第十一章复变函数

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第十一章 复变函数
第一节 、 复平面
第二节、复变函数
第三节、解析函数
第一节、复平面
• 一、复数的概念
• 二、复数的各种表示、模与辐角
• 三、复平面上的点集与区域
一、复数的概念
• 定义;设 x,y为两个任意实数,称形如x+yi
的数为复数,记为 z= x+yi ,其中 i 满足i2
=-1,i称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z
的实部和虚部,记为x=Rez,y=Imz.
• 各数集之间的关系可表示为
•

有理数
实数



无理数
复数 
 虚数  纯虚数


非纯虚数

复数的代数运算
• 设复数 z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 定义 z1 与 z2 的
四则运算如下:
• 加法: z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
• 减法:
z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
• 乘法:
z
z

(
x
x

y
y
)

i
(
x
y

x
y
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
• 除法:
z1 x1  iy1 x1 x2  y1 y2 x2 y1  x1 y2

 2 2  i 2 2 ( z2  0)
z2 x2  iy2 x2  y2
x2  y2
复数四则运算规律:
z1  z2  z2  z1
• (1)加法交换律:
z1  z2  z2  z1
• (2)乘法交换律
• (3)加法结合律
z1  ( z2  z3 )  ( z1  z2 )  z3
• (4)乘法结合律
z1 ( z2  z3 )  ( z1  z2 ) z3
• (5)乘法对于加法的分配律
z1 ( z2  z3 )  z1z2  z1z3
• 复数运算的其它结果:
• (1) z  0  z, 0  z  0
1
z 1  z , z   1
(2)
z
• (3)若z1z2  0 ,则 Z1与 Z2至少有一个为零,反
之亦然.
共轭复数的运算性质:
•
•
•
•
•
•
•
(1) z  z
(2) z1z2  z1z2
z  z
(3)  z   z ( z  0)
(4) zz  [Re z]2  [Im z]2
(5)
zz
zz
1
1
2
2
2
Re z 
(6) z 
数
2
, Im z 
z  z 为实
2i
例1 化简
(2  3i ) 2
2i
(2  3i) 2 4  9  12i
解:


2i
2i
(5  12i)(2  i) 10  12  29i

(2  i)(2  i)
4 1
2  29i

5
例2
1  2i 2  i
设z 
 ( ),求 Re z, Im z及zz
3  4i 5i
1  2i 2  i (1  2i)(3  4i) 2  i
解:z 



3  4i 5i (3  4i)(3  4i) 5i
11  2i (2  i)(5i) 11  2i 5  10i 16 8





 i
25
5i (5i)
25
25
25 25
16
8
所以 Re z  , Im z  ,
25
25
16 8 16 8
64
zz  (  i )(  i ) 
25 25 25 25
125
二、复数的各种表示、模与辐角
• 1.复数的几何表示
• 由复数z=x+iy 的定义可知
,复数是由一对有序实数
(x,y) 惟一确定的,于是可
建立全体复数和 平面上的
全部点之间的一一对应关
系,即可以用横坐标为x
,纵坐标为y的点 表示复
数 (如图),这是一种几
何表示法,通常称为点表
示,并将点 P 与数 看
作同义词.
2.复数的向量表示
复数 还可以用起点为原点,终点为P(x,y) 的向量
OP 来表示(如图), x 与 y 分别是实部和虚部分.
• 3.复数的模与辐角
• 复数的模 Z≠0对应的向量 OP 的长(如图), OP 与实轴
正方向所夹的角 ,称为复数 Z的辐角,记作argz ,即
• θ=argz+2kπ , k为整数
• 并规定 按逆时针方向取值为正,顺时针方向取值为负.
• 4.复数的的三种表示式.
• 复数的表示式 称为复数 的三角表示式. z  r (cos  i sin  )
i
z

re
• 复数的表示式 称为复数 的指数表示式
• 复数的表示式 称为复数 的代数表示式
z  x  iy
例3求 Arg(2  2i )和 Arg(3  4i )
解:
Arg(2  2i )  arg(2  2i )  2k
 arctan
2

