11.3_角平分线的性质

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角平分线的性质
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角,
这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1
2
C
B
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,
叫做点到直线的距离。
P
A
O
线段的长度
B
尺规作图:
观察领悟作法,探索思考证明方法:
点O
作法:1、以____为圆心,
适当
______长为半径作圆弧,
E
A
C
与角的两边分别交于C、
D两点;
C、D
2、分别以_____为圆心,
D
O
B
超过CD一半
__________的长为半径
作弧,两条圆弧交于
E
∠AOB内一点____;
OE
OE
3、作射线_____; _____就是所求作的射线。
想一想:
为什么OC是角平分线呢?
已知:OM=ON,MC=NC。
求证:OC平分∠AOB。
证明:在△OMC和△ONC中,
A
M
C
OM=ON,
MC=NC,
OC=OC,
∴ △OMC≌ △ONC(SSS)
∴∠MOC=∠NOC
B
即:OC平分∠AOB
N
O
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练习1:平分平角∠AOB。
C
B
O
A
D
归纳:“过直线上一点作这条直线的垂线”
的方法。
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角平分线的性质
折一折
A
A
D
P
O
B
C
O
E
B
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠
形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距
离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E。
求证:PD=PE
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
A
D
∠ PDO= ∠ PEO ∠
AOC= ∠ BOC
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO(AAS)
∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等)
C
P
E
B
证明几何命题的一般步骤:
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意,画出图形,并用数学
符号表示已知和求证;
3、经过分析,找出由已知推出求证
的途径,写出证明过程。
角平分线的性质
定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为:
∵
∠1= ∠2
推理的理由有三个,
必须写完全,不能
少了任何一个。
D
PD ⊥OA ,PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O
的距离相等)
A
P
1
2
E
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件:
A
D
(1)角的平分线;
(2)点在该平分线上;
P
O
(3)垂直距离。
定理的作用: 证明线段相等。
E
C
B
∵ 如图,AD平分∠BAC(已知)
∴
BD = CD ,(
(×)
在角的平分线上的点到这)
个角的两边的距离相等。
B
D
A
C
∵ 如图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)
∴
BD = CD ,(
(×)
在角的平分线上的点到这
)
个角的两边的距离相等。
A
B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)
∴
DB = DC ,( 在角的平分线上的点到这个)
角的两边的距离相等。
√
B
A
D
不必再证全等
C
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∵
如图,
OC是∠AOB的平分线,
PD⊥OA,PE⊥OB
又 ________________
∴PD=PE (
角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
A
D
) C
P
B
O
E
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在△OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,
EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D.
O
求证:AC=BD.
C
A
D
E
B
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在△ABC中, ∠ C=90 ° ,AD为∠BAC
的平分线,DE⊥AB,BC=7,DE=3.
求BD的长。
A
E
C
D
B
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1、在Rt△ABC中,BD是角平分线,DE⊥AB,垂
足为E,DE与DC相等吗?为什么?
2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别
, 是 D 、 E,PD=4cm, 则
PE=__________cm.
A
E
C
A
P
D
B
D
E
B
C
O
A
3 . 如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足
分别是E,F, DE =DF, ∠EDB=
60°,则 ∠EBF= 60
度,
BE= BF
。
E
C
D
B
F
C
4 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,
∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC
的 角的平分线 ,AE+DE= 6cm 。
5.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?
C
你会吗?
D
A
E
B
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1
如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平
分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;
求
证:CF=EB
A
E
F
C
D
B
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2已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,
垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
A
(在角平分线上的点到角的两边的距离相等)
同理 PE=PF.
D
M
∴ PD=PE=PF.
N
P
F
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?
3 如图,△ABC的∠B的外角的平分线BD与
∠C的外角的平分线CE相交于点P.
求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线
的距离相等.
C
更上一层楼!
P
F
A
D
H
B
G
E
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◆这节课我们学习了哪些知识?
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;
2、角的平分线的性质:
111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,
O
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
(角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
A
D
C
P
E
B
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