
 
 

 xn y1   xn yr
 2
 02
 0

 Q
 Qx1 yr 
  x1 y1

 
 

 

 Qxn y1  Qxn yr 


2
0
DXY = s
2
0
QXX
QYY
rr
QXY
nr
T
∵ DXY = DYX
o QXY为X关于Y的互协因数阵(相关权逆阵)
o 非对角元素是Xi 关于Xj (i≠ j )的相关权倒数
DYY = s
ü
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
þ
nn
o QXX和QYY为X和Y的协因数阵(权逆阵)
o QXX中的对角元素是各个Xi 的权倒数
DXX = s
2
0
T
\QXY = QYX
若
T
QXY = QYX
=0
X/Y互相独立
28
三、权阵
• 一个观测值的权与协因数互为倒数
Qii 
1
 pi1
pi
• N个观测值组成的向量X的权阵为:
1
PXX  Q XX
 p11  p1n 
  
  
 pn1  pnn 
• 权阵为对称方阵,且 PXX QXX  I
• 协因数与权互为倒数,协因数阵与权阵互为逆矩阵
29
三、权阵
• 相关观测值的协方差矩阵、权阵、协因数阵的关系
PXX  Q
1
XX
 p11  p1n 
  
  
 pn1  pnn 
观测值相关时,协因数阵和权阵不是对角阵,
协因数阵主对角线上的元素为观测值的权倒数,
权阵主对角线上的元素不是该观测值的权,
权阵的各个元素不再具有权的含义了。
2  1
例题3-10 已知L1/L2的协因数阵Q  

 1 3 
求其权阵及各观测值的权
解:L的权阵为:P  Q 1  1 
3 1
5 1 2
L1的权为: P1  Q111  1 / 2
30
• 作业:P9-10:3.4.39/41/45
31
线性函数协因数传播律
DYY  FDXX F T
DZZ  KD XX K T
DYZ  FDXX K T
QYY  FQXX F T
QZZ  KQ XX K T
QYZ  FQXX K
Y  FX  F 0
Z  KX  K 0
 02QYY  F  02QXX F T
 02QZZ  K  02QXX K T
 02QYZ  F  02QXX K T
协因数传播律的表达形式与
协方差传播完全相同,所以
将两者合称为广义传播律。
T
综合练习题讲解
32
第四章 平差数学模型与最小二
乘原理
33
常用几何模型的必要观测数
• 确定两点间的距离:t=1
• 确定两点连线的方向:t=1
• 确定一点的高程:t=1
• 确定一点的平面坐标:t=2
• 确定一点的三维坐标:t=3
• 有m个待定点的水准网:t=m
• 有m个待定点的平面导线(网):t=2m
• 有m个待定点的三角网:t=2m
• 有m个待定点的三维导线(网):t=3m
图4-2
34
函数模型的定义
• 函数模型是描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型
• 函数模型一般分为几何模型和物理模型
• 未知量的选择视实际平差问题而定,可以是观测量的真值,
也可以是t个独立参数
• 观测方程:描述观测量与t个独立未知参数之间关系的函
数
35
非线性函数的线性化
• 设有函数
~ ~
F  F( L , X )
c ,1
n ,1 u ,1
• 为了线性化,需要取参数的近似值XO
~
X  XO  ~
x
~
L  L
~
x和均要求是微小量
• 同时考虑到
• 按台劳公式展开时略去二次和二次以上的项,只取至一次项,则有
F
F  F ( L  , X 0  ~
x )  F ( L, X 0 )  ~
L
F
A ~
c ,n
L
L, X 0
F1 
 F1 F1

 ~
~
~ 
Ln 
 L1 L2
F2 
 F2 F2

~
~ 
  L~

L

L
1
2
n 

   
Fc 
 Fc Fc

~
~
~ 
 L

L

L
2
n  L, X 0
 1
F
B ~
c ,u
X
F
 ~
X
L, X 0
L, X 0
 F1
 ~
 X 1
 F2
  X~
 1

 Fc
 X~
 1
F  F ( L, X 0 )  A  B~
x
~
x
L, X 0
F1

~
X 2
F2

~
X 2
 
Fc

~
X 2
F1 
~ 
X u 
F2 
~
X u 

Fc 
~
X u  L , X 0
36
一、随机模型
• 随机模型:描述平差问题中随机量(如观测量)及其相互间统
计相关性质的模型。
• 观测不可避免地带有偶然误差,观测量是随机变量,描述随机
变量的精度指标是方差或中误差(标准差),描述两个随机变
量之间相关性的是协方差,方差、协方差是随机变量的统计性
质。
• 对于观测向量L,其随机模型是指L的方差-协方差阵
D   02 Q   02 P
nn
nn
1
nn
• 测量平差中一般认为观测量是随机量,参数是非随机量
37
二、数学模型
• 平差的数学模型包含函数模型和随机模型两部分,函数模型给
出的观测值与未知量间的函数关系,顾及观测值的先验方差和
协方差,确定观测值的协因数阵或权阵,按最小二乘原理作出
未知量的最佳估计值。
• 条件平差数学模型
A W  0
r , n n ,1
r ,1
W  A L  A0
其中
r ,n n ,1
r,1
r ,1
• 间接平差数学模型
 B~
x l
n ,1
n ,t t ,1
n ,1
D   02 Q   02 P -1
n, n
n ,n
n ,n
D   02 Q   02 P 1
高斯-马尔科夫模型,
简称G-M模型
~
其中 l  L  BX 0  d  L  L0 , ~
x  X  X0
38
二、数学模型
• 附有参数的条件平差数学模型
A  B ~
x  W  0 , D   02 Q   02 P 1
c ,n n ,1
c ,u u ,1
c ,1
c ,1
0
W

AL

BX
 A0
其中
• 附有限制条件的间接平差数学模型
 B~
x l 
n ,1
n , u u ,1 n ,1 
C~
x  Wx  0 
s , u u ,1
s ,1
s ,1

D   02 Q   02 P 1
其中 l  L  BX 0  d  L  L0 Wx  CX 0  A0
39
~
~
上述的平差函数模型都是用真误差   L  L 和未知量真值 ~x  X  X 0
表达的,真值是未知的,按最小二乘原理平差可求出它们的最佳估值,即
ˆ  L V ,
L
ˆ  X 0  xˆ
X
V是的平差值,称为改正数,在讨论V的统计性质时又称V为残差。
xˆ 为~
x 的平差值,它是X0的改正数。
在以后各章中,通常以平差值直接代替真值,为此,平差模型为:
1、条件平差:
2、间接平差:
AV W  0
r ,n n ,1
r ,1
作业题—4.2.09; 4.2.11
V  B xˆ  l
n ,1
n ,t t ,1
n ,1
作业题—4.3.13; 4.3.14
ˆ W  0
3、附有参数的条件平差: A V  B x
c ,n n ,1
c ,u u ,1
c ,1
c ,1
V  B xˆ  l 
n , u u ,1 n ,1 
n ,1

4、附有限制条件的间接平差: C xˆ  Wx  0 
s , u u ,1
s ,1
s ,1

40
二、最小二乘原理
1. 最小二乘法
匀速运动的质点在时刻τ的位置y表示为:
yˆ  aˆ  ˆ
为了得到 ˆ和ˆ ,观测了一组i和yi,由上式可
以得到一组改正数:
vi  ˆ ˆ  yi ,
令:
 y1 
1
 

y 
1
Y   2 , B  
n ,1
 n,2 
 

y 
1
 n

(i  1,2,, n)
1 
 v1 

 
ˆ
 2  ˆ  
 v2 


,
X

,
V

 2,1  ˆ  n ,1   

 
v 
 n 
 n
则误差方程可以写为:V  BXˆ  Y
间接平差函数模型
41
问题:用什么准则来对参数进行估计?
V  BXˆ  Y
•最小二乘原理
n
n

 p    pi aˆ   i ˆ  yi
i 1
或
2
i i
i 1

V T V  BXˆ  Y
  min
2
 BXˆ  Y   min
T
42
2. 最小二乘估计与极大似然估计
极大似然法是数理统计中求母体参数点估计的一个常用方法,这种方法
的主要想法是这样的:如果在一次观测中,某一事件出现了,那么,可
以认为此事件出现的可能性是很大的。因此,自然希望所取的参数,能
使相应的子样出现的概率为最大。这种在要求子样出现的概率为最大的
前提下,来求未知参数估计量的方法称为极大似然法。
设L1,L2,…Ln是一组相互独立的观测值。 Li服从正态分布。
 1 
 
 L  E L    2  ,
 
 
n 
  12  12

  12  22
D  DLL 
 

 1n  2 n
  1n 

  2n 
  
  n2 
由极大似然估计准则知,其似然函数(即L的正态密度函数)为
G
1
2 n / 2 D 1/ 2

或: 1nG  1n 2 
 1

T
exp L   L  L   L 
 2

n/2
D
1/ 2
 12 L    D
T
L
1
L   L 
43

1nG  1n 2 
n/2
D
1/ 2
 12 L    D
T
L
1
L   L 
ˆ 作为μL的估值量。上式右
按最大似然估计的要求,应选取能使lnG取得极大值时的 L
边第一项是常量,第二项前是负号,只有当该项取得极小值时lnG才能取得极大值,
亦即的估值量V应满足如下条件:
VT D 1V  min
考虑到
1
D   02 P ,上式等价于
V T PV  min
极大似然估计与最小二乘估计结果一致。
44
第五章 条件平差
45
条件平差模型
• 函数模型
~
A L  A0  0
r , n n ,1
或
r ,1
r ,1
AV W  0
1. 条件方程个数等于多余观测数
r=n-t
2. r<n,改正数条件方程不能求得V
的唯一解
3. 条件平差就是要求在满足r个条件
2
2 -1
D


Q


• 随机模型 nn
0
0 P
nn
nn
方程的情况下,按最小二乘原理
求V的最或然值,从而求出观测量
的最或然值(条件极值问题)
• 平差准则 V T PV  min
46
公式汇编
条件平差的函数模型和随机模型是 AV  W  0
D   02Q   02 P 1
条件方程:
AV  W  0
法方程:
N aa K  W  0
改正数方程:
V  P 1 AT K  QAT K .
观测量平差值:
Lˆ  L  V .
平差值函数:
ˆ  f ( Lˆ 1 , Lˆ 2 , , Lˆ n )
权函数式为
单位权方差的估值:
平差值函数的方差:
N aa  AQAT
f
dˆ  f 1 dLˆ 1  f 2 dLˆ 2    f n dLˆ n , ( f i 
)Li
ˆ
Li
V T PV
V T PV
ˆ 
,ˆ o 
r
r
2
0
ˆ 2ˆ   02 Qˆ ˆ   02 [ f T Qf  ( AQf )T N aa1 AQf ]
47
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例
1. 根据平差问题的具体情况,列出r个相互独立的条件方程。
2. 根据条件式的系数和闭合差及观测值的权组成法方程,
法方程的个数等于多余观测数 r。
3. 解算法方程,求出联系数 K 值。
4. 将K代入改正数方程,求出V值,并求出平差值。
5. 为了检查平差计算的正确性,将平差值代入平差值条件
方程,看其是否满足方程。
48
例5-1 等精度观测了图5-1中的三个内角,观测值:
L1  421220 , L2  780909 , L3  593840。
试按条件平差求三个内角的平差值。
解:n=3,t=2,r=n-t=1,其平差值条件方程为
ˆ L
ˆ L
ˆ  180  0
L
1
2
3
以 Lˆ i  Li  vi 代入上式得改正数条件方程
v1  v 2  v 3  9  0
w  (L1  L2  L3 180)  9"
图5-1
 v1 
1 1 1v 2   9  0
 v 3 
将条件方程写成矩阵的形式:
设各内角的权相等,p1  p2  p3  1,则有P=I,
法方程的系数阵为
法方程为
改正数
Naa  AP-1AT  AAT  3
3k+9=0,k=-3。
T
V  QAT K   3  3  3
31
 Lˆ 1   L1   v1   421217 
ˆ      

