自编第十一章频率响应李翰逊

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第九章
正弦稳态电路的分析
11-1 基本概念
11-2 再论阻抗和导纳
11-3 正弦稳态网络函数
11-4 正弦稳态的叠加
11-5 平均功率的叠加
11-6 RLC电路的谐振
知
识 点
• 一、掌握网络函数和频率响应的概念
• 会计算网络函数及绘出幅频、相频特性曲线
• 二、谐振、品质因数、通频带概念会计算。
• 掌握低通、高通、带通电路。
• 三、熟练掌握简单RLC串联、并联谐振
电路的分析计算方法。
四、多频电路的分析。
§11-1
基本概念
前两章相量分析法使用条件:线性时不变、渐近稳定;单一
频率的正弦激励;求解稳定状态。多频正弦需逐个频率求解,
再叠加求结果。
多个频率正弦激励分为两种情况:
其一电路的激励原本为非正弦周期波,如方波、锯齿波,可
分解傅里叶级数后,可视为含有直流分量和一系列频率成整
数倍的正弦分量、即谐波分量。
4A 
1
1

f (t ) 
sin(

t
)

sin(3

t
)

sin(5

t
)

.....

 
3
5
其二:电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波。
§11-2再论 阻抗和导纳
I
阻抗和导纳是频率的函数
U
Z
I
I
Y
U
U
N
例如电感和电阻串联电路 Z  ZR  ZL  R  j L
Z ( j )  R  j L
=
R   L  arctan(
2
2
2
L
R
)
= Z ( j )  Z ( )
一、1、定义幅频特性:与 Z 频率的关系称为输
入阻抗的幅频特性。
Z () 与频率的关系称为输入阻抗
2、相频特性:
的相频特性。
§11-2再论 阻抗和导纳
3、我们把输入阻抗或导纳的幅频特性和相频特性
(不论是解析还是曲线形式)都称为单口网络的频率
响应
二、输入阻抗可用实部和虚部表示:例:R和L并联电路
Z ( j ) 
ZRZL
j LR

ZR  ZL
R  j L
 2 L2 R
 LR 2
= 2
 j 2
2 2
R  L
R   2 L2
Z ( j )  R( )  jX ( )
R( ) 是实部
X ()
X ()  0感性
是虚部
X () < 0容性
§11-2再论 阻抗和导纳
三、输入导纳也用实部和虚部表示
Y( j )  G( )  jB( )
G( ) 是实部称为电导分量
B( ) 是虚部称为电纳分量
四、阻抗幅角和导纳角
B( )  0感性
B()>0容性
 X ( ) 
 B( ) 
Z ( )  arctan 
和Y ( )  arctan 


R
(

)
G
(

)




§11-2再论 阻抗和导纳
四、阻抗幅角和导纳角
 X ( ) 
 B( ) 
Z ( )  arctan 
和Y ( )  arctan 


R
(

)
G
(

)




