Lezione4 - UniNa STiDuE

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Elementi sollecitati da tensioni
tangenziali: il taglio
La teoria lineare;
Il comportamento non lineare;
Travi non armate a taglio, funzionamento a trave e ad arco;
Travi armate a taglio, determinazione della forza nell’armatura di taglio;
Determinazione del contributo del calcestruzzo.
Se il momento
flettente varia
lungo l’asse si
hanno azioni
taglianti non
nulle.
q(x)
M
M+dM
V
V+dV
Equilibrio alla traslazione verticale:
V − q(x) dx − (V+dV) = 0 ,
q(x) = − dV/dx ,
Equilibrio alla rotazione (A):
V dx + M − q(x) dx2/2 − (M + dM) = 0 ,
V = dM/dx.
Comportamento lineare
Gli elementi soggetti ad azione flettente M variabile lungo l’asse sono
soggetti ad un’azione tagliante V che causa tensioni tangenziali τ.
teoria
approssimata
di Jourawski
Nel caso di sezioni fessurate:
τmax ≈ V/(0.9db).
Incongruenza: la parte di calcestruzzo sotto l’asse neutro, “inesistente” per
la flessione, sopporta la tensione tangenziale τmax che, come risulta dal
cerchio di Mohr, produce una tensione principale di trazione.
Il comportamento delle travi sollecitate a taglio.
Per comprendere cosa avvenga in trave in c.a. sollecitata a flessione taglio,
si deve rinunciare all’analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella
sua estensione spaziale. Consideriamo il comportamento di trave
appoggiata, uniformemente caricata, al crescere dell’intensità del carico.
Per una trave in calcestruzzo armato:
M = T z,
dove T è la forza nelle armature e
z è il braccio della coppia interna.
Sostituendo nell’equazione di equilibrio:
V = dM/dx,
si ottiene:
dT ___
dz
___
V= z
+
T.
dx
dx
All’equilibrio di V concorrono due termini, dipendenti da:
● la variazione della forza di trazione nell’acciaio;
● la variazione del braccio delle forze interne z.
C
M
z
T
Quindi:
dT ___
dz
___
V= z
+
T.
dx
dx
Funzionamento
a trave (snelle)
Funzionamento ad
arco (trave tozza)
In una trave snella (rapporto tra luce e altezza elevato) di sezione costante e
nelle zone distanti dagli appoggi, come risulta dallo studio del comportamento
a flessione, il braccio z è praticamente costante, per cui si può assumere che
dz/dx ≈ 0. In tal caso il secondo termine dell’equazione precedente risulta
trascurabile ed il solo meccanismo di equilibrio possibile è legato alla
variazione di T. Perché questo avvenga occorre che l’aderenza tra acciaio e
calcestruzzo sia in grado di trasferire la quantità necessaria di forza tra l’acciaio
ed il calcestruzzo, ed il calcestruzzo nella parte tesa della sezione sia quindi in
grado sopportarla e trasmetterla al corrente compresso, in modo da soddisfare
l’equilibrio globale del concio. Questo meccanismo resistente viene detto
comportamento a trave.
Travi con armatura a taglio
La resistenza al taglio delle travi prive di armatura d’anima è generalmente
modesta e tale da ridurne la capacità portante rispetto a quella prevista dalla
teoria flessionale.
La necessità di garantire la piena capacità portante richiede che la resistenza al
taglio deve essere aumentata fino a superare quella flessionale; ciò anche in
considerazione della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del
collasso per taglio. Per aumentare la resistenza a taglio, nelle travi in cemento
armato si dispone un’armatura d’anima, cioè un’armatura disposta
trasversalmente all’asse della trave e che congiunge la parte compressa (il
corrente di calcestruzzo) a quella tesa (armatura longitudinale). Le armature
utilizzate a questo scopo sono di due tipi: le staffe e le barre piegate. Le staffe
sono armature chiuse che seguono il perimetro della sezione e contengono le
armature longitudinali; in genere sono ortogonali all’asse della trave ma
possono essere inclinate. Le barre piegate invece sono realizzate con le
armature longitudinali che vengono piegate in modo da attraversare l’anima
fino a raggiungere il lembo opposto.
Le staffe sono più efficaci delle barre piegate nel
prevenire i meccanismi di rottura per taglio.
Secondo un modello, dovuto a Mörsch, molto schematico ma che coglie i
caratteri essenziali del fenomeno, la trave fessurata viene assimilata ad una
trave reticolare in cui il calcestruzzo compresso e l’armatura tesa fungono da
correnti, le bielle di calcestruzzo sono le aste di parete compresse, le
armature d’anima le aste tese, come illustrato in Figura.
Per analizzare il comportamento delle travi armate per il taglio si ipotizza
che le fessure siano rettilinee e inclinate di un’angolo θ rispetto all’asse della
trave. Se α è l’inclinazione dell’armatura d’anima.
C1
Fs
C2
Va
Vd
T1
Va
C
α
θ
Vd
T2
L’equilibrio alla rotazione di una mensola di calcestruzzo compresa tra due
fessure distanti s risulta:
∆Tz = (Vd + Va)s +Mc + Fs sin α (z cot θ) + Fs cos α z,
in cui ∆T = T2 −T1 è la variazione della forza di trazione nell’acciaio dovuta
alla variazione del momento flettente, z è il braccio delle forze interne, Vd è
il taglio portato dall’armatura longitudinale per effetto spinotto, Va è la
componente tangenziale della forza trasmessa per ingranamento degli inerti,
Mc è il momento sopportato dalla sezione di incastro della mensola di
calcestruzzo, Fs è la forza agente nell’armatura d’anima, θ e α sono gli
angoli formati dalle bielle compresse di calcestruzzo e da quelle tese
(armatura) con l’asse della trave.
Assumendo z ≈ cost, si ha:
V  z
dT
dx
 z
T
x
 z
T
s

