7.1 Externes Suchen

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7.1 Externes Suchen
• Bisherige Algorithmen: geeignet, wenn alle Daten im
Hauptspeicher.
• Große Datenmengen: oft auf externen
Speichermedien, z.B. Festplatte.
Zugriff: immer gleich auf einen ganzen Block (eine
Seite) von Daten, z.B: 4096 Bytes.
Effizienz: Zahl der Seitenzugriffe klein halten!
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Für externes Suchen: Variante von Suchbäumen mit:
Knoten = Seite
Vielwegsuchbäume!
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Definition (Vielweg-Suchbaum)
Der leere Baum ist ein Vielweg-Suchbaum mit der Schlüsselmenge
{}.
Seien T0, ..., Tn Vielweg-Suchbäume mit Schlüsseln aus einer
gemeinsamen Schlüsselmenge S, und sei k1,...,kn eine Folge von
Schlüsseln mit k1 < ...< kn. Dann ist die Folge
T0 k1 T1 k2 T2 k3 .... kn Tn
ein Vielweg-Suchbaum genau dann, wenn:
• für alle Schlüssel x aus T0 gilt: x < k1
• für i=1,...,n-1, für alle Schlüssel x in Ti gilt: ki < x < ki+1,
• für alle Schlüssel x aus Tn gilt: kn < x .
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B-Baum
Definition 7.1.2
Ein B-Baum der Ordnung m ist ein Vielweg-Suchbaum mit
folgenden Eigenschaften
• 1  #(Schlüssel in Wurzel)  2m
und
m  #(Schlüssel in Knoten)  2m
für alle anderen Knoten.
• Alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt sind gleichlang.
• Jeder innere Knoten mit s Schlüsseln hat genau s+1 Söhne.
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Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:
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Abschätzungen zu B-Bäumen
Ein minimal gefüllter B-Baum der Ordnung m und Höhe h:
• Knotenzahl im linken wie im rechten Teilbaum
1 + (m+1) + (m+1)2 + .... + (m+1)h-1
= ( (m+1)h – 1) / m.
Die Wurzel hat einen Schlüssel, alle anderen Knoten haben m
Schlüssel.
Insgesamt: Schlüsselzahl n in einem B-Baum der Höhe h:
n  2 (m+1)h – 1
Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln:
h  logm+1 ((n+1)/2) .
6
Beispiel
Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln:
h  logm+1 ((n+1)/2).
Beispiel: Bei
• Seitengröße: 1 KByte und
• jeder Eintrag nebst Zeiger: 8 Byte,
kann m=63 gewählt werden, und bei
• einer Datenmenge von n= 1000 000
folgt
h  log 64 500 000.5 < 4 und damit hmax = 3.
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7.1 Externes Suchen
Definition 7.1.2
Ein B-Baum der Ordnung m ist ein Vielweg-Suchbaum mit
folgenden Eigenschaften
• 1  #(Schlüssel in Wurzel)  2m
und
m  #(Schlüssel in Knoten)  2m
für alle anderen Knoten.
• Alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt sind gleichlang.
• Jeder innere Knoten mit s Schlüsseln hat genau s+1 Söhne.
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Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:
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Abschätzungen zu B-Bäumen
Ein minimal gefüllter B-Baum der Ordnung m und Höhe h:
• Knotenzahl im linken wie im rechten Teilbaum
1 + (m+1) + (m+1)2 + .... + (m+1)h-1
= ( (m+1)h – 1) / m.
Die Wurzel hat einen Schlüssel, alle anderen Knoten haben m
Schlüssel.
Insgesamt: Schlüsselzahl n in einem B-Baum der Höhe h:
n  2 (m+1)h – 1
Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln:
h  logm+1 ((n+1)/2) .
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Beispiel
Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln:
h  logm+1 ((n+1)/2).
Beispiel: Bei
• Seitengröße: 1 KByte und
• jeder Eintrag nebst Zeiger: 8 Byte,
kann m=63 gewählt werden, und bei
• einer Datenmenge von n= 1000 000
folgt
h  log 64 500 000.5 < 4 und damit hmax = 3.
