aljabar matriks pert 2

Report
ALJABAR MATRIKS
pertemuan 2
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
Sistem Persamaan Linear.
Misalkan kita mempunyai persamaan linear sebagai berikut :
2x + 3y = 7
3x – 2y = 4
Maka penyelesaian nya dilakukan dengan mengubah persamaan diatas ke dalam
bentuk Matriks , yaitu :
2

3

3 7

 24

Bentuk matriks ini dinamakan Matriks Lengkap
dengan  2

3
3  disebut sebagai matriks koefisien

 2
Invers Matriks.






Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan
INVERS dari matriks tersebut.
Matriks bujur sangkar yang tidak punya invers disebut matriks singular
Matriks yang nilai determinannya 0 tidak mempunyai invers
Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A],
dimana :
[B] adalah invers dari matriks [A]
[I] adalah matriks identitas
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara
lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode
Cholesky, dsb.
Invers Matriks Adjoint.
Pandang matriks A = aij. Kita sebut kofaktor dari elemen aij sebagai Aij, maka
transpose dari matriks (Aij) disebut matriks Adjoin A.
A
1

adjA
det A
Contoh :
2

A  0
1

A
1

3
4
1
  18

 2
 4

 4

2 
5 
 11
14
5
 46
 10 

4 
 8 
 9 / 32

   1 / 32
  2 / 32

11 / 46
 7 / 32
5 / 46
5 / 32 

2 / 32 
4 / 32 
Latihan
Tentukan determinan dan invers dari matriks berikut (gunakan
eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan:
2
A  
1
1

B  2
3

3

2
2
1
2
 1

1 
2 
Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).
*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*
Contoh :
x – 2y + z = 5
-2x + y + 3z = 3
3x + y – z = 0
Metode penyelesaian :
1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol
2. Mempertukarkan tempat 2 baris
3. Menambahi suatu baris dengan konstanta kali baris lain
Note : Operasi pengerjaan baris elementer tidak diwajibkan menggunakan step
pengerjaan yang sama
Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).
*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*
Metode Gauss :
Dalam pengerjaan OBE nanti diteruskan dengan substitusi mundur
Metode Gauss – Jordan :
Dalam pengerjaan OBE diharuskan menyelesaikan OBE sampai terbentuk bagian
matriks persegi berbentuk matriks identitas
Latihan
Tentukan invers dari persamaan berikut menggunakan OBE:
1.
2x + 3y – 5z = 7
x + 2y – 3z = 4
3x – 3y + z = 4
2.
x + 2y – 3z + 4u = 8
2x – 4y + 3z – u = 1
x – 3y + 2z + 2u = 1
3x + y – z + 3u = 16
Matriks Eselon.
Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi tiga sifat berikut :
1. Pada baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol yang terletak paling kiri
adalah 1
2. Untuk baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol terkiri baris yang posisinya
lebih kebawah juga berposisi lebih ke kanan
3. Dibawah baris nol , tak ada baris yang memuat unsur tak nol
*
unsur 1 yang terletak paling kiri pada suatu baris matriks eselon disebut unsur 1
utama baris itu
Contoh :
1

0
A
0

0

2
1
0
1
0
0
0
0
0

1
1

0 
Matriks Eselon Tereduksi.
Matriks Eselon Terduksi adalah matriks eselon yang memenuhi sifat berikut :
Pada kolom yang memuat unsur 1 utama dari suatu baris , tak ada unsur tak nol diatas
unsur 1 utama itu.
*
Matriks eselon tereduksi adalah matriks eselon dan matriks yang bukan matriks
eselon , pastilah bukan matriks eselon tereduksi
Contoh :
1

0
A
0

0

2
1
0
1
0
0
0
0
0

1
1

0 
Matriks diatas bukan matriks eselon tereduksi
Latihan
Tentukan apakah matriks berikut termasuk dalam matriks eselon
atau matriks eselon tereduksi
1

0
A
0

0

3
2
0
0
1
2
0
1
0
0
0
0
5

0
5

1 
1

0
B  0

0

0
1
0
7
0
1
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
9

3
2

0

0
1

0
C 
0

0

1
0
5
1
0
1
2
9
0
0
0
1
0
0
0
0
0

0
0

1 
Quiz
1.
Hitunglah a jika setelah penambahan baris kedua dengan -2 kali baris
pertama dilanjutkan menambah baris ketiga dengan 1/3 kali baris kedua
matriks
1

2
1

2.
2
1
a
1 

 1  menjadi
1 
1

0
1

2
3
0
1 

 3
0 
Lakukan eliminasi gauss – jordan untuk mencari persamaan berikut ini
3x + y - 2z = 7
5x – 2y – 3z = 4
2x + 2y + 3z = 3
Quiz
3.
Carilah nilai p yang menyebabkan matriks berikut tak punya invers
1

2
1

2

0
1
1
2
1
1
3
p
1 

0 
2 

 2 

similar documents