Zusammenfassung

Report
VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen(Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen
(Divergenz) der Luft.
div v    v 
u
x
div v H    v H 
y

u
x
v
y


w
z
v
y
Bei Beschränkung auf die horizontalen
Windkomponenten wird der
Zusammenhang zwischen Form des
Strömungsfeldes und Divergenz
unmittelbar deutlich.
t=0
t=t1
<0
x
>0
<0
1
Eulersche und Lagrangesche
Kontinuitätsgleichung
d
Euler‘sche Zerlegung für ρ:

dt
d
dt
t
 
 v  

t




     v 

Euler‘sche Kont‘gleichung:
Umrechnung:


     v   v   

 v         v    v    
aus Produktreg el anw enden
auf    v 
Lagrange‘sche Kont‘gleichung
d
dt
 
   v
2
Sonderfall: Inkompressibles Medium
• Ein Medium ist inkompressibel, wenn man es weder zusammenpressen
noch auseinander ziehen kann (z.B. näherungsweise Wasser). Dabei kann
es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein
(veränderliche Dichte, z.B. eine Wasser-Öl-Mischung).
• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als
inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.
 keine Ausdehnung beim Aufsteigen,
 keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik bei Modellen).
• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der
Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen und langsamen
Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht.
• Es gilt dann offensichtlich:
beachte aber:
d
0 
 
 v  0
dt

t
 0 !!!
dicht
dünn
3
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

 
 
  v  rot v  



x

y

z
 u
 
v
 w
 

i



  x

u

y
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und
sind u und v vertikal konstant, dann gilt
offensichtlich:

j

y
v
v 
 w




z    
 y
k
 u w   



  
z

z
x
 


w
v
u
 



 x
 y 

.
  v u 
  

  v  k   k 

 x y 
Da die Luftströmung großskalig i.w. horizontal ist, hat ς
(Vorticity) eine große Bedeutung in der Meteorologie.
xi
eta
zeta
Offensichtlich ist die
Rotation aus der
Zeichenebene zum Beobachter gerichtet. Sie
wird als zyklonal
(Zyklone!) bezeichnet.
Die Rotation ist ein
x axialer Vektor.
 v u 
  k   v  


4y

x



Vorticitygleichung
   f
m it

a b so lu te V o rticity

re la tiv e V o rticity
f  2  sin 
C o rio lisp a ra m e te r

 
Pol
• f ist die Rotation um die lokale Vertikale, die durch
die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).
• Ist der Drehsinn der Relativbewegung so wie der
Drehsinn der Erde, nennt man diesen zyklonal;
zyklonal heißt also auf der NH gegen Uhrzeigersinn
auf der SH im Uhrzeigersinn.
• Für die absolute Vorticity lässt sich unter barotropen
Verhältnissen (keine Vertikaländerungen des
Horizontalwindes und keine horizontalen
Dichteänderungen) ableiten (barotrope
Vorticitygleichung):


= − ∙
   .
• Konvergenz erhöht die Vorticity und Divergenz
z  k 

Äquator
reduziert sie.
• Bei zusätzlicher Divergenzfreiheit
führt
eine Nordwärtsbewegung eines Tief auf der NH
zu seiner Abschwächung
und
Südwärtsbewegung zu
einer
Verstärkung.
5
Natürliches Koordinatensystem
• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des
starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystems ein
Koordinatensystem zu verwenden, das an die Strömung selbst
gebunden ist.
• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer
beliebigen dreidimensionalen Strömung, so lässt sich dieser als
ein Teil eines Kreisbogens auffassen.
• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch

drei Einheitsvektoren in Richtung
n0
- des Windrichtungsvektors ()
- des Vektors senkrecht dazu nach links in der
Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur Richtung zum
hypothetischen Kreismittelpunkt) ()
- der Normalen auf der Ebene des Kreises ().






v
v
s0    , s0  n0  k
v
v
  
s 0 , n 0 , k bilden ein Rechtssyst em

s0

n0

s0
6
Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)
y
y
+
+
a
b
x



V
n
Scherungsvorticity
x

V
Rs
Krümmungsvorticity
7
VI.1.3 Stromlinien und Trajektorien
• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines
Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt
bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft
parallel zu den Stromlinien.
• Trajektorien repräsentieren den Weg eines
Teilchens über eine Zeitspanne
8
Beispiel (1):
u  U  const
 2

, v  A cos 
( x  ct ) 
 


