矩陣運算

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Chapter 1 矩陣
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
聯立方程式
矩陣的定義
矩陣的運算
基本列運算
反矩陣
行列式
結束
結束
1-1 聯立方程式
m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統
a 11 x 1  a 12 x 2 
 a 1 n x n  b1
a 21 x 1  a 22 x 2 
 a 2 n x n  b2
a m 1 x1  a m 2 x 2 
(1-1)
 a m n x n  bn
稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若x1 =
s1, x2 = s2,……, xn = sn能滿足聯立方程式(1-1)時,我們
稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(1-1)的解。
結束
Example 1
聯立方程式可能有解(一個解或是無限多個解),亦
可能無解。
利用消去法(method of elimination)解聯立方程式,
其利用方程式乘以適當實數後加到另外一個方程式
上,以消去某個變數。
解聯立方程式:
x1  x 2  x 3  4
3 x1  2 x 2  x 3  2
4 x1  2 x 2  2 x 3  8
結束
Ex. 1 answer
式(1) × -3 +式(2)
x1  x 2  x 3  4
5 x 2  2 x 3   10
4 x1  2 x 2  2 x 3  8
式(1) × -4+式(3)
x1  x 2  x 3  4
5 x 2  2 x 3   10
6 x2  2 x3   8
式(2) × (-6/5) +式(3)
x1  x 2  x 3  4
5 x 2  2 x 3   10
2
5
x3  4
x1  x 2  x 3  4
Ex. 1 answer
5 x 2  2 x 3   10
2
式(2) × (1/5) +式(3) ×(5/2)
x1  x 2  x 3  4
x2 
2
5
x3   2
x 3  10
式(2) +式(1)
x1 
x2 
3
5
2
5
x3  2
x3   2
x 3  10
x3=10代入式(1)與式(2):
得x1=-4 x2 = 2
結束
5
x3  4
結束
Ex. 2
解聯立方程式
x1  2 x 2  3 x 3   4
2 x1  x 2  3 x 3  4
x1  2 x 2  3 x 3  結束
4
Ex. 2 answer
2 x1  x 2  3 x 3  4
式(1) × (-2) +式(2)
x1  2 x 2  3 x 3   4
 3 x 2  3 x 3  12
式(2)÷3x2=x3-4 代入式(1)
x1   4  2 x 2  3 x 3   4  2 ( x 3  4 )  3 x 3
 x3  4
則聯立方程式可寫為:
(無限多組解)
x1  s  4
x2  s  4
x 3  s , s 為任意數
結束
Ex. 3
解聯立方程式
x1  x 2  3 x 3  12
2 x1  2 x 2  6 x 3  6
式(1) × (-2) +式(2)
x1  x 2  3 x 3  12
0   18
(無解)
結束
1-2 矩陣的定義
1-1
由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方
形數列,稱為 m  n 階(order)矩陣(matrix) A。
 a 11

a 21

A


am1
a 12
a 22
am 2
a1n 

a2n



amn 
(1-2)
結束
1-2 矩陣的定義
1-1
為簡便計,m  n 矩陣常以符號 A = [aij]mn,或更
簡單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j 行位
置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。
結束
矩陣的應用
矩陣除了數學、物理、工程、經濟或管理應用外,
目標活動裡的一些數據,亦可利用矩陣符號表示之。
例如某工廠生產A、B、C、D、E產品,以連續四
天出貨數量,可以下式表示之:
1
A 100

B
30

C  50

D  700
E  300
2
3
200
250
30
20
40
50
350
600
550
400
4
150 

35

60 

900 
300 
結束
1-2 矩陣的定義
下面介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m  n
矩陣:
若m = 1,矩陣 A 只有一列,稱為列矩陣(row matrix)
或列向量(row vector),如 A = [3, 2, 1]。若 n = 1 時,
則稱 A 為行矩陣(column matrix)或行向量(column
vector)。
1
 
A 2
 
 3 
結束
1-2 矩陣的定義
當 m = n 時,矩陣 A 稱為 n 階方陣(square matrix of
order n)。其中對角線元素a11, a22, ……, ann 構成主
對角線(main diagonal)。
若 n 階方陣中,對角線之外的元素皆為0,即aij = 0,
當 i  j ,則稱此矩陣為對角矩陣(diagonal matrix)。
1

