و تابع احتمال توام

Report
‫توزیع احتمال توام‬
‫موسوی ندوشنی‬
‫زمستان ‪1383‬‬
‫‪1‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫فضای نمونه دو بعدی (یا بیشتر) و تابع احتمال توام‬
‫‪ ‬بعضی از آزمایشهای تصادفی به گونهای میباشند که‬
‫آزمایشکننده همزمان میتواند دو (یا تعدادی بیشتر) هدف را دنبال‬
‫کند‪ .‬اگر هر هدف را با یک متغیر مشخص کنیم‪ ،‬آنگاه در یک‬
‫آزمایش دو یا چند متغیر بدست خواهد آمد‪.‬‬
‫‪ ‬تعریف‪ :‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی باشند به طوری که امکان‬
‫وقوع این دو متغیرهمزمان وجود داشته باشد‪ ،‬آنگاه تابع احتمال‬
‫وقوع همزمانی این دو متغیر را با عالمت تابعی )‪ fX,Y(x,y‬نشان‬
‫داده و آنرا تابع احتمال توام ‪ X‬و ‪ Y‬گوییم‪ .‬در حالت گسسته‬
‫داریم‪:‬‬
‫) ‪fX ,Y (x , y ) = P (X = x ,Y = y‬‬
‫‪2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت گسسته‬
‫]) ‪PX ,Y (x , y ) = Pr[(X = x ) I (Y = y‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪P X ,Y (x , y ) = 1‬‬
‫‪å å‬‬
‫‪all x i all y i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪P X ,Y (x i , y j‬‬
‫‪å å‬‬
‫= ]) ‪FX ,Y (x , y ) = Pr[(X £ x ) I (Y £ y‬‬
‫‪xi £ x y j £ y‬‬
‫‪3‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
Y=0
Y=1
Y=2
Y=3
X=0
0.2910
0.0600
0.0000
0.0000
X=1
0.0400
0.3580
0.0100
0.0000
X=2
0.0100
0.0250
0.1135
0.0300
X=3
0.0005
0.0015
0.0100
0.0505
0.4
0.3
0.2
0.1
0
å å
0
P X ,Y (x , y ) = 1
1
X
3
2
2
3
all x i all y i
1
0
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
4
Y
‫تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت پیوسته‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪(x , y ) dx dy‬‬
‫‪X ,Y‬‬
‫‪òòf‬‬
‫= ) ‪Pr[(x 1 £ X £ x 2 ) I (y 1 £ Y £ y 2‬‬
‫‪x1 y 1‬‬
‫] ‪FX ,Y (x , y ) = Pr[X £ x ,Y £ y‬‬
‫‪¶ 2F‬‬
‫= ) ‪f (x , y‬‬
‫‪¶x ¶y‬‬
‫‪5‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
Generalized to
arbitrary region
P (x , y Î A ) =
òò f (x , y ) dx dy
A
y
f(x,y)
x
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
6
‫خصوصیات تابع احتمال توام‬
‫‪f X ,Y (x , y ) ³ 0‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪(x , y ) dx dy = 1‬‬
‫‪X ,Y‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò òf‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) = 1‬‬
‫‪å å‬‬
‫‪y‬‬
‫‪- ¥ - ¥‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬مثال‪ :‬از ظرفی که ‪ 3‬مهره قرمز‪ 2 ،‬مهره آبی و ‪ 3‬مهره زرد‬
‫دارد‪ ،‬دو مهره به تصادف و همزمان اختیار میشود‪ .‬در صورتی‬
‫که متغیر تصادفی ‪ X‬نشاندهنده تعداد مهره قرمز در این آزمایش‬
‫باشد (هدف آزمایشکننده شمارش تعداد قرمز است) تابع احتمال‬
‫‪ X‬را تعیین کنید‪.‬‬
‫‪5 ö‬‬
‫‪æ3 öæ‬‬
‫‪ç‬‬
‫÷‬
‫‪X = 0, 1, 2‬‬
‫‪7‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫÷÷‬
‫‪x ÷ø‬‬
‫‪çç ÷÷ç‬‬
‫ ‪ççx ÷÷çç2‬‬‫‪è øè‬‬
‫= ) ‪f X (x‬‬
‫‪æ8ö‬‬
‫÷÷ ‪çç‬‬
‫÷÷‪çç2‬‬
‫‪èø‬‬
‫مثال تابع احتمال توام‬
‫‪ ‬اگر در مثال قبل متغیر تصادفی ‪ Y‬را تعداد مهره آبی‬
‫تعریف کنیم‪ .‬تابع احتمال را تعیین ‪ö‬‬
‫کنید‪æ2 öæ 6.‬‬
‫‪çç‬‬
‫÷‬
‫÷ ‪çç‬‬
‫÷‬
‫÷‬
‫‪ç‬‬
‫÷‬
‫÷ ‪ççy‬‬
‫‪2‬‬
‫‬‫‪y‬‬
‫÷‬
‫÷‬
‫‪ç‬‬
‫‪è øè‬‬
‫‪ø‬‬
‫= ) ‪fY (y‬‬
‫‪Y = 0, 1, 2‬‬
‫‪æ8ö‬‬
‫÷ ‪çç‬‬
‫÷‪ç2‬‬
‫÷‬
‫÷ ‪çè‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪ ‬مثال‪ :‬اگر در مثال قبل متغیر تصادفی ‪ X‬نشاندهنده تعداد‬
‫مهره قرمز و متغیر تصادفی ‪ Y‬نشاندهنده تعداد مهره‬
