Стереометрия. Многостени

Report
Частта от геометрията, в която се изучават
свойствата на пространствените фигури, се
нарича стереометрия (от гръцката дума
στερεο, която означава пространство)
• Аксиома 1: През всеки три точки, нележащи
на една права, минава единствена равнина.
C
Ako A, B, C не лежат на една права, то
Ǝ 1! α = (ABC)
B
α
A
• Аксиома 2: Ако две точки от една права
лежат в една равнина, то всяка точка от
правата лежи в равнината.
A, B ϵ a A, B ϵ α => a ϵ α
a
B
X
α
A
• Аксиома 3: Ако две равнини имат обща
точка, то те имат поне още една обща точка.
• Ако две равнини имат обща точка, то те
имат обща права.
a
α
• Аксиома 4: Във всяка равнина са изпълнени
аксиомите на планиметрията и за фигури, лежащи в
различни равнини, може да се прилагат всички
твърдения от планиметрията.
β
• Пресичащи се прави: Две прави, които имат обща точка.
a ∩ b => Ǝ 1! α = (a, b)
• Успоредни прави: Две прави, които нямат обща точка и
лежат в една равнина.
a || b => Ǝ 1! α = (a, b)
α
• Права, успоредна на дадена права: В пространството
през точка, нележаща на дадена права, минава
единствена права, успоредна на дадената.
a
α
a; A не лежи на a
Ǝ 1! b: b Z A, b || a
A
b
D1
C1
A1
• Кръстосани прави: Две прави, които не лежат в една
равнина.
BC и AA1
B1
D
A
C
B
b
• Твърдение: Ако една права лежи в равнина, а
друга права пресича равнината в точка, нележаща
на първата права, то двете прави са кръстосани.
B
a Є α, b ∩ α = B, B не лежи на a => a и b са
кръстосани прави
a
α
c
• Пресечница на две равнини: Пресечницата на
две равнини, минаващи през две успоредни
прави, е права, успоредна на двете прави.
α∩β=c
α Z a, β Z b, a || b => c || a, c || b
a
α
• Две прави, успоредни на трета права: Ако две прави са
успоредни на трета права, то те са успоредни помежду си.
a || b, b || c => a || c
b
β
• Успоредни права и равнина: Права и равнина,
които нямат общи точки.
a ∩ α = Ø => a║α
• Признак за успоредност на права и равина:
Ако права, нележаща в една равнина, е успоредна
на някоя права в равнината, то правата и
равнината са успоредни.
a не лежи в α, b z α и a || b => a || α
• Теорема: Ако права и равнина са успоредни,
пресечницата на всяка равнина, минаваща през
правата, с дадена равнина e права, успоредна на
дадената права.
a || α, β z a, β ∩ α = b => b || a
α
a
b
α
a
b
α
β
• Теорема: Ако права е успоредна на равнина и
през точка от равнината прекараме права,
успоредна на дадената, то втората права лежи в
равнината.
a || α, A z α, b z A, b || a => b z α
• Теорема: Ако права е успоредна на две
пресичащи се равнини, то тя е успоредна на
тяхната пресечница.
a || α, a || β, α ∩ β = b => a || b
a
b
A
α
β
a
b
α
• Теорема: Ако една равнина пресича две равнини и
е успоредна на тяхната пресечница, то пресечниците
й с двете равнини са успоредни прави.
α ∩ β = m, γ || m, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b
m
γ
a
α
b
β
• Успоредни равнини: Две равнини, които нямат
общи точки.
α║β
β
α
• Признак за успоредност на равнини: Ако две
пресичащи се прави от една равнина са
успоредни на две пресичащи се прави от друга
равнина, то двете равнини са успоредни.
α z a, b , a ∩ b = B
β z a’, b’ , a’ ∩ b’ = A
=> α || β
a || a’ , b || b’
b’
A
a’
β
b
B
• Успоредни равнини: През точка, нележаща на
дадена равнина, минава единствена равнина,
успоредна на дадената.
A не лежи на α => Ǝ 1! β, β z A и β || α
α
a
• Пресечници на успоредни равнини: Пресечниците на равнина с две
успоредни равнини са успоредни прави.