 2 k    2 k 
2
4
(k  0,  1,  2,
)
例4求z  1  i 3的 三角表示式与指数表示式
解:因为x  Re z  1,y  Im z 
3
3
 3
1
又因为z  1  i 3,位于第二象限,所以
设  Arg z,则t an  
2
,于是z  1  i 3 
3
2
i
2
2
2(cos
 i sin
)  2e 3
3
3
  arg z 
三、复平面上的点集与区域
• 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.
• 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或复平面.
• 邻域 平面上以 z0为心 ,δ>0为半径的圆: x  z  
0
• 内部所有点z0 的集合称为点z0的 δ—邻域,记为 N(z0,δ) . 称集合
(z0 - δ , z0 + δ) 为 z0 的去心 δ —邻域 记作
• 开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内点,则称 D 为开集.
• 闭集 如果点集D的余集为开集,则称 D为闭集.
• 连通集 设是D开集,如果对D 内任意两点,都可用折线连接起来,
且该折线上的点都属D则称开集是连通集.
• 区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域.
• 闭区域 开区域 连同它的边界一起,称为闭区域,记为 D.
第二节、复变函数
• 一、复变函数的概念
一、复变函数的概念:
• 定义1 设 D为给定的平面点集,若对于D 中每一个复数
z=x+iy ,按着某一确定的法则f ,总有确定的一个或几个
复数 与之对应,则称 f是定义在D上的复变函数(复变数
是复变数Z的函数),简称复变函数,记作 =f(z) 其中 Z
称为自变量, 称为因变量,点集 D 称为函数的定义域.
• 例1 将定义在全平面上的复变函数
w  z 2  1 化为
一对二元实变函数.
• 解设
z  x  iy, w  u  iv, 代入w  z  1
2
得w  u  iv  ( x  iy )  1  x  y  1  2ixy
2
2
比较实部虚部得u  x  y  1
2
2
2
例2计算 1  i
3
3 

解:因为  1  i  2 cos(  )  i sin(  ) 
4
4 

3
3





2
k




2
k



4
4
4
所以  1  i  2 cos
 i sin
 (k  0,1)
2
2




3
3
0
4
即w2  2(cos  i sin )
8
8
5
5
1
4
w2  2(cos  i sin )
8
8
第三节、解析函数
• 一、复变函数的导数
• 二、解析函数的定义
• 三、柯西—黎曼条件
一、复变函数的导数
• 1.导数的定义
• 定义1 设函数f(z) 在包含 z0 的某区域 D内有定义
,当变量z 在点z0 处取得增量 时,相应地,函
数 ω取得增量
z
• 若极限(lim f ( z)  f ( z0 )) 存在,则称f(z)
在点 z处可
zz
z  z0
导,
• 此极限值称为f(z) 在点 z处的导数,记 f ( z或
0)
,即 dw
0
dz
z  z0
f ( z0 ) 
f ( z0  z )  f ( z0 )
dw
 lim
dz z  z0 z 0
z
如果函数f ( z) 在区域D内每一点都可导,
则称f ( z) 在D内可导。
例3求复变函数f ( z)  z 3的导数
f ( z Δz)  f ( z)
( z Δz)3  z 3
解:因为 lim
 lim
 lim 3z 2  3zΔz Δz 2   3z 2
Δx 0
Δx 0
Δx 0
Δz
Δz
所以 f ( z)  3z 2
2.导数运算法则
复变函数的求导法则( 以下出现的函数均假设可导) :
(1)(C )  0, 其中C为复常数;
  nz n 1 , 其中n为正整数;
(2)(z n)

(3)
 f ( z )  g ( z )   f ( z )  g ( z )

(4)
 f ( z )  g ( z )   f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )

 f ( z) 
f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )
(5)

( g ( z )  0)

2
[ g ( z )]
 g ( z) 
(6)
{ f [ ( z )]}  f ( w)   ( z ), 其中w   ( z )
例3求下列函数的导数
2 4
(1

z
)
()
1 f ( z )  (2 z 2  i)5,(2)f ( z ) 
( z  0)
2
z
解:(1)f ( z )  5(2 z 2  i ) 4 4 z  20 z (2 z 2  i) 4
4(1  z 2 )3 2 z 3  2 z (1  z 2 ) 4 2
2 3
2
(2)f ( z ) 

