Méthode du Simplex (Dantzig)

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Méthode du Simplex (Dantzig)
• La forme standard
– A différencier de :
• La forme canonique
– Inégalités ( ≤ ; ≥ )
– Recherche de Maximum pour ≤ et Minimum pour ≥
• La forme mixte
– Egalités en plus (=)
– Recherche de Maximum et de Minimum
– Transformation des formes canoniques et mixte :
• Tout doit être sous forme d’égalités
• Il y a des règles de transformation
Méthode du Simplex (Dantzig)
• Règles de transformation
– Inégalités ≤
• Exemple : x1 + x2 ≤ 6
• Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0
• Mesure pour chaque variable de base (qte de produits)
de l’écart entre les disponibilités et les consommations
prévues (x1 et x2) dans notre plan (Ouf!)
• Application à l’exemple : x1 + x2 + e3 = 6
Méthode du Simplex (Dantzig)
• Règles de transformation
– Inégalités ≥
• Exemple : x1 + x2 ≥ 6
• Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0
• Et d’une variable artificielle (VA) de même signe que le
second membre (ici + 6)
• Son rôle : rattraper la condition impossible «e3 = - 6»
puisque e3 est supposée ≥0 !
• Application à l’exemple : x1 + x2 - e3 + e4= 6
• La solution initiale recherchée comprendra :
– 3 variables Hors Base :
– 1 variable dans la Base :
x1=0 ; x2=0 ; e3=0
e4=6
Méthode du Simplex (Dantzig)
• Règles de transformation
– Egalités =
• Exemple : x1 + x2 = - 6
• Une unique variable artificielle (VA) de même signe que
le second membre (ici - 6)
• Application à l’exemple : x1 + x2 - e3 = - 6
• La solution initiale recherchée comprendra :
– 2 variables HB :
– 1 variable B :
x1=0 ; x2=0
e3= - 6
Méthode du Simplex (Dantzig)
• Obtention de la fonction économique Γ
– Chaque VE => 0.VE (Recherche de Max ou Min)
– Chaque VA => ± M . VA
• +M.VA si recherche d’un minimum
• - M.VA si recherche d’un maximum
• M : très grand positif (Hors Base)
– > Donne une VA nulle à la solution finale (non prise en
compte)
• Remarque :
– Les VE issues de contraintes = ou ≥ sont HB
Critères de Dantzig
• Premier critère : la Ve
– Recherche de minimum
• Variable entrante = HB au plus petit coeff strictement
négatif dans Γ
• Complément : sans coeff <0 mais un nul : elle est Ve
– Recherche de maximum
• Variable entrante = HB au plus grand coeff strictement
positif dans Γ
• Complément : sans coeff >0 mais un nul : elle est Ve
– Remarque : à la main, exprimer Γ en fonction des
variables HB (coeffs comprenant des M)
Critères de Dantzig
• Deuxième critère : la Vs
– Recherche de minimum ou de maximum
– R’ = R/Ve
• Ve = Var entrante trouvée précédemment
• R = Valeur du second membre de chaque variable B
– Vs = plus petite valeur positive dans R’
• Correspond au coefficient le plus mineur parmi les
variables B après intégration de la Ve
Critères de Dantzig
• Complément sur les règles
– Si un coeff nul apparait dans R (disparition d’une var
B)
• = ε petit >0
• Donc R’ = ε/aij
à la Ve
• SSI aij > 0
aij : coeff appartenant
– Si aucun terme de R’ n’est > 0 mais qu’il en existe un
nul
• Il est pris en compte
• Appelé dégénérescence du problème (plusieurs bases
admissibles peuvent avoir un même point extrême)
– Si tous les coefficients de R’ sont strictement négatifs
• L’algorithme est fini : la zone admissible des solutions (ZAS)
n’est pas bornée !

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