Juegos probabilidad y estadistica 4ta jornada

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4ª Jornada
USO Y MANEJO DE
DATOS E INFORMACIÓN
Elaborado por:
Prof. Fortino Del Carmen Cervantes.
Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.
Enero 2011
Temario
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•
Actividades de reflexión (enfoque)
Media
Mediana
Moda
Tabulación de datos estadísticos
Utilidad de las Gráficas
Desviación estándar
La sumatoria y reglas de su uso.
Enfoque
Llevar a las aulas actividades de estudio
que despierten el interés de los alumnos
y los inviten a reflexionar
Actividades que motiven su iniciativa y
creatividad
Tarjetas Mágicas
Piensa un número entero del 1 al 63
Tarjeta 1
¿El número que pensaste está aquí?
1
3
5
7
9
11 13
15
17 19
21 23 25
27 29
31
33 35
37 39 41
43 45
47
49 51
53 55 57
59 61
63
Tarjeta 2
¿El número que pensaste está aquí?
2
3
6
7 10
11 14
15
18 19
22 23 26
27 30
31
34 35
38 39 42
43 46
47
50 51
54 55 58
59 62
63
Tarjeta 3
¿El número que pensaste está aquí?
4
5
6
7 12
13 14
15
20 21
22 23 28
29 30
31
36 37
38 39 44
45 46
47
52 53
54 55 60
61 62
63
Tarjeta 4
¿El número que pensaste está aquí?
8
9
10 11 12
13 14
15
24 25
26 27 28
29 30
31
40 41
42 43 44
45 46
47
56 57
58 59 60
61 62
63
Tarjeta 5
¿El número que pensaste está aquí?
16 17
18 19 20
21 22
23
24 25
26 27 28
29 30
31
48 49
50 51 52
53 54
55
56 57
58 59 60
61 62
63
Tarjeta 6
¿El número que pensaste está aquí?
32 33
34 35 36
37 38
39
40 41
42 43 44
45 46
47
48 49
50 51 52
53 54
55
56 57
58 59 60
61 62
63
Se pretende que:
El alumno descubra cómo están confeccionadas
las tarjetas y que todo número puede
descomponerse como una suma de potencias de
dos. Da pie para introducir la base 2 y cómo
pasar de notación decimal a notación en base 2
y a la inversa.
Actividad. El perro, la gallina y el
costal
Lorenzo compró en el mercado un perro,
una gallina y un costal de maíz. Lorenzo
para regresar a su casa debe atravesar el
río que se encuentra entre su casa y el
pueblo. Las lanchas que hay en el
embarcadero son pequeñas, de manera que
sólo pueden caber en ellas un hombre y una
de sus pertenencias por viaje. ¿Cómo debe
pasar, a salvo, sus pertenencias Lorenzo,
pudiendo llevar una a la vez? Tomando en
cuenta que: si en algún momento quedaran
en una misma orilla el perro y la gallina, el
perro se la comería; y si la gallina y el saco
de maíz, la gallina se comería los granos.
Actividad. Las jarras de agua
¿Cómo podríamos obtener de
una fuente, exactamente 3
litros de agua, si sólo
disponemos de
dos jarras, una de 9 litros y la
otra de 5 litros? Las jarras no
tienen graduación, pero
podemos
llenar y vaciar los recipientes,
en la fuente, cuantas veces lo
deseemos.
Jarra de 5 lt
Jarra de 9 litros
5 lt
Vacía
Vacía
5 lt
5 lt
5 lt
1 lt
9 lt y se vierte a la fuente
1 lt
Vacía
Vacía
1 lt
5 lt
1 lt
Vacía
6 lt
5 lt
6 lt
2 lt
9 lt y se vierte a la fuente
2 lt
Vacía
Vacía
2 lt
5 lt
2 lt
Vacía
7 lt
5 lt
7 lt
3 lt
9 lt y se vierte a la fuente
Respuesta
Actividad. Final previsible
 Piensa un número
 Multiplícalo por 2
 Súmale “y” número
 Divídelo a la mitad
 Réstale el número que pensaste
 Te sobraron …
y
2
Lenguaje simbólico:
2x  y
2x  y  2x y
x

