วิธีทำ - Pookpikschool.com แล้วคณิตศาสตร์จะไม่ยากอย่างที่คิด

Report
คณิตศาสตร์
เรือ่ ง การประย ุกต์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
กับ
ความน่าจะเป็น
จัดทาโดย
เด็กหญิง รจเรจ นิ่มเจริญ ม.1/4 เลขที่ 29
นาเสนอ
ค ุณคร ู นวลทิพย์ นวพันธ์ ุ
โรงเรียน ระยองวิทยาคมปากน้า
ความน่าจะเป็น (Probability)
ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่ใช้ประเมิน
สถานการณ์ที่ยงั ไม่เกิดขึ้นโดยพิจารณาว่า
เมื่อถึงเวลาเกิดเหต ุการณ์แล้ว จะเกิดใน
ลักษณะใดมีโอกาสที่จะเกิดมากน้อยเพียงใด
การหาค่าความน่าจะเป็น จะต้องหาจากการ
ทดลองสมุ่ เท่านัน้
แซมเปิลสเปซ (Sample Space )
แซมเปิลสเปซ คือเซตของเหต ุการณ์ทงั้ หมดจากการทดลอง (Universal Set)
แซมเปิลสเปซ(Sample Space) คือเซตของผลลัพธ์ที่
อาจจะเกิดขึ้นได้ทงั้ หมดจากการทดลองสมุ่
และเป็นสิ่งที่เราสนใจเรานิยมใช้สญ
ั ลักษณ์ S แทน
แซมเปิลสเปซ
จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการ
ทดลองหรือการกระทาใด ๆ ก็ตาม
ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ตอ้ งเป็นสมาชิกใน
แซมเปิลสเปซทัง้ สิ้น
EX.1
การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ
ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายขึ้น
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ หัว หรือ ก้อย
ดังนัน้ แซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย}
EX.2
ในการทอดล ูกเต๋า 1 ล ูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของ
ล ูกเต๋าที่หงายขึ้น
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ล ูกเต๋าขึ้นแต้ม 1
หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6
ดังนัน้ แซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}
Exercise
ในกล่องใบหนึ่งมีล ูกบอลสีแดง 2 ล ูก สีขาว 1 ล ูก ถ้าเราหยิบ
ล ูกบอลออกจากกล่องมา 1 ล ูก โดยวิธีสมุ่
1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของล ูกบอลที่จะเกิดขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของล ูกบอลที่หยิบออกมาได้
วิธีทา
1. เนื่องจากโจทย์สนใจสีของล ูกบอลที่จะหยิบมาได้
ดังนัน้ แซมเปิลสเปซของสีของล ูกบอลที่หยิบได้คือ S=
{สีแดง,สีขาว}
2. เนื่องจากโจทย์สนใจล ูกบอลที่จะหยิบมาได้ ซึ่งมี
ทัง้ หมด 3 ล ูก
สมมติให้เป็น แดง1 แดง2 ขาว1 ดังนัน้
แซมเปิลสเปซของล ูกบอลที่หยิบออกมาคือ
S = {แดง1,แดง2, ขาว1}
เหต ุการณ์ (Event)
เหต ุการณ์ คือ เซตที่เป็นสับเซตของ Sample Space เป็นเหต ุการณ์ที่เราสนใจ
จากการทดลองสมุ่
กล่องใบหนึ่งมีสลากที่มีหมายเลขตัง้ แต่ 1 – 20 อย่างละ 1 ใบ ถ้า
หยิบสลาก 1 ใบจากกล่อง
ใบนี้ จะได้ว่า S = {1, 2, 3,…, 20}