‫آبی تعریف کنیم‪ ،‬تابع احتمال توام آنرا به صورت جدول‬
‫و فرمول تعیین کنید‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال تابع احتمال توام‬
X
Y
0
1
2
0
1
2
f(0,0)
f(0,1)
f(0,2)
f(1,0)
f(1,1)
f(2,0)
3
ö
æ3 öæ2 öæ
ç
÷
çç ÷ç
÷
çç
÷
֍
÷
÷
ççx ÷ç
÷
è ÷ç
øèy ÷
øçè2 - x - y ÷
ø
P (X = x ,Y = y ) =
æ8ö
çç ÷
çç2÷
÷
è ÷
ø
{
D p = (x , y ) 0 £ x + y £ 2
X = 0, 1, 2
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
Y = 0, 1, 2
}
9
‫مثال تابع احتمال توام‬
‫‪ ‬در مثال قبل ‪ X‬را تعداد مهره قرمز‪ Y ،‬را تعداد مهره‬
‫آبی و ‪ Z‬را تعداد مهره زرد تعریف کنید‪fX,Y,Z(x,y,z) .‬‬
‫را تعیین کنید‪.‬‬
‫‪æ3 öæ2 öæ3 ö‬‬
‫‪çç ÷ç‬‬
‫‪÷ç‬‬
‫÷‬
‫‪÷ç‬‬
‫‪÷ç‬‬
‫÷‬
‫‪ççx ÷ç‬‬
‫‪÷ç‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫÷‬
‫÷ ‪÷çè‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪è ÷ç‬‬
‫‪øè ø‬‬
‫= ) ‪f (x , y , z‬‬
‫‪æ8ö‬‬
‫÷ ‪çç‬‬
‫÷‪çç2‬‬
‫÷‬
‫÷ ‪è‬‬
‫‪ø‬‬
‫}‬
‫‪Z = 0, 1, 2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Y = 0, 1, 2‬‬
‫‪X = 0, 1, 2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫{‬
‫‪D p = (x , y , z ) x + y + z = 2‬‬
‫مثال تابع احتمال توام‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع توام زیر باشند‪،‬‬
‫مقدار ثابت ‪ k‬را تعیین کنید‪.‬‬
‫‪y > 0‬‬
‫) ‪ìï ke - ( x + y‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪ïî‬‬
‫‪x> 0‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx dy‬‬
‫‪k‬‬
‫‪¥‬‬
‫) ‪- (x + y‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò òe‬‬
‫‪0‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪dx dy = 1 Þ‬‬
‫‪ò ò ke‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx ) dy = Þ‬‬
‫‪= 1Þ k = 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪11‬‬
‫) ‪- (x + y‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪0‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪- x‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪0‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò (e ò e‬‬
‫‪- y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫توزیعهای کنارهای یا حاشیهای‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫میدانیم متغیر ‪ X‬به تنهایی دارای تابع احتمال )‪fX(x‬‬
‫است‪.‬‬
‫میدانیم متغیر ‪ Y‬به تنهایی دارای تابع احتمال )‪fY(y‬‬
‫است‪.‬‬
‫اگر ‪ X‬و ‪ Y‬به طور همزمان امکان وقوع داشته باشند‪،‬‬
‫آیا میتوان )‪ fX(x‬و )‪ fY(y‬را به کمک آن محاسبه کرد؟‬
‫اگر )‪ fX(x‬و )‪ fY(y‬در اختیار باشد‪ ،‬آیا میتوان‬
‫)‪ fX,Y(x,y‬را محاسبه نمود؟‬
‫تعاریف بعدی چگونگی محاسبه )‪ fX(x‬و )‪ fY(y‬را به‬
‫کمک تابع توام )‪ fX,Y(x,y‬نشان میدهد‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫توزیعهای کنارهای یا حاشیهای‬
‫‪ ‬تعریف‪ :‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام‬
‫)‪ fX,Y(x,y‬باشد‪ ،‬آنگاه توزیعهای ‪ X‬و ‪ Y‬را به تنهایی توزیعهای‬
‫کنارهای گویند که به صورت زیر محاسبه میشود‪.‬‬
‫) ‪f X ,Y (x , y‬‬
‫‪‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) dy‬‬
‫) ‪f X ,Y (x , y‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) dx‬‬
‫‪13‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪ìï å‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ï ¥y‬‬
‫‪f X (x ) = í‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ïï ò‬‬
‫‪ïî - ¥‬‬
‫‪ìï å‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ï ¥x‬‬
