PersamaanDiferensial

Report
Sebelum kegiatan pembelajaran
dimulai, marilah kita bersama-sama
membaca “BISMILLAH”
PRESENTASI
PERKENALAN
PENILAIAN
MATERI PERS DIFERENSIAL
Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir)
NANDANG
JL.GUNUNG CIREMAI
BLOK 16, NO. 10
TLP. (0234)275530
HP. 08122170975
e-mail: [email protected]
www.nandangfkip.blogspot.com
www.fkipunwir.com
KOMPONEN PENILAIAN




KEHADIRAN (KHD)
TUGAS (TGS)
UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)
UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)
NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/100
85 <= NA <=100 (A)
NA = NILAI AKHIR
MATERI PERS DIFERENSIAL
 DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL
 PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER
 PERS DIFERENSIAL EKSAK
 FAKTOR INTEGRASI
 PERS DIFERENSIAL LINIER
 PERS DIFERENSIAL HOMOGEN
 PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN
Definisi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan yang
mengandung satu atau
beberapa turunan dari
suatu fungsi yang tidak
diketahui dinamakan
persamaan diferensial.
ORDE DAN DEGREE PD
1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat
tertinggi turunan yang muncul
pada PD tersebut.
2. Degree (derajat) PD yang dapat
ditulis sebagai polinomial dalam
turunan adalah derajat turunan
tingkat tertinggi yang muncul
pada PD tersebut.
Beberapa Contoh PD
dy
 x5
dx
d2y
dy
3
 2y  0
2
dx
dx
y' ' '  2( y' ' )  y'  cos x
2
( y' ' )  ( y' )  3 y  x
2
3
2
SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG
Selesaikan PD berikut!
dy
 x5
dx
Penyelesaian:
1 2
y  x  5x  C
2
(fungsi kuadrat)
home
PERSAMAAN DIFERENSIAL
DENGAN KOEFISIEN LINIER
PD dgn Koefisien Linier
Bentuk umum:
(ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*)
Jika c = r = 0, maka (*) menjadi:
(ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH)
Jika px + qy = k(ax + by), maka (*)
menjadi:
(ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0,
PDVT
Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat
mengambil bentuk:
ax + by + c = 0
px + qy + r = 0
adalah persamaan dua garis yang
berpotongan, misal TP(x1, y1)
maka lakukan substitusi:
X = x – x1 atau x = X + x1,
dx = dX
Y = y – y1 atau y = Y + y1,
dy = dY
terhadap persamaan (*)
maka diperoleh:
(aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0,
PDH
selanjutnya lakukan substitusi Y = vX,
atau dY = vdX + Xdv.
Contoh soal
Selesaikan persamaan di bawah ini!
1. ( x  2 y  1)dx  (2 x  y  7)dy  0
home
PERSAMAAN DIFERENSIAL
EKSAK
Pers Diferensial Eksak
Bentuk umum:
P( x, y)dy  Q( x, y)dy  0
.........(*)
adalah PD eksak bila ruas kiri adalah
diferensial dari f(x,y) =0.
f
f
df ( x, y ) 
dx 
dy  0
x
y
f
P
x
f
Q
y
Maka :
P  f

y xy
2
Q  f

x xy
2
Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak,
maka berlaku P
Q

y
x
Jika
P Q

y x
maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.
Soal latihan
Selesaikan persamaan di bawah ini!
1.
(2 x  3 y)dx  (3x  4 y)dy  0
Penyelesaian:
P  2x  3 y
P
3
y
Q  3x  4 y
Q
3
x
(PDE)
f
f
P
 2x  3y , Q 
 3x  4 y
x
y
f ( x, y )   (2 x  3 y )dx  C ( y )
 x 2  3xy  C ( y )
f
 3x  C ' ( y )  3x  4 y
y
C ' ( y)  4 y
C ( y )   4 y dy 2 y  C1
2
f ( x, y)  x  3xy  2 y  C
2
2
x  3xy  2 y  C
2
2
home
FAKTOR
INTEGRASI
FAKTOR INTEGRASI
Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*)
Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat
dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers
(*) dengan suatu fungsi tertentu, misal
u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi.
Sehingga persamaan (*) menjadi:
uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**).
Persamaan (**) sudah menjadi PDE,
selajutnya selesaikan persamaan tersebut
sesuai dengan prosedur yang berlaku.
Bila diberikan suatu persamaan diferensial
yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat
dicari dengan beberapa kemungkinan berikut.
Faktor integrasi hanya
tergantung dari fungsi x,
maka fungsi x dapat
dicari dengan cara:
Maka faktor integrasi
dapat ditentukan
dengan cara:
 P Q 



 y x   f (x)
Q

e
f ( x ) dx
Faktor integrasi hanya
tergantung dari fungsi y,
maka fungsi y dapat
dicari dengan cara:
 P Q 
  
 y x   g ( y )
P
Maka faktor integrasi
dapat ditentukan
dengan cara:

e
g ( y ) dy
Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan
terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**)
sehingga terbentuk PDE.
Contoh soal
Selesaikan persamaan di bawah ini!
1. ( x  2 y)dx  xdy  0
Penyelesaian:
Karena P  2  Q  1 maka bukan PDE.
y
Selanjutnya
x
P Q