X ( )>0或B( )  0 网络呈电感性时
900   z ( )  0
0   Y ( )  90 0
X ( )  0或B( )  0网络呈电容性时
0   Z ( )  900
900   Y ( )  0
§11-2再论 阻抗和导纳
例 11-1 P509
例 11-2 P510 绘幅频和相频曲线
§11-3正弦稳态 网络函数
一、网络函数的定义
1 对相量模型,在单一激励的情况下,网络函数
定义为:
H(jw )=
响应相量
激励相量
2、根据响应与激励所在位置不同,
可分为策动点函数和转移函数。例输入阻抗
和导纳是网络函数的一类------为(
)
§11-3正弦稳态 网络函数
H(jw)=
响应相量
激励相量
电压
H(jw )=
电流源
R(jw ) R(s )
=
=
E(jw ) E(s)
电压
阻抗 H(jw )=
电压源
电流
电压比
电流
电流比
导纳 H(jw )=
电流源
驱动点函数:激励和响应属于同一对端钮
H(jw )=
电压源
驱动点阻抗、驱动点导纳
转移函数:激励和响应不属于同一对端钮
转移阻抗、转移导纳、电压转移函数、电流转移函数
§11-3正弦稳态 网络函数
3 幅频特性与相频特性
H(j)一般是ω的复值函数
H (j ) | H (j) |  ()
|H(j)|——响应与激励的幅值比;
()——响应与激励的相位差
§11-3正弦稳态 网络函数
幅频特性——振幅比|H(j)|随ω的
变化特性;
相频特性——相位()随ω的变化特
性。
可以用振幅比或相位作纵坐标,画出
以频率为横坐标的曲线。这些曲线分
别称为网络函数的幅频特性曲线和相
频特性曲线。
§11-3正弦稳态 网络函数
二、网络函数的计算方法
1、网络函数取决于网络的结构和参数,
与输入无关。已知网络相量模型,计算网
络函数的方法是外加电源法:在输入端加
一个电压源或电流源,用正弦稳态分析的
任一种方法(例节点法)求输出相量的表
达式,然后将输出相量与输入相量相比,
得相应的网络函数。
§11-3正弦稳态 网络函数
二、网络函数的计算方法
2、频率响应也可以用实验方法确定:
这是在内部结构及元件参数不清楚,而
输入、输出端钮可以触及的情况下,改变
外施正弦激励的频率,测得在不同频率下
的输出与输入的比值,输出与输入得相位
差角,即可获得电路的频率响应曲线。
§11-3正弦稳态 网络函数
例l 试求图(a)所示网络负载端开路时的策动点阻
抗 U1 / I1和转移阻抗 U 2 / I1。
解:相量模型如图(b)。用串并联公式得策
动点阻抗

1 
R R 

2 2
2
j

C
U1
1
1

R

C
 j3 RC





.
2
2
1
j

C
j

C

2
R

C
I1
2R 
j C
.
§11-3正弦稳态 网络函数
为求转移阻抗 U 2 / I1 ,可外加电流源 I1
.
求得 :
则:
U2  R 
R I1
jR 2C .

I1
1  j2 RC
1
2R 
j C
U2
jR 2C

I1
1  j2 RC
在网络函数式中,频率ω是作为一个
变量出现在函数式中的。
§11-3正弦稳态 网络函数
**例11-4:低通电路
(1) 求电压转移函数 Au  U 2 U1 , +
R
U1
(2) 绘出幅频特性和相频特性曲线。
-  j (1  C)
解:
 
U
2
+
U2
 j (1 C )

U
1
R  j (1 C )

U
 j (1 C )
1
2
Au 



U
R  j (1 C )
1  jRC
1
-
§11-3正弦稳态 网络函数
Au
幅频特性:
1
0.707
Au 
1
1  (RC) 2
0
  0 , Au  1
  1 RC , Au  1
   , Au  0
2
1 RC

§11-3正弦稳态 网络函数
0
相频特性:
1 RC
 45o
  arctg(RC)
 9 0o

 0 ,  0
  1 RC ,   45
   ,   90o
o

§11-3正弦稳态 网络函数
频率特性分析:
从幅频特性看,这是一个低通网络;从相频特
性看,这是一个滞后网络。
幅频特性 A u 下降到其最大值0.707倍时所对
应的频率称为截止频率(又称为半功率点频率),
记为 c ,该网络的截止频率为 c=1/ RC
=0 ~ = c 称为低通网络的通频带。
§11-3正弦稳态 网络函数
RC高通网络
电路图??
RC串联电路,电阻
电压对输入电压的
转移电压比。
U2
R
1
b  b 2  4ac
H ( j )  KU ( ) 


j
1
U1 R  1
2a
1
j C
j RC
1
1
ωC 

RC
τ
令
上式为
H ( j ) 
1
C
1
j
| H ( j ) |  ( )
§11-3正弦稳态 网络函数
其中
| H ( j ) |
1
 C 
1 