ถ้า A เป็นเหต ุการณ์ที่สลากนัน้ มีหมายเลขที่หารด้วย 2 ลงตัว
B เป็นเหต ุการณ์ที่สลากนัน้ มีหมายเลขที่หารด้วย 3ลงตัว
จะได้ว่า A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
A’ = เป็นเหต ุการณ์ที่สลากนัน้ มีหมายเลขที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว
A’ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
ต่อ
A ยูเนี่ยน B = เป็นเหต ุการณ์ที่สลากนัน้ มีหมายเลขที่หารด้วย 2 หรือ
3 ลงตัว
A ยูเนี่ยน B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
A อินเตอร์เซก B = เป็นเหต ุการณ์ที่สลากนัน้ มีหมายเลขที่หารด้วย 2
และ 3 ลงตัว
A อินเตอร์เซก B= {6, 12, 18}
ดังนัน้
เหต ุการณ์ A และ B จะถูกเรียกว่าเป็นเหต ุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
(Mutually Exclusive Events) ถ้า A อินเตอร์เซก B = เซตว่าง
จากตัวอย่างที่หยิบสลาก ที่ได้กล่าวข้างต้น
ถ้าให้ C เป็นเหต ุการณ์ที่สลากมีหมายเลขหารด้วย 5 ลงตัว
D เป็นเหต ุการณ์ที่สลากมีหมายเลขหารด้วย 7ลงตัว
C = {5, 10, 15, 20}
D = {7, 14}
ในที่น้ ี C อินเตอร์เซก D = เซตว่าง ดังนัน้ เหต ุการณ์ C และ D
เรียกว่าเป็นเหต ุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
การนับจุดตัวอย่าง
สิ่งที่สาคัญในการทดลองสถิติก็คือ จุดตัวอย่างที่เป็นไปได้
ทัง้ หมดเป็นอะไรได้บา้ ง และมี
จานวนเท่าใด โดยเฉพาะอย่างยิ่งจานวนของจุดตัวอย่าง จะ
เป็นสิ่งสาคัญในการคานวณหาโอกาสที่จะ
เกิดขึ้นของเหต ุการณ์ต่างๆ หลักการที่สาคัญอันหนึ่งในการนับ
จานวนจุดตัวอย่างที่เป็นไปได้ก็คือ
กฎการคูณ (Multiplication Rule)
ทฤษฎีบท
ถ้างานหนึ่งสามารถเลือกทาได้ใน n1วิธี และในแต่ละวิธีของ n1 สามารถ
เลือกทางานอย่างที่สองได้ใน n2วิธี
ดังนัน้ จานวนวิธีที่จะทางานทัง้ สองงานเท่ากับ n1n2 วิธี
EX
ชายคนหนึง่ มีเสื้อเชิต้ อยู่ 5 ตัว และกางเกงอยู่ 4 ตัว อยากทราบว่า
ชายคนนีจ้ ะแต่งตัวได้ทงั้ หมดกี่วิธี
วิธีทา
ชายคนนีเ้ ลือกใส่เสื้อได้ 5 วิธี
และหลังจากใส่เสื้อแล้ว ชายคนนัน้ เลือกใส่กางเกงได้อีก 4 วิธี
ดังนัน้ จานวนวิธีที่เขาจะแต่งตัวได้ทงั้ หมดเท่ากับ 5 x 4 = 20 วิธี
ทฤษฎีบท
ถ้ามีงานที่ตอ้ งทา k อย่าง ทัง้ นี้งานที่ 1 มีทางเลือก n1
วิธี งานที่ 2 มีทางเลือก n2 วิธี ...
งานที่ k มีทางเลือก nk
วิธีดงั นัน้ ในการทางาน k อย่างนัน้ สามารถทาได้ทงั้ หมด n1 n2 n3…nkวิธี
ในการสร้างเลข 4 หลักจากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5ถ้าแต่ละหลักสามารถใช้เลขซา้ กันได้
อยากทราบว่าเลข 4 หลักที่เป็ นไปได้นนั้ มีทงั้ หมดกี่จานวนที่เป็ นเลขคี่
วิธีทา ในหลักพันนัน้ สามารถเลือกใช้ตวั เลขได้ 5 วิธี (ใช้เลข 0 ไม่ได้)
ในหลักร้อยนัน้ สามารถเลือกใช้ตวั เลขได้ 6วิธี.
