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§ 4-2 矩阵的运算
1. 矩阵的加法:两个同形矩阵A与
B的和定义为对应元素之和,即
A  a i
j

B  b i
mn
A  B  C  c i

j mn
j

mn
c ij  a ij  b ij ;
i  1, 2 ,  , m ; j  1, 2 ,  , n
矩阵的加法满足:结合律、交换律;
零矩阵记为0mn,简记为0,满足A+0=A
负矩阵-A;满足A+(-A)=0,
由此定义了矩阵的减法:
A-B=A+(-B)
A B  C
 A  C  B
2.矩阵的乘法
Def. :设A=(aik)sn,B=(bkj)nm ,左乘矩阵的
列等于右乘矩阵的行,那么C=(Cij)sm
其中
n
c ij  a i1 b1 j  a i 2 b 2 j    a in b nj   a ik b kj
k 1
称为A与B的乘积,记为AB
矩阵乘法运算产生的背景:
 y1  2 z1  3 z 2
 x1  3 y 1  5 y 2  2 y 3 
设 
;  y 2  5 z1  z 2
 x 2  y1  2 y 2  y 3
y  z  z
1
2
 3
求 x 1 , x 2 关于 z 1 , z 2的表达式 .
5
3
A  
1  2
 2  3


 2
 , B   5
1 
 1
1  1 


 29 1   x 1  29 z 1  z 2
 , 
AB  
  9  4   x 2   9 z1  4 z 2
.
直接代入有
x1 =3(2z1-3z2)+5(5z1+z2)-2(z1-z2)
=29z1+z2
x2 =(2z1-3z2)-2(5z1+z2)-(z1-z2)
=-9z1-4z1
用矩阵符号有 X=AY, Y=BZ
则有 X=A(BZ)=(AB)Z
我们看到利用矩阵乘法使表达式更简洁
了, 这正是引入矩阵这一工具的重要作用.
Ex.1:用矩阵的乘法表示线性方程组:
AX=B
矩阵的乘法满足结合律;(证明)
A(BC)=(AB)C
不满足交换律;AB≠BA(举反例)
单位矩阵En,满足AsnEn=Asn, EsAsn=Asn
矩阵的加法与乘法满足分配律;
( A  B ) C  AC  BC ; A ( B  C )  AB  AC
数量矩阵kE,满足
kA=(kE)A=A(kE)
3. 数乘矩阵:kA=(ka
满足:
(k+l)A=kA+lA,
k(A+B)=kA+kB,
k(lA)=(kl)A,
1A=A,
k(AB)=(kA)B
ij)
3 、 转 置 矩 阵 : As×m 的 转 置 矩 阵 记
为 A  m×s .
矩阵的转置满足:
( A )   A
( A  B )  A  B 
( AB )   B A 
( kA )   k A 
Ex.1:设A1×3,=(1,-1,2),
B3× 3 =
2

1
4

1
1
2
0

3
1 
求AB、B´A´ 、-3A
;
Ex.2:
1.如果 AB=BA,AC=CA,
证明:A(B+C)=BA+CA
2. 设A,B是n阶方阵,则等式
(A+B)2=A2+2AB+B2 成立的充
分必要条件是AB=BA.(A与B可交换)
’
A;
Def. 对称矩阵:满足A=
’
反对称矩阵:满足A= -A ;
Ex.3: 证明:任意方阵A,都
可以表为一对称矩阵和一反
对称矩阵之和。
A 
1
2
( A  A ) 
1
2
( A  A )
关于矩阵运算的算律
矩阵的运算与整数的运算适合很多相同的算
律, 它们对于各自的加法和乘法运算均作成环.
但整数的乘法满足交换律, 并称之为可换环.
但矩阵的乘法不满足交 换律, 故称n阶矩阵的
集合Mn(F) 为非可换环. 另一个不同的是整
数的乘法满足 消去律, 而矩阵的乘法不满足消
去律, 即 AB=AC, A≠O,未必有B=C.
在记忆矩阵的 算律时, 要特别记住矩阵的乘
法不满足交换律和消去律及矩阵转置的算律,
其它的 与整数的算律一样, 照用即可.
这两个不满足的算律, 常常会在不知不
觉中弄错,
如 (A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2 - 2AB+B2
(A+B)(A-B)=A2 - B2
等只有在AB=BA时才成立,
也就是当A与B是可交换时才成立.
零矩阵在加法运算中起着与数 0 相同的
作用, 而单位矩阵E在矩阵乘法运算中起
着与数 1 相同的作用.
矩阵的方幂 
A  A
 k 1
k

 A A
A
,
1
满足
A
k
A
k
(A )
l
 A
k l
l
 A
kl
注意!一般来说 ( AB )  A B
k
k
k
设
f ( x)  a m x
m
 a m 1 x
是 P [ x ]中一个多项式
那么 f ( A )  a m A
m
m 1
   a1 x  a 0
, 而 A 是一个 n 阶方阵
 a m 1 A
m 1
   a1 A  a 0 E
仍是 P 上的 n 阶方阵 .
0

设A  0
0

Ex.3
0

0 1 ,
0 0 
1
f ( x )  5 x  7 x  6 x  2 x  4 x  5,
5
4
3
2
则 f ( A)  ?
答案 : A
2
0

 0
0

5

 f ( A)   0
0

0
0
0
4  2

5
4
0 5 
1
 3
0 , A  0
0 
思考题
由AB=AC,能否推出B=C.
如果AB=0,是否A=0或B=0.
什么条件下(AB)k=AkBk.
作业:P202-2、3、4、5

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