A 0

 0
0
2
0
0 

0

 3 
結束
1-2 矩陣的定義
若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1,則稱 A 為單位
矩陣(identity matrix)。通常以符號 In 表之。
1

I3  0

 0
0
1
0
0

0

1 
若對角矩陣 A 中,對角線元素皆相等,即 aii = c, i
= 1,…, n,則稱矩陣 A 為純量矩陣(scalar matrix)。
3

A 0

 0
0
3
0
0 

0

 3 
結束
1-2 矩陣的定義
若 n 階方陣 A 中,aij = 0,當 i > j 時,則 A 稱為
上三角矩陣(upper triangular matrix)。
3

0

A
 0

 0
2
5
7
1
0
4
0
0
0 

3

5 

5
結束
1-2 矩陣的定義
若 aij = 0,當 i < j 時,則稱 A 為下三角矩陣(lower
triangular matrix),例如
4

1
A 
2

3
0
0
9
0
5
0
2
1
0

0

0

1
不論是上三角矩陣或下三角矩陣,均通稱為三角矩陣
(triangular matrix)。
元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣(zero matrix),以符號
O 或 Om  n 表之。
結束
1-3 矩陣的運算
1-2
若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m  n
矩陣,且aij = bij ,1  i  m, 1  j  n ,則
稱矩陣 A 和矩陣 B 相等(equal)。並寫成 A =
B。
結束
1-3 矩陣的運算
1-3
加法運算(matrix addition)
若 A = [aij], B = [bij] 皆為 m  n 矩陣,則 A 與 B
的和(sum) C = [cij] 亦為 m  n 矩陣,且
c ij  a ij  b ij , i  1,
, m , j  1,
,n
即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的
m  n 矩陣,或寫成 C = A + B。
結束
Ex. 4
2×2
 3

  11
3×2
3

5

 3
 10   6

25   1
 4  0
 
8  5
 
0   0
4   9
 
 6    10
8  3
 
2  0
 
 4   3
4 

10

 4 
 6

19 
結束
1-3 矩陣的運算
1-4
乘法運算(matrix multiplication)
若 A = [aij] 為 m  n 矩陣,B = [bij] 為 n  p 矩陣,
則 A 和 B 的乘積(product) C = [cij] 為 m  p 矩陣,
其中
c ij  a i 1 b1 j  a i 2 b 2 j 
i  1,
, m , j  1,
 a in b n j ,
,p
結束
1-3 矩陣的運算
若以符號表示,可寫成 C = AB
 a 11 a 12


第 i 列   a i1 a i 2



 a m 1 a m 2


 


c ij








a in 



a m n 
a1n
 b11

 b 21




 b n 1
b1 j
b2 j
bn j

第j行
b1 p 

b2 p 




bn p 

結束
Ex. 5
2
AB  
1
1
3
 1
 6 
 0
2 
  2
0
4
1
 3
  14
2  

 3
1 
2
 10
 10 
C
7
為(2×3)×(3×3)=( 2×3)矩陣,若將A、B相乘次序顛倒,則得:
 1

BA  0

  2
0
4
1
 3

2

1 
因為 B 的行數不等於
2

1
1
3
 6

2 
A 的列數,故 BA 的乘積無法定義。
結束
Ex.6
 1
A 
 3
2
1
2
0

, B   0
1
 2
 2
則 AB  
 4
 1

BA   12

  7
1

4

3 
9
 為 2  2 矩陣,而
4
5
4
5
1

4

3 
結束
Ex. 7
2
設A  
3
 1
 2
 ,B  
1 
 1
 5
則 AB  
 5
1

4
 2
 1
 , 而 BA  
7 
 14
故一般而言,AB≠BA
3

3
結束
1-1
矩陣加法性質
設 A、B、C、O 為同階矩陣,則
(1) A + B = B + A 交換律(commutative property)
(2) A + (B + C) = (A + B) + C 結合律(associative
property)
(3) A + O = O + A = A 同一律(identity property) , 這
裡零矩陣O所扮演的角色正與實數中的零一樣。
結束
Ex.8
 1
設 A
 2
2
0
1
0
 ,B  
1
1
1
3
則A+(B+C)=(A+B)+C
 1

