Fyzikální vlastnosti kapalin, hydrostatika, tlakové síly na rovinné a

Report
Fyzikální vlastnosti kapalin,
hydrostatika,
tlakové síly na rovinné
a zakřivené plochy,
plování těles
Jana Pařílková
Fyzikální vlastnosti kapalin
Hustota kapaliny r (měrná hmotnost) je
m
3
r

kg
/
m
hmotnost kapaliny m [kg] vztažená na
V
jednotku objemu V [m3]. Hustota kapalin se
zmenšuje se vzrůstající teplotou.
Vyjímkou je voda při teplotách 0°C až 4°C,
kdy se ↑ teplotou ↑r a ↓V. Teprve při dalším
zahřívání se r ↓ a V ↑.
G mg
Měrná tíha kapaliny  je tíha kapaliny
 
r g
vztažená na jednotku objemu.
V
V


   [ N / m3  kg / m 2 s 2 ]
Pozn.:
V běžných hydrotechnických výpočtech se uvažuje:
rvody = 1000 kg/m3 a mořské vody r = 1030 kg/m3 při tlaku 105 Pa;
 vody teplé 4°C při normálním atmosférickém tlaku 9 810 N/m3.
Fyzikální vlastnosti kapalin
Viskozita (vazkost) kapaliny je vnitřní
odpor (tření) kapaliny proti smykové
deformaci.
t
m

[ Pa s ]
Dynamická viskozita m [Pa s] je dána
du
podílem tečného napětí t [Pa] a
dy
gradientu rychlosti resp. rychlostního
1
spádu mezi dvěma vrstvami [s-1].
j
[ Pa 1 s 1 ]
m
Tekutost (fluidita) j [Pa-1 s-1] je reciproká
hodnota dynamické viskozity.
m
Kinematická viskozita n [m2/ s] je dána

[m 2 / s ]
r
podílem dynamické viskozity

a hustoty. Je závislá na teplotě.
m / s

1  0,0337T  0,000221T
2
0
2
Pozn.: pro vodu možno použít empirický vztah
kde T   C;
0  1,79 106 m 2 / s pro 0C.
Fyzikální vlastnosti kapalin
Měrný objem kapaliny je objem připadající v  1  V m3 / kg 
na jednotku hmotnosti.
r m
Roztažnost kapaliny je schopnost zvětšení
1 dV
V
objemu za stálého tlaku a zvýšené teploty.
b
popř.
[K ]
-1
V
dT
V

T
Vyjadřuje se součinitelem b [K ].
V0 [m3] počáteční objem, ΔT [°C] rozdíl teplot.
V  V0 1  bT 
Stlačitelnost kapaliny je zmenšení objemu
za zvýšeného vnějšího tlaku při konstantní
1 dV
1
c

[
Pa
]
-1
teplotě. Vyjadřuje se součinitelem c [Pa ].
V dp
1
0
0
0
Jeho převrácená hodnota je modul objemové K  1  V0 dp [ Pa]
pružnosti K [Pa].
c dV
Objem kapaliny po stlačení přírůstkem tlaku Δp V  V0 1  p 