L 2   L 2   v 2   780906
 Lˆ   L   v   593837 

 3  3  3 
ˆ L
ˆ L
ˆ  180  0
检验: L
1
2
3
49
例5-2 在图5-2中,A、B为已知水准点,HA=12.013m,HB=10.013m,可视为无
误差。为确定C、D点的高程,共观测了四个高差,
高差及路线长如下:
h1=-1.004m ,S1=2km,h2=1.516m,S2=1km,
h3=2.512m,S3=2km,h4=1.520m,S4=1.520km,
求C和D点的高程。
解:n=4,t=2,r=n-t=2,可列两个条件方程:
hˆ 1  hˆ 2  hˆ 3  H A  H B  0 

hˆ 2
 hˆ 4
 0
将 hˆi  hi  vi
令1km观测高差的权为单位权,即
则法方程系数阵为
pi 
代入得
1
Si
2

1 1  1 0  0
1 T
N aa  AP A  

0 1 0  1 0

0
0
1
0
0
 v1 
 
 1 1  1 0  v 2   0 
0 1 0  1 v     4   0

 3
 
 
v 4 
0 0  1
0
0 0   1
1  5 1 

2 0   1 0  1 2.5


0 1.5  0  1
1   ka   0 
 1 2.5   k    4   0

 b   
法方程为 5
解得ka=-0.35,kb=1.74。
50
则改正数方程为 V=P-1ATK,即
 v1  2
 v  0
 2  
 v 3  0
  
 v 4  0
0
1
0
0
0  1
0
 0.70
0 0   1
1   0.35  1.39 

mm


2 0   1 0   1.74   0.70 




0 1.5  0  1
  2.61
0
观测量的平差值为: hˆ 1  1.004  0.0007  1.0047m
hˆ 2  1.516 0.00139 1.5174m
hˆ  2.512 0.0007  2.5127m
3
hˆ 4  1.520 .00261 1.5174m
代入平差值方程检验:
-1.0047+1.5174-2.5127+12.013-10.013=0
1.5174-1.5174=0
HA=12.013m,HB=10.013m,求得:
HC=HA+(-1.0047)=11.0083m
HD=HB+2.5127=12.5257m
51
一、测角网条件方程
• 图5-4中,A、B为已知点,观测了9个水平角,两个未知点
(必要观测值t=4),多于观测数r=5,可列出5个条件方
程。
• 测角网的基本条件方程有三类:
1. 图形条件(内角和条件-3个):指每个闭合的平面多边
形中,诸内角平差值之和应等于其应用值。图5-4可列出
三个图形条件,即
aˆ i  bˆi  cˆ i  180  0 ,( i  1,2 ,3 )
图形条件的列法有很多,选择最简单的条件方程列立
52
一、测角网条件方程
• 图5-4中,A、B为已知点,观测了9个水平角,两个未知点
(必要观测值t=4),多于观测数r=5,可列出5个条件方
程。
• 测角网的基本条件方程有三类:
2. 圆周条件(水平条件-1个):对于中点多边形来说,仅
满足图形条件还不能保证它的几何图形能够完全闭合,
因此,还需要列出圆周条件。
cˆ1  cˆ 2  cˆ 3  360  0
或:
53
一、测角网条件方程
• 图5-4中,A、B为已知点,观测了9个水平角,两个未知点(必要观测
值t=4),多于观测数r=5,可列出5个条件方程。
• 测角网的基本条件方程有三类:
3. 极条件(边长条件-1个):在图5-4中,满足上述四个条件方程的角
值,还不能使几何图形完全闭合,即由已知边AB和上述四个条件方
程解算出的平差值计算CD边长时,从两个方向推得的两个结果不同。
平差值应满足相应几何图形的要求,即由不同路线推算得到的同一
边长的长度应相等,即:
以D点为极,列出各图形边长
比的积为1,称之为极条件
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
C D  AB
sina1 sina 2
sinb1 sinb3
 AB
sincˆ 1 sinbˆ 2
sincˆ 1 sinaˆ 3
或: sinaˆ 1 sinaˆ 2 sinaˆ 3  1
sinbˆ 1 sinbˆ 2 sinbˆ 3
此即: DB DA DC


1
DA DC DB
54
例5-4 在图5-6中,9个同精度观测值为
a 1  305239.2, b1  421641 .2, c1  1065040.6 

a 2  334054.8, b 2  205826.4, c 2  1252037.2
a 3  234512.5, b 3  282607.9, c 3  1274839.0 

试列出条件方程。
解:n=9,t=2×4-4=4,r=5,可列三个图形条件,一个圆周条件,一个极条件。
va1  vb1  vc1  1.0  0
va2  vb2  vc2  1.6  0
va3  vb3  vc3  0.6  0
vc1  vc2  vc3  3.2  0
cota1va1  cota2 va2  cota3 va3  cotb1vb1  cotb2 vb2  cotb3 vb3
 (1 
sinb1 sinb2 sinb3
)ρ  0
sina1 sina2 sina3
代入数字,得到极条件为:
1.67va1 1.50va 2  2.27va3 1.10vb1  2.61vb2 1.85vb3  33.12  0
55
例5-5 图5-7为一大地四边形,试列出条件方程。
解:n=8,t=4,r =4,组成三个图形条件,一个极条件:
v a1  v b1  v a 2  v b 4  w a  0 

图形条件:
v b1  v a 2  v b 2  v a 3  w b  0
v b 2  v a 3  v b3  v a 4  w c  0
图5-7
极条件列立:假定AB边已知
AB AC AD


1
AC AD AB
O
或
sinaˆ 2sin (aˆ 3  bˆ 3 )sinaˆ 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
sin (aˆ 1  b1 )sinb 2sinb 3
线性化形式为: cota2 va2  cot(a3  b3 )(va3  vb3 )  cota1va1 
cot(a1  b1 )(va1  vb1 )  cotb2 vb2  cotb3 vb3  wd  0
整理得: [cota1-cot(a1  b1 )]va1 -cot(a1  b1 )vb1  cota2 va2
 cotb2 vb2  cot(a3  b3 )va3  [cot(a3  b3 )  cotb3 ]vb3  wd  0
sin(a1  b1 )sinb2sinb3
w d  (1 
)  
sina 2sin(a3  b3 )sina1
56
总结
• 三角形中有一个多余观测值,可以列一个图形条件
• 大地四边形中有四个多余观测值,应列三个图形条件和一
个极条件
• 中点n边形有(n+2)个多余观测值,应列n个图形条件,
一个圆周条件和一个极条件
57
二、测边网条件方程(角度闭合法)
• 按角度闭合法列出测边网图形条件的基本思想是:利用观测边
长求出网中的内角,列出角度间应满足的条件,然后,以边长
改正数代换角度改正数,得到以边长改正数表示的图形条件。
1. 以角度改正数表示的条件方程
大地四边形:
平差值条件方程:
ˆ1  ˆ2  ˆ3  0
v 1  v 2  v 3  w  0
以角度改正数表示:
w  1   2   3
中点三边形:
v 1  v 2  v 3  w  0
以角度改正数表示:
w  1   2   3  3600
58
2、角度改正数与边长改正数的关系式
由图5-10三角形知 S a2  Sb2  S c2  2Sb S c cos A
全微分
2S a dS a  (2Sb  2S c cos A)dSb  (2S c  2Sb cos A)dS c  2Sb S c sin AdA
dA 
S a dS a  ( Sb  S c cos A)dSb  ( S c  Sb cos A)dS c
Sb S c sin A
 Sb S c sin A  Sb hb  (2倍三角形面积)  S a ha ,
Sb  S c cos A  S a cos C ,
S c  Sb cos A  S a cos B,
1
dA  (dS a  cos CdS b  cos BdS c ) (5-2-15)
ha
将微分换成相应的改正数,则得角度改正数方程
 
vA 
(vs a  cos Cvs b  cos Bvs c ) (5-2-16)
ha
(5-2-14)
角度改正数方程的规律:任意
一角(例如A角)的改正数等
于其对边(Sa边)的改正数与
两个夹边(Sb ,Sc边)的改正
数分别与其邻角余弦(Sb边邻
角为C角,Sc边邻角为B角)乘
积负值之和,再乘以ρ″为分子,
以该角至其对边之高(ha)为
分母的分数。
59
3、以边长改正数表示的图形条件方程
按上述规律,测边大地四边形角β1、β2及β3的角度改正数方程为
 
(vs  cos ABCvs  cos ACBvs )
h1
 
 (vs  cos ACDvs  cos ADCvs )
h2
 
 (vs  cos ABDvs  cos ADBvs )
h3
v 
5
v
6
2
4
1
1
v
2
3
1
2
3
3
式中h1、h2及h3分别是从A点向 i角对边所作的高。将上列三式代入(5-2-12)
即得四边形的以边长改正数表示的图形条件:
 (
cos ABD cos ABC
cos ACB cos ACD

)vs 1   (

)v s 2
h3
h1
h1
h2
  (
cos ADB cos ADC
 
 
 

)v s 3  v s 4 
vs 5  vs 6  w  0,
h3
h2
h3
h1
h2
(5-2-17)
60
图5-9中中心多边形角β1、β2及β3的角度改正数方程分别为
v 
1
v 2
v
3
 
(vs 1  cos DABvs 4  cos ABDvs 5 )
h1
 
(vs 2  cos DBCvs 5  cos DCBvs6 )

h2
 
(vs 3  cos DACvs 4  cos ACDvs 6 )

h3
式中h1、h2及h3分别是从D点向角对边所作的高。将上列三式代入 (5-2-13),
即得四边形的以边长改正数表示的图形条件:
 
h1
vs1 
 
h2
vs2 
 
h3
vs3   (
cos DAB cos DAC

)v s 4
h1
h3
(5-2-18)
cos DBA cos DBC
cos DCB cos DCA
  (

)vs5   (

)v s6  w  0
h1
h2
h2
h3
61
4、图形条件系数和闭合差的单位以及角度与三角形高的计算
(1)边长改正数、系数与闭合差的单位
一般取边长改正数的单位为cm,高h的单位为km,ρ″取2.062,而闭合
差的单位为秒。
(2)角度与三角形高的计算
A
r
B
r
C
r
tg 
, tg 
, tg 
2 p  Sa
2 P  Sb
2 p  S,
p  ( S a  Sb  S c ) / 2,
r
( p  S a )( p  Sb )( p  S c )
p
ha  Sb sin C  S c sin B 

hb  S a sin C  S c sin A
hc  S a sin B  Sb sin A
(5-2-20)
(5-2-19)
三、以坐标为观测值的条件方程
• 数字化是数字化仪或扫描仪对地面点坐标数字化得出的坐
标值,该坐标值是仪器机械坐标系统的坐标,经坐标变换
得到地面坐标系统的坐标值。
1. 直角与直线型的条件方程
条件方程:
ˆ jk  ˆ jh   0
如果两直线垂直, 0=90°或270°,如果h、j、k
三点在同一直线上,则0=180
(Yk  v y k )  (Yj  v y j )
(Yh  v y k )  (Yj  v y j )
arctan
 arctan
 0  0
(X k  v x k )  (X j  v x j )
(X h  v x k )  (X j  v x j )
式中左端第一项为
ˆ jk  arctan
(Yk  v y k )  (Yj  v y j )
(X k  v x k )  (X j  v x j )
63
按台劳公式展开 ,得
 ˆ jk 
 ˆ jk 
 ˆ jk 
 ˆ jk 






 v y (5-2-23)
ˆ jk  arctan

vx j 
vyj  
v x k  

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ




X k  X j  X j 
Yj 
X k 0
Yk 0 k



0
0
Yk  Yj
令
 jk0  arct an
 jk
Yk  Yj
Xk  X j
 ˆ jk

ˆ
 X
j


 ˆ jk
 vx  
j
ˆ

 Y
j
0

0
有 ˆ jk   jk   jk

 ˆ jk
 vy  
j
 X
ˆ

k

0

 ˆ jk
 vx  
k

 Y
ˆ
k
0


 vy
k

0
(5-2-24)
 ˆ jk 
Yk  Yj
Yjk0

 

ˆ  (X k  X j ) 2  (Yk  Yj ) 2 (S0jk ) 2
 X
j 0

因为
 ˆ jk 
X 0jk

 
0 2
 Y 
(
S
j
jk )

0
Yjk0
 ˆ jk 

   0 2

X
(S jk )
k 0

X 0jk
 ˆ jk 

  0 2
 Yk  0 (S jk )
0
0
0
0










Y


X


Y


X
ˆ jk   jk0  0 2jk v x j  0 2jk v y j  0 2jk v x k  0 2jk v yk
(S jk )
(S jk )
(S jk )
(S jk )
64
同理可得
0
0
0
0










Y


X


Y


X
ˆ jh   jh0  0 2jh v x j  0 2jh v y j  0 2jh v x h  0 2jh v yh
(S jh )
(S jh )
(S jh )
(S jh )
(5-2-26)
将(5-2-25)、 (5-2-26)两式代入(5-2-21)式,即得条件方程为
 Yjk0 Yjh0 
 X 0jk X 0jh 
 Yjk0
  0 2  0 2 v x j    0 2  0 2 v y j  0 2 v x k 
 (S ) (S ) 
 (S ) (S ) 
(S jk )
jh
jh
(5-2-27)
 jk

 jk

 Yjk0
 Yjh0
 X 0jh
v yk  0 2 v x h  0 2 v yh  w  0
0 2
(S jk )
(S jh )
(S jh )
w   jk0   jh0  0
(5-2-28)
65
2、距离型的条件方程
数字化所得两点间距离应与已知值相符合,为此组成的条件方程称为距
离型条件方程。
设两点之间的距离已知为S0,则其条件方程为
(Yˆ  Yˆ )
k
j
2
ˆ X
ˆ )
 (X
k
j