C
 ( )  arctan

当ω=0时,
H ( j )  0
当ω=ωC 时,
1
H ( j ) 
2
H (j)  1
当ω 时,
2

 ( ) 
2

 ( ) 
4
 ()  0
幅频和相频特性曲线,如下图所示。
§11-3正弦稳态 网络函数
H ( j )
1
截止频率:=C
0.707
ωC
0

2

4
0
ω
 ( )
通频带:>C
阻带: 0<<C
一阶超前网络
ωC
ω
§11-3正弦稳态 网络函数
11-5超前滞后网络( RC带通、带阻
和全通网络)
1
R j C


带通:转移电
1


R
U
U
压比
1
2
j C
1 
R
jC
1
R
j C

R
U 2
1  jRC
K U ( j ) 



1
1
R
U1
R
1

1
j C
jC 1  jRC
R

jC R  1
j C

1
1
3  j( RC )
RC
1
当RC 0
RC
1
即 :   0 
时
RC
1
K U ( j 0 ) 
3
截止频率:
 C1=0.30
C2 =3.30
通频带:C1<<C2
1
3
KU ( j )
ω0
0
 ( )

2
0

ω
带通
ω0
ω

2
中心频率:0
§11-4 正弦稳态 叠加
运用叠加定理计算多个正弦电源作用
下时不变电路的稳态响应时,需注意
有两种情况:
其一,正弦电源频率相同;用同一相
量模型求响应分量。
其二,正弦电源频率不同;需分别建
立相量模型求响应分量,然后运用叠
加定理求得。
§11-4 正弦稳态 叠加
一,正弦电源频率相同。

U

U

U


k

U


k
Uk

k

 H u ( j ) U s

k
 Z T ( j ) I s
§11-4 正弦稳态 叠加
二正弦电源频率不同,分别建立相量模型求响应,然后
运用叠加定理求得。
uk (t )  uk (t )  uk (t )
11-20
§11-4 正弦稳态 叠加
(一)uk (t )  uk (t )  uk (t )

uk  Re[U k
21t ]

 Re[ H u ( j ) U s
21t ]
2 H u ( j ) Us cos(1t  h  u )


u k  Re[U k
22t ]

 Re[ ZT ( j ) I s

22t ]
2 ZT ( j ) Is cos(2t   Z  i )
§11-4 正弦稳态 叠加
(二)正弦电源频率不同,得到的波形。
1  2
时的波形
是以
Tc 为周期
非正弦波。
Tc  mT1  nT2
n  rm
图11-18
例如:r=1.2,可得Tc=5T1=6T2,uk(t)的周期是 u k 周期
的5倍或为 u k 周期的6倍。
§11-4 正弦稳态 叠加
例11-7 同频率运用叠加定理。P523
例11-8
不同频率需建立不同相量模型。
例11-9 所加激励为非正弦信号,先利
用傅里叶级数展开,再分别建立不同
的相量模型。
§11-5 平均功率的 叠加
本节讨论多个电源作用于电路时功率
的计算。
一、瞬时功率不满足叠加定理。
二、多个频率的正弦电流或电压产生
的平均功率,
若m=n时不能使用叠加定理。当m≠n时
可以利用叠加定理,即平均功率等于每
个电流或电压单独作用时的平均功率的
总和。
§11-5 平均功率的 叠加
既:P  I 20 R  I 21 R  I 2 2 R  ...  I 2 n R
=P0  P1  P2  ....  Pn
三、可以利用(11-29),(11-30)计算
非正弦波的有效值。
既:I  I 0  I  I 2  ...  I
2
2
1
2
2
U  U 0  U  U 2  ...  U
2
例11-10
2
1
(11-29)
n
2
*例11-11
2
n
(11-30)
§11-6 RLC电路的谐振
一、 RLC串联谐振及谐振条件
(一)在R、L、C串联电路中,在正弦激励下,
当端口电压相量与电流相量同相时,称电路发生
了串联谐振。
I
U
R
U R
Z  R  jX  R  j( X L  X C )
jL
U L
U C
1
j C
谐振条件为
Im[ Z ]  0 arg[ Z ]  0
X
1
 R  j( L 
)  Z arctg
R
C
1
0 L 
0
 0C
1
0 
LC
f0 
1
2π LC
§11-6 RLC电路的谐振
I
U
R
U R
jL
U L
U C
f0完全由电路参数决定,
1
j C
反映了串联电路的一种固有
性质, f0又称为电路的固有
1
f0 
2π LC
频率。
(二)、串联谐振的特征
1、谐振时的阻抗、Q值
阻抗的模
Z  R2  X 2
谐振时
X=0
Z R
阻抗的模有最小值。
§11-6 RLC电路的谐振
1
L
1
0 L 