T 
Vs
z

Vs  Tz
Se VRd1 = Vd + Va +Mc/s raccoglie il contributo di tutti i termini che prescindono
dalla presenza dell’armatura, si può scrivere:
V s  V R d 1s  Fs sin  
  z co t      Fs co s    z
Fs
V – VRd1
Vs
— = ————————– = ———————— ,
s
z sinα (cot θ + cot α)
z sinα (cot θ + cot α)
Se VRd1 > V l’equazione non ha senso e la trave è in grado di sopportare
l’azione del taglio senza bisogno dell’armatura d’anima. Nel caso
contrario Vs = V −VRd1 indica il quantitativo eccedente, che non potrebbe
essere equilibrato in assenza dell’armatura. In tal caso si rinuncia
completamente al contributo del calcestruzzo
Fs
s

V  VRd 1
z sin  

  co t     co t  
VRd 3 
Asw
s

zf y d s in  

Fs 
sV
z sin  
  co t    co t  
  c o t    c o t     
Asw
s

zf y d
per  90 e   45
 A sw f yd
Per l’equilibrio, alla forza di trazione nell’armatura Fs deve corrispondere
una compressione C nella biella compressa. Imponendo l’equilibrio nella
direzione verticale:
Fs sin α = C sin θ,
ricavando C:
C
C 
sV
z sin  
  cot     cot    
s
Se la forza C viene considerata centrata lungo l’asse della biella di
calcestruzzo, essa provoca una compressione uniforme.
C 
sV
z sin  
V R d 2   fcd b z sin
2
  cot     cot    
  fcd bs sin  
    co t     co t     
1
2