Stlačení vyvolá ↑ρ kapaliny na hodnotu:
K 
p 

r  r 0 1 

K 

Fyzikální vlastnosti kapalin
Povrchové napětí s [N/m] kapaliny
dF
s

[ N / m]
představuje povrchový účinek kohezních
dl
sil mezi molekulami kapaliny vztažený na
jednotku délky uzavřené hranice (styk
volná hladina vzduch nebo dělící plocha
mezi dvěma nemísícími se kapalinami).
Kapilární výška je hodnota, o kterou
hladina v kapalině stoupne (kapilární
elevace) resp. klesne (kap. deprese) oproti
normální hladině. Pro kruhovou trubici lze
4s cosj
m
hkap 
kapilární výšku určit ze vztahu:
rgD
kde s je povrchové napětí, j úhel smáčení,
r hustota kapaliny, D průměr kapiláry.
Fyzikální vlastnosti kapalin
Kapilární elevace
Kapilární deprese
Tepelná vodivost lT kapaliny je její schopnost vést teplo.
Udává množství tepla, které projde za jednotku času krychlí
o jednotkové hraně mezi dvěma protilehlými stěnami, mezi
nimiž je teplotní rozdíl 1°K, jsou-li ostatní stěny tepelně
izolovány. Pro vodu 20°C teplou je lT = 0,598 W/m/K.
Fyzikální vlastnosti kapalin
Ideální kapalina je nestlačitelná r = 1000 kg/m3,
objemově stálá při změnách teploty, neviskozní tj.
nepůsobí v ní síly vnitřního tření (smyková napětí).
Skutečná kapalina je vazká tj. existuje v ní vnitřní
tření a může být stlačitelná.
Newtonovská kapalina je taková, u níž platí přímá
úměrnost mezi smykovým napětím a gradientem
rychlosti tj. platí jednoduchý Newtonův zákon
viskozity.
t [Pa] je tečné napětí;
du
Pa m [Pa s] -1je dynamická viskozita;
t m
dy
du/dy [s ] je gradient rychlosti při proměnné
vzdálenosti od stěny y.
Fyzikální vlastnosti kapalin
N e ne w to n o v s k á
k a p a lin a
du
Časově du
Časově
 f t 
závislé dy  f t ; t 
nezávislé dy
Viskoelastické
- mají viskózní
i elastické
vlastnosti
Reologická
tělesa, kapaliny
ovlivňované
magnetickým
polem,
diskontinuitní
soustavy (např.
Suspenze)
a další.
Nenewtonovská
Tixotropní
Řídnoucí
du
kapalina je taková, u níž
 f t ;  
dy
Houstnoucí
Reopexní
neplatí Newtonův zákon
Binghamské
viskozity. Vztah mezi
Nebinghamské
tečným napětím t
TOKOVÉ ČÁRY ČASOVĚ NEZÁVISLÝCH KAPALIN
t
a gradientem rychlosti
SKÁ
M
A
GH
du/dy při proměnné
BIN
CÍ
OU
N
vzdálenosti od stěny y
ŘÍD
NÍ
E
EČ
ZÍ T
E
je složitější a je dán tzv.
SM
Á
NSK
O
T
reologickými modely
NEW
CÍ
NOU
T
S
kapalin.
HOU
pomalá obnova konzistence
materiálů ztracená během
smykového pohybu
 je relativní
deformace
PEVNÉ TĚLESO
Viskozita roste během
deformace
IDEÁLNÍ KAPALINA
du/dy
Vypočtěte měrnou hmotnost lihu, použitého jako náplň
teploměru pro teplotu t = 18°C, jestliže při teplotě t0 = 0°C je
r0 = 806 kg/m3 a součinitel objemové roztažnosti
b = 1,1 . 10-3 °C-1.
m
m
m
rt  , r0 
 V0 
Vt
V0
r0
Vt  V0 1  b t  
r0
rt 
1 b t
r
t
m
r0
1 b t 
 790kg / m 3

Do nádrže byla nalita kapalina o měrné hmotnosti
r1 = 997 kg/m3 a objem V2 = (16,25 + 0,25 P) m3 kapaliny
o měrné hmotnosti r2 = 1001,5 kg/m3. Kolik bylo původní
kapaliny v nádrži, jestliže měrná hmotnost směsi činila
r3 = 999 kg/m3. Jaký byl objem směsi kapalin.
Počítejte pro P = 1.
m
r   m  rV,
V
V3  V1  V2
r1 V1  r 2 V2  r 3 (V1  V2 )
V2 ( r 3  r 2 )
V1 
( r1  r 3 )
[V1  20,625m 3 , V3  20,625  16,500  37,125 m 3 ]
Expanzní nádrž ústředního topení má pojmout přebytečný
objem vody, který vznikne jejím zahřátím z 10°C na 70°C.
Systém je naplněný vodou objemu V0 = 2,0 m3. Vypočtěte
nutný objem expanzní nádrže.
Teplotní součinitel objemové roztažnosti b ·104 K-1 vody v závislosti na teplotě a tlaku
Počítejte pro tlak 105 Pa, porovnejte přibližný výpočet pro průměrnou hodnotu
b = 4,22·10-4°C-1 s výpočtem změn objemu po intervalech změn teploty T = 20°C.
a)
b)
V  bV0T [ 4,22104  2  60  0,05064m3 ], V  2,051m3
I .10  30C  : VI  b 20V10 T ; VI  1,5 104  2  20  30 104 m3 ;
VI  V10C  VI [ 2  0,003  2,003m3 ]
II.30  50C  : VII  b 40VI T ; VII  4,22 104  2,003 20  169104 m3 ;
VII  VI  VII [ 2,003 0,0169 2,0199m3 ]
III.50  70C  : VIII  b 60VII T ; VIII  5,56104  2,0199 20  224,61104 m3 ;
VIII  VII  VIII [ 2,0199 0,0225 2,0424m3 ]  V  2,042m3
Kovová objímka s vnitřním průměrem D1 = 82 mm a výškou
h = 200 mm se pohybuje účinkem vlastní tíhy G = 10 N po
dlouhé trubici průměru D = 80 mm. Kapalinové tření
zajišťuje olej s dynamickou viskozitou m = 0,98 Pa s. Určete
rychlost rovnoměrného pohybu.
Rovnoměrný pohyb nastane, když tíha objímky bude stejná
jako třecí síla FT=G. Pro malé rychlosti je možno diferenciály
nahradit diferencemi:
D D
82  80
u  u; y  1
[
 1mm  0,001m]
2
2
Tečné napětí na povrchu trubice:
t m
t
u
y
FT G

