Matice

Report
Matice
Mgr. Andrea Cahelová
Gymnázium J. Kainara, Hlučín
Definice
• Tabulka o n sloupcích a m řádcích, přičemž toto
značení řádků a sloupců nemusí být vždy stejné.
• Tato matice má dva řádky a tři sloupce.
• Prvky matice se značí pomocí indexů, namísto
velkého písmene se používá malé písmeno: a11 =
0 nebo a23 = 51.
• První index udává řádek a druhý index sloupec.
Druhy matic
• Čtvercová matice je matice, která má stejný počet řádků
jako sloupců.
• Nulová matice je matice, která má na všech pozicích
nuly. aij = 0.
• Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní
diagonále jedničky a všude jinde nuly. Hlavní diagonála je
jakoby „úhlopříčka“ zleva doprava.
• Schodovitá matice je matice, která má nulové řádky na konci
(nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má
na začátku více nul než předchozí řádek.
• Symetrická matice je čtvercová matice A, která se splňuje
rovnost A = AT. Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné.
Můžeme tak napsat, že aij = aji.
• Antisymetrická matice je skoro totéž jako symetrická matice,
akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = −AT.
Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože
a = −a = 0.
• Diagonální matice je matice, která má nuly všude kromě
hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co
je na hlavní diagonále není specifikováno.
• Matice transponovaná k matici A je matice AT, u které platí aij
= aTji, tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v
transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci. Zkrátka
zaměníte řádky matice za sloupce.
Operace s maticemi
• Sčítání (odčítání) matic: matice stejného typu (stejný počet
sloupců a řádků)
• Výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na
odpovídajících pozicích v předchozích maticích.
• Sčítáme matice A + B = C, pak platí aij + bij = cij.
• Sčítání matic je komutativní a asociativní.
• A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C
• Násobení matic nenulovým reálným číslem:
• Vezmete číslo a vynásobíte s ním každý prvek matice.
• k· A = k· aij.
• Násobení matic: (matice musí splňovat kritérium, že počet
sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé
matice)
• Vezmete první řádek první matice a první sloupec druhé
matice.
• Vynásobíte první prvek s prvním prvkem a sečtete s násobkem
druhého prvku s druhým prvkem a sečtete atd.
• Tím získáte v nové matici C prvek c11.
• Nebo graficky:
Příklady:
Proveďte A + B, B – C, 2A – C,
A * B, B * A, B * C - A
Determinant matice
•
•
•
•
Definovaný pouze na čtvercových maticích
Číslo
Je zapisován buď jako det A nebo |A|
Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:
Laplaceova metoda pro výpočet
determinantu
• Provádíme rozvoj podle nebo sloupce
• Rozvoj provedeme buď přes druhý řádek nebo přes třetí
sloupec, jelikož se zde nachází nula (případně nejvíce nul).
• První číslo: 2 + 1, tj. vyškrtneme druhý řádek a první sloupec,
tím získáme submatici
Příklad: Vypočítej determinant matice Sarrusovým
pravidlem a Laplaceovou metodou
Využití determinantu matice při řešení
soustavy rovnic
x1 
A1
A
, x2 
A2
A
, x3 
A3
A
, ...
• |A| je determinant matice bez pravé strany, tj.
bez čísel za rovnítkem
• |Ak| je determinant matice, která vznikne z
matice A nahrazením k-tého sloupce čísly za
rovnítkem
Příklad: Řešte soustavy rovnic
• 2x +3y = 4, x – y = 0
• x - y + 2z = 7, 2x - 3y + 5z = 17, 3x – 2y – z = 12
• x + 2y + 2z = 7, 2x + 3y = 7, x + 5y + z = 2
Inverzní matice
• Úpravou matice a připojené jednotkové
matice získáme matici jednotkovou a inverzní.
• Značíme A-1
• Platí: A * A-1 = A-1 * A = E (jednotková matice)
• Gauss - Jordanovou eliminační metodou
Výpočet inverzní matice
Gauss - Jordanova eliminační metoda
Postup:
• Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a
jednotkovou matici
• Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními
způsoby:
– záměna řádků
– vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
– přičtení násobku jednoho řádku k jinému
• Každý úkon prováděný na upravované matici musíme
provést i na jednotkové matici.
• Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.
Příklad: Ověřte zda jsou matice k sobě inverzní
Hodnost matice
• Hodnost matice je počet lineárně nezávislých
řádků matice, zpravidla se označuje h
• Hodnost matice najdeme úpravami matice
tak, že se snažíme vytvořit nulový řádek, který
se v matici nezapisuje
• Nulová matice má hodnost h = 0
• Hodnost matice se určuje u libovolné matice
Příklad: Určete hodnost matice
 2  3 5


 1  2 1 


1 2  4 
A
, B   3  6  3 ,

4 1 3
 2



4
2


4  6 4 


Využití inverzní matice – šifrování
zprávy
• Vezmeme čtvercovou matici druhého řádu šifrovací
• Zpráva se zapíše po sloupcích do matice.
• Matice se vynásobí zleva maticí šifrovací.
• Zprávu sepíšeme po sloupcích a můžeme
poslat.
• Příjemce si najde inverzní matici k šifrovací
• Pomocí inverzní matice dešifrujeme zprávu:
Poznámka:
Zkuste šifrování pomocí matice třetího řádu.
Využití matic - násobení
• Hospodyně si vedla záznamy svých nákupů a vytvořila si tuto
tabulku:
Mléko - 1 l
Sýr - 100 g
Máslo - 250 g
Nákup č. 1
2
3
1
Nákup č. 2
1
1
0
Nákup č. 3
2
2
1
• Potraviny se dají koupit v různých cenách
Kč - Tesco
Kč - Lidl
Mléko - 1 l
13,50
10
Sýr - 100 g
11,50
9
Máslo - 250 g
22
18
• Určete cenu nákupu, nakoupíme-li v Tescu
Využití matic
• Čtyři města A, B, C, D jsou spojena autobusovými linkami.
Přímé spojení je dáno tabulkou:
A
B
C
D
A
0
1
1
2
B
1
0
0
1
C
1
0
0
1
D
2
1
1
0
• Nakreslete plán spojení

similar documents