תיאוריה

Report
‫‪1‬‬
‫מתמטיקה ב' לכלכלנים‬
‫שיעור ‪ – 7‬משואות דיפרנציאליות‪.‬‬
‫תיאוריה‬
‫‪2‬‬
‫הסתכלות על אינטגרלים בעין אחרת‬
‫עד היום הסתכלנו על האינטגרל בשתי צורות‪:‬‬
‫‪ .1‬חישוב שטח הכלוא מתחת לעקומה‪.‬‬
‫‪ .2‬סכימה של שינויים רגעיים בתהליך‬
‫רציף‪.‬‬
‫מבחינה פורמלית שני הדברים היו זהים‪:‬‬
‫פתרון המשוואה‪:‬‬
‫שטח‬
‫רוחב‬
‫)‪F '( x)  f ( x‬‬
‫מהירות‬
‫גובה‬
‫דרך‬
‫זמן‬
‫‪3‬‬
‫הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית‬
‫מה שאפיין את בעיית האינטגרציה הוא שחיפשנו את ערכה‬
‫של פונקציה בהינתן מידע על נגזרתה‪.‬‬
‫כעת נכליל את הבעיה למקרה שבו המידע מערב הן את‬
‫הנגזרת – למשל‪:‬‬
‫הפונקציה והן את‬
‫שינוי‬
‫מצא את ‪ F‬כך ש‪:‬‬
‫הכסף‪.‬‬
‫‪F ' ( x )  ( 0 . 01 ) F ( x )  100‬‬
‫)‪F’(x‬‬
‫מתי בעיה כזו תתעורר במציאות?‬
‫הכסף‪:‬‬
‫שינוי‬
‫הכמות‪.‬בחודש )‪F(X‬‬
‫ועוד‬
‫ברשותנו‪ :‬הכנסה קבועה של ‪₪ 100‬‬
‫למשל כאשר מהכמות‬
‫הכנסה מריבית)‪ F(X‬עצמה‬
‫עצמה‬
‫חודשית של ‪ 1%‬על כל הכסף)‪F’(x‬‬
‫שצברנו עד כה‪.‬‬
‫סיפור אחר‪ :‬כאשר ממלאים מיכל בירה בשמרים בקצב של‬
‫‪ 100‬קילו בדקה ובו זמנית השמרים בפנים מתרבים בקצב של‬
‫‪ 1%‬בדקה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית‬
‫כדי לא לערבב בין פתרון הבעיות המציאותיות לאתגר הטכני‪.‬‬
‫נתחיל בהסתכלות על הבעיה הטכנית בלבד‪:‬‬
‫נתונה משוואה המערבת את הנגזרת )‪ ,f’(x‬את הפונקציה‬
‫עצמה )‪ f(x‬וגורמים נוספים התלויים ב‪ .x‬מצא את כל‬
‫פתרונותיה‪.‬‬
‫) ‪y ' ( x)  g ( x, y‬‬
‫משפט‪ :‬לכול משוואה‪:‬‬
‫עבור ‪ g‬רציפה‪ ,‬אשר נגזרותיה החלקיות בכיוונים ‪ x‬ו‪y‬‬
‫רציפות; קיימת משפחת פתרונות לכל נקודת התחלה )‪y(x0‬‬
‫בניסוח פחות פורמלי‪ :‬אשמח לספר לך איך כמות ה‪-‬‬
‫[כסף‪,‬שמרים‪ ,‬מים] מתנהגת‪ ,‬אם תגיד לי כמה היה בהתחלה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית‬
‫משפט‪ :‬לכול משוואה‪y ' ( x )  g ( x , y ) :‬‬
‫עבור ‪ g‬רציפה‪ ,‬אשר נגזרותיה החלקיות בכיוונים ‪ x‬ו‪y‬‬
‫רציפות; קיימת משפחת פתרונות‪ ,‬כך שלכל נקודת התחלה‬
‫)‪ y(x0‬קיים פתרון יחיד התקף בסביבה של נקודה זו‪.‬‬
‫נשים ליבנו שגם בבעיות חישוב קדומה היינו צריכים בסוף‬
‫להציב את גבולות האינטגרל – כלומר להגיד היכן השטח‬
‫צריך להיות ‪.0‬‬
6
‫שיטות לחישוב הפתרון – מקרה ראשון‬
y'( x)
y '  ay
a
y( x)