‫‪fY (y ) = í‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ïï ò‬‬
‫‪ïî - ¥‬‬
‫نمایش تابع احتمال حاشیهای در حالت پیوسته‬
‫‪¥‬‬
‫‪f (x , y )dx‬‬
‫‪ò‬‬
‫= ) ‪f (y‬‬
‫)‪f(x,y‬‬
‫‪x=- ¥‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪14‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال توزیع کناری‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام زیر باشد‪ ،‬اوال مقدار ثابت‬
‫‪ k‬را تعیین کنید‪ .‬ثانیا توابع توزیع کنارهای )‪ fX(x‬و )‪ fY(y‬را تعیین کنید‪.‬‬
‫‪æx + y ö‬‬
‫‪åx = 1 åy = 1 ççè k ÷÷ø = 1 Þ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 1 Þ k = 21‬‬
‫‪5‬‬
‫‪k‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪fY(y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2/21 3/21 4/21 9/21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3/21 4/21 5/21 12/21‬‬
‫‪fX(x) 5/21 7/21 9/21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪3‬‬
‫مثال توزیع کنارهای‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال توام زیر باشند‪ ،‬اوال‬
‫مقدار ثابت ‪ k‬را پیدا کنید‪ .‬ثانیا توزیع حاشیهای )‪ fX(x‬و )‪ fY(y‬را تعیین‬
‫کنید‪.‬‬
‫‪0£ y £ 2‬‬
‫‪0£ x £ 1‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ ‬محاسبه مقدار ‪k‬‬
‫‪16‬‬
‫) ‪ìï k (x + y‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ò k (x + y ) dy dx = 1 Þ k = 3‬‬
‫‪0‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪1‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪0‬‬
‫بقیه مثال توزیع کنارهای‬
‫‪ ‬تابع حاشیهای متغیر تصادفی ‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫‪dy‬‬
‫=‬
‫‪xy‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫(‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪3 (2x + 2‬‬
‫‪ò3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪f X (x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪ìï 32 (x + 1‬‬
‫‪= ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫‪0£ x £ 1‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ ‬تابع حاشیهای متغیر تصادفی ‪Y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + xy )0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪(x + y ) dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ò‬‬
‫= ) ‪fY (y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0£ y £ 2‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪17‬‬
‫) ‪ìï 31 ( 21 + y‬‬
‫‪= ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫متغیرهای تصادفی مستقل‬
‫‪ ‬فرض کنید ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام‬
‫)‪ fX,Y(x,y‬و توزیعهای حاشیهای )‪ fX(x‬و )‪ fY(y‬باشند‪.‬‬
‫دو متغیر ‪ X‬و ‪ Y‬را مستقل آماری گوییم اگر و فقط اگر‬
‫داشته باشیم‪:‬‬
‫) ‪"(x, y‬‬
‫‪18‬‬
‫) ‪fX ,Y (x , y ) = fX (x )fY (y‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫متغیرهای تصادفی وابسته در حالت گسسته‬
P X |Y (x y j ) = Pr[X = x Y = y j ]
=
=
Pr[(X = x ) I (Y = y j )]
Pr[Y = y j ]
P X ,Y (x , y j )
å
P X ,Y (x , y j )
=
P X ,Y (x , y j )
PY (y j )
0.4
all x i
0.3
0.2
0.1
0
0
1
X
3
2
2
3
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
1
0
19
Y
‫متغیرهای تصادفی وابسته در حالت پیوسته‬
‫‪ ‬در وابستگی از تعریف احتمال شرطی استفاده میشود‪.‬‬
‫) ‪f X ,Y (x , y‬‬
‫) ‪fY (y‬‬
‫) ‪f X ,Y (x , y‬‬
‫) ‪f X (x‬‬
‫‪20‬‬
‫= ) ‪f X Y (x y‬‬