A A
G
u
Gy

m

u

Porovnáním:
A
y
mA
Plocha, na které nastává tření:
A   D h [ 3,14 0,08 0,2  0,05024m2 ]
Gy
10  0,001
u

 0,203m / s
m A 0,98 0,05024
Hydrostatika
se zabývá mechanickými vlastnostmi tekutin, které jsou
v relativním klidu. Není pohyb
nevzniká tření
a nestlačitelná kapalina se chová jako ideální.
Statický tlak kapaliny p [Pa] je v určitém bodě kapaliny ve
všech směrech stejný: p = px = py = pz , jedná se tedy
o skalární veličinu.
Síly, které působí na libovolnou rovinnou plochu v kapalině
za klidu, musí být na tuto plochu kolmé:
dF
p
dA
Je-li tlak na celou plochu konstantní, je vyjádřen:
F je normálová síla, A plocha.
F
p
A
Statický tlak kapaliny za působení
tíhového zrychlení a vnějšího tlaku
Celkový statický tlak v kapalině p je dán součtem
hydrostatického tlaku ph a celkového vnějšího tlaku pv –
obvykle tlaku atmosférického pa = 101325 Pa.
ps  ph  pv resp. ps  ph  pa
hydrostatický tlak
ph  ρ g h
kde, h je hloubka vody pod hladinou, g = 9,81 m/s2
je tíhové zrychlení.
Je zřejmé, že závislost na hloubce je lineární a na
volné hladině je hydrostatický tlak ph = 0 Pa.
V různých jednotkách: 10 m v.s. = 1 atm = 98100 Pa (N/m2) = 0,981 bar
Vypočítejte celkový statický tlak kapaliny na dně sklenice
míchaného nápoje s následujícími nepromíchanými
kapalinami od volné hladiny: líh o výšce h1 = 0,020 m,
r1 = 789 kg/m3, voda o výšce h2 = 0,010 m,
r2 = 1000 kg/m3, glycerín o výšce h3 = 0,005 m,
r3 = 1260 kg/m3. Atmosférický tlak je pa = 101325 Pa,
tíhové zrychlení g = 9,81 m/ s2.
p  pa  h1 r1 g  h2 r 2 g  h3 r 3 g
p  101325 0,020 789 9,81  0,0101000 9,81  0,0051260 9,81
p  101,6397kPa
Rovňové a hladinové plochy
Rovňová (hladinová) plocha:
ve všech bodech této plochy je celkový statický
tlak konstantní (ps= konst);
tato plocha je kolmá k vektoru výsledného
zrychlení působícího na kapalinu;
nemísící se kapaliny o různých hustotách se
stýkají v rovňové ploše.
Na rovňové ploše je shodná potenciální energie,
při posunu po takové rovňové ploše je tlakový
přírůstek dp roven nule (dp = 0 Pa). Hladinová
plocha je rovňová plocha tvořící povrch kapaliny.
Spojité nádoby, Pascalův teorém
Spojité nádoby za malých tlaků – na
rovňových plochách je stejný tlak, tj. řeší
se sestavením rovnice tlakové
rovnováhy ke zvolené rovňové ploše,
která prochází rozhraním dvou kapalin.
pv1  r1 gh1  pv 2  r 2 gh2
Spojité nádoby za velkých tlaků – Pascalův teorém
p  konst .
tlak kapaliny uzavřené v malé nádobě a vystavené
velkému vnějšímu tlaku je stálý v celém rozsahu kapaliny.
Zanedbává se složka tlaku způsobená vlastní tíhou kapaliny.
p
F
A
F1
A1
F1 A1
F2



