Triangulos.

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ESTUDOS DOS
TRIÂNGULOS
7ª Série / Ensino Fundamental
Professor Luciano Vieira
DEFINIÇÃO:
“Triângulo é o polígono de três lados”
ELEMENTOS:
Num triângulo ABC, temos :
A , B e C são os vértices do triângulo
AB , BC e AC são os lados do triângulos, esses lados
podem ser denominados pela letra minúscula
correspondente a seu ângulo
A
oposto.
B
C
ELEMENTOS:
Assim o lado BC poderá ser denominado como a, o
lado AC poderá ser denominado como b e o lado AB
poderá ser denominado
como c
BAC , ACB e CBA são os ângulos internos do
triângulo
A
AB + BC + AC = a + b + c é o perímetro do triângulo
b
c
B
a
C
Observe o que acontece com
a
o quadrado.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Ele pode “cair” para o lado, sem
comprometer a integridade de seus
lados. Cada vez mais, o quadrado
perde área, e muda seus ângulos,
mas nunca tem seus lados alterados.
Isto é exemplo de uma figura não
rígida.
Dizemos uma figura é rígida, se não podemos
construir com os mesmos segmentos de seus
lados,
outra
figura
distinta.
No caso do triângulo isto é verdade. Dado um
triângulo qualquer, não é possível alterar sua
forma sem quebrar seus lados ou seus
vértices.
A rigidez é uma importante propriedade,
e é por isso que o triângulo aparece com
muita freqüência no construção civil: em
telhados ,torres, etc.
Condição de Existência
Escrevemos esta condição de
existência, de um triângulo ABC
qualquer, como:
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma
dos outros dois lados
Exemplo
Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois. Assim:
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas 7 cm, 4 cm e 2 cm .
impossível, não? Logo não existe o triângulo cujos lados, medem
7cm, 4cm e 2cm.
EXERCÍCIOS
1) Existe ou não um triângulo com lados medindo:
a) 10 cm , 8cm e 7cm?
b) 8cm, 4cm e 3 cm ?
c) 2cm, 4 cm e 6 cm?
d) 3 cm, 4 cm e 5 cm?
e) 3 cm, 5 cm e 6 cm?
f) 4 cm, 10 cm e 5cm?
2) Dois Lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 15
cm. Qual poderá ser a medida do terceiro lado?
Soma dos ângulos internos é igual a 180°
Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90°, isto é um é
complemento do outro:
.
Ângulos suplementares são dois ângulos que somados são iguais a 180°, um
suplemento do outro.
Consideramos ângulos opostos pelo vértice, aqueles que possuem um lado como sendo
semi-retas opostas aos lados dos outros.
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles são congruentes:
 
1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?
2) Copie e complete o quadro, sendo A,B e C ângulos internos de
um triângulo.
3) Determine x em cada um dos triângulos
3) Determine x em cada um dos triângulos
Medianas
Mediana é uma reta que vai de um vértice do triângulo
até o ponto médio do lado oposto. Um triângulo tem
então 3 medianas:
baricentro
O ponto onde se encontram as medianas se chama BARICENTRO.
Este ponto é o centro de massa do triângulo, o que significa que
podemos equilibrá-lo apoiando apenas este ponto.
Outra propriedade do baricentro é que ele divide
cada mediana numa proporção de
por
, do vértice ao lado.
Bissetrizes
Uma bissetriz é um segmento que parte de um vértice,
dividindo o ângulo deste ao meio até o lado oposto. Um
triângulo tem 3 bissetrizes:
incentro
O ponto onde encontram as bissetrizes é
chamado de INCENTRO. Leva este nome por ser
também o centro do círculo inscrito no triângulo.
Podemos facilmente perceber pelo desenho.
Alturas
Altura é um segmento que parte de um vértice a
um lado, fazendo um ângulo de 90° com lado em
questão. A altura é importante, por que é distância de
um vértice a um lado, e é usada no cálculo de áreas. Um
ortocentro
triângulo tem 3 alturas:
O ponto onde se encontram as alturas chama-se
ORTOCENTRO. O ortocentro nem sempre está dentro do
triângulo. Num triângulo com ângulo maior que 90° o
ortocentro e duas alturas se encontram fora da figura.
Para traçar as alturas de um triângulo obtusângulo
como o abaixo, basta estender os lados conectados ao
vértice do ângulo obtuso.
Para achar o ortocentro, basta estender as alturas até
que se encontrem.
Área
A área do triângulo é bem conhecida. É a metade da
área do paralelogramo. Com b como a base e h como a
altura em relação a esta base, temos:
Isso acontece porque todo triângulo é metade de
um paralelogramo, como mostraremos:
Congruência
Duas figuras são congruentes, se e somente se uma
figura têm as mesmas medidas que a outra. Em outras
palavras, são ambas idênticas. Ilustramos com gêmeos uni
vitelinos:
Podemos dizer que ambos
congruentes até um certo ponto.
os
gêmeos
são
Congruência de Triângulos
Na matemática, dois polígonos são congruentes se
ambos têm exatamente a mesma forma. Num triângulo, como só
há 3 ângulos e 3 lados, podemos restringir os casos de
semelhança como de acordo com as medidas iguais encontradas:
1) Ângulo Lado Ângulo (ALA)
2) Lado Ângulo Lado (LAL)
3) Lado Lado Lado (LLL)
Escrevemos congruência de dois triângulos
usando o símbolo:
.
e
,
ALA
Dados dois ângulos e um segmento, só podemos obter um
triângulo, portanto se dois triângulos satisfazem esse caso,
eles são iguais.
LAL
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles
formados respectivamente congruentes são congruentes.
Determinando o triângulo:
LLL
Dois triângulos que têm os três lados respectivamente
congruentes são congruentes.
A rigidez do triângulo vem exatamente deste caso. Não se
pode deformar um triângulo sem mudar o tamanho de seus
lados.
Nos triângulos abaixo, informe o caso de congruência:

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