1
2 2
 S0
将数字化坐标观测值及其改正数代入,并用台劳公式展开取至一次项,条件
方程
X 0jk
Yjk0
X 0jk
Yjk0
 0 vx  0 vy  0 vx  0 vy  wS  0
(5-2-29)
S jk
j
S jk
j
S jk
k
S jk
k
式中

w S  S  S0  (Yk  Yj )  (X k  X j )
0
jk
2

1
2 2
 S0
(5-2-30)
66
例5-6 图5-13中6个同精度观测值分别为: L1=45°30′46″、 L2=67°22′10″、
L3=67°07′14″、 L4=69°03′14″、 L5=52°32′22″、 L6=58°24′18″。AB为已知边,经
平差求得测角中误差
ˆ 0 
V T PV
 4.8  ,试求平差后CD边边长的相对中误差。
r
解:n=6,t=4,r=2
1. 列立两个图形条件
v1  v 2  v3  w a  0 

v 4  v 5  v 6  w b  0
2. 列CD边的函数式和权函数式
去全微分,得权函数式
dSˆ CD  SCD cotL1
即
或
图5-13
sinLˆ 1sinLˆ 4
Sˆ CD  Sˆ AB
sinLˆ 3sinLˆ 5
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dL
dL
dL
dL
1
 SCD cotL4 4  SCD cotL3 3  SCD cotL5 5
 
 
 
 
dSˆ CD
   cotL1dLˆ 1  cotL4dLˆ 4  cotL3dLˆ 3  cotL5dLˆ 5
SCD
dSˆ
ˆ  0.42dL
ˆ  0.38dL
ˆ  0.77dL
ˆ
dˆ  CD    0.98dL
1
3
4
5
SCD
f  0.98 0  0.42 0.38  0.77 0
T
67
3)计算平差值函数的协因数
由于观测值相互独立,Q=I,于是有
1
1
Qˆˆ  f T Qf  (AQf )T Naa
AQf  f T f  (Af )T Naa
Af
f T f  1.8741
 0.56 
Af  

 0.39
3 0
Naa  AAT  

0 3
Qˆˆ  1.72
ˆ ˆ  ˆ 0 Qˆˆ  4.8 1.72  6.27"
dSˆ CD  

 dˆ
SCD

 Sˆ
CD
SCD

ˆˆ
6.27
1


  206265 33000
68
二、水准网条件平差示例
• 例5-7:水准网图5-7中,A和B是已知高程的水准点,并设
其无误差。C、D和E是待定点,观测资料列于表5-2。试按
条件平差求(1)各待定的的平差高程;(2)C至D点间高
差平差值的中误差。
路线号
观测高差(m)
路线长
(km)
已知高程(m)
1
+1.359
1.1
HA=5.016
2
+2.009
1.7
HB=6.016
3
+0.363
2.3
4
+1.012
2.7
5
+0.657
2.4
6
+0.238
1.4
7
-0.595
2.6
69
解:1、列条件方程和平差值函数式:n=7,t=3,r=4。
v1  v2  v3  7  0 
v 3  v 4  v 5  8  0 

v 3  v 6  v7  6  0 
闭合差以mm为单位。
v 2  v 4  3  0 
(1)4个条件方程为
(2)平差值函数式
ˆ  Lˆ 5
f 1  f 2  f 3  f 4  f 6  f7  0 ,
1
f5  1
1
2、定权并组成法方程 令C=1,pi  S , Qii   S i 。协因数阵为对角阵
pi
i
Q LL  P  1
77
1.1

1.7









2.3
2. 7
2. 4
1. 4









2.6 
70
系数阵为
1  1
0 0
A
47
0 0

0 1
法方程为
 5.2
 2.4
AQAT K  W  
 0

 1.7
0 0
1 1
1 0
0 1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1

0
 1.7   k a   7 
7.4 2.3 2.7  k b   8 

0


2. 3 6. 3
0  kc  6 
   
2.7 0
4.4  k d   3
2.4
0
3、解算法方程 K  N-1
aa W   0.2226 1.4028  0.4414 1.4568
T
4、计算改正数 V  QAT K   0.2 3.0  4.4  0.3  4.0  0.6 1.2T (mm)
5、计算平差值,代入平差值条件方程进行检核
ˆ 
L
 1.359    0.2
 1.3588 
1
ˆ 
 2.009   3.0 
 2.0120 
L 2 

 



ˆ 
L






0
.
363

4
.
4
0
.
3586
3


ˆ    1.012     0.3   1.0117  ( m)
L
4

 



L

 0.657   4.0
 0.6530 
ˆ
 5

 



ˆ
0
.
238

0
.
6
0
.
2374
L 6 

 



ˆ 
 0.595   1.2 
 0.5962

 



L 7 
71
6、计算C、D和E点的平差高程
H C  H A  Lˆ 1  6.3748m
H  H  Lˆ  7.0279m
D
A
2
H E  H B  Lˆ 7  6.6121m
7、计算单位权中误差
V T PV
19.80
ˆ 0 

 2.2mm
r
4
8、计算平差后C至D点间平差高差及其中误差
ˆ  Lˆ 5  0.6531m
作业讲解
1
Qˆˆ  f TQf  (AQf )T Naa
AQf  0.99
ˆ ˆ  ˆ 0 Qˆˆ  2.2 0.99  2.2mm
72
第六章 附有参数的条件平差
73
公式汇编
xˆ  W  0
• 函数模型和随机模型 cnAVn1  B
cu u1
c1
D   02 Q   02 P
nn
nn
1
nn
W  ( AL  BX 0  A0 )
• 法方程
N aa K  B xˆ  W  0 
cu u1
c1
c 1
c c c1

BT K  0

uc c1
u1

1
K   Naa
( Bxˆ  W )
xˆ  N-1bb BT N-1
aa W
• 法方程的解 V  QAT K  QAT N 1 (Bxˆ  W )
aa
74
公式汇编
• 观测值和参数的平差值 Lˆ  L  V
Xˆ  X 0  xˆ
• 单位权方差估值
V T PV V T PV
ˆ 0 

r
cu
DXˆXˆ  ˆ 02QXˆXˆ  ˆ 02 Nbb1
• 平差参数的协因数阵
• 平差值函数的权函数式及其协因数、中误差
ˆ  FT dX
ˆ
dˆ  FT dL
x
Qˆˆ  F T QLˆLˆ F  F T QLˆXˆ Fx  FxT QXˆLˆ F  FxT QXˆXˆ Fx
ˆ ˆ  ˆ 0 Qˆˆ
75
二、附有参数条件平差的计算步骤及示例
1. 根据平差问题设u个独立量为参数(0<u<t),列出附有
参数的条件方程,条件方程个数等于多余观测数与参数
个数之和,即c=r+u。
2. 根据条件方程的系数阵、闭合差及观测值的协因数阵组
成法方程c+u个。
3. 解算法方程。先计算 xˆ 值,然后计算K值,再计算V值。
4. 计算观测量的平差值和参数平差值 Lˆ 和Xˆ 。
5. 检查平差计算结果的正确性,用平差值重新列出平差值
条件方程,看其是否满足方程。
76
例6-2 在ABC中,等精度测得角度L1、 L2、 L3、 L4,现选BAC为参数进行平
差,Q=I,试写出函数模型和法方程。
解:观测数n=4,必要观测数t=2,多余观测数r=2,
u=1<t,条件方程个数c=r+u=3。
1、平差值条件方程 Lˆ 1  Lˆ 2  Lˆ 3 - 180  0

Lˆ 3  Lˆ 4 - 360  0 

ˆ 0
Lˆ 1  X

2、条件方程
3、法方程
1
A  0
34
1
 N aa
 cc
 BT
 uc
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
B   0 
31
  1
B  K 
W
 c1    c1 
0
0  uxˆ1 
 u1 
uu 
cu
w a  L1  L 2  L 3  180

w b  L 3  L 4  360 

w c  L1  X 0

v1  v 2  v 3  w a  0

v3  v 4  w b  0 
v1 - xˆ  w c  0 
w a 
W   w b 
31
 w c 
3
1

1

0
1
2
0
0
1
0
1
1
3 1 1
N aa  AQAT  AAT  1 2 0
33
1 0 1
0  k a   w a 
0  k b   w b 

0
 1  k c   w c 
  

ˆ   0 
0  x
77
二、示例(p103)
• 图6-1的起算数据和观测值(同精度)见表6-2、6-3,对
该三角网进行平差,并求平差后BE边长的相对中误差
78
第七章 间接平差
79
一、公示汇编
间接平差的函数模型和随机模型是
误差方程为: V  Bxˆ  l
Lˆ  L  V  BXˆ  d
D   2Q   02 P 1

l  L  L0  L  BX 0  d
法方程为:

B T PBxˆ  B T Pl  0
其解为


1
1
xˆ  B PB B T PBl  N BB
W
T
观测量和参数的平差值: Lˆ  L  V , Xˆ  X 0  xˆ
单位权中误差:
平差参数的协方差阵:
权函数式:
V T PV
V T PV
ˆ 0 

r
nt
1
DXˆXˆ   02 Q XˆXˆ   02 N BB
dˆ  ˆ  F T xˆ
(7-1-1)
(7-1-5)
(7-1-4)
(7-1-3)
(7-1-9)
(7-1-11)
(7-1-13)
(7-3-2)
(7-3-16)
(7-3-13)
协因数阵:
1
Qˆˆ  F T QXˆXˆ  F T N BB
F
(7-3-14)
方差:
Dˆˆ   02Qˆˆ
(7-3-17)
80
二、间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题的性质,选择t个独立量作为参数;
2. 列出误差方程;
3. 组成法方程;
4. 解算法方程;
5. 计算改正数V;
6. 计算观测值的平差值
81
例题7-1 如图7-1所示的水准网中,已知水准点A的高程是HA=237.483, 为求B、C和D
的高程,进行了水准测量,测得高差和水准路线长度见下表。试按照间接平差方法
求B、C和D的高程平差值。
水准路线
观测高差(m)
路线长(km)
1
2
3
4
5
5.835
3.782
9.640
7.384
2.270
3.5
2.7
4.0
3.0
2.5
解:n=5,t=3;选取B、C和D三点的高程分别为参数 Xˆ 1、Xˆ 2、Xˆ 3
1、列出误差方程
平差值方程
 L1  v1  Xˆ 1  H A

ˆ
ˆ
 L2  v 2   X 1  X 2

 L3  v 3  Xˆ 2  H A
 L  v  Xˆ  Xˆ
4
2
3
 4
 L5  v 5  Xˆ 3  H A
0
参数的近似值选为 X 1  H A  L1
误差方程
X 20  H A  L3
v1  Xˆ 1  ( H A  L1 )

ˆ
ˆ
v 2   X 1  X 2  L2

v 3  Xˆ 2  ( H A  L3 )
v  Xˆ  Xˆ  L
2
3
4
 4
v 5  Xˆ 3  ( H A  L5 )
X 30  H A  L5
82
将
ˆ  X 0  xˆ  xˆ  H  L 
X
1
1
1
1
A
1
0
ˆ  X  xˆ  xˆ  H  L 
X
2
2
2
2
A
3
0
ˆ  X  xˆ  xˆ  H  L 
X
3
3
3
3
A
5
v1  xˆ 1  0
v   xˆ  xˆ  23
1
2
 2
v 3  xˆ 2  0
v  xˆ  xˆ  14
2
3
 4
v 5  xˆ 3  0
代入误差方程得:
 v1   1
  
 v2   1
v    0
 3 
 v4   0
v  
 5  0
0
1
1
1
0
2、组成法方程
取10km观测高差为单位权观测,即 pi 
 2.9 0
 0 3. 7

P 0
0

0
0
 0
0
0
0
2.5
0
0
0
0 
0
0 
0
0 

3.3 0 
0 4.0 
0
 0 



0  xˆ1    23
 
0  xˆ2    0 





ˆ
x
 1 3   14 
 0 
1 


10
Si
法方程:
0   xˆ 1   85.1 
 6 . 6  3. 7
 3.7 9.5  3.3  xˆ     38.9   0

 2  

 0
 3.3 7.3   xˆ 3   46.2
83
3、解法方程
0   xˆ 1   85.1 
 6 . 6  3. 7
 3.7 9.5  3.3  xˆ     38.9   0

