点到直线的距离

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点 到 直 线 的 距 离
X
点到直线的距离
P
y
l
P(x0,y0)
Q
O
x
l:Ax+By+C=0
C
B
C
B

x

y

 x 0  y0 

0
0
A A
C
A
B
B

, 
 
B A
B A
B
B





A B
A B


P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,倾斜角设为
y
y P
P
l l
1
1
Q
Q
1= 
1= -
M 
M

x
x
O
O
过P作PM⊥x轴交l于M,构造直角△PQM
锐角1与倾斜角有何关系?
|PQ|=|PMcos 1 |
如果l的倾斜角是钝角呢?
cos 1 =|cos  |
怎样用|PM|表示|PQ|?
|PQ|=|PMcos  |
y
P
已知P(x0,y0),设M(x1,y1)
∵PM∥Oy,∴x1=x0
将M(x0,y1)代入l的方程得
Ax0  C
y1  
x
B
l
1
Q
M

O
Ax0  By0  C
Ax0  C

 PM  y0  y1  y0 
B
B
又  cos 1  cos 
1
1  tg 
 PQ  PM cos 
2
1

2
A
1 2
B

Ax0  By0  C
A B
2
2
B
A B
2
2
y
P(x0,y0)
x
O
l:Ax+By+C=0
d
Ax0  By0  C
A B
2
2
1.此公式的作用是求点到直线的距离;
2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的;
3.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立;
4.如果A=0或B=0,一般不用此公式;
5.用此公式时直线要先化成一般式。
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0;
②3x=2的距离。
解: ①根据点到直线的距离公式,得
d
y
2   1  1  2  10
2 1
2
2
2 5
②如图,直线3x=2平行于y轴,
P(-1,2)
O
2
5
 d   ( 1) 
3
3
x 用公式验证,结果怎样?
l:3x=2
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
y
两平行线间的
l1:2x-7y+8=0
距离处处相等
l2: 2x-7y-6=0
x
O
P(3,0)
在l2上任取一点,例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
 d
23  70  8
2  ( 7 )
2
2
14 14 53


53
53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
l1
y
P
l2
1
O
Q
M
x
任意两条平行直线都
可以写成如下形式:
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
|PQ|=|PM·cos 1|
 PM 
B
A B
2
2
|PM|是l1与l2在y轴上截距之差的绝对值
C 2  C1
C1  C 2 
|B|
 PQ  



2
2
2
2
B  B
A B
A B
练习 1.求坐标原点到下列直线的距离:
(1) 3x+2y-26=0;
(2) x=y
2.求下列点到直线的距离:
(1) A(-2,3), 3x+4y+3=0
(2) B(1,0),
3 x+y - 3 =0
(3) A(1,-2), 4x+3y=0
3.求下列两条平行线的距离:
(1) 2x+3y-8=0 , 2x+3y+18=0
(2) 3x+4y=10 , 3x+4y-5=0
(3) 2x+3y-8=0 , 4x+6y+36=0
4.完成下列解题过程:
⑴ P在x轴上,P到直线l1: x- 3 y +7=0与直线
l2: 12x-5y+40=0的距离相等,求P点坐标。
解:设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等,列式为
x  3 0  7
12x  5  0  40
(
)=(
)
2
2
2
2
12  ( 5)
1  ( 3 )
171
解得:( x  1 或 x  
)
37
171
,0) )
所以P点坐标为:( (1,0) 或 ( 
37
⑵.用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点
到两腰的距离之和等于一腰上的高。
证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈(  a, a)
y
B(0,b) 可求得lAB:( bx  ay  ab  0)
lCB:( bx  ay  ab  0)
bx  ab
F
|PE|=(
)
2
2
E
a b
bx  ab
x
|PF|=(
)
C(-a,0) O P A(a,0)
2
2
A到BC的距离h=(
a b
2ab
a b
2
2
)
因为|PE|+|PF|=h,所以原命题得证。
点到直线的距离
d
Ax0  By0  C
A B
2
2
1.此公式的作用是求点到直线的距离;
2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的;
3.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立;
4.如果A=0或B=0,一般不用此公式;
5.用此公式时直线要先化成一般式。
要求:
1.掌握点到直线的距离公式的推导过程;
2.能用点到直线的距离公式进行计算;
3.能求有关平行线间的距离。
探索与思考:
如果已知点到直线的距离及直线的
有关特征,怎样求直线的方程。
思考题:
直线l在两坐标轴上的截距相等,点P(4,3)
到l的距离为3 2 ,求直线l的方程。

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