L
 0C
LC
C
特性阻抗
描述谐振电路的一个重要参数。
Q值—品质因数
Q

R
无量纲

0 L
R
1 L
1


 0CR R C
描述谐振电路的又一个重要参数。
§11-6 RLC电路的谐振
I
2、谐振时的电流、电压
电流
 U
U
I  
Z R
U
I
R
当U一定时,谐振时阻抗
U
jL
R
U L
U C
U R
1
j C
U L
的模为最小,I最大。
电压
U

U
U R  RI  R   U
R
U


U L  j 0 LI  j 0 L   jQU
R
1 
1 U

UC   j
I  j
   jQU
 0C
 0C R
U R
U C
U L  U C  0
Z  0
I
§11-6 RLC电路的谐振
U L
电感上电压与电容上电压大小
相等,相位相反,相互完全抵消;
U
U R
U C
I
电阻上电压等于电源电压。
又称为电压谐振
3、谐振时功率、能量
有功功率
无功功率
1

UI

UmIm
P  UI cos
2
Q  UI sin   0
谐振时电感与电容之间进行着能量交换,与电
源之间无能量交换。
§11-6 RLC电路的谐振
W (0 )  WL  WC
WL、WC
1 2
WL  Li
2
1
1
2
 CU Cm  CQ 2U m2
2
2
1
2
WC  Cu C
2
设 i  I m sin  t
uC  UCm sin( t  90 )
 UCm cos t
1 2
WL  LI m sin 2  0t
2
1
WC  CU C2m cos 2  0t
2
1
L
U Cm 
Im 
Im
 0C
C
谐振时电感与电容中
所储存的能量总和是不随
时间变化的一个常量,正
说明了电路与电源无能量
交换。
Q值
Q
 0W ( 0 )
P
§11-6 RLC电路的谐振
(三)、频率特性
电路中电流、电压、阻抗(或导纳)的模和
阻抗角(导纳角)等随频率变化的特性,称为频
率特性,或称频率响应。 电流、电压随频率变化
的曲线,称为谐振曲线。
1、阻抗的频率特性
Z  R  jX  R 2  X 2 arctg
Z  R X
2
幅频特性
2
X
X
 Z arctg
R
R
1 2
 R  ( L 
)
C
2
§11-6 RLC电路的谐振
Z  R X
2
2
1 2
 R  ( L 
)
C
X
2
1
XC  
C
XL
+j
XL  L
0
X  X L  XC
X

Z

相频特性
 0
X
  arctg
R
 L
 arctg
R
1
C
0
0
+1
 
   
XC

2



2
2
  0   0

0


2
0

§11-6 RLC电路的谐振
I
2、电流的谐振曲线
R1
I
U
Z
图中R1<R2
R2
0
0
U R U L UC
,
,
频率特性
U U U
3、
U R U L UC

以  为横坐标,以 U , U , U 为纵坐标
0
通用曲线

§11-6 RLC电路的谐振

UR
以  为横坐标,以 为纵坐标
U
0
UR
UR
1
1

 