 2  

 0
 3.3 7.3   xˆ 3   46.2
 xˆ1 
 11.75 
 


1
xˆ   xˆ 2   N BB
W  ( B T PB) 1W    2.04
 xˆ 
  7.25
 3


4、计算改正数
 1

 1
V  Bxˆ  l   0

 0
 0

0
1
1
1
0
0
 0   12 



0  11.75    23  9 


0   2.04   0    2 ( m m)


  


 1  7.25  14    9 
 0  -7
1 

  
5、计算平差值
5.835
 12 
5.847


3.782
 3.791
9






Lˆ  L  V  9.640 ( m)    2 (m m)  9.638 ( m)






7
.
384

9
7
.
375






 -7 
2.270



 2.263
检核
84
误差方程要点
• 要确定平差问题中未知数的个数(等于必要观测的个数
t );
• 选择哪些量作为未知数(足数、独立、最简);
• 要考虑怎样列出平差值方程;
• 如何选取未知数的近似值;
• 如何写出误差方程。
85
测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。
测方向坐标平差的误差方程的特点如下:
v jk  zˆ j  a jk xˆ j  bjk yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk  l jk
1.
2.
3.
方向值的误差方程中,其待定参数除待定点坐标平差值之外,尚有测站定向角平差
值。在每个测站的误差方程中,仅出现本测站的定向角平差值,各测站不同,其系
数均为-1。
若某边的两端均为待定点时,它们的坐标未知数的系数的绝对值相等,符号相反。
其他点的坐标未知数的系数均为零,即为(7-2-14)式。
若测站点 j 为已知点
  
jk
 Y jk0
S 
0 2
jk
xˆk 
 X 0jk
S 
0 2
jk
yˆ k
v jk   zˆ j  a jk xˆk  b jk yˆ k  l jk
若照准点k为已知点
 
jk
 Y jk0
S 
0 2
jk
xˆ j 
 X 0jk
S 
0 2
jk
yˆ j
v jk   zˆ j  a jk xˆ j  b jk yˆ j  l jk
86
测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。
测方向坐标平差的误差方程的特点如下:
v jk  zˆ j  a jk xˆ j  bjk yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk  l jk
4. 若某边的两个端点均为已知点,则
 jk  0
(7-2-19)
v jk   zˆ j  l jk
5. 同一边的正反坐标方位角的改正数相等
 jk 
 kj 
 Y jk0
S 
0 2
jk
 Ykj0
S 
即知 v jk
0 2
jk
xˆ j 
xˆk 
 X 0jk
S 
0 2
jk
 X kj0
S 
0 2
jk
yˆ j 
yˆk 
 Y jk0
S 
0 2
jk
 Ykj0
S 
0 2
jk
xˆk 
xˆ j 
 X 0jk
S 
0 2
jk
 X kj0
S 
0 2
jk
yˆ k ,
Y jk0  Ykj0 
,
0
0
X jk  X kj 
yˆ j ,
 vkj
87
综上所述,对于方向法观测的三角网,采用间接平差,选择待定点坐标平
差值和测站定向角平差值为参数时,列误差方程的步骤为;
1. 计算各待定点近似坐标;
2.
由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角和
近似边长;
3.
4.
列出各待定边的坐标方位角改正数方程,并计算其系数;
列出误差方程。
88
例7-3 在图7-3中,A、B、C为已知坐标的三个控制点,加密待
定点D,起算数据列于表7-2,在四个测站共观测10个方向,观
测值列于表7-3,试以D点坐标为平差参数,列出其误差方程。
点名
坐标(m)
坐标方位角
° ′ ″
边长
(m)
X
Y
A
13737.37
10501.92
B
8986.68
5705.03
225 16 38.1 6751.24
C
6642.27
14711.75
104 35 24.3 9306.84
测
站
D
C
方向观测值
°
′ ″
照准点
测
站
方向观测值
°
′ ″
照准点
C
1
0
00
00.0
B
6
0
00
00.0
A
2
127
48
41.2
D
7
30
52
44.0
B
3
234
39
23.4
C
8
59
A
4
0
00
00.0
D
9
0
00
00.0
D
5
23
45
16.2
A
10
42
16
39.1
A
B
18
49.0
89
解:n=10, 1个待定点,在方向法观测情况下,需要确定4
个测站定向角Z,故 t = 2 + 4 =6 。
1) 在已知点B、A观测D点的角度,按前方交会的余切公
式计算D点的近似坐标
ü
X A cotL B + X BcotL A - YB + YA
X =
= 10122.12m ï
cotL A + cotL B
ï
ý
Y cotL B + YBcotL A + X B - X A
YD0 = A
= 10312.47m ï
ï
cotL A + cotL B
þ
0
D
LB = L10 - L9
LA = L7 - L6
2) 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长于表7-4。
近似坐标方位角
°
′ ″
方向
Y0(m)
X0(m)
(S0)2 (m2)
近似边长S0(m)
DA
-4607
-11.35
2252×104
4745
256
09
DB
189
3615
1311×104
3620
2
DC
4399
-3480
3146×104
5609
128
的系数(秒/dm)
a
b
22.0
-4.22
+1.04
59
59.0
+0.30
-5.69
20
39.0
+2.88
+2.28
90
3) 计算坐标方位角改正数方程的系数(见表7-4)
ü
0
r¢DYDA0
r¢¢DX DA
vaDA = da DA = 0 2
xˆD - 0 2
yˆD = aDA xˆD - bDA yˆD ï
(SDA ) ´10
(SDA ) ´10
ï
ï
0
0
ï
r¢DYDB
r¢¢DX DB
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
vaDB = da DB = 0 2
xD - 0 2
yD = aDB xD - bDB yD ý
(SDB ) ´10
(SDB ) ´10
ï
ï
0
r¢DYDC0
r¢¢DX DC
vaDC = da DC = 0 2
xˆD - 0 2
yˆD = aDC xˆD - bDC yˆD ï
(SDC ) ´10
(SDC ) ´10
ïþ
4) 计算各测站定向角近似值Z0
nj
Z 0j =
å(a
0
jk
- L jk )
k=1
nj
式中nj 为在测站 j 上观测的方向数。此例中测站A的定向角近似计算公式为
0
0
0
(a AB
- L6 ) + (a AD
- L7 ) + (a AC
- L8 )
Z =
3
0
A
91
5) 计算误差方程的常数项,结果列于表7-5中。
l jk = L jk - (a 0jk - Z 0j ) = L jk - L0jk
6) 组成各方向的误差方程
(据表7-4中的系数a、b和表7-5中的l )
v jk = -zˆj + a jk xˆ j + bjk yˆ j - a jk xˆk - bjk yˆk - l jk
v1 = - zˆD + 2.88 xˆD + 2.28 yˆD + 0.53
v2 = - zˆD - 4.22 xˆD +1.04 yˆD + 2.33
v3 = - zˆD + 0.30 xˆD - 5.69 yˆD - 2.87
v4 = - zˆC
+ 0.75
v5 = - zˆC + 2.88 xˆD + 2.28 yˆD - 0.75
v6 = - zˆA
+ 0.97
v7 = - zˆA - 4.22 xˆD +1.048 yˆD + 0.87
v8 = - zˆA
- 2.83
v9 = - zˆB + 0.30 xˆD - 5.69 yˆD + 0
v10 = - zˆB
+0
92
表7-5
方向
D
C
A
B
C
A
B
A
D
B
D
C
D
A
编
号
方 向 观 测 值L
° ′
″
1
0
2
127
48
3
234
39
4
0
5
23
00
00
45
00.0
近 似 方 位 角0
° ′
″
128
20
39.0
41.2
256
09
23.4
2
59
0-L
° ′
″
128
20
- l = 0-L -Z0
°
′
39.0
0.53
22.0
40.8
2.33
59.0
35.6
-2.87
=
128
20
38.47
-0.01
284
35
24.3
0.75
22.8
-0.75
00.0
284
35
24.3
16.2
308
20
39.0
=
284
35
23.55
0
45
16
38.1
0.97
6
0
00
00.0
45
16
38.1
7
30
52
44.0
76
09
22.0
38.0
0.87
104
35
24.3
35.3
-1.83
37.13
0.01
8
59
18
9
0
00
10
42
16
49.0
00.0
39.1
=
45
182
182
59
59.0
225
16
38.1
=
182
16
59
59
59.0
0
59.0
0
59.0
0
″
93
二、测角网函数模型
观测值为角度,参数为待定点坐标的平差问题,称为测角网坐标平差
如图7-4中,j,k,h为待定点,参数为其坐标,并令:
ˆ Yˆ = Y 0 + yˆ
Xˆ = X 0 + x,
对于角度,其观测方程为:
Li + ui = aˆ jk - aˆ jh
将 aˆ = a 0 + va 代入,并令:
li = Li - (a 0jk - a 0jh ) = Li - L0i
即角度观测值减去其近似角值就是常数项 l ,
得:
vi = da jk - da jh - li
94
将方位角改正数表达为坐标改正数,得测角网坐标平差的误差方程
da jk =
da jh =
r¢¢DY jk0
(S )
0 2
jk
r¢¢DY jh0
(S )
0
jh
2
xˆ j xˆ j -
r¢¢DX jk0
(S )
0 2
jk
r ¢¢DX 0jh
(S )
0
jh
2
yˆj yˆ j -
r¢¢DY jk0
(S )
0 2
jk
xˆk +
r ¢¢DY jh0
(S )
0
jh
2
xˆh +
r¢¢DX 0jk
(S )
0 2
jk
r ¢¢DX 0jh
(S )
0
jh
2
yˆk ,
vi = da jk - da jh - li
yˆh ,
æ
æ
0
0 ö
0
0 ö
DY
DY
DX
DX
jk
jh ÷
jk
jh ÷
ç
ˆ
¢¢
vi = r ¢¢ç
x
r
yˆ j
j
2
2
2
2
ç S0
÷
ç S0
÷
0
0
S
S
(
)
(
)
(
)
(
)
jk
jh
jk
jh
è
ø
è
ø
-r ¢¢
或:
DY jk0
(S )
0
jk
2
xˆk + r ¢¢
DX jk0
(S )
0
jh
2
yˆk + r ¢¢
DY jh0
(S )
0
jk
2
xˆh - r ¢¢
DX 0jh
(S )
0
jh
2
yˆh - li
vi = (a jk - a jh )xˆ j +(bjk - bjh )yˆ j - a jk xˆk - bjk yˆk + a jh xˆh + bjh yˆh -li
(7-2-29)
95
例7-4 在图7-5中,同精度测得6个角度,已知点A、B、C
的起算数据列于表7-2中,角度观测值列于表7-6中,试列
出测角网坐标平差的误差方程。
点名
坐标(m)
坐标方位角
° ′ ″
边长
(m)
X
Y
A
13737.37
10501.92
B
8986.68
5705.03
225 16 38.1 6751.24
C
6642.27
14711.75
104 35 24.3 9306.84
观 测 值Li
角号
°
′
观 测 值Li
角号
°
″
′
″
1
106
50
42.2
4
28
26
05.0
2
30
52
44.0
5
127
48
41.2
3
42
16
39.1
6
23
45
16.2
96
解(1)计算D点的近似坐标(前方交会余切公式7-2-22)
ü
X A cot LB + X B cot LA -YB +YA
X =
= 10122.12m ï
cot LA + cot LB
ï
ý
Y cot LB +YB cot LA + X B - X A
YD0 = A
= 10312.47m ï
ï
cot LA + cot LB
þ
0
D
(2)按已知点坐标和待定点近似坐标计算各边的近似方位
角和近似边长,计算误差方程系数a、b,见下表
近似坐标方位角
°
′ ″
方向
Y0(m)
X0(m)
(S0)2 (m2)
近似边长S0(m)
DA
-4607
-11.35
2252×104
4745
256
09
DB
189
3615
1311×104
3620
2
DC
4399
-3480
3146×104
5609
128
的系数(秒/dm)
a
b
22.0
-4.22
+1.04
59
59.0
+0.30
-5.69
20
39.0
+2.88
+2.28
da DA = da AD = -4.22 xˆD +1.04 yˆD
待定边坐标方位角改正数方程:
da DB = da BD = 0.30 xˆD - 5.69 yˆD
da DC = daCD = 2.88 xˆD + 2.28 yˆD
97
解(3)参照图7-5列出观测值方程
L1 + v1 = aˆ DB - aˆ DA , L4 + v4 = aˆ AC - aˆ AD
L2 + v2 = aˆ BD - aˆ AB , L5 + v5 = aˆ DA - aˆ DC
L3 + v3 = aˆ BA - aˆ BD, L6 + v6 = aˆCD - aˆCA
将 aˆ = a 0 + d a 代入上式:
v1 = da DB - da DA - l1 = 4.52 xˆD - 6.73yˆD - 5.2
v2 = da AD - l2 = -4.22 xˆD +1.04 yˆD - 0.1
v3 = -da BD - l3 = -0.30 xˆD + 5.69 yˆD + 0.0
v4 = -da AD - l1 = 4.22 xˆD -1.04 yˆD - 2.7
v5 = da DA - da DC - l5 = -7.10 xˆD -1.24 yˆD +1.8
v6 = daCD - l6 = 2.88 xˆD + 2.28 yˆD -1.5
式中:
0
0
0
0
l 1  L1  (  DB
  DA
) , l 2  L2  (  AD
  AB
)
0
0
0
0
l 3  L3  (  BA
  BD
) , l 4  L4  (  AC
  AD
)
0
0
0
0
l 5  L5  (  DA
  DC
) , l 6  L6  (  CD
  CA
)
98
误差方程写成矩阵得形式为:
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
v1 ù é
ú
4.52 -6.73 ù
ê
ú
v2 ú
-4.22
1.04
ú
ú ê
v3 ú ê -0.30 5.69 úé xˆD
ê
=
v4 ú ê 4.22 -1.04 úêë yˆD
ú
ú ê
-7.10
-1.24
ú
v5 ú ê
ê
ú
v6 úû ë 2.88 2.28 û
é
ê
ù ê
ú-ê
úû ê
ê
ê
êë
5.2
0.1
0.0
2.7
-1.8
1.5
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
(4)组成法方程,求参数和观测量的平差值
设各角的观测精度相等,其中误差均为σ=1,权阵单位矩阵,
法方程系数阵为
é
ê
ê
é 4.52 -4.22 -0.30 4.22 -7.10 2.88 ùê
T
N BB = B PB = ê
úê
-6.73
1.04
5.69
-1.04
-1.24
2.28
ë
ûê
ê
êë
4.52
-4.22
-0.30
4.22
-7.10
2.88
-6.73
1.04
5.69
-1.04
-1.24
2.28
ù
ú
ú
ú é 114.84 -25.53 ù
ú = ê -25.53 86.57 ú
û
ú ë
ú
úû
99
é
ê
ê
é
ù
4.52 -4.22 -0.30 4.22 -7.10 2.88 ê
W = BT Pl = ê
úê
-6.73
1.04
5.69
-1.04
-1.24
2.28
ë
ûê
ê
êë
法方程为
é 114.84 -25.53 ùé xˆD
ê
úê
ë -25.53 86.57 ûêë yˆD
解算法方程,得
5.2
0.1
0
2.7
-1.8
1.5
ù
ú
ú
ú é 51.58 ù
ú = ê -32.04 ú
û
ú ë
ú
úû
ù é
ù
51.58
ú-ê
ú= 0
úû ë -32.04 û
xˆ D = 0.393dm
yˆ D = -0.254dm
求改正数、角度平差值和D点坐标平差值
é -1.7¢¢ ù
é 106°50¢40.5¢¢
ê
ú
ê
¢¢
-2.
0
ê
ú
ê 30°52¢42.0¢¢
ê -1.6¢¢ ú
ˆ = ê 42°16¢37.5¢¢
V =ê
,
L
ê 28°26¢04.2¢¢
-0.8¢¢ ú
ê
ú
ê
ê -0.7¢¢ ú
ê 127°48¢40.5¢¢
êë -0.9¢¢ úû
êë 23°45¢15.3¢¢
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
Xˆ D = 10122.16m
Yˆ = 10312.44m
D
ü
ï
ý
ï
þ
100
三、测边网函数模型
vi  
X 0jk
S
0
jk
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
X 0jk
yˆ j 
S
0
jk
xˆk 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
(7-2-33)
1. 若某边的两个断点均为未知点,则(7-2-33)为其误差方程;
两端点的x/y坐标改正数的系数分别互为相反数;常数项等于
该边的观测值减去其近似值。
2. 若j为已知点,则:xˆ  yˆ  0
j
vi 
j
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
Y jk0
S
3. 若k为已知点,则:xˆk  yˆ k  0
vi  
X 0jk
S 0jk
xˆ j 
0
jk
yˆ k  li
Y jk0
S 0jk
yˆ j  li
4. 某边的误差方程,按jk或kj方向列立的结果相同。
101
例7-5 同精度测得图7-7中的三个边长,L1 = 387.363m, L2 =306.065m, L3 = 354.862m,已
知A、B、C三点的起算数据列于表7-7。试列出误差方程并求平差值。
点
名
坐
标(m)
X
Y
A
2692.201
5203.153
B
2092.765
5132.304
603.608
286
44
26.4
C
2210.593
5665.422
545.984
77
32
13.3
667.562
316
10
25.6
A
方位角
° ′ ″
边长(m)
S
解(1)本题n=3, t=2,选择待定点D的坐标为参数,其近似值由已知点A、B和观测边L1、
L2交会计算得到。图7-8中设h 为ABD底边AB上的高,l 为L1在AB上的投影,得
2
L12  l 2  L22  ( AB  l)2  L22  AB  l 2  2 AB  l
2
L12  AB  L22
l
 348.502
2 AB
h  L12  l 2  169.105
XB  XA
 0.9930882
AB
Y Y
 B A  0.1173758
AB
cosα AB 
sin α AB
102
0
按此,计算待定点 X D  X A  l cosα AB  h sin α AB  2326.259m