 1
4
5
2

3
2
 2
 ,C  
1
 0
1
2
 1

1 
結束
1-2
矩陣乘法性質
設A、B、C為三個矩陣,並設其加法與乘法的運
算均能符合定義要求。
(1) A(BC) = (AB)C 結合律
(2) A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC 分配律(distributive
property)
(3)若 A 為 m  n 矩陣,則 AIn = Im A = A
這裡單位矩陣在矩陣乘法運算中所扮演的角色與實
數中的 1 相同。
結束
Ex. 9
1
設A  
2
2
2
 ,B  
4
3
1
則 A ( BC )  
2
8
( AB ) C  
16
2

4
1

4
1
 2
 ,C  
2
 5
13   9
 
19  18
5   2
 
10   5
加法法則亦是一致
7  9
 
1  18
7 

 1
51 

102 
51 

102 
結束
Ex. 10
設
1
A 
2
0
則 AB  
0
這與實數系統中,
完全不同。
2
 4
 ,B  
4
 2
 6

3 
0

0
ab  0 必得 a  0 或 b  0 之結果,
結束
Ex. 11
1
A 
2
2
2
 ,B  
4
3
8
則 AB  
16
5
  AC
10 
設
這與實數系統中,
1
 2
 ,C  
2
 5
ab  ac ,且 a  0,
則必有 b  c 之結論,完全不同。
7 

 1
結束
1-5
若以一實數 r 乘以矩陣 A = [aij],則矩陣 rA 可由
A 中每一元素乘以 r 而得。這種運算,稱之為純
量乘法運算(scalar multiplication)。
1-6
設 A = [aij] 為 m  n 矩陣,則矩陣 AT = [aji] 為 n 
m 矩陣,稱為 A 的轉置矩陣(transpose of A)。
1
設 A 
4
T
2
5
1
3

T
則
A

2


6
 3
4

5

6 
則 A 可由 A 的行與列相互對調而得
之
結束
Ex. 12
設
1
r  5, A  
2
 5 1
則 rA  
5  2
3

4
5  3  5
 
5  4  10



1
若 r   時,則 rA  
3


15 

20 
1
3
2
3

1 
4
 
3
結束
1-3
純量乘法性質
設 r、s 為實數,A、B 為同階矩陣,則
(1) r (sA) = (rs)A ------- 結合律
(2) (r + s) A = rA + sA --------分配律
(3) r (A + B) = rA + rB
(4) A (rB) = r (AB) = (rA) B
(5) oA = O
(6) rO = O
注意,此處o是實數,而O是零矩陣,當r=-1時,
(-1)A可寫成-A,稱為A的負矩陣,故矩陣減法
運算,A-B=A+(-B)
結束
Ex. 13
設
3
A 
4
2
4
 ,B  
5
3
 2

1 
3
則 A  B  A  ( B )  
4
2  4

5  3
3  4
 
4  3
4

4
2  (2)  1
 
5 1   1
2 

 1
結束
Ex. 14
設
3
r   3, A  
4
3
則 A ( rB )  
4
18
r ( AB )  (  3 ) 
 31
則 A ( rB )  r ( AB )
2
4
, B  
5
3
2    12

5  9
 2

1 
6    54
 
 3    93
 4    54
 
 3    93
12 

9
12 

9
結束
1-4
矩陣轉置性質
設 r 為一實數,A、B 為矩陣,則
(1) (AT)T = A
(2) (A + B)T = AT + BT
(3) (AB)T = BTAT
(4) (rA)T = rAT
結束
Ex. 16
1
設 A 
2
0
2

, B   2
3
 3
3
1
12
則 ( AB )  
7
5 

 3
T
T
B A
T
0
 
1
2
2
T
12
 
5
1
3 
 3
 1
 2
即 ( AB )  B A 。注意本例中
T
T
T
而 A B 為 3  3 矩陣。
T
T
1 

2

 1
7 

 3
2 
 12
1  

5
3 
7 

 3
B A 為 2  2 矩陣,
T
T
結束
1-7
設 AT = A , 則 矩 陣 A 稱 為 對 稱 矩 陣
(symmetric matrix)。
值得注意的是,對稱矩陣必為一方陣,且aij
= aji。
結束
1-4 基本列運算
聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示,則可寫成
AX = b
(1-3)
其中
a
a
a