Stromlinie für t=0
0 .5
S2
y'
T ra je k to rie
S1
T ra je k to rie m it S ta rt b e i
0 .0
S3
y 0  0 , x 0  0 , t0  0
-0 .5
0 .0
0 .5
1 .0
1 .5
x'
2 .0
Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude als die Stromlinie, da c
und U in die gleiche Richtung gehen, und entsprechend auch eine
längere Wellenlänge.
In der Abbildung wurden x und y mit λ normiert (→x‘, y‘) und U=A
und c=0,3U gesetzt.
9
Reibungskraft (4)
Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in x-Richtung:
K R , x   xz ( z 0   z / 2 )  x  y   xz ( z 0   z / 2 )  x  y

fR , x 
  xz
z
K R ,x
m
 x  y  z ü b e r  xz ( z 0   z / 2 )   xz ( z 0 ) 
  xz
z
z / 2
V

  xz V
z m

1   xz
 z
R e ib u n g sb e sch le u n ig u n g n a ch x
Laminare und turbulente Strömungen (Einsetzen von τ)
fR , x 
1   xz
 z

1   u 


 z  z 
la m in a r (    )

1   u 
1  
u 







 z  z   z 
z 
 u
tu rb u le n t (    K ( z ))

1  
u 

K
(
z
)


 z 
z 
2

m it
,  


z
2

 
u 
K
(
z
)


z 
z 
d yn a m isch e , b zw . m o le k u la re V isk o sitä t (  1, 5 · 10
K
tu rb u le n te r D iffu sio n s k o e ffizie n t (
2
5
1 m / s)
2
m / s)
10
Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im
Inertialsystem

dv a
dt

1 
1 
   p  g N   


In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten Coriolis- und
Zentrifugalbeschleunigung nicht auf!
Ein brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne verankertes
Koordinatensystem, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels
ausrichtet.
11
Coriolisbeschleunigung
- formal (4) 
d v

dv a
I
II

d 
  
 



 r  2
v 
 
r

dt
dt
dt 


IV
V



III
I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche
II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)
III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s kürzer als
Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)
IV. Coriolisbeschleunigung
V. Zentrifugalbeschleunigung
12
Navier-Stokes-Gleichung (2)

dv

dt

v

  
  
1 
 ( v   )v    p  g k  2   v  f R

t
komponentenweise
du

u
dt
t
dv
v

dt
t
dw
w
dt

t
u
u
u
u
x
v
x
v
w
x
u
v
w
y
v
y
v
w
w
y
u
z
v
z
w
w
z



1 p
 fv  2  w cos   f R , x
 x
1 p
 fu
 y
1 p
 z
g
 fR,y
 2  u cos   f R , z
gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung
13
Skalenanalyse der horizontalen
Bewegungsgleichung
du
1 p
 
dt
 x
dv
1 p
 
dt
 y
U/T 1/ p/L
10-4
fv 
fu  
10-3
 fv  2  cos  w  fR , x
 fu
 fR , y
fU
fW
10-3
10-6
-
m/s2
1 p
 x
1 p
 y
...Coriolisbeschleunigung und
Druckgradientbeschleunigung
heben sich gegenseitig auf!
14
Geostrophischer Wind
fv 
1 p
,
 x
fu  
 v

, f u

 0

1 p
 y

0 u 
1

   
 f 0  v  fk  v h    h p

   


 1 0 

   
o d e r m itte ls D iv isio n d u rch - f u n d M u ltip lik a tio n v o n lin k s m it k 
0  v 
1
  

0  u  v h 
k  hp
  

f
 1  0 
  

T
p
3
p
geostrophischer Wind:
F P ,H
p
ug  
ρf  y
, v
g

p
vg

1  
vg 
k h p
ρf
1 p
2
p
1
p
F C ,H
p
1 p
ρf  x
H
15
Fallunterscheidung und Bezeichnungen
Je nach wirkenden Kräften ergeben sich unterschiedliche Bewegungssysteme, die im
folgenden diskutiert werden.
Druckgradient
CoriolisBeschl.
Reibung
Zentrifugalbeschleunigung
geostrophischer
Wind
synoptische Systeme
Gradientwind
zyklostrophischer
Wind
Staubteufel
Trägheitskreis
Grenzschichtstrahlstrom
antitriptischer
Wind

s:
0 
Äquator
1 p
 s
 f R,s
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
16
Gradientwind – gekrümmte
Annahmen
Zusätzliche Annahme
• Stationarität
Stromlinien
- keine Reibung
• keine Bahnbeschleunigung

s:
0 
1 p
 s
 f R,s
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
s:
0
T

n
1 p
n:


 s
2
vh
R

s


1 p
 n
 fv h

S trom linien || Isobaren


2
1  1 p vh 


vh 

f   n
R 
  fv

g


R 0
R0
p
p
n
0
2
vh 
1  1 p
vh 



f   n
R 
vh  v G  v g
H
 n  0
n
2

vh 
1  1 p
s v 



h
f   n
R 
v h  vG  v g
Im Hoch wirkt Coriolis entgegen der
Im Tief kompensieren Coriolis und
Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere
17
Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!
Druckgradient.
Diskussion - Besonderheit bei Hochs
Diskussion
vG  
fR
2
2