y'( x)

y'( x)
y( x)
dx 
a
dx

ax

 z  y( x) 
dx  

y( x)
 dz  y ' ( x ) dx 
ax  c  ln( y ( x ))
e
ax  c
1
z
dz  ln z  c
 y( x)
7
- ‫דרך יותר קלה טכנית אך פחות מוצדקת‬
y '  ay
dy
 ay
dx

dy
y

adx

ye
dy
 adx
y
ln y  ax  C
ax  C
8
:‫שיטת הפרדת משתנים למשוואה הומוגנית‬
y'  f ( x) y
dy
 f ( x) y
dx
dy
 f ( x ) dx
y
ln y 

f ( x ) dx

dy
y


f ( x ) dx
ye
 f ( x ) dx
‫‪9‬‬
‫דוגמא מעשית‪:‬‬
‫קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית‬
‫באופן ליניארי מ‪ 3%‬בשנה ל‪ 5%‬בשנה‪ .‬חשב פי כמה יגדל‬
‫סכום כסף מושקע בתקופה זה‪.‬‬
‫) ‪f ' ( t )  ( 0 . 03  t  0 . 01 ) f ( t‬‬
‫) ‪ ( 0 . 03  t  ( 0 . 01 )) f ( t‬‬
‫) ‪df ( t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ( 0 . 03  t  ( 0 . 01 )) dt‬‬
‫) ‪df ( t‬‬
‫) ‪f (t‬‬
‫‪10‬‬
‫דוגמא מעשית‪:‬‬
‫קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית‬
‫באופן ליניארי מ‪ 3%‬בשנה ל‪ 5%‬בשנה‪ .‬חשב פי כמה יגדל‬
‫סכום כסף מושקע בתקופה זה‪.‬‬
‫‪ ( 0 .03  t  ( 0 .01 )) dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪df ( t‬‬
‫) ‪f (t‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 . 01 t‬‬
‫) ‪df ( t‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪f (t‬‬
‫‪( 0 . 01‬‬
‫‪. 03))t dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ))t dt‬‬
‫‪ ( 0 .001‬‬
‫‪ ( 0 .03 ( 0t . 03‬‬
‫‪ln( f ( t )) ‬‬
‫‪11‬‬
‫דוגמא מעשית‪:‬‬
‫קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית‬
‫באופן ליניארי מ‪ 3%‬בשנה ל‪ 5%‬בשנה‪ .‬חשב פי כמה יגדל‬
‫סכום כסף מושקע בתקופה זה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪0 . 01 t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 . 01 t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 . 03 t ‬‬
‫‪0 . 03 t ‬‬
‫‪f( 0(.03‬‬
‫‪t ) t  (e0 .01 )) dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln( f ( t )) ‬‬
‫‪12‬‬
‫דוגמא מעשית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫כיצד נשתמש בפתרון?‬
‫‪0 . 01 t‬‬
‫‪0 . 03 t ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t )  e‬‬
‫אנו מעוניינים ביחס בין סכום כסף מסוים כרגע‪ ,‬שנסמנו ‪ a‬לזה‬
‫שיהיה ברשותנו בעוד ‪ 2‬שנים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪e‬‬
‫‪C‬‬
‫‪0 . 01  0‬‬
‫‪0 . 03  0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (0)  a  e‬‬
‫נבחר אפוא ‪.f(0)=ln(a)=C‬‬
‫‪0 . 01  2‬‬
‫כעת נציב )‪.f(2‬‬
‫‪0 . 03  2 ‬‬
‫‪ ln a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 . 0833‬‬
‫‪0 . 01  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 . 03  2 ‬‬
‫‪f (2)  e‬‬
‫‪f ( 2) / f (0)  e‬‬
‫‪13‬‬
‫הערות‬
‫כמה זה במונחים של ריבית שנתית?‬
‫‪1 . 0833  1 . 041  4 . 1 %‬‬
‫לו היינו עורכים קירוב ליניארי היינו מקבלים ‪.4%‬‬
‫נשים לב שההצטמצמות של ‪ a‬מראה שהיחס אינו תלוי‬
‫בסכום‪( .‬אנחנו לכאורה הנחנו זאת‪ ,‬אך הדבר אינו ברור‬
‫מאליו)‬
14
:‫שיטת הפרדת משתנים למשוואה כללית‬
y'  f ( x) g ( y)
dy
 f ( x ) dx
g ( y)
 2 ydy   1  2 xdx
y  x x C
2
2