的近似坐标为:
YD0  YA  l sin α AB  h cosα AB  5330.184m 
(2)据近似坐标和已知点坐标求出误差方程系数和常数项,组成误差方程。
方 向
j k
X k0  X j
(m)
A D
l=L-S0
(m)
X 0jk
Y jk0
(m)
近似边长S0
(m)
S0
S0
-365.942
127.031
387.363
-0.9447
0.3279
0
B D
233.494
197.880
306.065
0.7629
0.6465
0
C D
115.666
-335.238
354.631
0.3262
-0.9453
0. 231
Yk0  Y j
据(7-2-34)式 xˆ j  yˆ j  0
vi 
写出误差方程
X 0jk
S 0jk
xˆk 
Y jk0
S 0jk
yˆ k  li
 0.9447 0.3279 
 0 


V   0.7629
0.6465  xˆ   0 
 0.3262  0.9453
0.231
xˆ  [ xˆD
yˆ D ]T
103
四、拟合模型
• 拟合模型是一种函数逼近型或统计回归模型
• 曲线拟合:由下图的离散点拟合一条直线
yi  a0  a1 xi  a2 xi2  a3 xi3  
vi  aˆ0  aˆ1 xi  aˆ2 xi2  aˆ3 xi3  yi
104
1
2
3
库水位
(m)
105
95
124
形变量
(mm)
2.0
1.5
4.5
例:为了研究大坝形变量与库水位的关
系,现对其进行观测,得到的数据如下
表所示,试计算大坝库水位与坝基沉降
量之间的一元线性回归模型。
答: 依据题意可得观测方程为: 2  105* a  b
2 
105 1
a 
 


设: L  1.5 , B  95 1 , xˆ  b 
 
4.5
124 1

1.5  95* a  b
4.5  124* a  b

35426 324
910.5
则法方程为: 
ˆ
324 3
  x  8





0.11 
ˆ
x

解法方程得:
 8.90


因此,大坝库水位与坝基沉降量之间的一元线性回归模型为: y
 8.90  0.11x
105
当平差函数为线性函数时,其函数式为:
三、参数函数的中误差
ˆ  f1 Xˆ 1  f 2 Xˆ 2    f t Xˆ t
T
  f1 , f 2 ,  , f t 
令: F
1t
ˆ
则: dˆ  F T X
1
Qˆˆ  F T QXˆXˆ F  F T N BB
F
ˆ
设有函数向量: m
,1
ˆ
dˆ  F T dX
m ,1
m,t
即计算m个参数平差值函数的精度,其协因阵为
1
Qˆˆ  F T QXˆXˆ F  F T N BB
F
mm

1
D ˆˆ  ˆ 02Qˆˆ   02 F T N BB
F

m,m
106
例7-6 在图7-11中,A、B为已知水准点,高程分别为
HA、HB,设无误差,各路线长度为S1=4km, S2=2km,
S3=2km, S4=4km。试求P1和P2点高程平差值的协因数。
解:选取P1和P2点的高程为平差参数,组成误差方程为
v1  Xˆ 1  H A  h1  xˆ1  (  X 10  H A  h1 )  xˆ1  l1 

v2   Xˆ 1  Xˆ 2  h2   xˆ1  (X10  Xˆ 2  h2 )   xˆ1  xˆ2  l2 

v3   Xˆ 1  Xˆ 2  h3   xˆ1  (X10  Xˆ 2  h3 )   xˆ1  xˆ2  l3 
v4  H B  Xˆ 2  h4   xˆ2  (X 20  H B  h4 )   xˆ2  l4 
 v1   1 0 
 l1 
v   1 1  xˆ
l 


 2  
 1   2
v3   1 1   xˆ2  l3 
  
 

v
0

1

 4 
l4 
令C=4,即4km观测高差的权为1,则观测值权阵为:
法方程:
4
4
ˆ1  W1 
- 4  x
5


 P1 
1 0 0 0
  W   0
-4
x
4

ˆ
5

 2   2 
P 
0 2 0 0 


 2  2

P


 P3 
0 0 2 0 
4
协因数阵:

 


1
0 0 0 1 
 P4   2 
5
4


0.56 0.44 
4
Q


- 4 5 
0.44 0.56 
 
XˆXˆ




4
107
例7-7 测角网如图7-5,在例7-4中已求得参数和观测值的平差
值,现要求平差后D点坐标、DA边坐标方位角和边长的协因
数及中误差。
解:(1)列出DA边坐标方位角的权函数式
αˆ DA  arctan
YA  YˆD
X A  Xˆ D
全微分得权函数式
δαˆ DA
0
0
ρΔYDA
ρΔX DA
 0 2
xˆ D  0 2
yˆ D
(SDA ) 10
(SDA ) 10
式中ˆ DA 的单位为秒,xˆD , yˆ D 的单位为分米,将例7-4中的数据代入,权函数式为
δαˆ DA  4.22xˆD  1.04yˆ D
为坐标方位角改正数方程,故可将坐标方位角改正数方程作为坐标方位角的权函
数式。
108
例7-7 测角网如图7-5,在例7-4中已求得参数和观测值的平差
值,现要求平差后D点坐标、DA边坐标方位角和边长的协因
数及中误差。
解:(2)列边长的权函数式
已知 Sˆ DA 
X
 
ˆ 2  Y  Yˆ

X
A
D
A
D

2
全微分得权函数式
已知
0
0
ΔX DA
ΔX DA
ˆ
δS DA   0
xˆD  0
yˆ D
S DA 10
S DA 10
dSˆDA  0.02 xˆD  0.10 yˆ D
(3)计算协因数
ˆ
ˆ
权函数式 dˆ  d DA    4.22 1.04  x D 
 dSˆ   0.02 0.10  yˆ 
 D 
 DA  
其协因数为
Qˆˆ
 4.22 1.04 QXˆ D Xˆ D

 Q
0
.
02
0
.
10

  YˆD Xˆ D
QXˆ Yˆ   4.22 0.02
D D
QYˆ Yˆ   1.04 0.10
D D 
109
例7-4中法方程系数为
 114.84  25.53
N BB  