R p
 fR 

 
 n
 2 
• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet, da
Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.
• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte
auftreten (Staubteufel, Badewanne)
2
• Besonderheit des Hochs (R<0^∂p/∂n<0)
fR
R p
 fR 
vG 
 
 
(Wurzelargument muss positiv sein):
 2 
2
 n
2
f R 
R p
R p
 fR 
 
 
 
 
 2 
 n
 n
 2 


2

p
n
 
f
2
R
4
Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen.
Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.
18

s:
0 
1 p
 s
Zyklostrophischer
Wind
Zusätzliche Annahmen:
 f R,s
- keine Reibung
- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe,
kleiner Krümmungsradius, z.B. Staubteufel)
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
s :
0 

1 p
 s
2
n:
vh



R
1 p

 n
S tro m lin ie n || Iso b a re n
R und
p
n
e n tg e g e n g e se tzt e
V o rze ich e n
Iso b a re u n d S tro m lin ie
vH
n
n
T
T
FP
Z
FP
vH
a n tizyklo n a l R < 0
p / n > 0 , d .h . T ie f
zyklo n a l R > 0
p / n < 0 , d .h . T ie f
Z
Welche Luftdruckdifferenz
herrscht in einem typischen
Staubteufel (Außenrand zu
Zentrum) mit 1 m
Durchmesser und einer
Windgeschwindigkeit am
Rand von 20 m/s?
19

s:
Zusätzliche Annahmen
- keine Reibung
- kein Druckgradient
0 
Trägheitskreis (1)
1 p
 f R,s
 s
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
s :
0 
0
2
n:
S tro m lin ie
R
n
FC
vh
 fv h


Z
vH

v h   fR , a lso R  0 a n tizyklo n a l
vh
 f
R
a lso b re ite n a b h ä n g ig e W in ke lg e sch w in d ig k e it,
g le ich d e r d o p p e lte n "E rd ro ta tio n sg e sch w in d ig ke it"
0°
20°
43,3
60°
90°
f in 10-4s-1
0
0,5
1
1,26
1,46
Umlaufzeit, T=2π|R|/vh =2π/f, in Stunden
∞
35
17,5
13,8
12
|R| bei vh=10 m/s
∞
200
100
79
69
Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean
dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.
20
Trägheitskreis (2)Grenzschichtstrahlstrom
Der Trägheitskreis taucht
aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf:
- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch
Reibung an der Erdoberfläche. Stabilisiert sich die Luft durch Ausbleiben der Heizung
vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.
- Nehmen wir an, dass die Reibung plötzlich entfällt. Bei gegebenem Druck-gradient
wird dieser dann nicht durch die Coriolisbeschleunigung ausgeglichen – der Wind
beschleunigt zum Druckgefälle hin, wodurch die Coriolisbeschleunigung zunimmt.
- Der Wind beschleunigt, und zwar solange die Windrichtung eine Komponente zum
tiefen Druck hat, da die Resultierende von Coriolis- und Druckgradient-beschleunigung
eine Komponente in Richtung der Windrichtung hat.
- Ist der Wind parallel zu den Isobaren, so ist er stärker als der geostrophische Wind, er
ist supergeostrophisch.
- Die Coriolisbeschleunigung ist nun aber stärker als der Druckgradient, er dreht den
Windvektor zum hohen Druck. Die Resultierende „bremst“ dann den Wind. Dies geht
so lange bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder
eine Linksbeschleunigung wirkt….
Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur
im x,y,z-System zurück.
Bewegungsgleichung
21
Richtung der Reibung unter Einfluss der
Coriolisbeschleunigung
Annahmen:
1. stationäre horizontale Strömung
2. gradlinige Isobaren (keine Zentrifuglabeschleunigung)

1

 h p  fk  v h  f R  0

fp
 fk  v g
f R  fk   v h  v g

also f R  v h  v g  v ag
Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem
ageostrophischen Wind - also nicht parallel zum Windvektor.
T

vh

fR

fC
H
22
Bausteine der modernen
Wettervorhersage
1. Online-Datensammlung
2. Datenassimilation -> aktueller Zustand der Atmosphäre
 Verschmelzen von Beobachtungen und „alter“ Vorhersage
 Methoden
-
Nudging
3-dimensionale variationelle Datenassimilation
4-dimensionale variationelle Datenassimilation
Ensemble-basierte Datenassimilation
…
3. Vorhersagelauf mit Modell
-
deterministische Vorhersage
Ensemble-Vorhersage
4. Interpretation der Modellausgabe
– Model Output Statistics (MOS)
23
Höhenkarten
• sind Topographien von isobaren Flächen, angegeben in geopotentiellen
Metern (gpm) h=(g/g0)z
– absolute Topographien, z.B. 850 hPa, 700 hPa, 500 hPa, 300 hPa, … enthalten
• h850, h700, … als Isolinien (sog. Isohypsen) in gpd(eka)m
• Isothermen
• relevante Messwerteintragungen (Radiosonden,
Flugzeuge, Satellit) als reduziertes Stationsmodell
– relative Topographien, z.B. h300 – h700
• geben Informationen über die mittlere virtuelle
Temperatur in den Schichten (niedrige Höhendifferenz
= kalt, große Höhendifferenz = warm, siehe später)
24
Der thermische Wind
- Zusammenfassung -
v g :
1
 f
k H p
vg
z