‫= ) ‪fY X (y x‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫نمایش تابع احتمال شرطی در حالت پیوسته‬
‫)‪f(x,y‬‬
‫) ‪f (x , y‬‬
‫= ) ‪f (y x‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪21‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
Y=0
Y=1
Y=2
Y=3
PX|Y(x|yj=1)
X=0 0.2910 0.0600 0.0000 0.0000
0.1350
X=1 0.0400 0.3580 0.0100 0.0000
0.8054
X=2 0.0100 0.0250 0.1135 0.0300
0.0562
X=3 0.0005 0.0015 0.0100 0.0505
0.0034
 0.3415 0.4445 0.1335 0.0805
0.4
PX|Y(x|yj=1)
0.3
0.4
0.2
0.3
0.1
0
0.2
0
0.1
0
1
X
1
2
3
X
3
2
2
3
4
1
0
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
Y
22
‫مثال‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام باشند‪ ،‬اوال بررسی کنید‬
‫که ‪ X‬و ‪ Y‬مستقلند یا وابسته‪ .‬ثانیا تابع احتمال شرطی )‪ fY|X(y|x‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ìï 14 x (1 + 3y 2 ) 0 £ x £ 2 0 £ y £ 1‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪î‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪)0‬‬
‫‪x (y + y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪x ò (1 + 3y ) dy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x (1 + 3y ) dy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ò‬‬
‫= ) ‪f X (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0£ x £ 2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ìï 12 x‬‬
‫‪= ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫بقیه مثال‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1 + 3y 2 ) ò x dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬اکنون حاصلضرب‬
‫‪0£ y £ 1‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪ìï 12 (1 + 3y 2‬‬
‫‪0£ y £ 1‬‬
‫‪= ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫توابع حاشیهای محاسبه می ‪î‬‬
‫شود‪.‬‬
‫‪0£ x £ 2‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ ‬در نتیجه مستقلند و داریم‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫= ‪x (1 + 3y 2 ) dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫= ) ‪fY (y‬‬
‫‪ìï 12 x é12 (1 + 3y 2 ) ù‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪û‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪f X (x ) fY (y ) = í‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪ïî‬‬
‫) ‪= f X ,Y (x , y‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫) ‪fY X (y x ) = fY (y‬‬
‫مثال‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام )‪ fX,Y(x,y‬زیر‬
‫باشد‪ ،‬مطلوبست محاسبه )‪ E(X) ،E(XY‬و )‪E(Y‬‬
‫‪0< y < 1‬‬
‫‪ìï 2‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫‪0< x < y‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ò ò‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ò ò‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪2xy dx dy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪2x dx dy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪2y dx dy‬‬
‫‪0‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ò ò‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪E (X Y‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪E (Y‬‬
‫امید ریاضی و استقالل دو متغیر تصادفی‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬مستقل باشند‪ ،‬آنگاه )‪ E(XY)=E(X)E(Y‬اما عکس آن درست نیست‪ .‬اما‬