resp.
resp. 
F2 A2
A1 A2
F2 A2
V případě dvou ploch platí: F1
(hydraulické lisy)
Kde  je účinnost a její hodnota je 0,75 až 0,85.
rHg  13 600 kg/m3
Řešení
pa  r H 2O g h2  pa  r Hg g 2h
r Hg
h2 
2h [1,088m]
r H 2O
pa  r L gh1  r Hg gh  pa  r Hg g 2h
pa  h1rL g  pa  rHg hg
r Hg h
h1 
[0,68m]
rL
r Hg h
h1 
[0,68m]
rL
Výslednice působícího tlaku tlaková síla kapalin
Síla je určena velikostí, směrem a působištěm.
Obecně je výslednice hydrostatického tlaku dána:
F    pdA
A
Lze rozlišit hydrostatickou tlakovou sílu
na rovinnou plochu;
§
plocha rovnoběžná s hladinou;
§
plocha je šikmá;
na zakřivenou plochu.
Tlaková síla na vodorovné plochy - rovinné
plochy rovnoběžné s hladinou
Kapalina je v klidu a působí na ni jen síly tíže,
potom statický tlak kapaliny ve všech bodech
libovolné vodorovné roviny je konstantní.
Hydrostatická tlaková síla na vodorovnou rovinnou plochu,
působená pouze tíhou kapaliny, se rovná tíze sloupce
kapaliny, jehož základnou je tlaková plocha a výškou je jeho
hloubka pod hladinou.
Hydrostatické paradoxon
F  ph A  rghA
Vypočítejte sílu, kterou potřebujete na vytažení špuntu
z vany naplněné vodou do výšky h = 0,5 m, má-li špunt
poloměr r = 3 cm a je umístěn ve dně vany.
plocha špuntu: A   r 2
A  3,14  0,03
výpočet síly : F  p h A  hr g A
2
 0,00283m 2

F  0,5 1000 9,81 0,00283 13,87 N 
Vypočítejte velikost tlaku v lisu a velikost lisovací síly F2,
když na páku malého pístu působí síla F = 238 N.
Dáno: a = 0,15 m; b = 1 m; D1 = 0,1 m; D2 = 0,5 m;  = 0,8.
Reakce F1 od síly F se určí z rovnováhy
momentů:
F  b  F1  a  F1 
F b
2381,0
[
 1586,7 N ]
a
0,15
Tlak v kapalině způsobený silou F:
p
F1
4  F1

A1   D12
[
4 1586,7
 202123 Pa]
  0,12
F2  p  A2 [ 202123
  0,52
4
 39 666,6 N ]
Skutečná síla F2s snížená vlivem účinnosti soustavy:
F2S    F2 [ 0,8  39667 31734 N ]
Tlaková síla na šikmé rovinné plochy
Hydrostatická tlaková síla, která působí na
rovinnou plochu, je k ploše kolmá a prochází
těžištěm zatěžovacího obrazce.
Rovná se součinu této plochy a hydrostatického
tlaku v jejím těžišti.
F  rghT A
Působiště síly – hloubku hc vypočteme z rovnice
 JT

hc  xc sin   
 xT  sin 
 AxT

JT je moment setrvačnosti k těžišťové ose – matematické tabulky
Tlaková síla na šikmé rovinné plochy –
výpočet pomocí zatěžovacího obrazce
Horizontální složka hydrostatické tlakové síly
se rovná hydrostatické tlakové síle průmětu
tlačené plochy do svislé roviny.
F