11

a 21

A


 a m 1
12
a 22
am 2
1n

a2n



a m n 
稱為係數矩陣(coefficient matrix)。
結束
Ex. 17
對角矩陣必為對稱矩陣。
3

1

 2
1
7
6
2   1
 
6 與 0
 
 5    1
0
0
3
 1

3 為兩對稱矩陣

2 
結束
1-4 基本列運算
X = [x1, x2, ……xn ]T 為 n  1 矩陣,而 b = [b1,
b2, …… bn]T 為 m  1 矩陣,又
 a 11

a 21
 A b   

 a m 1
a 12
a1n
a 22
a2n
am 2
amn
b1 

b2



b m 
稱為擴張矩陣(augmented matrix)。
實際上,消去法就是在擴張矩陣上,施以一連串的
列運算,這些運算可區分為三種。
結束
1-8
對於一個矩陣,可用下列三種不同的列運
算 , 稱 為 基 本 列 運 算 (elementary row
operations)。
(1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 Rr  Rs
表之)。
(2)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c (以符
號 cRr 表之)。
(3)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c 後,
再加到第 s 列上(以符號 cRr + Rs 表之)。
結束
1-9
若矩陣 A,經過一連串的基本列運算後變成
矩陣 B,則稱矩陣 A 和 B 為列同義(row
equivalent)。可寫成 A ~ B。
x1  x 2  x 3  4
Ex. 18
結束
3 x1  2 x 2  x 3  2
4 x1  2 x 2  2 x 3  8
Ex. 1中聯立方程式之擴張矩陣為:
1

3

 4
1
1
2
1
2
2
4

2

8 
Ex. 1消去法求解過程,若以基本列運算表示,寫為:
1

3

 4
1
1
2
1
2
2
4

2

8 
1

(  4 ) R1  R 2
 
 0

 0
1

( 3) R 1  R2
 
 0

 4
1
1
5
2
6
2
4 

 10

 8 
1
1
5
2
2
2
4 

 10

8 
結束
Ex. 18

1
6

(  ) R 2  R3
 5     0

0

1
R3

2

 0

0
5

1

0

0

0
1
0
3
5
2

5
1
1
1
0
1
1
5
2
2
0
5
1
2

5
1


 10 

4 

4

1
1

R2
 5
 0

0

1
1
0
4 
 ( 1 ) R 2  R1
 2   


10 

2 
1
3
 (  ) R 3  R1 
 2   5    0


10 
0

0
1
0
0
2

5
1
 4

 2

10 
1
2

5
2
5

4 

 2

4 

結束
Ex. 18
1
( ) R3  R 2

5

  0

 0
2
0
0
1
0
0
1
1
1
2
1
2
2
4  1
 
2 與 0
 
8   0
1

而矩陣 0

 0
0
0
1
0
0
1
1

則 3

 4
0
0
1
0
0
1
 4

2 為列同義

10 
 4

2 所表示的就是聯立方程

10 
1  x1  0  x 2  0  x 3   4
0  x1  
 4

2

10 
式
結束
1-10
若矩陣滿足下列的條件,則稱為簡化列梯形
矩陣。
(1)任何一列的第一個不為零元素必須是1,而且含
有此元素 1 的這一行,其他元素必須為零。
(2)每一列第一個不為零的元素,必須位於前一列
第一個不為零元素的右側。
(3)若有某列之元素全部為零,則此列必位於矩陣
的最下端。
結束
Ex. 19
1

0

 0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
3  1
 
4 與 0
 
1   0
皆為簡化列梯形矩陣。
1

0

0

0
0
1
1
2
1
1
0
0
 1
 1
1
與 0
0  
  0
0 
0
0
0
1
2
2
0
0
0
但是:
1
0
1
2
0
1
違反定義 1  10 ( 2 ) 與 (1)等條件
1 

1

0 
 2

1

0 
結束
1-11
若 A 為 m  n 矩陣,矩陣 C 為 A 經過一連
串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣,
則 C 中不全為零的列的個數,稱為矩陣A
的秩(rank),以 r (A)表示。
結束
Ex. 20
Ex. 1中矩陣
1