2
2
2
La suma
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 4 x 7 = 28
7
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10= 5 x 11= 5 5
11
1 + 2 + 3 + … + 100= 50 x 101= 5050
1+2+3+…+n=
n
n  1
2
Esta fórmula la deduce
Johann Carl Friedrich
Gauss (1777-1855) a los 9
años
Suma de los primeros
n números naturales
“La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es
la reina de las matemáticas”. (Gauss)
Las sumatorias
aritméticas cumplen
con la fórmula:
Si n≥0
Obtenido de: http://www-old.dim.uchile.cl/~docencia/algebra/material/presentacion_semana/Semana07_print.pdf el 29/01/2011
Probabilidad
Medida de la incertidumbre
lo predecible
Imposible
(nunca sucede)
certero
(siempre sucede)
Probabilidad
Es la medida de la incertidumbre, es decir el
estudio de los fenómenos aleatorios a través
de la matemática.
Un fenómeno aleatorio (f.a) es todo
experimento cuya realización produce dos o
más resultados, pero que no podemos saber
con exactitud cual de ellos se presentará,
como el lanzamiento de una moneda,
lanzamiento de un dado, lanzar un dardo en
el disco de tiro al blanco, el juego de la
canicas de la feria, extraer una carta de una
baraja española, etcétera.
Medida del Espacio Muestral
La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y
corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.
Ejemplos:
W = { $, %, &, /, ª } El conjunto W está integrado por 5 elementos,
por lo tanto, su cardinalidad es 5, #(W) = 5
Q = El conjunto Q está formado por 3 elementos
# (Q) = 3
K = El conjunto K tiene un elemento
# (K)= 1
Medida del Espacio Muestral
Al conjunto de resultados de un f.a se llama espacio de
resultados, campo de resultados o espacio muestral y se
denota con la letra omega Ω.
La moneda: Ω = { a, s }
Dos monedas Ω = { a, s }2 = { a, s } x { a, s } = {aa, as, sa, ss}
Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es:
Ω = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}
El dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Juego de canicas Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } x { 1, 2, 3, 4,
5, 6 } x { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } x { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } x { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } x { 1, 2,
3, 4, 5, 6 }
Evento
Es una pregunta acerca de f.a. Por ejemplo: Si en la moneda Ω = { a, s }, nos
interesa que caiga águila entonces el conjunto A = {a} es un evento.
Para el dado Ω = {1,2,3,4,5,6}, si quiero o deseo que caiga un número menor que 3
entonces el conjunto E={ 1,2}. Es un evento
Para una baraja de 52 cartas, obtener una mano de póquer, el conjunto
B = { A,2,3,4,5 }, es un evento.
•NOTA: La teoría debe ser capaz de responder a cualquier pregunta por ejemplo en
la moneda me puedo preguntar por el resultado 7. Entonces se trata del conjunto
F= { } , F = conjunto vacio , # ( F) = 0
Técnicamente un evento es un subconjunto de Ω
Para la moneda Ω = { a,s },
E1 = {a} c Ω , E2 = {s} c Ω , E3 = {Ф} c Ω
Para el dado Ω = {1,2,3,4,5,6}, F1 = {1,2} c Ω , F2 = {1,2,3} c Ω , F3= {2,3,5} c Ω
La Probabilidad de un evento
Como el evento E c Ω ; entonces
definir por # (Ω) .
# (E) ≤ # (Ω) , esta desigualdad se puede
# ( E ) # ( )

# ( ) # ( )
0
 P[ E ] 
# (E)
0 
 1
# ( )
# (E)
 1
# ( )
Descubierta por Pierre Simon L’ Place en 1729 aproximadamente.
Por ejemplo para la moneda:
  {a, s}
1
P[a]   P[ s]
2
Actividad: f.a.
¿Qué probabilidad existe al lanzar 2 dados juntos de
que la suma sea:
Suma
Manera de
obtenerla
# de Eventos
2
1+1
1
3
1+2
2+1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Espacio muestral
(Ω)
¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los eventos, del
ejercicio anterior?
Suma # de Eventos Probabilidad
del evento
2
3
4
5
6
7
a) ¿Cuál es a probabilidad
de que la suma sea 4 o
10? R= 6  1
36 6
b) ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma sea par?
R= 18 1
36