r
gbA
h
h
Vertikální složka
hydrostatické tlakové síly
se rovná tíze svislého sloupce
Fv  rgbAv
kapaliny nad tlačenou plochou
až po hladinu.
b je šířka zatěžované plochy, zpravidla se počítá na 1 běžný metr
Celková síla působící na
plochu
F  F F
2
h
2
v
Tlaková síla na zakřivené plochy
Velikost hydrostatické síly F je určena složkami Fx, Fy
a Fz ve směru jednotlivých souřadných os (osa z
směřuje svisle vzhůru):
2
2
2
F  Fx  Fy  Fz
Vodorovné složky Fx a Fy mají velikost:
Fx  r g hTx Ayz
Fy  r g hTy Axz
kde hTx je hloubka těžiště průmětu Ayz zatěžované plochy do roviny yz
a hTy hloubka těžiště průmětu Axz zatěžované plochy do roviny xz,
r hustota tekutiny a g tíhové zrychlení.
Svislá složka je dána:
Fz  r g V  G
kde V je objem hranolu se svislými stěnami, který je dole ohraničený
zakřivenou plochou a nahoře průmětem zakřivené plochy do hladiny a G
je tíha tohoto hranolu.
Horizontální složky hydrostatické tlakové
síly kapaliny působící na zakřivenou
plochu se rovnají hydrostatické síle na
průmět plochy do svislé roviny kolmé
na uvažovaný směr.
Vertikální složka hydrostatické tlakové síly
je určena tíhou sloupce kapaliny,
omezeného dole plochou a nahoře svislou
projekcí této plochy do volné hladiny.
Směr výsledné síly se vypočítá z odchylek:
Fx
tg  
F
tg b 
Fy
F
Fz
tg  
F
Znázorněte horizontální a vertikální složku hydrostatického
tlaku s příslušnými silami
Řešení
Vypočítejte velikost tlakové síly působící na jeden běžný metr šikmé
obdélníkové stěny odkloněné od vodorovné roviny o úhel  = 60°.
Hloubka vody h = 3,0 m.
Zdrže rozděluje pevná svislá stěna o šířce b = 3,5 m. Hloubka vody v
první zdrži je h1 = 3,0 m, ve druhé h2 = 1,5 m. Vypočítejte velikost
výsledné hydrostatické síly, polohu a moment, kterým je stěna
překlápěna kolem osa A.
Vypočítejte velikost hydrostatické síly F, působící na
1 m´ (běžný metr) tížné betonové hráze a navrhněte sklon
vzdušného líce hráze tak, aby hráz byla stabilní proti
posunu v základové spáře se součinitelem bezpečnosti
m = 1,25. Uvažujte součinitele tření j = 0,7; měrnou
hmotnost betonu rb = 2400 kg/m3.
Horizontální a vertikální složky:
Fv
A1
Fh  r g Ah
Av
Fh
Fv  r g Av
G
Ah
A2
A3

Av  A´1  A2
1
 60 2  17 658 kN ]
2
[ 1000 9,81 262,5  2575,125 kN ]
[  1000  9,81 
[ 45 5 
1
15 5  262,5 m 2 ]
2
Tíha hráze G:
G  rb g b A [ 2400 9,811 347,5  1922cot g   8181,54  45251,568cot g  kN ]
1
1
A  A1  A2  A3 [ 62  5  15 5   62  62 cot g
2
2
 310 37,5  1922cot g  347,5  1922cot g m 2 ]
Síla působící na plochu řezu AV při zohlednění tíhy a tření:
FT  j Fv  G  [ 0,7  [2575,125 8181,54  45251,568cot g ]
 7529,6655 31676,0976cot g  kN ]
m Fh  FT [ 1,2517658 22072,5 kN  mFh ]
Vliv součinitele bezpečnosti
7529,6655 31676,0976cot g   22072,5 
22072,5  7529,6655
31676,0976
31676,0976
 2,178124051
    6520´
tg 
14542,8345
cot g 
Plování těles
Na těleso ponořené do kapaliny působí podle
Archimedova teorému (těleso ponořené do kapaliny je
nadlehčováno svislou silou -vztlakovou silou rovnou tíze
kapaliny tělesem vytlačené a procházející těžištěm
objemu kapaliny) vztlaková síla:
FVZ  gW  r v gVv
N 
kde g tíhové zrychlení a W výtlak (hmotnost kapaliny vytlačená plovoucím
tělesem). Vztlaková síla FVZ působí svisle vzhůru v těžišti ponořené části tělesa
(bod „C“). Hloubka nejnižšího bodu plovoucího tělesa tn (ponor) se vypočte
z podmínky:
G  FVZ
rt gVt  gW
rt g Vt  rv g Vv
G  r t gVt  Ft
Tíha tělesa
Obecně je tedy ponor vyjádřen z podmínky, že tíha
vytlačené kapaliny (vody) tj. výtlaku W se rovná
tíze tělesa objemu Vt, při měrné hmotnosti
kapaliny r a tělesa rt .
Hranol, deska o základně A
a) r g A t n  rt gAh  t n 
W rt