[ A b]  3

 4
1
1
2
1
2
2
4

2

8 
之秩等於3,
因為簡化列梯形矩陣不全為零的列有三個,而
r(A)亦等於3。  1 0 0  4 

0

 0
1
0
0
1


10 
2
結束
1

2
 3

 6
1

2

 0
2
1

2

1

1
4
0
 1

6

 8 
2
0
3
1
3
2
1
0
2

5

5

2
結束
習作解答
1

2

 0
2
4
0
 1
1
 (  2 ) R1  R 2 
6     0


 0
 8 
1

R2  R3
   0

 0
2
0
0
2
0
0
 1

8

 8 
 1

8  r ( A)  2

0 
結束
習作解答
1  2

2

1

1
0
3
1
3
2
1
0
2
1


5
0
 2 ) R1  R 2
  (

 
1
5


2
1
1

0
(  1 ) R1  R 3

   
0

1
2
0
1
1
5
2
1
0
1

0
( 5 ) R2  R3

   
0

0
2
0
1
1
0
7
3
0
2
0
1
1
3
2
1
0
2

1

5

2
2
1


1
0
1) R1  R4
  (

 
0
3


2
0
2 
1


1
0
3) R2  R4
  (

 
0
 2


0 
0
2
0
1
1
5
2
3
0
2

1

3

0
2
0
1
1
0
7
0
3
2 

1

 2

 3
結束
習作解答
1

0

0

0
2
0
1
1
0
7
0
3
1

0
( 2 ) R 2  R1

   
0

0
2 
1


0
1
3) R2  R4

  (
 
0
 2


 3
0
0
2
1
1
0
7
0
0
2
0
1
1
0
7
0
0
2 

1

 2

0 
4 

1
  r ( A)  3
 2

0 
(1)任何一列的第一個不為零元素必須是1,而且含有此元素 1 的這一
行,其他元素必須為零。
(2)每一列第一個不為零的元素,必須位於前一列第一個不為零元素的
右側。
(3)若有某列之元素全部為零,則此列必位於矩陣的最下端。
結束
1-5
考慮聯立方程式 AX = b,A 為 m  n 矩陣,
(1)若 r (A) = r ([A  b]) = n 則 AX = b有唯一解
(2)若 r (A) = r ([A  b]) < n 則 AX = b有無限多解
(3)若 r (A) < r ([A  b]),則 AX = b 無解
在解聯立方程式 AX = b 時,進行一連串的基本列
運算,將 [A  b] 轉換成與其列同義的矩陣[C  d]
或 CX = d,因此 AX = b 與 CX = d 具有相同的解。
結束
Ex. 21
解聯立方程式
x1+2x2+4x3=6
x2+2x3=3
x1+x2+2x3=1
解其擴張矩陣為:
1

0

 1
2
4
1
2
1
2
6
1
 (  1 ) R1  R 3 
3  
 0


 0
1 
1

    0

 0
(  2 ) R 2  R1
(1 ) R 2  R 3
0
0
1
2
0
0
2
4
1
2
1
2
0 
1
1
 (  2 ) R3 
3    0


 0
 2 
6 

3

 5 
0
0
1
2
0
0
0

3

1 
結束
Ex. 21
由定理1-5與r(A)=2<3=r([Ab]),得知此聯立方程式
無解。又最後的簡化列梯形矩陣所對應之聯立方程
式為:
1x1+ 0 x2+ 0 x3=0
0x1+1  x2+2  x3=3
0x1+ 0 x2+ 0 x3=1
第3個方程式為矛盾方程式,故無解。
結束
Ex. 23
解聯立方程式
 x1  x 2  x 3  3
 3 x1  6 x 2  3 x 3  9
4 x1  8 x 2  4 x 3   12
解:
1

[ A b]   3

 4
即
1
1
6
3
8
4
3  1
 
9  0
 
12   0
0
1
1
0
0
0
x1  x 3   3
x2  0
因此解為
x1  s
x2  0
x3  3  s
s 為任意數
 3

0

0 
結束
Ex. 23
若聯立方程式(1-3)中的 b 為零向量,即 b = 0,
AX = 0
(1-4)
為齊次線性聯立方程式 (homogeneous system of
linear equations)。
若 b  0,則稱(1-3)為非齊次線性聯立方程式
(nonhomogeneous system of linear equations),顯然
x1 = 0, x2 = 0, ……, xn = 0 必為(1-4)的解,稱之為
自然解(trivial solution)。
結束
Ex. 23
聯立方程式
x1  x 2  2 x 3  0
2 x1  3 x 2  4 x 3  0
(m  n)
必有無限多解
1