dy

y
dy

f ( x ) dx
 g ( y) 

. y'
f ( x ) dx
0 .5  x
:‫למשל‬
y
y
x  xC
2
‫‪15‬‬
‫פתרון כללי ופתרון פרטי‪.‬‬
‫עד עכשיו כל הפונקציות שראינו היו מהצורה‪:‬‬
‫)‪y'( x)  y( x) g ( x‬‬
‫כעת ננסה להתמודד גם עם משוואות מהצורה‪:‬‬
‫)‪y'( x)  y( x) g ( x)  h( x‬‬
‫נניח שישנם שני פתרונות למשוואה כזו‪ .‬אם כן‪ ,‬אזי‬
‫)‪y2 '( x)  y2 ( x) g ( x)  h( x‬‬
‫) ‪y1 ' ( x )  y1 ( x ) g ( x )  h ( x‬‬
‫) ‪( y 1  y 2 )' ( x )  ( y 1  y 2 )( x ) g ( x‬‬
‫פתרון של המשוואה ההומוגנית‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫פתרון כללי ופתרון פרטי‪.‬‬
‫מספיק אפוא למצוא פתרון יחיד‪ ,‬ויתר הפתרונות ינבעו‬
‫מהמשוואה ההומוגנית‪.‬‬
‫)‪y'( x)  y( x) g ( x)  h( x‬‬
‫כעת נשתמש בטריק טכני‪ ,‬נביט ב‪:‬‬
‫) ‪ g ( x‬‬
‫‪ g ( x ) f ( x )e‬‬
‫‪ f ' ( x )e ‬‬
‫)‪ g (x‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪df ( x ) e‬‬
‫‪‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  f ( x )e‬‬
‫‪‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪dx‬‬
‫קל לראות שמתקיימת המשוואה‪:‬‬
‫אנו רוצים‪:‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y ' yg ( x )  f ' ( x ) e‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪y ' yg ( x )  h ( x‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ' ( x )  h ( x )e‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪h ( x )  f ' ( x )e‬‬
‫‪‬‬
17
.‫פתרון כללי ופתרון פרטי‬
y'( x)  y( x) g ( x)  h( x)
:‫וקיבלנו‬
g (x)

f ' ( x )  h ( x )e
g (x)

f ( x )   h ( x )e
B
:‫ובסה"כ‬
g (x)
g (x)
 g (x)


y  df ( x ) e
 (  h ( x )e
 B )e 

18
y'( x)  y( x) g ( x)  h( x)
‫דוגמא‬
y ' ( x )  4 x  2 xy

y  f ( x )e
 2x
y '  f ' ( x )e
f ' ( x )e
f (x) 
x
2
x
2
 2 xf ( x ) e
 4x
 4 xe
y  (2e
x
 f ( x )e
x
2
2
x
2
x
2
 4 x  2 xf ( x ) e
f ' ( x )  4 xe
dx  2 e
 C )e
x
2
x
2
x
2
C
 2  Ce
x
2
x
2
19
y'( x)  y( x) g ( x)  h( x)
‫ ניחוש‬- ‫דוגמא‬
y ' ( x )  4 x  2 xy
y( x)  2
y ' ( x )   2 xy
y( x)  e
x
2
‫‪20‬‬
‫וכעת – אנו יודעים חדווא ב' לכלכלנים!‬
‫כשראה אלכסנדר הגדול את רוחב ממלכתו‪ ,‬הוא בכה; שכן לא‬
‫נותרו לו ארצות לכבוש‪.‬‬

similar documents