1 0 2
U
1 2 U
2
(

L


 )
R  ( L 
)
0
 0  0C 
C
通用曲线
1


R2
1
 L   
1   0    0 
 R  0  
2
UR
2
U
Q1  Q2  Q3
1
Q1
1
1

1  Q 2   
 


0
2
Q2
Q3
0
1

§11-6 RLC电路的谐振
通用曲线
UR

U
UR
1

1

1  Q   


U
Q1  Q2  Q3
1
2
2
Q1
0.707
由曲线可以看出:电路对偏离
Q2
谐振频率的输出有抑制能力。
Q3
这种性能称为选择性。
选择性的好坏
0
曲线的形状
通频带: 通用曲线上
UR
 0.707
U
1
1

2
Q值的大小
★
这一点对应的两个
频率点之间的宽度为通频带,规定了谐振电路允许
通过信号的频率范围。
§11-6 RLC电路的谐振
UR
通频带:
UR

U
2
1

Q 2     1
 
1

1
1  Q 2   


U
Q1  Q2  Q3
1
2
Q1
0.707
1

Q      1
 
Q2
Q3
 1  1  4Q 2
1 
2Q
1
  2  1 
Q
1  1  4Q 2
2 
2Q
0
 2  1 f 2  f1
 

0
f0
Q↑f↓通频带窄
1
1
2
下边带 上边带
1
f  f 0 
Q
Q ↓ f ↑通频带宽

§11-6 RLC电路的谐振
U R U L UC
3、U , U , U
UL

U
频率特性
 LU
R 2  ( L 
1 2
)
C
Q


1

U

1
 0  1  Q 2 (  ) 2

UC

U
0



1

1 2
)
C
Q
1
1  Q (  )
2


2
1 2
 0 R  R  ( L 
)
C
2
Q
U
 C  R 2  ( L 
0 R  L
1
 1  Q 2 (  ) 2


1

U

Q
1
2
 Q (1 
2
1

0 R
 C 0 R  R 2  ( L 
Q
1
 1  Q (  )

2

2
1 2
)
C
Q
 2  Q 2 ( 2  1) 2
2
)
2
§11-6 RLC电路的谐振
d(U C U )
0
d
d(U L U )
0
d
1
1  1  2 < 1
2Q
Q
1
UL /U UC /U
1
4Q 2
2
2Q
2 
>1
2Q 2  1
UL /U
Q
1
UC /U
出现峰值的条件为Q >0.707
0
1 1 2

当Q很大时, 两峰值向谐振频
率接近。
当Q<0.707时, UL/U和UC /U不
出现峰值。
UC
Q

U
 2  Q 2 ( 2  1) 2
UL

U
Q
1
2
 Q 2 (1 
1

2
)
2
§11-6 RLC电路的谐振
例:某收音机的输入回路如图,电感线圈的QL=
150,L=310H,(1)若要收听频率为540kHz的电
台节目,求C=?(2)另一节目的频率为600kHz,
1mV,540kHz的节目,也是1mV,求电路调谐于540
kHz时这两个信号在回路中的电流。
1
0 
LC
解:(1)
R
L
C

R

L

C
1
C 2
 0 L (2  540  103 ) 2  310  106
1

 280 pF
§11-6 RLC电路的谐振

R
(2) 由于电容器损耗小,电感线圈的Q

L
值可认为是谐振电路的Q值。

C
Q
0 L
R
R
0 L
Q
 7
540kHz时回路中的电流
U 103
I0 

 143
R
7
600kHz时回路中的电流
I
U
1 2
R  ( L 
)
C
2
103

 4.5
220.36
可见此电路
选择性很强
§11-6 RLC电路的谐振
二、GLC并联电路
1、定义:当端口电压相量
与电流相量同相时,称
电路发生了并联谐振。
Y G
0 
1
j L
电路的固有频率
U
IG
G
IL
j  L j C
-
Im[Y ]  0
1
f0 
2π LC
IC
1
谐振条件为
 j C
1
LC
+ I
IS
§11-6 RLC电路的谐振
2、GLC并联谐振的特征
1)谐振时的导纳、阻抗
+ I
IS
U
1
Y  G  j(0C 
) G
0 L
1
Z R
导纳最小,而阻抗最大。
G
2)谐振时的电压、电流