α║β, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b
b
β
a
α
γ
Основни построения в пространството:
• Равнина е построена, ако са дадени:
1. три точки, нележащи на една права
2. права и точка, нележаща на нея
3. две пресичащи се прави
4. две успоредни прави
• Права е построена, ако са дадени:
1. две неуспоредни равнини
• Точка е построена, ако са дадени:
1. неуспоредни права и равнина
• Ъгли с успоредни рамене: Ако раменете на два ъгъла са еднопосочни
лъчи, то ъглите са равни.
• Ъгъл между две кръстосани прави: Ъгълът между две пресичащи се
прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави.
< (a; b) = < (a; b’) = α
b’ || b
< (a; b) = < (a’; b’) = α
a’ || a , b’ || b
b
b
b’
α
a’
a
A
α
b’
A
α
α
a
Дадена е триъгълна пирамида ABCD. Точката M е медицентърът на
триъгълника ABC. Определете взаимното положение на правата DM с
всяка от правите AB, BC и CA.
Дадено:
ABCD – триъгълна пирамида
т. М – медицентър на ABC
D
Да се определи взаимното
положение на DM с всяка от
правите AB, BC и CA.
C
M
A
Решение:
AC, BC, AB Є (ABC),
M Є (ABC), M не принадлежи на AB, BC и AC
DM ∩ (ABC) = M
B
=> DM и AB, DM и BC, DM
и AC са кръстосани прави
Точката М е средата на околния ръб AQ на правилна четириъгълна
пирамида ABCDQ. Равнината (BCM) пресича ръба DQ в точка N.
Q
Докажете, че BMNC е трапец.
Дадено:
ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида
т. М – среда на AQ
(BCM) ∩ DQ = N
Да се докаже, че BMNC е трапец.
N
M
D
A
Доказателство:
ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида
=> ABCD – квадрат => BC || AD,
=>
AD Є (ADQ)
=> BC || (ADQ),
N Є (BCM) =>
=> BC || MN
=> (BCNM) Z BC; (BCNM) ∩ (ADQ) = MN
C
B
Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Намерете ъгъла между правите:
a) AC и B1D1
б) AC и DA1
Дадено: куб ABCDA1B1C1D1
Решение a):
ABCDA1B1C1D1 – куб =>
DD1 || CC1, DD1 = CC1
=> DD1 || BB1,
BB1 || CC1, BB1 = CC1
DD1 = BB1
=> BB1D1D – успоредник =>
=> B1D1 || BD
< (AC; B1D1) = < (AC; BD) = 90°, защото
AC и BD – диагонали в квадрата ABCD
D1
C1
A1
B1
D
A
B
Решение б):
<(AC; DA1)
A1B1 || CD, A1B1 = CD =>
=> DCB1A1 - успоредник => CB1 || DA1, CB1 = DA1
< (AC; DA1) = < (AC; CB1) = < ACB1 = 60°, защото ACB1 е равностранен
триъгълник от AC = CB1 = AB1 – диагонали в еднакви квадрати
C
Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб
AB = 2a и околен ръб AQ = a√2. Намерете ъгъла между правите:
Q
a) QD и AB;
b) QD и BC
Дадено:
ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида
AB = 2a
AQ = a√2
Намерете ъглите между правите:
a) QD и AB;
b) QD и BC
a√2
a√2
a√2
D
Решение:
ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида
=> ABCD – квадрат => AB || DC
=> < (QB; AB) = < (QB; DC) = < CDQ
QC = QD = a√2, AB = 2a
Косинусова теорема за DCQ:
cos <CDQ =
DC2 + QD2 – QC2
=> < CDQ = 45°
2.DC.QD
=
C
2a
2a
A
2a2 + 4a2 – 2a2
2.2a.a√2
=
4a2
4a2√2
B
=
√2
2
Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед
ABCDA1B1C1D1 . Равнината (A1C1M) пресича BC в точка N. Докажете, че
A1C1NM е трапец.
D1
Дадено:
ABCDA1B1C1D1 – правоъгълен
паралелепипед
М – среда на ръба AB
(A1C1M) ∩ BC = N
Да се докаже, че A1C1NM е трапец
C1
A1
B1
D
Доказателство:
(A1C1M) ∩ BC = N => N Є (A1C1M)
A
(ABCD) || (A1B1C1D1)
(A1C1NM) ∩ (ABCD) = MN
=>
(A1C1NM) ∩ (A1B1C1D1) = A1C1
=> A1C1 || MN => A1C1NM е трапец
C
N
M
B
Стр. 147 / Зад. 4 б),
Зад. 6,
Зад. 8,
Зад. 11

similar documents