 25.53 86.57 
1
QXˆXˆ
QXˆ D Xˆ D

 QYˆD Xˆ D
Qˆˆ
 0.1553  0.0006 Qαˆαˆ

  Q

0
.
0006
0
.
00014

  Sˆαˆ
则有
 114.84  25.53
0.0093 0.0027
ˆ 
DYD



QYˆ Yˆ   25.53 86.57 
0
.
0027
0
.
0124


D D 
QXˆ
QαˆSˆ 

QSˆSˆ 
(4)计算单位权中误差
V T PV
V TV
11.39
ˆ 0 


 1.7
nt
nt
4
(5)计算 Xˆ D、Yˆ D、ˆ DA、Sˆ DA 的中误差
σˆ Xˆ
D
 σˆ 0
σˆYˆ  σˆ 0
D
σˆ αˆ DA  σˆ 0
σˆ Sˆ
DA
 σˆ 0
Q Xˆ
QYˆ
ˆ
DXD
ˆ
D YD
 1.7 0.0093  0.16dm
 1.7 0.0124  0.19dm
Qαˆαˆ  1.7 0.1553  0.67
QSˆSˆ  1.7 0.00014  0.02dm
σˆ αˆSˆ  σˆ 02QαˆSˆ  1.7 2 ( 0.0006)  0.0173
110
4.间接平差公示汇编和水准网
平差示例
111
例7-8 见图5-14所示的水准网,按间接平差求:
(1)各待定点的高程平差值;
(2)C至D点的高差平差值的中误差;
(3)待定点C、D高程平差值的中误差。
路
线
号
观测
高差
(m)
路线
长
(km)
已知
高程
(m)
1
+1.359
1.1
2
+2.009
1.7
HA=5.016
HB=6.016
3
+0.363
2.3
4
+1.012
2.7
5
+0.657
2.4
6
+0.238
1.4
7
-0.595
2.6
解:(1)设C/D/E三点的高程为未知参数,其近似值为:
X 10  H A  h1  5.016 1.359  6.375
X 20  H A  h2  5.016 2.009  7.025
X 30  H A  h1  h6  5.016 1.359 0.238  6.613
误差方程为:
v1  xˆ1  0
v2  xˆ 2  0
v3  xˆ1  4
v4  xˆ 2  3
v5   xˆ1  xˆ 2  7
v6   xˆ1  xˆ3  0
v7   xˆ3  2
 v1   1 0
v   0 1
 2 
 v3   1 0
  0 1
v4  
 v5    1 1
v  
 6   1 0

v7 
 
 0 0
0
0 
0 
0

 
0   xˆ1   4

 
0   xˆ 2   3 
 
0 
 xˆ3 
 7 

 
1
0 
2
 1

 
112
例7-8 见图5-14所示的水准网,按间接平差求:
(1)各待定点的高程平差值;
(2)C至D点的高差平差值的中误差;
(3)待定点C、D高程平差值的中误差。
路
线
号
观测
高差
(m)
路线
长
(km)
已知
高程
(m)
1
+1.359
1.1
2
+2.009
1.7
HA=5.016
HB=6.016
3
+0.363
2.3
4
+1.012
2.7
5
+0.657
2.4
6
+0.238
1.4
7
-0.595
2.6
(2)法方程
以1公里的观测高差为单位权观测值,各观测值相互
独立,pi=1/si,权阵为
0.91



0
.
59




0.43

P
0.37




0.42


0.71


0
.
38


  1.18 

W  B T Pl  
 4.03 

  0.77

N BB
 2.47  0.42  0.71

 B T PB  
  0.42 1.38 0


1.10 
  0.71 0

113
法方程: 2.47
  0.42


  0.71
 0.42
1.38
0
 0.71  xˆ1   1.18 
  xˆ   4.03   0
0
 2  





ˆ
1.10 

0
.
77
x
 3  

 0.243
 ( m m)
1
xˆ  N BB
W  
2
.
855





0
.
858


(3)计算V
V  Bxˆ  l  [0.2 2.9  4.2  0.1  3.9  0.6  1.1]T

L  L  V  [1.359 2.012 0.359 1.012 0.653 0.237  5.596]T (m)
(4)精度评定
σˆ 0 
T
V PV
19.75

 2.2mm
n t
4
C、D点高程的中误差
1
QXˆXˆ  N BB
0.53 0.16 0.35
 0.16 0.78 0.10
0.35 0.10 1.13 
σˆ C  σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ Xˆ  2.2 0.53  1.6m m ,
1
1
1
σˆ D  σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ
ˆ
2
2X2
 2.2 0.78  1.9m m
C至D点高差平差值 的中误差
 Xˆ 1 
ˆ
ˆ
ˆ
h5  X 2  X 1   1 1 
ˆ
X2
0.53 0.16  1
Qˆˆ  F QXˆXˆ F  -1 1
 0.98



0.16 0.78 1 
T
 hˆ   ˆˆ  σˆ 0 Qˆˆ  2.2 0.98  2.2mm
5
114
6.三角网坐标平差
115
• 例7-9 设有一测角三角网,如图7-12所示,A、
B、C、D是已知点,P1、P2是待定点,同精度
观测了18个角度。试按间接平差法求待定点
平差后的坐标值及其中误差。已知数据和观
测数据见表7-11和表7-12。
表7-11
点 名
坐
标(m)
边 长
(m)
坐标方位角
° ′ ″
X
Y
A
9684.28
43836.82
B
10649.55
31996.50
11879.60
274 39 38.4
C
19063.66
37818.86
10232.16
34 40 56.3
D
17814.63
49923.19
12168.60
95 53 29.1
10156.11
216 49 06.5
A
116
• 例7-9 设有一测角三角网,如图7-12所示,A、
B、C、D是已知点,P1、P2是待定点,同精度
观测了18个角度。试按间接平差法求待定点
平差后的坐标值及其中误差。已知数据和观
测数据见表7-11和表7-12。
表7-12
角度
编号
观 测 值
° ′ ″
角度
编号
观 测 值
° ′ ″
角度
编号
观 测 值
° ′ ″
1
126 14
24 .1
7
22
02 43.0
13
46
38
56.4
2
23
39
46.9
8
130
03
14.2
14
66
34
54.7
3
30
05 46.7
9
27
53
59.3
15
66 46
08.2
4
117
22
10
65
55
00.8
16
29
58
35.5
46.2
5
31 26 50.0
11
67
02
49.4
17
120
08
31.1
6
31 10 22.6
12
47
02
11.4
18
29
52
55.4
117
解:1、t=4,设待定点的坐标为参数,用前方交
会计算待定点的近似坐标,用坐标反算计算各
边的近似坐标方位角。
X A cot LB  X B cot LA  YB  YA 

cot LA  cot LB
YA cot LB  YB cot LA  X B  X A 
0

Yp 

cot LA  cot LB
X p0 
A、B代表前方交会的
两已知点,还可用其
他方法计算。
算得待定点近似坐标为 X10  13188.61m,X20  15578.61m,Y10  37334.97m,Y20  44391.03m
方向
近似坐标方位角
° ′ ″
方向
近似坐标方位角
° ′ ″
P1 A
118
19
24.7
P2 A
185 22
17.0
P1 B
244
33
48.6
P2 C
297
56
09.0
P1 C
4
42
30.4
P2 D
67
59
31.7
P 1 P2
71
17 16.6
118
2、计算各边坐标方位角改正数系数
δαjk  a jk xˆ j  b jk yˆ j  a jk xˆk  b jk yˆ k
a jk 
ρΔY jk0
0 2
jk
(S )

ρ sin α 0jk
S
bjk  
0
jk
ρΔX 0jk
0 2
jk
(S )
y0
(m)
x0
(m)
(S0)2
(m2)
P1 A
6502
-3504
P1 B
-5338
P1 C
方向

ρ cosα 0jk
S 0jk
v= 系 数(秒/dm)
(a)
(b)
(a)
(b)
5455×104
2.46
1.32
-2539
3495×104
-3.15
1.50
484
5875
3475×104
0.29
-3.49
P1 P2
7056
2390
5550×104
2.62
-0.89
-2.62
0.89
P2 A
-554
-5894
3505×104
-0.33
3.47
P2 C
-6572
3485
5534×104
-2.45
-1.30
P2 D
5532
2236
3560×104
3.20
-1.30
119
3、计算角度观测值的误差方程系数和常数项
 Y 0
 X 0
Y jh0 
X 0jh 
Y j0k
X j0k
Y j0h
X 0jh
jk
jk


v j   

xˆ   

yˆ   
xˆ   
yˆ   
xˆ 
yˆ h  l j
0 2 k
0 2 k
0 2 h
0 2
 S0 2 S0 2  j
 S0 2 S0 2  j
S jk
S jh
S jk
S jh
jh
jh
 jk

 jk

   
   
 
 
 
 
l j  L j  (α0jk  α0jh )  L j  L0j
系 数
a
b
c
d
常 数
改正数
参 数
xˆ 1
ˆy 1
xˆ 2
ˆy 2
-l
v
-0.1030
2.3208
-1.2069
-0.5348
1
-5.61
0.18
-0.2
0.8
2
2.46
1.32
-0.6
2.2
3
3.15
-1.50
3.1
-0.7
角 号
4
-3.53
4.77
-0.9
0.8
5
0.33
-3.47
-0.5
1.0
6
3.20
-1.30
2.6
-0.6
7
-2.45
-1.30
-3.1
0.5
8
5.65
0
8.5
1.7
9
-3.20
1.30
-1.9
1.3
10
2.62
-0.89
-2.29
-2.58
-1.2
0.6
11
-2.46
-1.32
-0.33
3.47
2.9
-1.4
12
-0.16
2.21
2.62
-0.89
-3.3
-3.3
13
-2.62
0.89
0.17
-2.19
-4.0
-4.0
14
2.33
2.60
-2.60
0.89
-8.5
-8.5
15
0.29
-3.49
2.45
1.30
13.2
13.2
16
- 0.29
3.49
-9.6
-9.6
17
3.44
-4.99
10.7
10.7
18
- 3.15
1.50
-3.1
-3.1
120
4、组成法方程,计算系数阵的逆阵(P为单位矩阵)
 94.61  22.11  11.45  6.96   xˆ1    43.52 
 22.11 70.51  6.95  8.42   yˆ   178.81 

 1   

 11.45  6.95 96.09  20.21  xˆ2   120.11

  

ˆ
y

6
.
96

8
.
42

20
.
21
66
.
63

30
.
07

 2  

1
N BB
 0.0121
0.0044

0.0023

0.0025
0.0044
0.0161
0.0024
0.0032
0.0023
0.0024
0.0117
0.0041
0.0025
0.0032
0.0041

0.0169
 xˆ1 
  0.1030
 yˆ 
 2.3208 
1
1
 (dm)
xˆ     N BB
W 
 xˆ 2 
  1.2069
 


ˆ
y

0
.
5348


 2
5、计算平差值
(1)坐标平差值
 Xˆ 1   X 10   xˆ1  13188.61
  0.1030
13188.60
 ˆ   0   





 Y1    Y1    yˆ1   37334.97(m )  2.3208 (dm )  37335.19(m )
 Xˆ   X 20   xˆ2  15578.61
  1.2069
15578.49
 2  0    





 Yˆ2   Y2   yˆ 2   44391.03
 0.5348
44390.98
(2)观测值的平差值:
V  Bxˆ  l
见表7-16
ˆ
L  L V
121
6、评定精度
(1)计算单位权中误差——测角中误差
V T PV
22.28
σˆ 0 

 1.3
n-t
18-4
(2)计算待定点的坐标中误差
 0.0121
0.0044

0.0023

0.0025
1
QXˆXˆ  N BB
σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ Xˆ ,
i
i
i
0.0044
0.0161
0.0024
0.0032
0.0023
0.0024
0.0117
0.0041
0.0025
0.0032
0.0041

