f(x)

Report
Croissance et extremums
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
Éléments de compétence
 Croissance et décroissance
 Lien entre la croissance et la dérivée
 Maximum et minimum relatifs
 Maximum et minimum absolus
 Test de la dérivée première
 Tableau de variation relatif à f’
 Exemples et exercices

Département de mathématiques
2
Éléments de compétence


Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction
représentée sous forme d'expression symbolique ou
sous forme graphique
Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser
les variations d'une fonction et tracer son graphique






Relier la croissance ou la décroissance d’une fonction
au signe de sa dérivée
Déterminer les intervalles de croissance et de
décroissance
Déterminer les maximums et minimums de f
Construire un tableau de variation relatif à f’
Utiliser le test de la dérivée première
Donner une esquisse du graphique de f
Département de mathématiques
3
Croissance et décroissance (1 de 2)

Soit une fonction f
définie sur un
intervalle I
f
est croissante sur I
si  x1 , x2  I on a que
x1 < x2  f (x1) < f (x2)
f
est décroissante sur I
si  x1 , x2  I on a que
x1 < x2  f (x1) > f (x2)
Département de mathématiques
4
Croissance et décroissance (2 de 2)

Croissance et décroissance et signe de la
dérivée première
(x) > 0 sur ]a,b[  f(x) croissante sur [a,b]
 f’ (x) < 0 sur ]a,b[  f (x) décroissante sur [a,b]
 f’
m>0
m<0
Département de mathématiques
5
Maximum et minimum relatifs

Soit I un intervalle ouvert autour d’un point c du
domaine d’une fonction f, alors f(c) est un
maximum relatif ssi f(c) f(x) x  I
 2) minimum relatif ssi f(c) f(x) x  I
•
 1)
max relatif
(c , f(c)
•
max relatif
min relatif
•
•
min relatif
• min relatif
(c , f(c)
Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un
intervalle ouvert d’un seul côté de c (plutôt qu’autour)
Département de mathématiques
6
Maximum et minimum absolus

Soit une fonction f définie sur son domaine D,
alors f(c) est un
1) maximum absolu ssi f(c) f(x) x  D
2) minimum absolu ssi f(c) f(x) x  D
•
max rel et absolu
(c , f(c)
(c , f(c)
•
max rel
min rel
•
•
min rel
• min rel et absolu
Remarque : Il peut arriver qu’une fonction n’aie pas de
maximum ou minimum absolu.
Département de mathématiques
7
Maximum / minimum et dérivée

Si une fonction f atteint un extremum relatif en
une valeur c de son domaine, alors :
max rel
f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas
(La courbe possède un maximum
relatif qui est un maximum absolu,
mais elle possède un minimum relatif
qui n’est pas un minimum absolu)

m=0
Pas de dérivée
min rel
Nombre critique de f : une valeur c du domaine
de f pour laquelle f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas.
(Un maximum ou un minimum potentiel)*
Département de mathématiques
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Définitions

Le point (c,f’(c)) est un point stationnaire de f si f’(c) = 0.

Le point (c,f’(c)) est un point de rebroussement de f si en
ce point la tangente est verticale et f’(x) change de signe
autour de x = c.

Le point (c,f’(c)) est un point anguleux de f si en ce point
les portions de courbes admettent deux tangentes
distinctes.
Département de mathématiques
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Test de la dérivée première

Soit f une fonction continue sur un intervalle
ouvert I et c  I, un nombre critique de f
(f’(c) = 0 ou f’(x) n’existe pas),
 1)
Si f’(x) passe de + à – lorsque x passe de cà c+, alors (c , f(c)) est un point de maximum
relatif de f.
 2)
Si f’(x) passe de – à + lorsque x passe de cà c+, alors (c , f(c)) est un point de minimum
relatif de f.
Département de mathématiques
10
Test de la dérivée première (Illustration)

Soit une fonction f définie sur [a , b]

Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des
nombres critiques car la dérivée n’y existe pas.
Département de mathématiques
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Tableau de variation relatif à f’
Borne inférieure
Valeurs de x 
Nombres critiques
Borne supérieure
x
Valeurs de f’(x) 
f’(x)
Valeurs de f(x) 
f(x)
max ou min
Pour une fonction définie sur un intervalle : -----Département de mathématiques
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Exemple 1

Déterminer les intervalles de croissance, de
décroissance, les points de maximum relatif, les points de
minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de
minimum absolu de la fonction f(x) = x3 – 48x.





Étape 1 : Donner le domaine de la fonction
Étape 2 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible
Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f
Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’
Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f
x
-
f’(x)
f(x)
Département de mathématiques
-4
+
0

4

0
128
-128
max
min
+
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Exemple 2

Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de
maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum
absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 - 14x2 + 24x + 4 définie
sur [-4 , 3].
x
-4

f’(x)
f(x)
-3
0
1
+
0
2

0
3
+
-60
-113
15
12
31
max
min
max
min
max
Département de mathématiques
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Exercice 1

Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de
maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum
absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 1.
x
f’(x)
-
0

f(x)
0
1

3
+
0
+
28
min
Département de mathématiques
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Exemple 3

Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance,
les points de maximum relatif, les points de minimum relatif,
le point de maximum absolu et le point de minimum absolu
de f(x) = 3 x 2  4x .
x
f’(x)
-
0

f(x)
2

0
0
-1,6

4
+
+
0
min
Département de mathématiques
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Exercice 2

Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance,
les points de maximum relatif, les points de minimum relatif,
le point de maximum absolu et le point de minimum absolu
de f(x) = x 2  x  6  3.
x
f’(x)
-
-3

f(x)
Département de mathématiques

2
+
-3
-3
min
min
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Devoir
Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8.
 Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3.

f sur - ; -0,41]  [2,41 ;  ; f sur [-0,41 ; 2,41];
max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31)
 1d) f
sur - , 3] ; f sur [3 ,  ;
max. : aucun; min. rel. : (3 , 4).
 1f) f
sur [0 , 2] ; f sur [2 , 5];
max. rel. : (0 , 2) et (5 , 67); min. rel. : (2 , -14).
 1h) f
sur [-2 , -1]  [1 , 2 ]; f sur [-1 , 1];
max. rel. : (-2 , 0) et (1 , 3); min. rel. : (2 , 0) et (-1 , -3).
 1b)
Département de mathématiques
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