(1

z
)
(3
z
 1)
4
3
z
z
2

解:因为f ( z )  2( z  2 z  4)  (2 z  2)
2

所以f (i )  2[(i )  2(i )  4]  [2  (i )  2]
 4(3  2i)(1  i)  4  20i
二、解析函数的定义
定义3 如果函数 f(z)不仅在点 z0处可导
,而且在点z0 的某邻域内的每一点都可导
,则称 f(z) 在点z0 处解析,并称点z0 是函
数的解析点;如果函数 f(z) 在区域D内每
一点都解析,则称 f(z) 在区域 D内解析或
称 为区域D 内的解析函数,区域 D 称为 的
解析区域.
• 如果 f(z) 在点z0 处不解析,但在z0 的任一
邻域内总有 z0 的解析点,则称 z0 为f(z) 的
奇点.
•
例5 讨论函数 f(z)=z2的解析性.
• 解 由例2知,f(z)=z2 在整个复平面内处处可
导且 f ( z)  2 z
,则由函数在某区域内
• 解析的定义可知,函数 f(z)=z2在整个复平面
上解析。
三、 柯西—黎曼条件
f ( z)  u( x, y)  iv( x, y)
• 定理1 设函数
在区域 D 内有定
义,则 在 D内解析的充分必要条件为 在 D内任一点 处
• (1)可微;
u v u
v

,


• (2)满足
x y y
x
•
• 上式称为柯西—黎曼条件(或方程),简称C—R条件(或方程).
• 定理2 函数
在区域
f ( z)  u( x, y)  iv( x, y)
• D 内解析的充要条件为
• (1) u , u , v , v 在D内连续;
x y x y
• (2) 在 D 内满足C—R条件 ,
•
u v u
v
x

,
y y

x
例6讨论函数f ( z )  z 2的可导性,并求其导数
解:由f ( z )  z 2  ( x  iy ) 2  x 2  y 2  i 2 xy
得u ( x, y )  x 2  y 2 , v( x, y )  2 xy则
u ( x, y )  x 2  y 2 , v( x, y )  2 xy
显然,在复平面内u ( x, y )和v( x, y )的偏导数处处连续,
u v
u
v
且

 2 x,
   2 y
x y
y
x
即u ( x, y )和v( x, y )处处满足C  R条件且处处可微,
所以, f (z) =z2在复平面内处处可导且f ( z) =2z
第四节、初等解析函数
•
•
•
•
一、指数函数
二、对数函数
三、幂函数
四、三角函数
一、 指数函数
• 定义3 复变量的指数函数定义为
e e
z
x iy
 e (cos y  i sin y)
x
• 指数函数的一些重要性质:
• (1)指数函数 ez在整个Z的有限平面内都有定
义,且处处不为零.
• (2)ez1+z2 =ez1ez2
• (3)指数函数是以2πi 为周期的周期函数.
• (4)指数函数ez 在整个复平面上解析,且有
(ez)'=ez
二、对数函数
定义4 对数函数定义为指数函数的反函数.
• 若 z  ew ( z  0, ) ,则称
是Z的对数函数,记
w  Ln z
w
• 作
.
• 对数函数是一个多值函数,每一个Z 对应着多个LnZ的值.
• 若令k=0 ,则上式中的多值函数便成为了单值函数,则称这个单值函数
为多值函数LnZ 的主值. 记作lnz
• 例1 求
.
ln(1),Ln(1),ln i和Ln i
• 解 因为-1的模为 1,其辐角的主值为π
• 所以
ln(1)  ln1   i   i
• 而
,
Ln(1)   i  2k i  (2k  1) i (k  0, 1, 2, )
• 又因为 iii的模为1,而其辐角的主值为 ,
• 所以