2
8
9
10
11
12
c) ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma sea
múltiplo de tres? R=
12 1

36 3
Gráfica suma (fa) vs evento
7
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
12
23
34
45
56
76
87
HISTOGRAMA
89
10
9
11
10
12
11
Ejercicio
Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae una al
azar, determine la probabilidad de que:
a) Sea roja
b) Sea Verde
c) sea amarilla
d) No sea roja
Respuestas:
8
4 2
a)


20 10 5
5 1
c)

20 4
7
b)
20
12 6 3
d)


20 10 5
Permutación
Es un arreglo ordenado de objetos sin repetición, también
llamado ordenación sin repetición.
Por ejemplo, dados los objetos a, b y c. ¿Cuántas ordenaciones
sin repetición de uno, dos y tres elementos se pueden formar?
Solución
De un elemento: a, b, c = tres
De dos elementos: ab, ac, ba, bc, ca, cb = seis
De tres elementos: abc, acb, bac, bca, cab, cba = seis
La fórmula general es:
n Pr  n(n  1)(n  2)...n  (r  1)
ó
n!
nPr
(n  r )!
Permutación
Aplicando la fórmula a este ejemplo:
De un elemento:
a, b,
n=3
3!
r=1
P


3 1
r-1=0
(3  1)!
De dos elementos:
n=3
r=2
r-1=2-1=1
De tres elementos:
n=3
r=3
r-1=3-1=2
n!
nPr
(n  r )!
c
3! (3)(2)(1)

3
2!
(2)(1)
ab, ac, ba, bc, ca, cb
3!
3! (3)(2)(1)
 
 (3)(2)  6
3 P2 
(3  2)! 1!
(1)
abc, acb, bac, bca, cab, cba
3!
3! (3)(2)(1) 6
 
 6
3 P3 
(3  3)! 0!
1
1
Permutación
Ejemplo:
• ¿De cuántas formas se pueden disponer
• tres letras del alfabeto inglés?
Solución:
• El alfabeto inglés consta de 26 letras. Por
• lo tanto, se pueden distribuir 3 letras de
• 26P3
nPr
n!
(n  r )!
esto es:
26!
26! (26)(25)(24)(23)!


 (26)(25)(24)  15600 m aneras
26 P3 
(26  3)! 23!
(23)!
Ejercicios permutaciones
Considera los dígitos 1, 2, 3 y 4 . Forma todos las maneras posibles de dos
cifras sin repetición.
n=4
4
r=2
3
4 P2 
4!
4! (4)(3)(2)(1)
 
 (4)(3)  12
(4  2)! 2!
(2)(1)
= 12 números posibles
n!
nPr
(n  r )!
Combinaciones.
Ejemplo: El monedero de “La Abuela” contiene 3 monedas de $5.00 pesos, 2
de $10.00 y 7 de $2.00. A cada uno de sus tres nietos les ofrece como domingo
dos monedas que deben elegir del monedero, la condición es que las saquen
juntas. ¿Cuál es la probabilidad de que un nieto saque $15.00 pesos?
Solución:
Total de monedas: 12
f.a.= Consiste en extraer 2 monedas juntas.
Ω={(2,2),(2,5),(2,10),(10,2),(5,2),(5,10),…} ¿Cuántas parejas serán?
Se debe considerar que las parejas no tienen orden, es decir: (5,10)=(10,5)
Así que se trata de la técnica de conteo denominada COMBINACIONES, cuya
fórmula es:
Así que:
 n
n!
r


C


n
r
r!(n  r )!
 