 fcd b z
per  90 e   45
METODO DI CALCOLO A TAGLIO
Si basa su tre valori della resistenza di calcolo:
-VRd1 Resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura a taglio;
-VRd2 Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza
rottura delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo;
- VRd3 Forza di taglio di progetto che corrisponde allo snervamento di
un’armatura a taglio.
SE:
Vsd < VRd1 non è richiesta armatura a taglio (deve essere previsto un
minimo di normativa);
Vsd>VRd1 deve essere prevista una opportuna armatura a taglio tale che:
Vsd≤VRd3
A tal proposito sono possibili due metodi di calcolo:
1. il metodo normale;
2. il metodo dell’inclinazione variabile del traliccio.
INOLTRE:
In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo deve
essere maggiore di VRd2
Vsd < VRd2.
ELEMENTI CHE NON RICHIEDONO ARMATURE A TAGLIO
(4.3.2.3.)
La resistenza a taglio di calcolo VRd1 è data da:
VRd1 = [(0.18/ γc)k(100 ρl fck)1/3 + k1 σcp] bwd ,
dove:
fck è in MPa;
———
k = 1 + √(200/d) ≤ 2.0 (con d in mm);
ρl = (Asl/bwd) ≤ 0,02;
Asl è l’area dell’armatura tesa, estesa per un tratto ≥ (lbd + d) oltre la sezione
considerata;
bw è la larghezza minima della sezione trasversale nell’area tesa (mm);
σcp = (NEd/Ac) < 0,2 fcd (MPa);
NEd è la forza assiale nella sezione trasversale (in N) (NEd > 0 per
compressione);
AC è l’area del calcestruzzo (mm2);
VRd,1 in (N).
Per membrature con staffe verticali come armatura per la resistenza al
taglio, VRd è il valore inferiore di:
Asw
___
V Rd3 =
fywd z cot θ,
s
e
VRd2 = bw z ν fcd/(cot θ + tan θ ) ,
Il coefficiente ν tiene conto della riduzione di resistenza delle bielle compresse
causata dalla tensione trasversale indotta dalle armature (staffe) e dalla
presenza di fessure che intersecano le bielle stesse.
La massima area efficace dell’armatura Asw,max è data da:
Asw,max fywd
1
———— ≤ — ν f cd
bw s
2
per   90 e   45
Questa relazione fornisce il massimo valore dell’area delle staffe per il quale
allo stato limite ultimo si ha cedimento simultaneo del calcestruzzo e delle
armature.
Nell’EC2 il valore di ν è identificato con il valore di v della formula:
ν = 0 , 6 [1 − fck/250],
In Italia lo stesso valore v è dato invece da:
ν = 0 , 7 [1 − fck/250].
La sostituzione del fattore 0,6 con 0,7 deriva dal fatto che mentre in precedenza
(applicazione di ENV) la resistenza di progetto del calcestruzzo era definita
f cd 
f ck
c
,
Mentre ora
f cd   cc
f ck
c
.
Per conservare la stessa sicurezza a taglio del codice precedente, ora si è corretta la
con (0,6/0,8 5) = 0,7.
Determinazione del taglio resistente
Data la trave con le relative armature e resistenze di calcestruzzo e acciaio, si voglia
determinare il massimo taglio resistente.
Si può seguire il seguente percorso:
- accertare, con i dati del problema, che sia verificata la
Asw,max fywd
1
———— ≤ — αc ν f cd
bw s
2
ossia che la trave sia duttile;
- uguagliando i secondi membri delle relazioni che forniscono la resistenza al taglio
del calcestruzzo e delle staffe risulta:
A sw f ywd
b w s  f cd
 sin
2
.
Da questa si ottiene sin θ e quindi θ. Se θ soddisfa la condizione 1 ≤ cot θ ≤ 2.5, il
taglio resistente si calcola mediante le relazioni precedenti con il valore di θ trovato.
Se θ non soddisfa la 1 ≤ cot θ ≤ 2.5, in quanto angolo inferiore a 21.80° (a cui
corrispondono cot θ = 2.5 e sin θ = 0.3714), significa che il collasso avviene lato
acciaio con bielle compresse integre. In questo caso il taglio resistente è dato dalla
Asw
___
V Rd3 =
fywd z cot θ,
s
con cot θ = 2.5.

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