1
i  i Ln i  i  2k i  (2k  ) i
2
2
2
2
(k  0,  1,  2, )
ln i  ln1 
复变量对数函数具有与实变量对数函数同样
的基本性质:
(1) z  x  0时,
ln z  ln x
(2) z  x  0,Ln x  ln x  i(2k  1) , (k  0,  1,  2, )
(3)eLn z  z, Ln e z  z  2k i, (k  0,  1,  2, )
z
(4) Ln( z1 z2 )  Ln z1  Ln z2 , Ln( 1 )  Ln z1  Ln z2
z2
( 5)对数函数的解析性
• 可以证明 Lnz在除去原点与负实轴的Z平面内解析,
所以 Lnz的各个分支也在除去原点与负实轴的Z平面
内解析。
三、幂函数
定义5 设 α为任意复常数,定义一般幂函数为
z  e Ln z
(z  0)
它是指数与对数函数的复合函数,是多值函数(
因 对数函数是多值的).
• 幂函数的几种特殊情形:
• (1)当 α为整数时, ei 2 k  1,w  z  e ln z
• 是与K 无关的单值函数(α>0,n 为正整数)时,
f(z)=zn为Z的 次乘方,
•
(2)当 α 为有理数 时(为既约分数, n>0 )
,
m
m
m
Ln z
(ln z i 2k )
z  z n  e n
en
只有 n 个不同的值,即当 K 取 0,1,2,……n-1时的对应值.
(3)当α 为无理数或复数时,zα 有无穷多个
1
值. 此时的 zα 与根式函数
的区别
zn
是无穷多值函数.
而后者的值是有限的。
(1)当 α=n( n 为正整数)时,zn 在整个
复平面内单值解析,且
(2)当 α=-n(n 为正整数)时,
在除原点的复平面内解析,且
( z )  nz
n
n 1
z
n
1
 n
z
例2求(1)
解:
(1)
2
2
2 L n( 1)
e
e
2 (2 k 1) i
e
2 i 2 2k i
e
(k  0, 1, 2, )
例3求i i
解:i  e
i
例4求i
i Ln i
e

i (ln1 i  i 2 k )
2
e
1
 (2 k  )
2
(k  0, 1, 2, )
2
3
2 
(  2 k ) i
3 2

4
 4
解:i  e
e
 cos(  k )  i sin(  k ), k  0,1, 2
3 3
3 3
2
1
3
1
3
所以i 3的三个值分别为  i
,
i
, 1
2
2
2
2
2
3
2
Ln i
3
四、三角函数
• 定义7 设 Z 为任一复变量,称
•
•
•
•
•
g ( z) 
f ( z) 
1 iz iz
(e  e )
2i
1 iz
(e  e  iz )
2i
与
分别为复变量Z的正弦函数与余弦函数,分别记为sinz 与cosz
正弦函数与余弦函数的性质:
(1)sinz 与 cosz都是以 2π为周期的周期函数
(2) sinz为奇函数,cosz 为偶函数,即对任意的Z 有 (3)
sin( z 

)  cos z,sin 2 z  cos 2 z  1
2
sin( z1  z2 )  sin z1 cos z2  cos z1 sin z2
cos( z1  z2 )  cos z1 cos z2  sin z1 sin z2
(4) sin z
• 因为
和
cos z
都是无界的.
ei ( x iy )  ei ( x iy ) 1  y ix
1
cos z 
 e  e  e y  eix  e y  e y
2
2
2
• 可见,当 y 无限增大时,cos z 趋于无穷大,同
理可知,sin z 也是无界的.
(5)sin z,cos z在复平面内均为解析函数,
且(sin z )  cos z,,
(cos z )   sin z
其它四个三角函数,利用sin z和 cos z来定义:
sin z
cos z
tan z 
, cot z 
,
cos z
sin z
1
1
sec z 
, csc z 
.
cos z
sin z
例5,求 sin(1  2i)的值
eii  e  ii e 1  e
解:根据定义,有 cos i 

2
2
ei (1 2i )  e i (1 2i )
sin(1  2i) 
2
e 2 (cos1  i sin1)  e 2 (cos1  i sin1)

2i
e 2  e 2
e 2  e 2

sin1  i
cos1
2
2

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