g
Tv f
k   H Tv
v therm isch   v g 
g
Tv f
,
Der thermische Wind
(= Änderung des
geostrophischen Windes mit
der Höhe durch einen
horizontalen
Temperaturgradienten) „weht“
um ein Kaltluftgebiet, wie der
geostrophische Wind um das
Tief.
k   H Tv  z
,
T
ℎℎ
H
W
T
K
H
25
Barotrope und barokline Felder
•
barotrop:
Isoflächen von Druck und Temperatur sind parallel zueinander

v g
  pT v  0 
 0
 ln p
geostrophischer Wind mit der Höhe konstant
•
baroklin:
Isoflächen von Druck und Temperatur sind gegeneinander geneigt

 pT v  0


v g
 0
 ln p
geostrophischer Wind ändert sich mit der Höhe
26
Gegenüberstellung von thermischen
und dynamischen Druckgebilden
H
T
T
warm
H
warm kalt warm
Thermische Tiefs
und Hochs
kalt
Divergenz
kalt
Konvergenz
Dynamische Tiefs
und Hochs werden
durch StrömungsT
strukturen (Divergenzen und Konvergenzen) in der Höhe
angetrieben.
Die resultierende Strömung am Boden verändert dann aber
wieder auch die Strömung in der Höhe.
H
27
Allgemeine Vorticitygleichung (2)
d 
  f
dt  
 



      f    u   v     w  v   w  u 



     x  y 
x z y z 





         

 
Tiltingter m
Divergenzt erm
1   p  p 



2
   x  y  y  x 

   

Solenoidte rm

 
 w v w u 
1   p  p 
  2 

    h  v h  


dt
 x z y z    x y y x 
d
Absolute Vorticity η (bzw. relative Vorticity ζ, wenn sich die Breite
nur wenig ändert) wird also erzeugt durch:
1. Horizontale Konvergenz
2. Kombination von horizontaler Änderung des Vertikalwindes
mit einer vertikalen Änderung des Horizontalwindes
3. Schneiden von Isolinien von Druck und Temperatur (Sonderfall
barokliner Verhältnisse).
28
Barotrope
Rossby-Wellen
(3)
/ = / + /
= / +  / = 
Durch Breitenänderung initiierte
Drehbewegung der Strömung
N
<0
λ
S
=0
Initialstörung
>0
>0
=0
η=f
df/dt<0
df/dt>0
da
also
also
ς=0
=0
dς/dt>0
dς/dt<0
df/dt<0
also
dς/dt>0
29
Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung
(2)
• Rossby-Wellen wandern also mit einer Geschwindigkeit, die von der
Strömungsgeschwindigkeit u0 und der Wellenlänge λ abhängt.

c  u0 
, mit k Wellenzah l ( k  2π ,  Wellenlän ge)
k²
•
•
•
•
λ
d.h. die Wellen pflanzen sich mit Grundstromgeschwindigkeit u0 aus, aber
vermindert um β/k².
Je kürzer die Wellen, desto schneller wandern sie in Richtung des
Grundstroms (also nach Osten).
Bei 45° und λ > 7000 km Wellenlänge wandern Die Wellen bei einer
Grundstromgeschwindigkeit ū = 10 m/s nach Westen. Oft sind die langen
Wellen quasi-stationär.
Genauer: Alle Rossby-Wellen laufen bezogen auf ein mitdriftendes Partikel im
Grundstrom (also Grundstrom abziehen) nach Westen, und zwar je länger die
Welle, desto schneller (k~1/λ).
Wichtig: Rossby-Wellen erfordern neben der Erdrotation auch die
Kugelgestalt der Erde (β-Effekt)!
30
Barokline Rossby-Wellen - Schema (2)
d
 u v 
 


dt

x
y 

Aus dem
Divergenz/Konvergenzmuster ergibt sich
Aufsteigen auf der
Trogvorderseite und
Absteigen auf der
Trogrückseite.
(aus Roedel, 1994)
• Da die Geschwindigkeiten in der Höhe höher sind als darunter in
Bodennähe, überkompensieren die „Vergenzen“ in der Höhe die
„Vergenzen“ in Bodennähe.
• Daraus folgen Druckfall (Tief) auf der Trogvorderseite und
Druckanstieg (Hoch) auf der Trogrückseite.
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