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Mécanique des fluides et
hémodynamique
• Cours du Pr J-L BARAT
• ED Pr G BAILLET
v1
v2
V3
Equation de continuité
• Soit un fluide incompressible dans
un tube ou une artère indéformable
• S1v1 = S2v2
• Si le rayon r2 est la moitié de r1
• V2 est égale à V1 multipliée par
• 1
2
4
8
•
•
•
•
•
N’oublions pas que S2 = π r22
Le rayon est divisé par 2
La section est divisée par 4
Sv est constant
La vitesse est multipliée par 4
loi de Pascal
Un barrage retient l’eau d’une rivière
à une hauteur de 50 m. Calculer la
pression qui s’exerce sur le pied de
la muraille.
Entre la surface et le fond du bassin
• P2 = P1 + r g h
 r = 103 kg m-3
• g = 10 m s-2
• h = 50 m
• P1 = 10 5 Pa = 1 atm
• P2 =105 + 50x10x103
• P2 =6 105
• P2 = 6 atm
Pression sur une surface horizontale d’un fluide
au repos
0
10
Barrage
20
30
40
50
• La pression sur le pied du barrage est
égale à la pression sur le fond en P2
• Soit 6 atm
0
10
20
30
40
50
EQUATION DE BERNOULLI
P+rgz+
v1
1
2
r v2 = charge totale
v2
V3
Ecoulement horizontal
• P + 1/2 r v2 = constante
v1
v2
V3
Écoulement horizontal
v1
v2
V3
• Le théorème de Bernoulli est établi à
condition que :
– Fluide parfait (non visqueux, dépourvu de
frottements)
– Incompressible (masse volumique constante)
– S’écoulant en régime laminaire (chaque élément
a une vitesse parallèle au sens général)
– Débit constant
14
Section 1
• La pression latérale sur la paroi P est
égale à 1 atm :
• à quelle hauteur monte le manomètre à
eau?
Pression latérale sur la paroi
1 atm = 105 Pa
P=r gz
z=P/r g
z = 105 / (103 x10)
Z = 10 m
Savoir changer d’unité
• 1 atmosphère = 1 atm = 105 Pa
• 10 m H2O = 105 Pa
• 1 mm Hg = 133,3 Pa
Nous envisageons maintenant
•
Fluide réel ( non parfait) , visqueux et
dans lequel siègent des frottements
•
Dont le type d’écoulement sera parfois
laminaire, parfois turbulent
18
• Schématiquement, écoulement dans un tube
selon
2 modalités possibles :
laminaire
ou
turbulent
19
Force de viscosité


•
Soient 2 lames parallèles de surface A
identique, distantes de Dx,
1 lame est animée d’une vitesse v1,
l’autre d’une vitesse v2 = v1+ Dv
F
Dx
F
• Pour maintenir une vitesse relative constante
Dv entre les deux lames, il faut exercer une
force sur la lame supérieure pour vaincre la
force de frottement ou encore la force de
viscosité
F = h A Dv / Dx

h coefficient de viscosité (Pa.s)

Dv/ Dx gradient de vitesse entre les lames
= taux de cisaillement, en s-1
21
h
êta
h est liée à l'interaction
entre les molécules
Unité : Poiseuille
ou
Pa . s
remplace la Poise (Poise = 0,1 Pa . s)
22
Liquide visqueux newtonien
h ne dépend que de la température
h indépendant de Dv/Dx
Ex : EAU
23
(V-3) Fluides newtoniens et non newtoniens
• Fluide newtonien si h est constant, à
température donnée
• Fluide non newtonien si à température
donnée, h n’est pas constant
Ex : le sang dépend, à température donnée,
de Dv/ Dx
24
• Le sang n’est pas un fluide
newtonien
h
3 grands facteurs
influencent h du sang
– La composition du sang
– Le calibre vasculaire
– La vitesse d’écoulement
26
h augmente quand l ’hématocrite augmente
(relation non linéaire)
h
45%
Hématocrite
27
h
h
-----------
Liquide newtonien
sang
AO
plasma
Dv/Dx
capillaires
Dv/Dx
 Taux de cisaillement bas dans les gros troncs, agrégation
des GR, rouleaux physiologiques
 Taux de cisaillement élevé dans capillaires, h diminue,
déplacement favorable des GR
28
Effet Fahreus-Lindquist
diamètre > 10 mm et < 1-2 mm (cas
de la microcirculation dans artérioles et
veinules),
Si
h
h diminue avec le diamètre = effet
Fahreus-Lindquist (1931)
Effet d’autant plus important que le
vaisseau est petit, car le manchon
plasmatique (3 μm) occupe une
fraction d’autant plus grande que le
vaisseau est petit
diamètre
10 mm
1mm
29
Écrémage plasmatique
• Le sang dérivé prélevé au
voisinage de la périphérie
du vaisseau est donc moins
riche en GR  donc
hématocrite diminué
Ex: Microcirculation rénale
Artérioles à coussinet
• Orifice d’entrée de la
collatérale près de l’axe de
l’artère  le sang dérivé est
prélevé au voisinage du
centre donc plus riche en GR
:
Hématocrite conservé ou
augmenté
30
V-4 Ecoulement laminaire
• Quand le débit est faible, toutes les particules
ont une vitesse parallèle au sens général de
l’écoulement. Les lames liquides glissent les
unes sur les autres : le régime est
LAMINAIRE
31
2r
Vmax
• Considérons un tube de section constante
et différentes lames de fluide à l’intérieur
du tube