‫عکس نقیض برقرار است‪ .‬یعنی اگر )‪ E(XY)E(X)E(Y‬آنگاه ‪ X‬و ‪ Y‬مستقل نمیباشند‬
‫(وابستهاند)‬
‫‪ ‬مثال‪ :‬بررسی کنید که دو متغیر ‪ X‬و ‪ Y‬مستقلند یا وابسته؟‬
‫‪0 < y < 1 E (X Y ) = 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪E (Y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 1 2‬‬
‫‪¹‬‬
‫´‬
‫‪4 3 3‬‬
‫‪‬‬
‫بنابراین دو متغیر ‪ X‬و ‪ Y‬وابسته میباشند‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪0< x < y‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ìï 2‬‬
‫‪f X ,Y (x , y ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫کوواریانس‬
‫‪ ‬کوواریانس‬
‫• اگر در فرمول امید ریاضی )‪ g(X,Y)=(X-X)(Y- Y‬باشد‪ ،‬آنگاه‬
‫آنرا کوواریانس گوییم که عبارتست‪:‬‬
‫•‬
‫البته کوواریانس را به صورت زیر نیز میتوان نوشت‪:‬‬
‫) ‪= cov(X ,Y ) = E (X - mX )(Y - mY‬‬
‫‪s XY‬‬
‫‪s X Y = E (X Y ) - mX mY‬‬
‫‪‬‬
‫اگر ‪ X‬و ‪ Y‬از هم مستقل باشند‪ ،‬آنگاه داریم‪.‬‬
‫‪E (X Y ) = E (X )E (Y ) = mX mY Þ s X Y = 0‬‬
‫‪27‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫ضریب همبستگی‬
‫‪ ‬ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی ‪ X‬و ‪ Y‬را با عالمت ‪ ‬یا‬
‫)‪ (X,Y‬نشان داده و به صورت زیر تعریف میکنیم‪:‬‬
‫‪s XY‬‬
‫‪s XsY‬‬
‫ضریب همبستگی‪ ،‬ضریبی بدون بعد است‪.‬‬
‫ثابت میشود که ضریب همبستگی بین ‪ -1‬و ‪ 1‬قرار دارد‪،‬‬
‫‪- 1 £ r £ 1Û r £ 1Û r 2 £ 1‬‬
‫= ) ‪r ( X ,Y‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪28‬‬
‫اگر ‪ X‬و ‪ Y‬مستقل باشند‪ ،‬آنگاه ‪ =0‬است‪.‬‬
‫اگر ‪ =0‬آنگاه ‪ X‬و ‪ Y‬از هم مستقل خطی هستند ولی ممکن است‬
‫وابستگی غیر خطی داشته باشند‪.‬‬
‫اگر ‪ =-1 or 1‬باشد‪ ،‬آنگاه همبستگی کامل است‪.‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال ضریب همبستگی (‪)1‬‬
‫‪ ‬فرض کنید که ‪ X‬یک متغیر تصادفی با تابع احتمال زیر باشد‪.‬‬
‫‪x = - 2, - 1, 1, 2‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ìï 1‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪f X (x ) = í 4‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪ïî‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬مطلوبست تابع احتمال ‪Y=X‬‬
‫‪ ‬ضریب همبستگی را محاسبه نمایید‪.‬‬
‫‪y = 1, 4‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪29‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪ìï 1‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪fY (y ) = í 2‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪ïî‬‬
‫مثال ضریب همبستگی (‪)2‬‬
‫‪ ‬محاسبه ضریب همبستگی‬
‫‪s XY‬‬
‫= ) ‪r ( X ,Y‬‬
‫‪s XsY‬‬
‫) ‪s X Y = E (X Y ) - E (X )E (Y‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫´‪+ 2‬‬
‫´‪+ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= 2.5‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫´ ‪+ 23‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫´ ‪+ 13‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫´ ‪+ (- 1)3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫´‪- 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫´‪+ 4‬‬
‫´ ‪E (X ) = - 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫´ ‪E (Y ) = 1‬‬
‫´ ‪E (X Y ) = E (X 3 ) = (- 2)3‬‬
‫‪s X Y = 0 - 0 ´ 2.5 = 0 Þ r (X ,Y ) = 0‬‬
‫‪ ‬بنابراین نتیجه میگیریم که بین ‪ X‬و ‪ Y‬همبستگی خطی وجود ندارد‪ ،‬اما‬
‫رابطه غیرخطی بین آن دو برقرار است‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬

similar documents