2
1
2
3
4
其解為
0  1
 
0  1
x1  10 t
x 2   8t
x3  t
0
 10
1
8
0

0
結束
Ex. 24
解聯立方程式:
x1  2 x 2  3 x 3  0
 x1  3 x 2  2 x 3  0
2 x1  x 2  2 x 3  0
 1

1

 2
2
3
3
2
1
2
故有自然解
0  1
 
0  0
 
0   0
x1  0
0
0
1
0
0
1
x2  0
0

0

0 
x3  0
1-6
設 A 為 m  n 矩陣。若 m < n,則齊次線性
聯立方程式 AX = 0必有無限多解。
結束
結束
1-5 反矩陣
首先考慮聯立方程式
AX = b,A 為 n 階方陣。
假設有一矩陣 B,可使得 BA = In,則在 AX = b 兩
邊的前端同時乘以 B,可得
BAX = Bb
InX = Bb
或
X = Bb
換言之,聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb。對
於這個 B 矩陣,稱它為 A 的反矩陣。
結束
1-12
設 A 為一 n 階方陣。若存在一 n 階方陣 B,
使得AB = BA = In,則稱 A 為非奇異矩陣
(nonsingular matrix) 或 可 逆 矩 陣 (invertible
matrix),並稱 B 為 A 的反矩陣。
反之,若沒有這種B矩陣的存在,則稱 A 為
奇 異 矩 陣 (singular matrix) 或 不 可 逆 矩 陣
(noninvertible matrix)。
結束
1-7
若矩陣 A 有反矩陣,則僅有一個反矩陣。
證明:設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣,則
BA = AB = In
CA = AC = In
因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C。
習慣上,可用符號 A1 表示 A 的反矩陣。
即
AA1 = A1 A = In
結束
Ex. 25
1
矩陣 
4
 9

 4
2
 9
的反矩陣為 
9
 4
 2  1

1  4
同理,亦稱
1

4
2  1
 
9  0
 2
,因為
1 
0

1
2
 9
 為矩陣 
9
 4
 2
 之反矩陣
1 
結束
Ex. 26
利用Ex. 25的結果,解聯立方程式
x1+2x2=0
4x1+9x2=1
解:若以矩陣表示,可寫成:
1

4
2   x1   0 
    
9   x2  1 
 9
兩端各乘以 
 4
 9

 4
或
 2  1

1  4
 2
 可得
1 
2   x1   9
   
9   x2   4
 x1    2 
  

x
1

 2 
 2  0 
 
1  1 
結束
1-8
若 A 為一 n 階非奇異矩陣,則 A ~ In;反之,若 A
~ In,則 A 必為非奇異矩陣。
矩陣 A 與 A1 應滿足關係式
AA1 = In
若將 A1 及 I 分別用行向量表示成
[X1,……,Xn] 及 [E1,……,En]
(1-5)
結束
其中
0
 
 
0
 
E i   1   第 i 列 , i  1,
0
 
 
0
 
,n
則(1-5)式可改寫成
AX1 = E1,……, AXn = En
(1-6)
結束
也就是 X1, X2, ……, Xn 分別是下列 n 組聯立方程式
的解
AX= E1, AX = E2, ……, AX = En
(1-7)
這 n 個聯立方程式的擴張矩陣為
[A  E1], [A  E2], …… , [A  En]
(1-8)
若利用基本列運算和定理1-8及(1-6),可將(1-8)化
成列同義的擴張矩陣
[In  X1], [In  X2],~…… ,[In  Xn]
(1-9)
結束
今將(1-8)與(1-9)中各矩陣,以更精簡符號表示,可
得
[A  In] ~ [In  A1]
(1-10)
因此,若能利用基本列運算將矩陣 [A  In] 轉換成
[In  B] 的型式,則 B 必為 A 的反矩陣。
結束
Ex. 27
在Ex.
1
25中,A   4