I
U (0 )  IS R  S
G

I ( )  U   j 1 I   jQI
L
0
S
S
j0 L
0 LG
I ( )  j CU  j  0C I  jQI
C
0
0
S
S
G
IG
G
IL
IC
1
j  L j C
谐振时的电压最大,
IL 与 IC 大小相等,
方向相反,之和为零。
又称为电流谐振。
§11-6 RLC电路的谐振
+ I
IS
U
IG
G
IL
IS
IC
IC
IG
U
1
j  L j C
IL
品质因数Q:电流 IL或 IC 与总电流 IS之比值。
 0C 1 C
I L IC
1
Q 



IS IS 0 LG
G
G L
§11-6 RLC电路的谐振
3)能量
谐振时电路呈阻性
Q0
电路与电源无能量交换,能量
+ I
IS
U
IG
G
IL
IC
1
j  L j C
-
交换只在电感与电容之间进行。
设 u  U m sin  t
iL  I Lm sin( t  90 )   I Lm cos t
1 2
1
LI Lm cos 2  0t
WC  CU m2 sin 2  0t
2
2
1
C

Um 
Um
0 L
L
WL 
I Lm
W (0 )  WL  WC
1
1 2
2
 LI Lm  LQ 2 I Sm
 LQ2 IS2
2
2
常数
§11-6 RLC电路的谐振
三、电感线圈与电容并联的电路
1、定义:在电感线圈与电容的并联电路中,在
正弦激励下,当端口电压相量与电流相量同相时,
称电路发生了并联谐振。
1
Y
 j C
R  j L
R
L
 2
j 2
 j C
2
2
R  ( L)
R  ( L)
1
CR 2
0 
1
LC
L
R
L
C
CR 2
f0 
1
2 LC
L
1
时,电路才会发生谐振。
IS
+
R
I1
U
I2
C
L
-
谐振条件为
Im[Y ]  0
§11-6 RLC电路的谐振
2、谐振的特征
IS
I1
R
U
1)谐振时的导纳、阻抗
R
CR 1
Y 2

2 
R  ( 0 L)
R0
L
+
L
R0 
CR
L
-
I2
C
谐振时导纳不是最小,则阻抗也不是最大。IS一定时,
端电压也不是最大。
2)谐振时的相量图
IS
1 I2
谐振时 I1 的无功分量 与 I2 大小相等,
方向相反,之和为零。
I1
L
R 
时,该电路的谐振特点与GLC电路接近。
C
U
§11-6 RLC电路的谐振
例:一电感线圈L=20mH,R=100,电容C= 200
pF,求(1)串联谐振频率;(2)并联时的谐振频率,
谐振时阻抗。
1
1

解:
 79.6 kHz
(1)f 0 
3
12
2π LC
2π 2010  20010
4
1
CR 2
1

10
(2)f 0 
 79.6 kHz
1

L
2π LC
2π LC
L
20 103
6
R0 


10

12
CR 200 10 100
L
20103
8
4
>>100 


10

10
12
C
20010
第十一章
小 结
一、阻抗和导纳是频率的函数
二、正弦网络函数
频率响应、低通、高通等电路分析。
三、正弦稳态电路的叠加
不同频率的激励下需做不同的相量模型,然
后利用叠加定理。平均功率在m=n时不能使用
叠加定理。当m≠n时可以利用叠加定理
四、串联谐振和并联谐振
谐振的条件及谐振的特点。

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