Теорема Чевы

Report
Подготовила
Ученица 8 класса «Б»
Шебанкова Марина
Биография ученого
Чева (Джованни) — итальянский
математик. Умер в 1734 г. Главными
предметами его занятий были геометрия и
механика. Он написал много сочинений.
Самым замечательным из них было первое
"De lineis rectis se invicem secantibus statica
constructio" (Милан, 1678); . В первой его
части автор доказывает теорему Менелая и
ряд сходных с нею теорем при помощи
статического метода, основанного на
свойствах центра тяжести системы точек.
Теорема Чевы

Если на сторонах АВ, ВС и СА
треугольника АВС взяты
соответственно точки С1, А1 и В1, то
отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются
в одной точке тогда и только тогда,
когда
AB
1

B 1C
*
CA 1
A 1B
*
BC 1
AC 1
1
(1)
Доказательство.1.
Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в
точке О. Докажем,что AB * CA * BC  1
B C A B AC
 По теореме о пропорциональных отрезках в
треугольнике имеем:

1
1
1



AO
AB1
CA1 


* 1 

OA1
B1C 
A1B 
AO
И
OA1

1
1
1
C1A
A1B 

* 1 

BC1 
CA1 
Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и
правые части. Приравнивая их, получаем
AB 1
B 1C
*
BC
A 1B

C 1A
BC 1
*
BC
CA 1
Разделив обе части на правую часть,приходим к
равенству (1)
УТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ
А1
ТЕОРЕМЕ.
Пусть для точек А1, В1, С1, взятых на
соответствующих сторонах треугольника ABC,
В1
Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1,BB1,СС1
пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1
и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в
точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на
основании доказанного в первом пункте
AB 1
B 1C
*
CA 1
A 1B
*
BC 2
C 2A
1
(2)
Итак, имеют место равенства (1) и (2)
BC 1

BC 2
Сопоставляя их, приходим к равенству
,которое показывает,
C 1A C 2A
что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1
пересекаются в точке О. Теорема доказана.
Биография ученого
 Менелай
Александрийский (Menélaos),
древнегреческий астроном и математик (1
в.). Автор работ по сферической
тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и
3 книги «Сферики» (сохранились в арабском
переводе). Тригонометрия у Менелая
отделена от геометрии и астрономии.
Арабские авторы упоминают также о книге
Менелая по гидростатике.
Теорема Менелая
Если на сторонах АВ, ВС и
продолжении АС треугольника АВС
соответственно взяты точки С1, А1 и
В1, то эти точки лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда
АВ 1
В 1С
*
СА 1
А1 В
*
ВС 1
С1А
1
(3)
Доказательство.1.
Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на
D
АВ 1 СА 1 ВС 1
одной прямой. Докажем, что В1С * А1В * С 1 А  1
Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой
В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:
АВ 1

DА 1
BC 1

BA 1
и C 1 A A1 D
Перемножая левые и правые части этих равенств,
получаем:
В 1С
АВ 1
В 1С
*
А1C
BC 1
C1A

АВ 1
A1 B
СA 1
, откуда
В 1С
*
СА 1
А1 В
*
ВС 1
С1А
1
УТВЕРЖДЕНИЕ
В1
ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ.

Пусть точка В1 взята на
продолжении стороны АС, а
точки С1 и А1-на сторонах АВ и
ВС, причем так, что выполнено
ÀÂ 1 ÑÀ 1 ÂÑ 1
*
*
1.
равенство
 1Ñ À1 Â Ñ 1 À
Докажем, что точки А1, В1 и С1
лежат на одной прямой.
А
С1
В
А1
С
Доказательство.
Прямая В1С1 пересекает
сторону ВС в некоторой точке
А2.Т.к точки В1,С1 и А2 лежат на
одной прямой, то по теореме
Менелая АВ 1 * СА 2 * ВС 1  1
(4)
В 1С А 2 В С 1 А
Сопоставляя (3) и (4),приходим к
1 СA 2

равенству СА
,которое
А1 В
А2 B
показывает, что точки А1 и А2
делят сторону ВС в одном и том
же отношении.Следовательно,
точки А1 и А2 совпадают, и,
значит, точки А1, В1 и С1 лежат
на одной прямой.
В1
А
С1
В
А2
С
Задача.1
Дано: точка К делит сторону АВ
равнобедренного треугольника АВС
(АВ=АС) в отношении 2:1. Точка Р
лежит на продолжении АС за точку
С, и АВ=СР.
Найти: в каком отношении делит
прямая РК сторону ВС.
С
Х
А
К
В
Р
Решение.
По условию
AK
2
и
KB
CP
PA

1
2
Используя теорему Менелая, мы
находим
CP
*
PA
BX
XC
AK
KB
*
BX
1
Р
С
XC
Х
1
А
К
В
Задача 2.

На медиане BD
треугольника ABC
отмечена точка М так,
что ВМ:MD=m:n.
Прямая АМ пересекает
сторону ВС в точке К.
найдите отношение
ВК:КС.
К
D
Решение.

К
По теореме Менелая:
АD
AC
*
CK
KB
*
BM
MD
1
ВМ-медиана, значит
1
2
*
BK
KC
CK
KB

*
m
2n
m
n
1
D
АD
AC

1
2
Задача 3.

Через середину М
стороны ВС треугольника
Е
АВС, в котором АВ≠АС,
проведена прямая,
параллельная
биссектрисе угла А и
пересекающая прямые
АВ и АС соответственно
в точках D и Е. Докажите,
что BD=СЕ
D
Решение .

По теореме Менелая следует,
что
АE
EС
*
CM
MВ
*
ВD
DА
Е
1
Т.к. точка М середина стороны
ВС, следовательно
CM
1
АE

DA
.Значит EС BD .
АЕ=DA,следовательно ЕС=BD.
MВ
D

similar documents