ในหลักสิบนัน้ สามารถเลือกใช้ตวั เลขได้ 6วิธี
ในหลักหน่วยนัน้ สามารถเลือกใช้ตวั เลขได้ 3วิธี(เลขคี่ 1, 3, 5)
ดังนัน้ จานวนเลข 4 หลักที่เป็ นเลขคี่มที งั้ หมดเท่ากับ 5 x 6 x 6 x 3= 540 จานวน
การเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ในแนวเส้นตรง
การจัดลาดับ (Permutation) คือการจัดเรียงลาดับของสิ่งของจานวนหนึ่ง
ซึ่งอาจจะเป็นสิ่งของทัง้ หมดหรือเป็นเพียงบางส่วน
ถ้านาอักษร 4 ตัว a, b, c และ d มาเรียงลาดับกัน จะได้ทงั้ หมดกี่วิธี
วิธีทา ถ้าพิจารณาอักษร 4 ตัวมาเรียงกันในลักษณะ _ _ _ _
1234
จะเห็นได้วา่ ในตาแหน่งที่ 1 สามารถเลือกตัวอักษรดังกล่าวได้ 4 วิธี
หลังจากเลือกตัวอักษรที่ตาแหน่งที่ 1 แล้วเหลือตัวอักษรที่จะอยู่ตาแหน่งที่ 2 ได้ 3
วิธี และหลังจากเลือกตัวอักษรตาแหน่งที่ 2 จะเหลือตัวอักษรที่จะอยู่ในตาแหน่งที่ 3
และ 4 ได้ 2 วิธีและ1 วิธีตามลาดับ
ดังนัน้ การนาอักษร 4 ตัวมาเรียงลาดับกันจะได้ = 4 x 3 x 2 x 1 วิธี
= 4! วิธี
= 24 วิธี
ทฤษฎีบท
การจัดลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันจะได้ n! วิธี
EX
ถ้านาคน 5 คนมายืนเรียงกันจะได้ทงั้ หมดกี่วิธี
วิธีทา การนาคน 5 คนมาเรียงกันจะได้
= 5! วิธี
= 120 วิธี
การเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน r สิ่งจากของทัง้ หมด n สิ่ง
การจัดลาดับของ n สิ่งที่แตกต่างกัน แต่นามาเรียงกัน r สิ่งจะได้จานวน
วิธีทงั้ หมดเท่ากับ nPr = (n r)!/n! วิธี
จากอักษร a, b, c, d และ e นามาเรียงกันเพียง 3 ตัวจะได้กี่วิธี
วิธีทา จานวนวิธีที่จะเรียงอักษร 3 ตัวจาก 5 ตัวนัน้ จะได้
=(5 3)!/5!
= 60วิธี
การเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งในแนววงกลม
ในการนาของ n สิ่งที่แตกต่างกันมาเรียงกันในแนวเส้นตรงนัน้
จานวนวิธีที่ได้เท่ากับ n! วิธี อย่างเช่นการเอาตัวอักษร a, b, c มา
เรียงกันจะได้ทงั้ หมด 3! วิธี ซึ่งได้แก่ abc, acb, bac, bca, cab และ
cba
ทฤษฎีบท
ถ้ามีของ n สิ่งที่แตกต่างกัน นามาเรียงกันเป็ นวงกลม จะได้ทงั้ หมด (n – 1)! วิธี
ถ้าคน 5 คนมายืนเรียงกันเป็ นวงกลมจะได้กี่วิธี
วิธีทา จานวนวิธีที่คน 5 คนมายืนเรียงกันเป็ นวงกลม
= (5 – 1)! วิธี
= 24 วิธี
การเรียงสิ่งของ n สิ่งแต่มีบางสิ่งที่ซา้ กัน
ในการเรียงตัวอักษร 6 ตัวคือ a1, a2, a3, b1, b2, c สลับกันไปมานัน้
จะได้ทงั้ หมด 6! แบบด้วยกัน ทัง้ นี้ใน 6! แบบนัน้ มีที่ตวั อักษร a1, a2
และ a3 สลับกันไปมา 3! แบบ ซึ่งถ้าคิดว่าตัวอักษร a1,a2และ a3
นัน้ เหมือนกันคือเป็น a ตัวเดียวกัน จ านวนแบบที่จะได้ก็จะลดลงเหลือ