Vt r
Kužel plovoucí vrcholem dolů resp. nahoru
rt
h
r
1 3 2
1 3 2
rg  tn tg   rt g  h tg 
3
3
b)
c)
rt
tn  h 3
r
1
1
rg  [h3 tg 2  (h  tn )3 tg 2 ]  rt g  h3 tg 2
3
3

rt 

t n  h 1  3 1  
r

Ponor válce pro délku 1 běžný metr
d)
tn  r0 (1  cosj )
e)
Ponor koule
tn  2
4

3
r  r0    tn  rt  r0
3
3

Poloměr ponorové čáry
a  tn (2r0  tn )
Stabilita lodí - plování částečně ponořeného tělesa je
stabilní, je-li působiště vztlakové síly C je nad těžištěm tělesa T.
Obvykle však bývá C pod těžištěm T (vychýlení v podélném
nebo bočním směru). Potom metacentrum M se nachází nad
těžištěm tělesa, působiště vztlakové síly C je pod těžištěm T
a platí:
TC  hVZ
Jo
 MC 
W
kde hVZ je vztlaková výška a Jo je moment setrvačnosti plavební plochy
vzhledem k podélné plavební ose. Vzdálenost TM se nazývá metacentrická
výška hM.
Síly při bočním vychýlení lodi
Stabilitní moment
M s  Fz b  rgWb  rgWhM sin 
Je-li M na ose plavání pod T,
dvojice sil výchylku zvětšuje
– stabilita je vratká.
Stabilita plavidla se dá zlepšit zvětšením metacentrické
výšky hM (snížení těžiště lodi, proto náklad do podpalubí,
ale zvětšuje se houpání plavidla) nebo zvětšením momentu
setrvačnosti J0 plavební plochy (plocha uzavřená
ponorovou čárou tj. průsečnicí povrchu tělesa s hladinou).
Druhého přístupu se využívá pro umístění zařízení pro
práci pod vodou.
Plování plovoucího tělesa pak může být:
•stabilní (plovoucí těleso vychýlené vnější silou
z rovnovážné polohy se do této polohy samo vrátí);
•indiferentní (např. plovoucí koule);
•labilní (poměrně malé vychýlení se působením vlastní tíhy
tělesa stále zvětšuje a končí jeho převržením).
Těleso plove
vznáší se
klesá ke dnu
FVZ  Ft
FVZ  Ft
FVZ  Ft
rVZ  r t
rVZ  r t
rVZ  r t
Jaká je hloubka ledu pod hladinou tn, když celková výška
ledu je aL= 1,9 m. Led má měrnou hmotnost rL = 900 kg/m3,
voda má měrnou hmotnost rv = 1000 kg/m3.
Ft  FVZ
r L g VL  rV g VV
Posuzujeme na 1m2
r L a L  rV t n
r L aL
tn 
rV
900 1,9
tn 
 1,71 m
1000
Led má měrnou hmotnost rL = 900 kg/m3. Určete ponor tn
ledového kvádru o rozměrech 50x50x4 m ve vodě o měrné
hmotnosti rv = 1030 kg/m3 při horizontální orientaci.
Ft  FVZ
r L g VL  rV g VV
r L VL  rV VV
r L S L hL  rV SV t n
r L hL
tn 
rV
Plocha, na níž tlačí je stejná.
900  4
tn 
 3,49 m
1030
Jaký čtvercový půdorysný rozměr musí mít kvádr ledu
o výšce c = 0,2 m, aby unesl člověka o hmotnosti
m = 70 kg. Hustota ledu je rL = 900 kg/m3.
tíha ledu + tíha člověka = vztlak vody
Ft  Fč  FVZ
r L g VL  m g  rV g VV
Objem vody a ledu je stejný: VL = VV, tedy V = ca2
r L a 2 c  m  rV a 2 c
m
a c r L  r V    m  a 
cr V  r L
2
70
a
 1,87m
0,21000  900 


similar documents