kruznica__rovnica_kruznice

Report
Ing. Jana Vargová

Kružnica je
množina všetkých
bodov roviny, ktoré
majú od stredu S
rovnakú
vzdialenosť –
polomer r.

Kružnica so
stredom S [0, 0]a s
polomerom r > 0
má rovnicu:
x 2 + y 2 = r2


Body X[x, y], ktoré ležia vnútri kružnice s
polomerom r > 0, majú od jej stredu S [0, 0]
vzdialenosť menšiu ako r(|XS| < r). Teda o
súradniciach každého vnútorného bodu
kružnice platí: x2 + y2 < r2 .
Body X[x, y], ktoré ležia zvonku kružnice s
polomerom r > 0, majú od jej stredu S [0, 0]
vzdialenosť väčšiu ako r(|XS| > r). Teda o
súradniciach každého vnútorného bodu
kružnice platí: x2 + y2 > r2 .

Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v
začiatku sústavy súradníc a prechádza bodom
A [-3, 2].
Riešenie:
Kružnica so stredom S [0, 0]má rovnicu:
x2 + y 2 = r 2 .
 Polomer r zistíme dosadením súradníc bodu
A, ktorý leží na kružnici, do tejto rovnice.
(-3)2 + 22 = r2
r2 = 13
r = √13.


Kružnica so
stredom S[m, n] a s
polomerom r > 0
má rovnicu:
(x – m)2 +(y – n)2 =r2

Rovnica kružnice sa dá vyjadriť aj v tvare:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
kde a, b, c sú reálne čísla.

Napíšte stredový i všeobecný tvar rovnice
kružnice so stredom S [1, -2] a polomerom
r=3
(x-1)2 + (y + 2)2 = 9
Po úpravách:
x2 - 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 9
x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0
Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred
S [-3,5] a prechádza bodom A [-7, 8].

( x + 3)2 + (y – 5)2 = r2
( -7 + 3)2 + (8 – 5)2 = r2
r2 = 25
( x + 3)2 + (y – 5)2 = 25
Napíšte rovnicu kružnice k, ktorá prechádza bodmi A
[5, 1]; B [0, 6]; C [4, -2];
Riešenie:
Zistíme či body A, B, C neležia v jednej priamke.
Smerový vektor AB je B – A =(-5, 5), smerový vektor
BC je C – B=(4, -8). Vektory sú rôznobežné a teda aj
priamky sú rôznobežné AB, BC.
 Bod A leží na kružnici k, preto:
25+1+5a+b+c = 0
 Bod B leží na kružnici k:
02 +62 +0a+6b+c = 0
 A podobne pre bod C patrí kružnici:
16+4+4a-2b+c=0

Riešením sústavy troch rovníc o tromi
neznámymi a, b,c:
5a+b+c=-26
6b+c=-36
4a–2b+c=-20
dostaneme a=0, b=-2, c=-24.
Rovnica kružnice vo všeobecnom tvare je:
X2 + y2 – 2y – 24 = 0


Napíšte stredový i všeobecný tvar rovnice
kružnice, keď S[7, -3]; r =6;
(x-m)2 +(y – n)2 = r2
(x-7)2 +(y + 3)2 = 62
x2 – 14x + 49 + y2 + 6y + 9 = 36
X2 + y2 -14x + 6y + 22 = 0




Pre vzájomnú polohu priamky
p a kružnice k platí:
Sp r p je nesečnica
Sústava vytvorená z rovníc
priamky a kružnice nemá
riešenie.
Sp= r p je dotyčnica
Sústava vytvorená z rovníc
priamky a kružnice má jedno
riešenie  súradnice bodu
dotyku
Sp r p je sečnica
Sústava vytvorená z rovníc
priamky a kružnice má dve
riešenia  súradnice
priesečníkov


Vzájomnú polohu priamky a rovnice
zisťujeme riešením sústavy ich rovníc, a to
tak, že rovnicu priamky vždy dosadzujeme do
rovnice kružnice (kvadratickej rovnice).
Sústava má buď 2 riešenia (2 kružnica a
priamka majú dva spoločné body), alebo
1(jeden spoločný bod) riešenie, alebo nemá
riešenie v obore reálnych čísel (žiaden
spoločný bod).

Zistite vzájomnú polohu priamky 4x – 3y – 20 = 0 a
kružnice x2 + y2 = 25
4x – 3y – 20 = 0 ⇒ y = 4/3 x – 20/3
x2 + y2 = 25
Dosadíme do rovnice kružnice:
X2 + (4/3 x – 20/3)2 = 25
Dostaneme kvadratickú rovnicu:
5x2 – 32x + 35 = 0
Diskriminant: D = (-32)2 - 4.5.35 = 324
X1 = 5;
X2 = 7/5;
Dosadíme za x1 do rovnice priamky a dostaneme
y1 = O. Pre x2 je y2 = -24/5.
Priamka je sečnicou kružnice k (majú spoločné dva body)



Zistite vzájomnú polohu kružnice x2 + y2 =
25 a priamky x – 2y + 5 =0
Zistite vzájomnú polohu kružnice x2 + y2 =
25 a priamky x – 2y – 18 = 0
Zistite vzájomnú polohu kružnice
(x – 2)2 +(y -3)2 = 0 a priamky p: x=4+2t;
y=1+t.

Určte číslo „c“ tak, aby priamka x+2y+c=0
bola dotyčnicou kružnice x2 + y2 = 4
(aby priamka bola dotyčnicou kružnice jej
diskriminant sa musí rovnať 0)
0=b2 - 4.a.c (z tejto rovnice vypočítame „c“)
Ďakujem za pozornosť

similar documents