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設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
’13.8.27
はりのねじり(中実丸棒)
dx
B'
γ0
A
dφ
B
T
α
β
τ
B'
B
γ0
A
φD
直径 D の中実丸棒にトルク T を作用させた。
トルクは力(N)と長さ(m)の掛け算で(Nm)の単位である。
トルクによりα面に対しβ面が dφ だけねじれる。
ねじれても、断面の円形は変わらず、α から β まで距離に比例して
回転すると考えて差し支えない。
すると、丸棒表面のトルクによるねじりは、せん断歪として下の図のよ
うに考えることができ、
BB' D d
0

AB 2 dx
GD d
 0  G 0 
2 dx
ここで G はせん断弾性係数(横弾性係数)
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横断面の相対回転角 dφ をその回転角が生じた長さ dx で割った
単位長さ当たりのねじれ角を θ とすると。
d

dx
単位は rad/m。 これよりせん断歪とせん断応力は
D
GD
0  , 0 

2
2
半径 r の位置におけるせん断歪とせん断応力は
 (r )  r ,  (r )  Gr
2
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各半径位置における
τ(r)
の断面全域での合計はトルク
τ(r)
微小幅 dr の円環に作用する剪弾力は
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T
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と同一である(つりあう)。
なので、円環全体でのトルクは
dT  dQ  r   (r )dA  r
  (r )2rdr  r  2r 2 (r )dr
T 
D/2

D/2
0
0
ここで、
Ip
dT  
D/2
0
を考慮して
 (r )  rdA
GrrdA  G 
D/2
0
r 2 dA  GIp  
を断面2次極モーメントと呼び、GIp をねじり剛性と呼ぶ。
今回は円形断面なので
Ip
は
Ip  
D/2
0
2r 3dr 
D 4
32
3
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T

GIp
の式は
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D
T
T
 max  G 

2  Ip  Zp


 ( D / 2) 
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と変形でき
Zp をねじりの断面係数と呼ぶ。
トルクをねじりの断面係数で割ると最外周で発生する最大せん断応力が求められる。
次のページに曲げの場合とねじりの場合を対比し重要でかつ同じような形をしている式を示す。
4
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曲げの場合
曲率:
 1
M
z    
EI
 
I
I   y dA , Z 
A
h/2
2
断面2次モーメントは中立軸からの距離で
最外周までの長さで割れば断面係数
M
 max 
Z
最大引張り応力は
その位置でのモーメントを形状係数で割る
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ねじりの場合
単位長さ当たりのねじり角:
T

GIp
Ip
Ip   r dA , Zp 
A
D/2
2
断面2次極モーメントはねじり中心からの距離で
最外周までの長さで割ればねじりの断面係数
T
 max 
Zp
最大せん断応力は
その位置でのトルクをねじりの形状係数で割る
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演習1
先端のねじれ角と最大せん断応力を求めよ。
略解:
T
T
100



(rad / m)
4
9
4
GIp G (D / 32) 80 10 ( 0.02 / 32)
  L  7.96 102 (rad / m) 1(m)  7.96 102 rad  4.56
最大せん断応力は外周表面で発生し(半径が一番大きくひずみが一番大きいから)
T
T
T
 max  

 63.7 MPa
3
Zp Ip /( D / 2) (D / 16)
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演習2 (不静定問題)
C
におけるねじり角を求めよ。
ヒント:C で2分割せよ。左と右のモーメントを未知量とし、外
力モーメントとのつり合いとねじれ角の条件から未知のモーメン
トを決める。
略解:
C
で丸棒を二つの区間に分離。AC にT1 、CB にT2 が掛かる。時計回りを正。
二つの棒にかかるモーメントと外力によるモーメントの関係は
T 0  T1 T 2
各部のねじれ角は
(1)
T1
T2
1 
, 2 
GIp
GIp
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A
よって、
に対する
AC   1a 
よって、
A
C
の相対ねじれ角
φAC
と
C
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に対する
B
の相対ねじれ角
φAB
φAC
φCB
は
は固定されているので角はなく
T 1a  T 2b
AB  AC  CB 
0
GIp
よって
の
T 1a
T 2b
, CB   2b 
GIp
GIp
に対する
(1)、(2)式より
B
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(2)
b
a
T1  T 0, T 2   T 0
L
L
がCにおけるねじれ角であるから
T 1a bT 0 a 32abT 0
C   1a 


GIp LGIp D 4GL
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はりのねじり(中空丸棒と複合構造)
中空の丸軸は直径
D1
の軸の2次極モーメントのうち
直径 D2 の部分がないのでその部分を除いたもので
2次極モーメントが求められる。
Ip ' 
D1
4
32
, Ip ' ' 
D 2
32
4
, Ip 
 ( D1  D 2 )
4
4
32
D2 の部分に材料の違うものが入っている複合材の場合
上式の Ip の部分と Ip’’ の部分がそれぞれ構成する材料による、
直径
2次極モーメントになるが、ねじり剛性を考えるときはそれぞれに各材料の
せん断弾性係数との積の和が剛性のねじり剛性となる。
G1 ( D14  D 2 4 ) G 2D 2 4
Cg  Ip  G1  Ip ' 'G 2 

32
32
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従って、この
Cg
をねじりの
G・Ip
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の代わりに使うこととなり、
 T  T
 

 GIp  Cg
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はりのねじり(断面積が変化する場合)
この場合、短い範囲 dx で2次極モーメントを考えると
Ip ( x) 
D( x) 4
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X の位置での単位長さ当たりのねじれ角は
T
32T
 ( x) 

GIp ( x) GD( x) 4
よって、dx の長さでのねじれ角は
左端から右端までのねじり角は
32T
d ( x)   ( x)  dx 
dx
4
GD( x)
AB   d ( x)  
b
a
32T
dx
4
GD( x)
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演習3(円錐軸のねじり)
X での直径は
D( x)  a  x
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ba
l
dx での2次極モーメントは
Ip 
D( x) 4
32
 
ba
 a  x

32 
l 
4
微小要素における両端の相対ねじれ角は
4
T
32T 
ba
d  dx 
dx 
a  x
 dx
GIp
G 
l 
全体でのねじれ角は
4
32T l 
ba
   d 
a  x
 dx

0
0
G 
l 
l
32Tl a 2  ab  b 2

3G
a 3b3
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曲げとねじりが連成する場合
図のような形状のはりの
AB
B
AB
C
点に
P
が作用する。
のはりには
の位置で
の間で
TB  Pb のねじりが働き、
MAB( x)   P(a  x)
のモーメントが働き曲げが発生する。
境界条件はA点で固定である。
BC
の間では
MBC( y )   P(b  y )
のモーメントのみが働き、曲げが発生する。ねじりは発生しない。
境界条件はB点での
たわみ量が
たわみ角が
AB
AB
の曲げから与えられ、
のねじれから与えられる。
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