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Algorithmen zum Einfügen und Löschen
von Schlüsseln in B-Bäumen
Algorithmus insert (root, x)
//füge Schlüssel x in den Baum mit Wurzelknoten root ein
suche nach x im Baum mit Wurzel root;
wenn x nicht gefunden
{ sei p Blatt, an dem die Suche endete;
füge x an der richtigen Position ein;
wenn p nun 2m+1 Schlüssel
{overflow(p)}
}
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Algorithmus Split (1)
Algorithmus overflow (p) =
split (p)
Algorithmus split (p)
Erster Fall: p hat einen Vater
q.
Zerlege den übervollen
Knoten. Der mittlere
Schlüssel wandert in den
Vater.
Anmerkung: das Splitting muss
evtl. bis zur Wurzel
wiederholt werden.
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Algorithmus Split (2)
Algorithmus split (p)
Zweiter Fall: p ist die
Wurzel.
Zerlege den übervollen
Knoten. Eröffne eine
neue Ebene nach
oben mit einer
neuen Wurzel mit
dem mittleren
Schlüssel.
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Algorithmus delete (root ,x)
//entferne Schlüssel x aus dem Baum mit Wurzel root
suche nach x im Baum mit Wurzel root;
wenn x gefunden
{ wenn x in einem inneren Knoten liegt
{ vertausche x mit dem nächstgrößeren
Schlüssel x' im Baum
// wenn x in einem inneren Knoten liegt, gibt
// es einen nächstgrößeren Schlüssel
// im Baum, und dieser liegt in einem Blatt
}
sei p das Blatt, das x enthält;
lösche x aus p;
wenn p nicht die wurzel ist
{ wenn p m-1 Schlüssel hat
{underflow (p)} } }
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Algorithmus underflow (p)
// behandle die Unterläufe des Knoten p
wenn p einen Nachbarknoten hat mit s>m Knoten
{ balance (p,p') }
anderenfalls
// da p nicht die Wurzel sein kann, muss p Nachbarn mit m
Schlüsseln haben
{ sei p' Nachbar mit m Schlüsseln; merge (p,p')}
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Algorithmus balance (p, p')
// balanciere Knoten p mit seinem Nachbarknoten p'
(s > m , r = (m+s)/2 -m )
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Algorithmus merge (p,p')
// verschmelze Knoten p mit seinem Nachbarknoten
Führe die folgende Operation durch:
Anschließend:
wenn ( q <> Wurzel)
und (q hat m-1
Schlüssel)
underflow (q)
anderenfalls (wenn (q=
Wurzel) und (q
leer)) {gib q frei und
lasse root auf p^
zeigen}
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Rekursion
Wenn es bei underflow zu merge kommt, muss
evtl. underflow eine Ebene höher wiederholt
werden.
Dies kann sich bis zur Wurzel fortsetzen.
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Beispiel:
B-Baum der
Ordnung 2
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Aufwand
Sei m die Ordnung des B-Baums,
n die Zahl der Schlüssel.
Aufwand für Suchen, Einfügen, Entfernen:
O(h) = O(logm+1 ((n+1)/2) )
= O(logm+1(n)).
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Anmerkung:
B-Bäume auch als interne Speicherstruktur zu
gebrauchen:
Besonders: B-Bäume der Ordnung 1
(dann nur 1 oder 2 Schlüssel pro Knoten –
keine aufwändige Suche innerhalb von Knoten).
Aufwand für Suchen, Einfügen, Löschen:
O(log n).
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Anmerkung: Speicherplatzausnutzung:
über 50%
Grund: die Bedingung:
1/2•k  #(Schlüssel in Knoten)  k
Für Knoten  Wurzel
(k=2m)
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Noch höhere Speicherplatzausnutzung möglich, z.B.
über 66% mit Bedingung:
2/3•k  #(Schlüssel in Knoten)  k
für alle Knoten mit Ausnahme der Wurzel und ihrer
Kinder.
Erreichbar durch 1) modifiziertes Balancieren auch
beim Einfügen und 2) split erst, wenn zwei Nachbarn
ganz voll.
Nachteil: Häufigere Reorganisation beim Einfügen und
Löschen notwendig.
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