1
[ AI2 ]  
4
2
-1
 ,試求A 。
9
2
1
9
0
0  ( 4 ) R  R
1

1
2






1
0
1
    
0
0
9
1
4
(  2 ) R 2  R1
即A
1
 9
 
 4
2
1
1
4
 2

1 
 2
,與 Ex . 25 所示完全一致。
1 
0

1
結束
Ex. 28
 1

設 4

  1
2
1
3
1

1
2 ,試求 A 。

2 
解:
 1

[ A I3]  4

  1
1

(  4 ) R1  R 2
 
 0

R1+R3
 0
2
1
1
0
1
2
0
1
3
2
0
0
0
 1
 (  1) R

0  1  4


  1
1 
2
1
1
0
9
6
4
1
1
1
1
0
0

0

1 
2
1
1
0
1
2
0
1
3
2
0
0
0

0

1 
Ex. 28
1

R2  R3

 0

 0
2
1
1
0
1
1
1
0
9
6
4
1
1

( 2 ) R 2  R1
 
 0
(-9)R2+R3 
 0
0
1
3
0
1
1
1
0
0
3
13
1

1
1

(  ) R3
 3    0

0


1

(  1 ) R 3  R1
     0
(-1)R3+R2 

0

因此
A
1
0
1
3
0
1
1
0
1
1
13

3
0
1

3
0
1
0
 4
 3
 10
 
 3
 13

 3
3
10
3
1

1
3
1
3
1
3
1

3


1

3

2
1
3
13

 1

 2


3

結束
2 

1

 9 
4
0
0
0

1

0 
3
1

3

 1

 2


3

結束
1-9
(1)若 A 為非奇異矩陣,則 A1 亦為非奇異矩陣, 且
(A1) 1 = A。
(2)若 A,B 皆為非奇異矩陣,則 AB 亦為非奇異矩陣,
且(AB) 1 = B 1A 1 。
(3)若 A 為非奇異矩陣,則 AT 亦為非奇異矩陣,且(AT)
1 = (A1) T。
結束
Ex. 29
設
則 A
2
A 
3
1
 4
 5
 
3

 5
4
AB  
11
2

8
1
1
, B  
4
2
0

2
1
 
 1
5 ,B  
1
2 


5 
0
1
2 
結束
Ex. 29 (Another method)
2
A 
3
設
則 A
1
2
 
3

1
 
 
0

 3 R1  R 2

1
1
( ) R2  R1

3

  
0

1
1
, B  
4
2
1
1
4
0

0  (  13 ) R 2  R1  1

    
1
3

1
1
3
5
0
1
0

2
3


1
5
3
5

1
3
4

1  (1)R
1

2
 
5
3    
2 
0

1
 
5
2 

5 
1
0

1
1
 
3
1 
0
3
1

3
5
1
 
3
2 

5 
結束
Ex. 29
( AB )
1
 B
1
A
1
 1
 
1

 4
 5
 
11

 10
( AB )( AB )
1
4
 
11
 4
0 
1  5
3

2  
 5
1
 
5
2 

5 
1
 
5
2 

5 
 4
2  5
  11
8

 10
1
 
5  1
2   0

5 
0

1
結束
1.6 行列式
若
 a 11

a 21
A 


 a n 1
a 12
a 22
an2
a1n 

a2n



a n n 
為一 n 階方陣,則其行列式為一實數,記為 |A| 或
det(A)。
結束
1-13
(1)若 A 為一階方陣,即 A = [a11],則定義 |A| = a11。
 a 11
(2)若 A 為二階方陣,即 A  
 a 21
= a11a22  a12a21。
a 12 
,則定義 |A|

a 22 
結束
1-14
若 A = [aij] 為 n 階方陣,令 Mij 為 A 中除去第 i 列
及第 j 行後的 n1 階子矩陣,則子矩陣 Mij 的行列
式 |Mij| 稱為元素 aij 的子行列式(minor)。而 Aij =
(1)i + j |Mij| 則稱為 aij 的餘因式(cofactor)。
1

5

9

13
2
3
6
7
10
11
14
15
4

8

12 

16 
Mij
1

9

13
2
10
14
4

12

16 
結束
1-15
若 A = [aij] 為 n 階方陣,則行列式
n
A 
a
ij
A ij
(1-11)
j1
定義1-15中的行列式 |A|,可視為依第 i 列將 n1
階餘因式展開的結果。亦即,先固定某一列 i,對
第 i列中元素求取對應之 Aij , j = 1,2 …, n,乘上 aij
後再加總起來。當然也可以先固定某一行 j,對第
j 行中各元素求取 Aij ,乘以 aij 後,再依 i =
1, ……, n 相加起來。故
n
A 
a
i 1
ij
Aij
(1-12)
結束
Ex. 30
設
 3