12!
121110 9  8  7  6  5  4  3  2 1 1211
 12 



 66
 
2!10!
2
 2  2!(12  2)!
Pero como son 2 monedas de $10.00 y 3 de $5.00 se tiene que:
 2   3
      2  3  6
 1  1
por tanto
PE  
# (E)
6
1


# () 66 11
Ejercicios
1.- ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos
0,1,2,3,4,5,6,7,8, y 9? Sin repetición. R=
2.- Un entrenador de futbol dispone en la plantilla de su equipo de 7 delanteros
de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente en los tres puestos de
ataque del equipo. ¿Cuántas delanteras distintas podría confeccionar? R=
3.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos
entre Juan, Pedro, María, Alicia y Pilar? R=
4.- Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera
al azar, ¿De cuantas maneras diferentes podría completar las conexiones? R=
5.- Una persona esta interesada en contar todos los posibles resultados en el
juego de la LOTERIA PRIMITIVA. ¿Podrías ayudarle? Tenemos 49 números del 1
al 49 debemos elegir 6. R =
Fuentes consultadas
 Plata Ciro y Martínez Martha. Estadística y probabilidad primer
curso. UNAM. 2005.175 págs
 Spiegel Murray y Stephens Larry. Estadística. México: Mc
Garw Hill: 3era Ed. 2005. 541 págs.
 (s/a), (2010), Vitutor. Moda, mediana y media. Consultado en
línea {URL}: http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html el
29/01/2011.
 Dim Universidad de Chile. (2010). Introducción al álgebra.
Consultado en línea {URL}: http://wwwold.dim.uchile.cl/~docencia/algebra/material/presentacion_sem
ana/Semana07_print.pdf el 29/01/2011
Elabora una estrategia didáctica de
lo visto en esta sesión. Por equipo.
Se entrega la próxima semana
digitalmente.
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escuela?
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Ventas
7000
6800
6600
6400
6200
6000
Vendedor B
Vendedor A
Definición de Estadística
Ciencia que estudia la realidad
utilizando grandes conjuntos de
datos numéricos para obtener
inferencias basadas en el
cálculo de
probabilidades. Consultado en
http://portal.lacaixa.es/docs/diccionario/E_es.html#ESTADI
STICA
Procedimiento para clasificar,
calcular, analizar y resumir
información numérica que se
obtiene de manera sistemática.
Consultado en:
http://espaciovirtual.wordpress.com/2007/08/11/101terminos-de-investigacion-cientifica
/
Matemáticas de los datos
agrupados y los métodos
utilizados para describir y
analizar la información
numérica. Consultado en:
https://www.bves.com.sv/glosario/g_e.htm
Medidas estadísticas
a. Medidas de
tendencia
central. Indican el
comportamiento de los
datos con respecto a
su posición
b) Medidas de
dispersión Indican que
tan lejos se encuentran los
datos respecto a alguno de
sus valores promedios
Desviación media
Varianza
Moda
Mediana
Media
xˆ
~x
x
DM
(S2)
Desviación estándar

se llaman valores promedio
Media aritmética es el promedio aritmético de todos los datos
x
x1  x2  x3  ...  xn
n
Para datos sueltos
La moda
xˆ
Para datos sueltos, es la clase con mayor frecuencia
La mediana
~
x
Es el promedio geométrico, es el dato que se encuentra en el centro de
los datos de una población dada.
Si el número de elementos de la población es impar, la fórmula es:
 n 1
~
x  x

2


Sean los números:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 11
El elemento
 7 1
x
4
es el cuarto
 2 
que corresponde al 5
Si el número de elementos de la población es par, la fórmula es:
n n 
x    x   1
2
2 
~
x   
2
Sean los números:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11. La mediana es :
8 8 
x   x  1
 2   2   x(4)  x(5)  4  6  10
=5
2
2
2
2
Actividad. Lanza un dado 10 veces y registra cada
uno de los resultados.
R1
R2
R3
R4
R5
R6
Con los datos obtenidos:
 Calcula la media aritmética (promedio)
 Calcula la media geométrica (mediana)
 Encuentra la moda
R7
R8
R9
R10
Fuentes consultadas
 Plata Ciro y Martínez Martha. Estadística y probabilidad primer
curso. UNAM. 2005.175 págs
 Spiegel Murray y Stephens Larry. Estadística. México: Mc
Garw Hill: 3era Ed. 2005. 541 págs.
 (s/a), (2010), Vitutor. Moda, mediana y media. Consultado en
línea {URL}: http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html el
29/01/2011.
 Dim Universidad de Chile. (2010). Introducción al álgebra.
Consultado en línea {URL}: http://wwwold.dim.uchile.cl/~docencia/algebra/material/presentacion_sem
ana/Semana07_print.pdf el 29/01/2011

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