2.6 Champ d`un anneau

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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
Problème : Je cherche
l’expression du champ E au
point P
Solution possible:
P
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
r
z
dq
R
dE 
kdq
r
2
On remarque que par symétrie, le champ résultant, créé par une infinité
d’éléments de charges dq situées tout le long de l’anneau, sera vertical.
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
dEz
q
P
Problème : Je cherche
l’expression du champ E au
point P
Solution possible:
dEx
r
z
dq
R
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
dE 
kdq
r
2
On remarque que par symétrie, le champ résultant, créé par une infinité
d’éléments de charges dq situées tout le long de l’anneau, sera vertical.
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
dEz
q
P
Problème : Je cherche
l’expression du champ E au
point P
Solution possible:
dEx
r
z
dq
R
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
dE 
kdq
r
2
On remarque que par symétrie, le champ résultant, créé par une infinité
d’éléments de charges dq situées tout le long de l’anneau, sera vertical.
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance « z » sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
dEz
q
P
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
dE 
dEx
r
r
Ex 
dq
R

2
Le champ sera vertical, par
conséquent
z
Ey 
kdq
dE y  0
Ez 
 dE x
0
 dE z   dE sin q  
kdq
r
2
sin q
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Chapitre 2, Problème 2
Solution possible:
Ez 
 dE z   dE sin q  
Situation
dE
dEz
q
P
dEx
r
Ez 

kdq
r
2
kdq
r
2
sin q
sin q
Question? Quelle variable prendre?
Transformation :
z
r 
dq
R
sin q 
(z
z
r
2
2
R )
z

(z
2
2
R )
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
dEz
q
P
dEx
r
Ez 

kdq
r
sin q 
2
z
sin q
dq
(z
2
2
R )
z

r
z
r 
2
R )
 (z 2  R 2 )
z
(z
2
On obtient
R
Ez 
kdq
(z
2
2
R )
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
dEz
q
P
dEx
r
z
Ez 
Ez 

kdq
r
R
sin q
kdq
 (z 2  R 2 )
Ez 
dq
2
z
(z
kz
(z  R )
2
2
3/2
2
2
R )
 dq
Pas de variable d’Intégration, tout est constant
Finalement, l’intégrale correspond à la charge totale sur l’anneau
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
dEz
q
P
dEx
r
Ez 
kz
(z  R )
2
2
3/2
 dq
Pas de variable d’intégration
Finalement, l’intégrale correspond
à la charge totale sur l’anneau
z
Q 
dq
R
Où  est la densité linéique de charge ,
 dq    dl
 
dq
dl
 2 R
C/m
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
Q 
 dq    dl
 2 R
On obtient
dEz
q
P
dEx
2  R  kz
Ez 
(z
2
2 3/2
R )
r
z
Résultat probable :
dq
R
Ez 
kz
(z  R )
2
2
3/2
 dq
D’après mes calculs,
l’expression du champ
électrique sera donnée par

E 
2 R  kz
(z
2
2 3/2
R )

k
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Chapitre 2, Problème 2
b) Tracer le graphique du champ électrique sur l’axe d ‘un anneau
uniformément chargé de rayon R en fonction de la variable z .
Situation

E 
E
2 R  kz
(z
2
2 3/2
R )

k
P
À faire avec Excel ou Maple
z
R
Q  2 R 
La force électrique qui
s’exercerait sur une charge q
placée à cet endroit sera
donnée par :


FE  q E
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