A 0

  1
2
3
5
1 

2 , 試求 A

 2 
解:先對第 1列展開
A  (  3 )(  1)
11
3

5
2 
0
1 2 
  ( 2 )(  1) 
 2
 1
2 
0
1 3 
  (1)(  1) 
 2
 1
3

5
 (  3 )  (  6  10 )  ( 2 )(  1)( 2 )  (1)( 3 )  47
若對第 3 行展開:
A  (1)(  1)
1 3
 0

 1
3
3
23 
  ( 2 )(  1) 
5
1
2
3
3 3 
  (  2 )(  1) 
5
 0
 3  ( 2 )(  1)(  13  (  2 )(  9 )  47
故藉由列或行的展開,即公式(1-11)或(1-12),求得的|A|都完全 一樣。
2

3
結束
Ex. 31
 a 11

設 A  a 21

 a 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23 , 試求 A

a 33 
解:
A  a 11
a 22
a 23
a 32
a 33
 a 12 (  1)
a 21
a 13
a 31
a 33
 a 13
a 21
a 22
a 31
a 32
 a 11 ( a 22 a 33  a 23 a 32 )  a 12 ( a 21 a 33  a 23 a 31 )  a 13 ( a 21 a 32  a 22 a 31 )
 a 11 a 22 a 33  a 12 a 23 a 31  a 13 a 21 a 32  a 13 a 22 a 31  a 12 a 21 a 33  a 11 a 23 a 32
結束
1-10
設 A = [aij] 為 n 階方陣。
(1)若 A 中某一行或某一列的元素全為零,則 |A|
= 0。
(2)若 A 中有兩行或兩列的元素完全相同,則 |A|
= 0。
(3)若 A 為三角矩陣,則 |A| = a11a22 ……ann。
(4)若將 A 的某兩列(或行)相互對調而得矩陣 B,
則 |B| = |A|。
結束
1-10
(5)若 A 中某一列(或行)乘上實數 c 後而得矩陣 B,則
|B| = c |A|。
(6)若 A 中某一列(或行)乘以實數 c 後,加到另一列(或
行)上,而成矩陣 B 時,則 |B| = |A|。
(7)若 B 亦為 n 階方陣,則 |AB| = |A||B|。
(8) |AT| = |A|。
1
1
(9)若A為非奇異矩陣,則|A|  0,且 A  A 。
上述定理的結論(9),可由(3)(7)及 A1A = In 而得。
結束
1-11
若 A = [aij] 為 n 階方陣,則
當 i  k 時,
ai1 Ak1 + ai 2 Ak2 + …… + ain Akn = 0
(1-13)
當 j  k 時,
a1j A1k + a2j A2k + …… + anj Ank = 0
(1-14)
結束
1-16
若 A = [aij] 為 n 階方陣,則矩陣 adj A =
[Aij]T 稱為 A 的伴隨矩陣(adjoint matrix of A)。
伴隨矩陣 adj A 可以用來求 A 的反矩陣。
結束
1-12
若 A 為 n 階方陣,|A|  0,則 A 為非奇異矩陣,
且
A
1

ad j A
A
1-13
若 A 為 n 階方陣,則齊次線性聯立方程式 AX = 0
有不為零的解之充要條件是 |A| = 0。
結束
1-14
Cramer’s rule
設有聯立方程式
a 11 x 1  a 12 x 2 
 a 1 n x n  b1
a 21 x 1  a 22 x 2 
 a 2 n x n  b2
a n1 x1  a n 2 x 2 
 a nn x n  bn
且係數矩陣 A = [aij] 的行列式 |A|  0,則此聯立方程
式有唯一解,其解為
x1 
其中
A1
A
, x2 
A2
,
A
, xn 
An
A
第i行

 a 11

a 21

Ai 


 a n 1
b1
b2
bn
a1n 

a2n



a n n 
即 Ai 為 A 中的第 i 行以行向量 b = [b1, b2 ,……,bn]T 取
代後的矩陣。
結束

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