La lame directement au contact de la paroi a une
vitesse nulle car soumise à un frottement maximal

La lame directement voisine a une vitesse très faible

Et de proche en proche la vitesse des lames
augmente et atteint une valeur maximale au centre du
tube
32
LOI DE POISEUILLE
Remarques
Q =
p
8h
r4
DP
Dl
Si DP/Dl est constant (résistances en
parallèle, cas fréquent dans le système
cardiovasculaire) :
– Plus la viscosité est élevée et plus le débit est
faible
– Le débit est proportionnel à la puissance 4 du
rayon : une faible variation de rayon va
entraîner de fortes variations de débit
33
Remarques
• Analogie électrique
DP = [8__h
πr4
Dl] Q
– exprime que la perte de charge est
proportionnelle au débit, soit l’équivalent de la
loi d’ohm :
ΔV =
R
I
– R H = [ ] est la résistance hydraulique
34
R1
R2
R3
hydrodynamique
R1
R2
R3
(V-5) Ecoulement turbulent
• S’oppose au laminaire comme l’ordre au désordre
–
–
–
–
–
Absence de parallélisme des vitesses de chaque lame
Effet du frottement plus important
Perte d’énergie plus importante
Le profil des vitesses n’est plus parabolique
La loi de Poiseuille n’est plus applicable
= La perte de charge n’est plus proportionnelle au débit
– Le régime turbulent est bruyant
36
Nombre de Reynolds
Les conditions déterminant l’un ou l’autre des
régimes dépendent de la vitesse moyenne
d'écoulement v, du rayon r , de la viscosité h ,
et de la masse volumique r
Règle empirique : Nombre de Reynolds (1883)
Re = 2 r v r/ h
Re renseigne sur stabilité d’un écoulement
Re est un nombre sans dimension
37
Re < 2400 : toujours laminaire (faible v, faible Q)
Re > 10 000 : toujours turbulent (forte v, fort Q)
Entre 2400 et 10 000 :
instable
Pour 2400 , se définit la vitesse critique en
dessous de laquelle le régime est toujours
laminaire
Pour 10 000, se définit la vitesse au dessus de
laquelle le régime est toujours turbulent
38
V-6 Applications physiologiques
• Ecoulement dans l'aorte
au repos
v moyenne : 25 à 30 cm.s-1
r #1 cm
r # 103 kg/m3
vc = 24 cm.s-1
h # 2 x 10-3 Pa.s