3!6! แบบ และในทานองเดียวกัน สาหรับตัวอักษร b1
และ b2 ซึ่งถ้าคิดว่าเป็น b เหมือนกัน จานวนแบบทัง้ หมดที่เป็นไป
ได้ก็จะเท่ากับ 3!2!6! แบบ
EX
จากตัวอักษรในค าว่า “STATISTICS” ถ้าน ามาเรียงกันไปมาโดยไม่สนใจ
ความหมายจะได้ทงั้ หมดกี่วิธี
วิธีทา จากตัวอักษรในคาดังกล่าว จะมี “S” 3 ตัว “T” 3 ตัว “I” 2 ตัว
และ “A” และ “C” อย่างละ 1 ตัว
ดังนัน้ จานวนวิธีที่ตวั อักษรในคาดังกล่าว
เรียงสลับกันจะได้ =10!/3!3! 2!1!1!วิธี
= 50, 400 วิธี
การจัดหมู่ (Combination)
ในการนาสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน และนามาเรียงกันทีละ r สิ่ง
จานวนวิธีที่ได้เท่ากับn!/(n r)!วิธีแต่ถา้ ของ r สิ่งนัน้ ไม่ได้นามาเรียงกัน
กล่าวคือไม่ได้สนใจลาดับของสิ่งของ r สิ่งดังกล่าว
จะเรียกว่าเป็นการจัดหมู่
ถ้ามีของ n สิ่งที่แตกต่างกัน แล้วเอามา r สิ่ง จานวนวิธีที่ได้จะเท่ากับ
n!/r!(n r)! วิธี
ซึ่งจะใช้สญ
ั ลักษณ์ n C r หรือ n/r
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability)
กาหนดเหต ุการณ์ A และ B จะใช้สญ
ั ลักษณ์ P(A/B) หมายถึงความน่าจะเป็น
ของการเกิดเหต ุการณ์ A เมื่อกาหนดว่าเหต ุการณ์ B ได้เกิดขึ้นแล้ว
การหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข หรือการ
หาความน่าจะเป็นของเหต ุการณ์ได้กาหนดว่ามีอีกเหต ุการณ์
หนึ่งได้เกิดขึ้นนัน้
เป็นการหาจานวนจุดของเหต ุการณ์นนั้ จากจานวนจุดของ
ตัวอย่างที่สเปซตัวอย่างลดลง (Reduced Sample Space) หรือ
เท่ากับจานวนจุดตัวอย่างของเหต ุการณ์ที่กาหนดว่าได้
เกิดขึ้นแล้ว
เหต ุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน (Independent Events)
ในการหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A/B) ตามที่ได้กล่าวมาแล้ว
นัน้ จะเห็นได้ว่า เมื่อได้กาหนดว่าเหต ุการณ์ B ได้เกิดขึ้น
ก็จะมีผลกระทบต่อการหาความน่าจะเป็นของเหต ุการณ์A อย่างไรก็ตาม
ในบางสถานการณ์ การก าหนดว่าเหต ุการณ์ B ได้เกิดขึ้น
อาจไม่สง่ ผลกระทบต่อการเกิด
เหต ุการณ์ A ก็เป็นไปได้ และนัน่ หมายถึงว่าP(A/B) = P(A)
เหต ุการณ์ A และ B จะเรียกว่าเป็นเหต ุการณ์ที่อิสระต่อกัน
ก็ต่อเมื่อP(A/B) = P(B) หรือ P(B/A) = P(B)
ทฤษฎีบท
เหต ุการณ์ A และ B จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ
P(A อินเตอร์เซก B) = P(A) P(B)
แหล่งอ้างอิง
http://as.nida.ac.th/th/images/stories/download/Math-Pdf/Ch-8%20Prob.pdf
http://wiki.stjohn.ac.th/groups/poly_ordinarycourse/wiki/4c560/_12_.html
จบการนาเสนอ

similar documents