0.0169
σˆYˆ  σˆ 0 QYˆ Yˆ
i
i i
σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ Xˆ  1.3 0.0121 0.14dm, σˆYˆ  σˆ 0 QYˆ Yˆ  1.3 0.0161 0.16dm
1
1
1
1
1 1
σˆ P1  0.142  0.162  0.21dm
σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ
2
ˆ
2X2
 1.3 0.0117  0.14dm, σˆYˆ  σˆ 0 QYˆ Yˆ  1.3 0.0169  0.17dm
2
2 2
σˆ P2  0.142  0.172  0.22dm
122
7.测边网坐标平差
123
• 例7-10 测边网如图7-13,A、B、C、D
为已知点,P1、 P2、 P3、 P4为待定
点,用某测距仪测了13条边,标称精
度为3mm+1ppm。起算数据和观测数据
列于下列表中。试按间接平差法求待
定点的坐标平差值及其中误差。
点
名
坐标(m)
X
Y
A
53743.136
61003.826
B
47943.002
66225.854
C
40049.229
53782.790
D
36924.728
61027.086
边长
(m)
7804.558
7889.381
方位角
°′″
138 00 08.6
113 19 50.8
编号
观测值
编号
观测值
编号
观测值
1
5760.706
6
8720.162
11
5487.073
2
5187.432
7
5598.570
12
8884.587
3
7838.880
8
7494.881
13
7228.367
4
5483.158
9
7493.323
5
5731.788
10
5438.382
124
1、计算待定点的近似坐标
2
L12  AB  L22
l
, h  L12  l 2
2 AB
X  XA
Y  YA
cos α AB  B
, sin α AB  B
AB
AB
X D0  X A  l cos α AB  h sin α AB
YD0  YA  l sin α AB  h cos α AB
由已知点A、B及观测值L1、 L2计算P1的近似坐标;由点P1 、 A 及观测值L3、 L4计算P2
的近似坐标;由点P1 、 P2 及观测值L10、 L5计算P3的近似坐标;由点P1 、 P3 及观测值
L9、 L12计算P4的近似坐标。其结果为
X 10  48580.270m
Y10  60500.505m
X 20  48681.390m
Y20  55018.279m
X 30  43767.223m
Y30  57968.593m
X 40  40843.219m
Y40  64867.875m
125
2、计算误差方程的系数及常数项
vi  
X 0jk
S
0
jk
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
yˆ j 
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
li  Li  S 0jk
边号
方向
X0(m)
Y0(m)
S0(m)
a=- X0/S0
b=- Y0/S0
l =L-S0(dm)
1
P1 B
-637.268
5725.349
5760.70583
0.1106
-0.9939
0.0017
2
P1 A
5162.866
503.321
5187.34203
-0.9953
-0.0970
-0.0003
3
P2 A
5061.746
5985.547
7838.88037
-0.6457
-0.7636
-0.0037
4
P2 P1
-101.120
5482.226
5483.15850
0.0184
-0.9998
-0.0050
5
P2 P3
-4914.167
2950.314
5781.78768
0.8574
-0.1547
0.0032
6
P2 C
-8632.161
-1235.489
8720.12824
0.9899
0.1417
0.3376
7
P3 C
-3717.994
-4185.803
5598.60930
0.6641
0.7477
-0.3930
8
P3 D
-6842.495
3058.493
7494.93944
0.9129
-0.4081
-0.5844
9
P3 P4
-2924.004
6899.282
7493.32313
0.3902
-0.9207
-0.0013
10
P3 P1
4813.047
2531.912
5438.38209
-0.8850
-0.4656
-0.0009
11
P4 D
-3918.491
-3840.789
5486.91460
0.7142
0.7000
1.5840
12
P4 P1
7737.051
-4367.370
8884.58659
-0.8708
0.4916
0.0041
13
P4 B
7099.783
1357.979
7228.48709
-0.9822
-0.1879
-1.2009
由上表可以列误差方程,见表7-19
126
3、计算观测值的权
σ 02 102
pS i  2  2
σ Si σ Si
σ Si  a  bSi  3m m 1m m Si(km)
边号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
σ(mm)
8.8
8.2
10.8
8.5
8.7
11.7
8.6
10.5
10.5
8.4
8.5
11.9
10.2
pi
1.29
1.49
0.86
1.38
1.32
0.73
1.35
0.91
0.91
1.42
1.38
0.71
0.96
4、组成法方程
BT PBxˆ  BT Pl
编
号
a xˆ 1
b ˆy 1
-0.0079
a
3.1428
b
c
d
e xˆ 3
f ˆy 3
g xˆ 4
h ˆy 4
0.0373
-0.3286
0.1305
1.0316
1.0289
-0.0005
0.0254
-1.1122
-0.5851
-0.5384
0.3039
0.0022
0.0254
-1.3794
-0.5851
-0.3078
0.3039
-0.1716
-0.0111
2.0447
-0.2863
-0.9704
0.5825
0
0
0.2495
2.2452
0.5825
-0.3497
0
0
-0.0278
3.5749
0.0070
-0.1386
0.3269
-0.8408
2.3352
0.3269
-0.7714
-0.1758
2.3070
0.2362
2.6914
1.6531
1.7471
c xˆ 2
d ˆy 2
-0.0779
-0.0650
0.2578
3.1472
对
e
f
称
g
h
解算法方程
-1
xˆ  (BT PB)-1BT Pl  N BB
BT Pl
BT Pl
结果见表中红色数字
127
1
NBB
(QXˆXˆ )
(Xˆ 1 )
(Xˆ 1 )
0.4187
(Yˆ1 )
(Yˆ1 )
(Xˆ 2 )
(Yˆ2 )
(Xˆ 3 )
-0.0530
0.0681
-0.0708
0.1683
0.0093
0.1267
-0.1295
0.5089
-0.0169
0.3432
-0.0142
0.1822
-0.1233
0.1680
0.6524
-0.0186
0.2177
-0.2190
0.0797
-0.1709
0.7174
-0.1102
0.2192
-0.1188
0.1897
0.4274
-0.1045
0.1002
-0.1805
0.6297
-0.1658
0.3850
0.5302
-0.2090
(Xˆ 2 )
(Yˆ2 )
(Xˆ 3 )
(Yˆ3 )
(Xˆ 4 )
(Yˆ4 )
(Yˆ3 )
(Xˆ 4 )
(Yˆ4 )
0.8914
5.平差值计算
(1)坐标平差值
Xˆ 1  X 10  xˆ1  48580.269m
Xˆ  X 0  xˆ  48681.384m
Yˆ1  Y10  yˆ1  60500.497m
Yˆ  Y 0  yˆ  55018.283m
Xˆ 3  X 30  xˆ3  43767.190m
Xˆ 4  X 40  xˆ 4  40843.322m
Yˆ3  Y30  yˆ 3  57968.606m
Yˆ4  Y40  yˆ 4  64867.978m
2
2
2
2
2
2
(2)边长平差值(表7-19)
Lˆ  L  V
128
6、评定精度
VT PV
0.658
ˆ



 0.36dm
(1)单位权中误差
0
nt
13  8
(2)待定点坐标平差值的中误差
1
N BB
( QXˆ Xˆ )
ˆ )
(X
1
ˆ )
(X
1
0.4187
(Yˆ1 )
ˆ )
(X
2
(Yˆ 2 )
(Yˆ 3 )
ˆ )
(X
4
(Yˆ4 )
0.1683
0.0093
0.1267
-0.1295
0.3432
-0.0142
0.1822
-0.1233
0.1680
-0.0186
0.2177
-0.2190
0.0797
-0.1709
0.7174
-0.1102
0.2192
-0.1188
0.1897
0.4274
-0.1045
0.1002
-0.1805
0.6297
-0.1658
0.3850
0.5302
-0.2090
(Yˆ1 )
ˆ )
(X
2
(Yˆ 2 )
-0.0530
0.0681
-0.0708
0.5089
-0.0169
0.6524
ˆ )
(X
3
( Xˆ 3 )
(Yˆ 3 )
ˆ )
(X
4
(Yˆ4 )
0.8914
σˆ Xˆ  0.36 0.4187  0.23dm , σˆYˆ  0.36 0.5089  0.26dm ,
σˆ P1  0.35dm
σˆ Xˆ  0.36 0.6524  0.29dm , σˆYˆ  0.36 0.7174  0.30dm ,
σˆ P2  0.42dm
σˆ Xˆ  0.36 0.4274  0.24dm , σˆYˆ  0.36 0.6297  0.28dm ,
σˆ P3  0.37dm
σˆ Xˆ  0.36 0.5302  0.26dm , σˆYˆ  0.36 0.8914  0.34dm ,
σˆ P4  0.43dm
1
2
3
4
1
2
3
1
129
8.导线网间接平差
130
导线网
• 边角网有两类观测元素,即边长观测值和角度观测值。边角网又分为
边角同测或测边网中测部分角度,或者测角网中部分测边。导线网属
于边角同测网。
一、函数模型
• 导线网的坐标平差中有角度观测的误差方程和边长观测的误差方程,
角度的误差方程与测角网坐标平差的误差方程相同,边长的误差方程
与测边网坐标平差的误差方程相同。
0 
0 
 Y 0
 X 0

Y

X
jk
jh
jk
jh 
 xˆ   
vi   


yˆ
0 2 j
0 2
0 2  j
 S0 2

S jh 
S jh 
 jk
 S jk
Y jk0
X jk0
Y jh0
X 0jh
  
xˆ   
yˆ   
xˆ   
yˆ h  li
0 2 k
0 2 k
0 2 h
0 2
S jk
S jh
S jk
S jh
   
 
vS i  
X 0jk
S
0
jk
   
 
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
yˆ j 
 
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
131
角度误差方程:
v 3  (aEG  aED ) xˆ E  (bEG  bED ) yˆ E
 aEG xˆG  bEG yˆ G  aED xˆ D  bED yˆ D  l 3
l3   3   30
v8  aCH xˆ H  bCH yˆ H  l8
l3   8   80
边长误差方程:
0
0
X AD
YAD
vS1  0 xˆ D  0 yˆ D  lS1
S AD
S AD
lS1  S1  S10
0
0
0
0
X DE
YDE
X DE
YDE
vS 2   0 xˆ D  0 yˆ D  0 xˆ E  0 yˆ E  lS 2
S DE
S DE
S DE
S DE
lS 2  S 2  S 20
132
二、随机模型
• 确定边、角两类观测元素的随机模型,主要是为了确定两
类观测值的权比问题。但导线网中各边长和各角度都是独
立观测的,因此随机模型中的权阵是对角阵。
D  σ02Q  σ02 P1
• 设网中有n1个角度观测值,有n2个边长观测值,观测总数
 diag p β ,pβ , ,pβ ,pS ,pS , ,pS 
n=n1 +n2,则权阵为 P
nn
1
 p β1







 0
2
n1
1

p βn
1
pS1

1
n2
0 


  Pβ
   n1n1
  0
 

pS n2 

0

PS 
n 2 n2 

133
确定观测值的权阵P,须已知观测值的先验方差D,

D  diag σ β21 , ,σ β2n ,σ S21 , ,σ S2n
nn
1
2

(1)单位权方差的确定
导线测量中,各角度为等精度观测,即  1    2      n    ,定权时一般令
1
 
2
0
2
即测角中误差为单位权中误差,则有
σ 02
p βi  2  1 ,
σβ
2
σ 02 σ β
pSi  2  2
σ Si σ Si
(7-8-7)
(2)先验方差的确定:先验方差一般采用厂方给定的测角、测距仪器的标称精度
或者经验数据确定,目的是为了定权。
(3)边角网中权的单位:边角网中 角度的权无量纲,边长的权的单位为秒2/m2
(或秒2/mm2 等)。
134
例7-11 如图7-14所示的结点导线,观测了10个角度和
7条边长,起算数据和观测数据列于表中。试按间接平
差法求各导线点的坐标平差值及其点位精度。
点
名
坐
X
Y
A
11768.714
8419.242
A=274 23 34
B
10878.302
8415.114
B= 8
10
27
C
11101.949
8017.572
C=107
41
27
角
号
角度观测值
° ′ ″
角
号
1
86
43
6
123
09
2
182
22
43
7
131
3
188
59
57
4
5
16
115 23 37
176
33
43
角度观测值
° ′ ″
标(m)
坐标方位角
° ′
″
边
号
边长观测值
(m)
边
号
边长观测值
(m)
05
1
221.650
6
151.480
27 46
2
195.843
7
187.751
8
165 40 29
3
229.356
9
165 59 58
4
189.781
10
113 08 37
5
98.163
135
解:n=17,t=5×2=10。选定待定点的坐标平差值为参数,即

Xˆ  Xˆ D
YˆD
Xˆ E
YˆE
Xˆ F
YˆF
Xˆ H
YˆH
Xˆ G
YˆG

T
1、计算待定点的近似坐标
首先推算各边的近似坐标方位角,然后推算各边的近似
坐标,再据近似坐标推算近似边长和近似坐标方位角,
见p143表7-25。G点的近似坐标取为
X G0  11127.716m,
YG0  8353.334m
2、计算各边坐标方位角改正数方程的系数
a jk 
ρΔY jk0
(S 0jk )2
b jk  

ρΔX 0jk
(S 0jk )2
ρ sin α 0jk
结果见表7-25
S 0jk

ρ cosα 0jk
S 0jk
3、确定角和边的权
设σ0=10″
σ 02
pβ  2  1
σβ
σ 02
100
pSi  2 
(秒 2 /mm 2 )
σ Si S i(m)
各观测值的权列于表7-26中(p144).
136
4、计算角度和边长误差方程系数和常数项(表7-26)
v 3  (aEG  aED ) xˆ E  (bEG  bED ) yˆ E
 aEG xˆG  bEG yˆ G  aED xˆ D  bED yˆ D  l 3
l3   3   30
v8  aCH xˆ H  bCH yˆ H  l8
l3   8   80
0
0
X AD
YAD
vS1  0 xˆ D  0 yˆ D  lS1
S AD
S AD
lS1  S1  S10
0
0
0
0
X DE
YDE
X DE
YDE
vS 2   0 xˆ D  0 yˆ D  0 xˆ E  0 yˆ E  lS 2
S DE
S DE
S DE
S DE
lS 2  S 2  S 20
5、组成法方程、解算法方程(表7-26)
B T PBxˆ  B T Pl  0
1
xˆ  N BB
W
137
6、计算平差值
Xˆ  X 0  xˆ
(1)计算坐标平差值
(2)计算观测值的平差值
V  Bxˆ  l
Lˆ  L  V
作业讲解
7、精度评定
(1)单位权中误差(测角中误差)
VT PV
1113.9
ˆ 0 

