有理函數的圖形 - Proera

Report
微積分數位化教材
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
1





有理函數定義
有理函數的定義域
有理函數的圖形
漸近線
部分分式
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
2

當 () 及 () 為多項式函數時,則稱
()
  =
()

為一個有理函數(Rational function)。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
3

有理函數

的定義域為
()
  =
()
 ∈ | () ≠ 0
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
4

函數

的定義域

為
2 +  − 2
  =
2 − 1
 ∈ |  ≠ ±1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
5

函數

的定義域

為
2 +  − 2
  =
2 + 1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
6
2 +  − 2
  =
2 − 1

圖形為
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
7


1.
2.
有理函數的定義域不包括分母多項式函數的零
根
而其函數圖形在接近這些零根時,例如a,通
常有兩種行為
當 x 越來越接近 a 時函數值的絕對值越來越
大,圖形越來越接近一條鉛垂直線  = 。
函數圖形在  =  時有一個中斷點。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
8



有理函數
3 − 1
  = 2
 −1
因為
 3 − 1 ( − 1)( 2 +  + 1)
=
2
 −1
( − 1)( + 1)
  的定義域為  ∈ |  ≠ ±1 ,其圖形為
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
9
3 − 1
  = 2
 −1

圖形為
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
10
1.
當 x 越來越接近 −1 時函數值絕對值
3 − 1
  = 2
 −1
越來越大
圖形越來越接近一條鉛垂直線  = −1。
2.
函數圖形在  = 1 時有一個中斷點。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
11

1.
2.
令   為一有理函數,而 a 不在函數的定義
域裏,則有下列兩種現象發生
當 x 越來越接近 a 時函數值的絕對值越來越
大,則稱垂直線  =  為函數   的一條垂
直漸近線(Vertical asymptote)。
函數在  =  時中斷,稱這點為一可移除不
連續點(Removable discontinuity)。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
12



有理函數
()
  =
()
當 () 及 () 多項式的次數相同時,則在 x
越來越大時,有理函數   的圖形越來越接
近一條水平線
例如有理函數
3 2 +  − 1
  =
2 − 1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
13
3 2 +  − 1
  =
2 − 1
的圖形
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
14

則在 x 越來越大時,有理函數   的圖形越
來越接近一條水平線  = ,
則稱水平線  =  為有理函數   的
水平漸近線 (Horizontal asymptote)。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
15

函數
2 +  − 2
  =
2 − 1
的定義域為  ∈ |  ≠ ±1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
16
2 +  − 2
  =
2 − 1

圖形為
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
17



點
3
(1, )
2
為一可移除不連續點
直線  = −1 為一垂直漸近線
直線  = 1為一水平漸近線
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
18


並非所有有理函數都有水平漸近線,若是
deg () > deg ()由除法原理可得
  =     + ()
其中 deg () < deg () ,所以
()
()
  =
=  +
。
()
()
而在 x
()
越來越大時,
()
越來越接近0,因此在
x 越來越大時有理函數   的圖形越來越接近
多項式   的圖形。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
19

有理函數
因為
4 − 2 +  + 2
  =
2 − 1
4 − 2 +  + 2
+2
2
= + 2
2
 −1
 −1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
20


圖形
在 x 越來越大時有理函數   的圖形越來越
接近多項式  =  2 的圖形
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
21



有理函數
()
()
實係數多項式 () 必可因式分解為實係數的
一次或不可分解之二次因式的乘積
我們可以把有理函數
()
()
改寫成用 () 的因
式所形成的有理函數的和。
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
22
當
  
= (1  + 1 )1 ⋯ (  +  )
(1  2 + 1  + 1 )1 ⋯ (  2 +   +  )

其中  2 − 4  < 0, = 1, ⋯ ,  , 則
()
()



=

=1
=1 (  +  )


  + 
+
2

=1
=1 (  +   +  )
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
23

例

因為

所以

2
2 − 1
 2 − 1 = ( − 1)( + 1)
2


=
+
2
 −1 −1 +1
兩邊乘上  2 − 1 得
2 = ( + 1) + ( − 1)
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
24

比較係數解方程組或代入  = 1 及  = −1 得
==1
2
1
1
=
+
2
 −1 −1 +1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
25



例
因為
所以
3 2 − 2 + 5
3 − 1
 3 − 1 = ( − 1)( 2 +  + 1)
3 2 − 2 + 5

 + 
=
+ 2
3
 −1
−1  ++1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
26

兩邊乘上  3 − 1 得
3 2 − 2 + 5
= ( 2 +  + 1) + ( + )( − 1)


代入  = 1 得  = 2 ,
比較係數解方程組得  = 1,  = −3
3 2 − 2 + 5
2
−3
=
+ 2
3
 −1
−1  ++1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
27

例

因為

所以
4
3 − 2 −  + 1
 3 −  2 −  + 1 = ( − 1)2 ( + 1)
4



=
+
+
3
2
2
 −  −  + 1  − 1 ( − 1)
+1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
28


兩邊乘上  3 −  2 −  + 1 得
4 = ( 2 − 1) + ( + 1) + ( − 1)2
代入  = 1 及得  = 2 ,代入  = −1 及得
 = −1 ,代入  = 0 得 − + 2 − 1 = 0得  =
1
4
1
2
1
=
+
−
3
2
2
 −  −  + 1  − 1 ( − 1)
+1
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
29

例
2 4 −  3 + 2 2 + 1
 5 −  4 + 2 3 − 2 2 +  − 1
因為
 5 −  4 + 2 3 − 2 2 +  − 1 = ( − 1)( 2 + 1)2
 所以
2 4 −  3 + 2 2 + 1
( − 1)( 2 + 1)2

 + 
 + 
=
+ 2
− 2
 − 1  + 1 ( + 1)2

C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
30
兩邊乘上 ( − 1)( 2 + 1)2 得
2 4 −  3 + 2 2 + 1
=   2 + 1 2 + ( + )( − 1) + ( + )(
− 1)( 2 + 1)
 比較係數解方程組得
 =  = 1,  = −1,  =  = 0
2 4 −  3 + 2 2 + 1
 5 −  4 + 2 3 − 2 2 +  − 1
1


=
+ 2
− 2
 − 1  + 1 ( + 1)2

C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
31
I-Shou University Department of Applied
Mathematics, C. L. Lang
32
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
33
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
34
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
35
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
36
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
37
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
38

similar documents