Régime laminaire
(auscultation silencieuse des vaisseaux)
à l ’effort, Q donc v augmentent,
Turbulences
(Souffle audible : le régime turbulent est bruyant)
Equation de continuité
•
•
•
•
•
Le fluide est incompressible
Le tube peut être déformable
Le débit est constant
Q = S v avec S section et v volume
Q = ½ ρ v2 avec ρ masse volumique et v
vitesse
Manomètre à mercure. Mesure de la
pression artérielle
• Le terme ρgh avec h hauteur des niveaux de mercure
correspond:
• À la pression dans l’artère
• À la somme: pression dans l’artère+ pression
atmosphérique
• à la différence : pression dans l’artère – pression
atmosphérique
• à la pression dans l’artère divisée par la pression
atmosphérique
• à la pression atmosphérique divisée par la pression dans
de l’artère
Le manomètre
1
h
2
3
P = P2 = P3 = Patm + rgh
43
Mesure de la pression artérielle
• Liquide utilisé : Mercure Hg
• PA maximale ou systolique = 130 mm Hg
• PA minimale ou diastolique = 80 mm Hg
• PA moyenne au cours du cycle cardiaque
= 100 mm Hg
44
Mesure de la pression veineuse
• Les pressions sont beaucoup plus faibles
 La hauteur observée avec un manomètre à
mercure est beaucoup trop faible  mesure trop
peu précise
r g h= P – P atm
 En diminuant r , h sera plus grand : on
remplace le mercure par de l’eau (r est 13 fois
plus faible, donc h est 13 fois plus grand)
h veineux = 10 cm d’eau
45
Loi de Poiseuille
• Elle s’applique à un fluide parfait
• Elle suppose que l’écoulement est
laminaire
• Elle suppose que la masse volumique reste
constante
• Elle suppose que la charge du fluide reste
constante
• Elle suppose que la pression hydrostatique
reste constante
• On considère du sang s’écoulant dans une
artère de section circulaire constante et de
rayon r. sa vitesse d’écoulement est la
vitesse critique égale à 25 cm s-1
Quelles sont les réponses exactes?
• Le débit reste constant. Si le rayon est divisé par
2, le régime d‘écoulement est toujours turbulent
• Le débit reste constant. Si le rayon est divisé par
trois, le régime d’écoulement peut être turbulent
• Si la vitesse est multipliée par trois le régime
peut être soit laminaire soit turbulent
• Si la vitesse est divisée par 2, un souffle peut
parfois être entendu
Résistances du système vasculaire
• Pour un écoulement laminaire dans les
éléments suivants : gros troncs artériels (1)
artères moyennes (2), artérioles (3)
capillaires (4) veinules et veines (5) en
série classer par ordre décroissant les
valeurs en pourcentage des résistances
hydrauliques de ces éléments
• 1-2-3-4-5
2-1-3-4-5
• 3-2-1-4-5
3-4-2-1-5
3-4-2-5-1
Elément vasculaire
R (%) du total
Aorte, gros troncs
Artères moyennes
10
15
Artérioles
40
Capillaires
Veinules et veines
30
5
En admettant que l’écoulement laminaire et que les
éléments sont disposés en série
donc D
50
Taux de cisaillement et viscosité du
sang
• Un liquide non newtonien présente une viscosité
dépendante du taux de cisaillement
• La viscosité du sang est plus faible dans les
capillaires que dans l’aorte
• Le profil des vitesses du sang n’est plus
parabolique dans les capillaires
• Un liquide newtonien a un profil de vitesse plat
(même vitesse en tout point d’un liquide)
• L’expression du taux de cisaillement est Δx/Δv
• Le taux de cisaillement s’écrit
• Δx/Δv
• ???
LOI DE LAPLACE
• ou relation pression-tension
• exprime la relation d’équilibre qui existe entre la
pression à l’intérieur du vaisseau et la tension
superficielle de la paroi : 2 forces antagonistes
• Pour un vaisseau cylindrique T = P x r
( r rayon du vaisseau), à condition que le rayon soit très
petit devant sa longueur
53
• Crosse aortique
T plancher > T plafond
Histologie : fibres élastiques plus
nombreuses au plancher
Conséquence en pathologie : dilatation
du plafond uniquement et rupture
54
Aorte
• Crosse aortique
T plancher > T plafond
Histologie : fibres élastiques plus
nombreuses au plancher
Conséquence en pathologie : dilatation
du plafond uniquement et rupture
55
Le pouls
• Sachant que la distance entre le ventricule
gauche et l’artère radiale au poignet est de
1 m, que la vitesse moyenne d’écoulement
est de 20 cm s-1, que la vitesse de
propagation de l’onde de pression dans le
sang est 4 m s-1 quel est temps de
propagation du pouls entre le VG et le
poignet (en s)
• 50
5
0,5
0,25
0,025
Le Pouls
• Onde de pression qui se propage dans le sang
• Ne pas confondre vitesse de propagation (sujet jeune 4
m/s et sujet âgé 12 m/s) et vitesse d’écoulement du sang
(0,3 m/s dans l’aorte)
• Origine :
– choc entre masse de sang éjectée lors de la systole
et sang aortique
– Propagation d’une onde de pression
57
• FIN

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