 12.6
r
17  10
(2)待定点点位中误差
1
QXˆXˆ  NBB
QX D  1.4634,QYD  0.5294,QX E  1.4956,QYE  1.1212,
QX F  0.9233,QYF  0.3305,QX H  0.2708,QYH  1.1182
QX G  0.6597,QYG  1.2079.
σˆi  σˆ 0 Qii
σˆ D  σˆ X2 D  σˆY2D  12.6 1.4634 0.5294  17.7 m m
σˆ E  σˆ X2 E  σˆY2E  12.6 1.4956 1.1212  20.4m m
σˆ F  σˆ X2 F  σˆY2F  12.6 0.9233 0.3305  13.7 m m
σˆ H  σˆ X2 H  σˆY2H  12.6 0.2708 1.1182  14.8m m
σˆ G  σˆ X2 G  σˆY2G  12.6 0.6597 1.2079  17.2m m
138
第八章 附有限制条件的间接平差
139
公式汇编
• 函数模型
V  B xˆ  l
n1
nu u1
其中, l  L  F ( X 0 ),
n1
C xˆ  W x  0
su u1
• 随机模型
• 法方程的解
s1
D   02 Q   02 P 1
nn
• 法方程
Wx   ( X 0 )
 N BB

 C
nn
C T   xˆ    W 
   
0
K
W
0  s   x 

1
1
K S  N CC
CN BB
W  Wx

1
1 T
1
1 T
xˆ  ( N BB
 N BB
C N cc1CN BB
)W  N BB
C N cc1Wx
140
公式汇编
ˆ
• 观测值和参数的平差值 L  L  V
Xˆ  X 0  xˆ
• 单位权方差估值
V T PV
V T PV
ˆ 

r
nu  s
2
0
• 平差值函数的权函数式及其协因数、中误差
ˆ   ( Xˆ )
 d  ˆ
※附有限制条件的间接平差的步骤:
T
d  
 dX  F dXˆ
 dXˆ  0
 
F 
 Xˆ 1
T
Qˆˆ  F T QXˆ Xˆ F

Xˆ
2
 


Xˆ 3  0
ˆ ˆ  ˆ 0 Qˆ ˆ
(1)列立误差方程和限制条件方程;
(2)计算
(3)计算
(4)求得
141
例8-1 在下图中为了确定通过已知点 x0=0.4,y0=1.2的直线:y=ax+b,等精度
T
ˆ
ˆ
ˆ


X

a
b
量测了x=1,2,3处的y 值分别为1.6、2.0、2.4。选a、b作为参数
。
解:n=3,t=1,r=3-1=2,u=2,可列出c=r+u=n+s=4个方程,其中s=u-t=1
即,可列3个观测方程,1个限制条件。
观测方程为 ˆy  x aˆ  bˆ
v  x aˆ  bˆ - y  aˆ  bˆ - 1.6
1
1
1
ˆy 2  x 2 aˆ  bˆ
ˆy  x aˆ  bˆ
3
1
1
v 2  x 2 aˆ  bˆ - y 2  2aˆ  bˆ - 2.0
v 3  x 3 aˆ  bˆ - y 3  3aˆ  bˆ - 2.4
3
限制条件为 x0 a
ˆ  bˆ  y0  0 0.4aˆ  bˆ  1.2  0
y
2
1
1.2
0.4
y1
1
y2
2
y3
3
x
 v 1   1 1
 1 .6 
ˆ
a


 v    2 1
 2.0 

2


  
 bˆ
 
 v 3   3 1    2.4 
0.4
aˆ 
1 ˆ   1.2  0
b 
组成法方程:
1
1
2
3


N BB  B T PB  
 0
1
1
1
uu

 0

1
1 2 3  
W  B T Pl  
0


u1
 1 1 1  0

 v 1   1 1
 1 .6 
ˆ
a


 v    2 1
 2.0 

2


  
 bˆ
 


 v 3   3 1
 2.4 
0.4
 N BB

 C
aˆ 
1 ˆ   1.2  0
b 
C T   xˆ    W 
0
   

0 K s   Wx 
0 0   1 1
14 6 



1 0   2 1  
,
6
3

0 1  3 1 
0 0  1.6 
12.8 
1 0   2.0   

6

0 1  2.4  
 14 6 0.4   aˆ  12.8 
 6 3 1   bˆ    6.0 

  

0.4 1 0   k s   1.2 
解得
aˆ  0.4793,
bˆ  1.0083,
直线方程为:
y = 0.4793x + 1.0083
k s  0.0992
示例
144
145
146
147
作业:8.3.19/20
148
第九章 概括平差
149
一、一般条件方程和限制条件方程
ˆ ) 0
条 件 平 差 函 数 模 型 F(L
ˆ  F(Xˆ )
间接平差函数模型 L
附有参数的条件平差函
数模型
限制条件方程
(9-1-1)
(9-1-2)
ˆ ,X
ˆ ) 0
F(L
(Xˆ ) 0
(9-1-3)
(9-1-4)
一般条件方程:含有观测量或同时含有观测量和未知参数的方程(如前3式)
限制条件方程:仅含有未知参数而无观测量的方程(如最后一式)
观测方程:观测量为未知参数函数所列立的方程(如间接平差)
150
三、概括平差函数模型
1. 一般而言,对于任意一个平差问题,观测值的
个数是n,必要观测数是t,则多余观测数是r。
2. 若选用了u个参数,不论u<t、u=t或u>t,也不
论参数是否函数独立,每增加1个参数则相应地
多产生1个方程,故总共应列出r+u个方程。
3. 如果在u个参数中存在s个函数不独立的参数,
或者说,在这u个参数(包括u<t、 u=t或u>t的
情况,但是其中没有t个独立参数的情况)之间
存在s个函数关系式,则应列出s个参数的限制
条件方程和c=r+u-s个观测值和参数的一般条件
方程。
4. 因此,就形成了概括平差的函数模型:
~ ~
F(L, X)  0
c1 n1 u 1
c1
~
( X )  0
s1 u 1
s1
A V  B xˆ  W  0
cn n1
cu u 1
c1
c1
C xˆ  Wx  0
su u1
s1
s1
151
一、各种平差函数模型的相同点
1.
待求未知数个数多于方程个数,具有无穷多组解;
2.
为求得唯一解,都采用了最小二乘原理;
3.
对于同一个平差问题,无论采用何种函数模型,其平差结果(平差值及其精度)
相同。
二、当前采用较多的平差方法:间接平差法和附有限制条件的间接平差法
原因:
1. 误差方程形式统一,规律性强,便于计算机程序设计;
2. 所选参数往往是平差后所需的最后成果(平差元素:高程、坐标、观测值的平差
值(角度、方向值、边长等))
152
三、附有限制条件的条件平差函数模型与四种基本平差方法的关系
函数模型:
A V  B xˆ  W  0
(9-2-1)
C xˆ  W x  0
(9-2-2)
c n n1
c u u1
s u u1
s 1
c1
c1
s 1
1、当系数矩阵B=0,C=0时,函数模型为条件平差AV+W=0
V  B xˆ  W  0
2、当系数矩阵C=0时,函数模型为附有参数的条件平差 cA
 n n1 c u u1 c1
c1
3、当系数矩阵A=-I,C=0时,函数模型为间接平差
V  B xˆ  W
n1
c u u1
c1
4、当系数矩阵A=-I时,函数模型为附有限制条件间接平差
 V  B xˆ  W  0
n 1
c u u1
c1
c1
C xˆ  W x  0
s u u1
s 1
s 1
所有其他平差方法的函数模型都是附有限制条件的条件平差的特例,只
要将其系数矩阵A、B、C取“-I”或“0”即可,故将附有限制条件的条件平差称
之为概括平差的函数模型。
153
第十章 误差椭圆
154
点位中误差定义
• 在某一个确定的坐标系中,假设A点是已知点,P为待定点,其真位置
和观测位置分别是
(~
x, ~
y ) ( x, y )
• 其坐标真误差为
x  ~
x  x

y  ~
y  y
• 由此而产生的距离称为P点的点位真误差,
简称真位差:
P 2  x 2  y 2
 P2  E(P 2 )  E(x 2 )  E(y 2 )   x2   y2
155
~ ~
坐标系旋转某一角度,待定点P的坐标真值和观测值分别为 ( x  , y  ) ( x  , y  )
真误差为,但真位差不变
DP 2 = (Dx¢)2 + (Dy¢)2
s = s +s
2
P
2
x'
2
y'
点位真位差的性质
1.
待定点的点位真位差与坐标系的选择无
关,但在不同方向上真位差的分量不同;
2.
任何一点的真位差的平方总是等于两个
相互垂直方向上真误差分量的平方之和。
156
纵向误差:真位差p在AP方向的投影s;
x
横向误差:真位差p在AP的垂直方向的投影u。
s P2 = s s2 + s u2
P’
Δu
ΔP
Δx
Δs
真位差:
DP 2 = (Ds)2 + (Du)2
Δy
P
A
y
157
一、任意方向的位差
1、待定点在某一方向的真误差——P点点位真误差在方向的投影
假设在P点作一标准方向(纵坐标轴),从标准方向开始顺时针系绕P点旋转角度
后,则待定点P在方向的真误差为,即P点点位真误差在方向的投影,其与P点
坐标真误差x、y的关系为
 Δx 
Δ  PP  PP  cosΔx  sin Δy  cos sin   
 Δy 
2、方向位差的协因数
运用协因数传播律,为
 Q xx Q xy  cos 

Q  cos sin  
 sin  
Q
Q
yy 

 yx
2
2
 Q xx cos   Q yy sin   Q xy sin 2
3、P点在方向上的位差(计算式)
 2   02 (Qxx cos2   Qyy sin 2   Qxy sin 2)
158
4、P点在垂直方向上的位差
Δ '  cos ' Δx  sin  ' Δy
 cos(  90) Δx  sin(  90) Δy
  sin Δx  cosΔy
 Δ  cos sin    Δx 
 Δ '   sin  cos   Δy 

 
 
由此:
Q ' '
 Q xx Q xy  cos 

 cos  sin  
  sin  
Q
Q
yy 

 yx
2
2
 Q xx cos   Q yy sin   Q xy sin 2
 2'   02 (Qxx cos2   Qyy sin 2   Qxy sin 2)
 P2   2   2'   02 (Qxx  Qyy )
点位方差可以表示为任意两
个垂直方向的方差分量之和
159
二、位差的极大值E和极小值F
1、位差极大值E和极小值F的协因数
在众多的位差权倒数中,必有一对权倒数取得极大值和极小值,分别设为
QEE和QFF
它们实际上就是在某一坐标系下点坐标协因素阵的特征值的两个根,向量
的特征方程为
QXˆXˆ - l I =
Qxx - l
Qyx
1
2
x
Qxy
2
(Q
l
)(Q
l
)
Q
=0
xx
yy
xy
= 0 展开得
Qyy - l
l 2 - (Qxx + Qyy )l + (QxxQyy - Qxy2 ) = 0
解得 l = (Qxx + Qyy ) ±
1
(Qxx + Qyy )2 - 4(QxxQyy + Qxy2 )
2
1
2
1
= (Qxx + Qyy - K )
2
l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K)
l2 = QFF
 b  b 2  4ac
2a
式中
K = (Qxx - Qyy )2 + 4Qxy2
160
Qxy
y QEE - Qxx
tgf E = =
=
x
Qxy
QEE - Qyy
Qxy
y QFF - Qxx
tgfF = =
=
x
Qxy
QFF - Qyy
所以,当Qxy >0,极大值E在第一、三象限;极小值F在第二、、四象限。
当Qxy < 0,极大值E在第二、四象限;极小值F在第一、三象限。
2Qxy
2tg E
tg 2 E 

 tg 2 F
1  tg 2 E Qxx  Q yy
2 F  2 E  180
 F   E  90
可以看出,位差 取得极大值和极小值都在互差180°的两个方向上,而且极大值与
极小值的方向总是互相正交,即
极大值的两个方向为
 E ,  E 180
极小值的两个方向为
 F , F 180
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误差曲线
以极大值方向与极小值方向的交点为极点、以极大值方向E为极轴、
以不同的方位角 (由E轴起算)和位差   为极坐标的点的轨迹,
是一条闭合曲线,形状如下图。
 上的向径
OP就是该方向上的位差 。
图中任意方向
该曲线将各方向上的位差清
清楚楚地图解出来了。由图
知,该曲线关于E轴和F轴对
称。称该曲线为点位误差曲线。
点位误差曲线不是一种典型曲线,作图也不方便,因此降低了它的实用价值。
但可以用E、F为长半轴和短半轴的椭圆代替,此椭圆称为点位的误差椭圆。所以在
实际应用中常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。在点位误差椭圆上可以图解出任
意方向的位差
s y。
1、点位误差椭圆的参数:
fE , E , F
2、在点位误差椭圆上图解任意方向的位差
自椭圆作方向的正交切线PD,P为切点,D为
垂足,则 方向的位差为
s y = OD
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