1
y
x
  f ( x)
Q
x
Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah:
e

1
dx
x
e
ln x
x
Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap
persamaan semula, maka diperoleh
persamaan baru (PDE), yaitu:
( x  2xy)dx  x dy  0
2
2
Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai
dengan prosedur yang benar, untuk
memperoleh:
x  3x y  C
3
2
Kemungkinan lain untuk mencari
faktor integrasi adalah:
Jika pers (*)
merupakan PDH dan
Px  Qy  0
maka faktor
integrasi adalah
1
Px  Qy
Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk
yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy),
maka faktor integrasi adalah:
1
Px  Qy
Soal latihan
2. ( x  y  x)dx  xydy  0
2
2
3. (2 xy e  2 xy  y )dx 
4
y
3
( x y e  x y  3x)dy  0
2
4
y
2
2
4. (2 x y  4 x y  2 xy  xy  2 y)dx 
3
2
2
2
(2 y  2 x y  2 x)dy  0
3
2
5. ( x  y )dx  xy dy  0
4
4
3
4
2. ( x  y  x)dx  xydy  0
2
2
A
3x  4x  12x y  0
B
4x  3x  12x y  0
C
3x  4 x  6 x y  0
D
4 x  3x  6 x y  0
4
3
4
3
3
4
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
Coba lagi
ya!
Terima kasih,
Anda berhasil
home
PERSAMAAN
DIFERENSIAL
LINIER (PDL)
Pers Diferensial Linier
Bentuk umum:
y  Py  Q
'
………(i)
P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.
Salah satu cara untuk menyelesaikan
persamaan (i) di atas adalah dengan
memisalkan y = uv, dimana u dan v
masing-masing fungsi dari x.
Karena y = uv, maka y’ = u’v + uv’ ……….(ii)
Dari pers (i) dan (ii) diperoleh:
u’v +uv’ + Puv = Q atau
v(u’ + Pu) + uv’ = Q, dalam hal ini ambil
syarat (u’ + Pu)=0 atau uv’ = Q ……(iii)
Karena (u’ + Pu)=0, maka
du
'
u
dx
  P atau
  P,
u
u
du
maka
  Pdx atau ln u    Pdx
u
 Pdx
  Pdx

ln u  ln e
atau u  e
.......(*)
Karena
uv  Q maka e 
 Pdx
'
Pdx

v  Q.e
'
.v  Q atau
'
Pdx

maka v   e .Qdx  C .....(**)
Berdasarkan pemisalan y = uv, maka
dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:
y  uv

ye
 Pdx
Pdx

[  e .Qdx  C ]
Soal latihan
Selesaikanlah persamaan di bawah ini!
1.
2.
dy
 2 y  cos 2 x
dx
dy
 y  sin x
dx
dy sin x  y
3.

dx
tan x
2
home
PERSAMAAN
DIFERENSIAL
HOMOGEN
Pers Diferensial Homogen
Bentuk umum PD orde 2:
y  a1 ( x) y  a2 ( x) y  k ( x)
''
'
PDH Orde 2:
y  a1 y  a2 y  0
''
'
Subtitusi:
……(*)
ye
rx
Karena
ye
maka
y  re
'
rx
rx
……(**)
y r e
''
2 rx
Dari (*) dan (**) diperoleh:
r e  a1 (re )  a 2 (e )  0
2 rx
rx
rx
 e (r  a1r  a 2 )  0
rx
2
 r  a1r  a 2  0
2
………(#)
Pers (#) dinamakan persamaan bantu.
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar real
berlainan dari persamaan bantu,
maka penyelesaian umum dari:
y  a1 y  a2 y  0
''
'
adalah:
y  C1e  C2 e
r1x
r2 x
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari
persamaan:
''
'
y  7 y  12y  0
Penyelesaian:
3 x
y  C1e  C2 e
r  7r  12  0
 (r  3)(r  4)  0
 r1  3, r2  -4
2
4 x
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar
kembar dari persamaan bantu, maka
penyelesaian umum dari:
y  a1 y  a2 y  0
''
'
adalah:
y  C1e  C2 xe
rx
rx
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari
persamaan:
''
'
y  6y  9y  0
r  6r  9  0
Penyelesaian:
2
 (r  3)(r  3)  0
 (r  3)  0
2
 r1  r2  3
y  C1e  C2 xe
3x
3x
Jika persamaan bantu memiliki akarakar bilangan kompleks, a + bi dan
a – bi, maka penyelesaian umum dari:
y  a1 y  a2 y  0
''
'
adalah:
y  C1e
( a  bi ) x
 C2 e
( a bi ) x
 e (C1e  C 2 e
ax
bix
bix
)
y  e (C1 cosbx  C1i sin bx 
ax
C 2 cosbx  C 2 i sin bx)
y  e (C1  C 2 ) cosbx  (C1  C 2 )i sin bx
ax
y  e ( A cosbx  B sin bx)
ax
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari
persamaan:
y  4 y  13y  0
''
'
Penyelesaian:
r  4r  13  0
 r1  2  3i, r2  2  3i
2
y  Ae cos3x  Be sin 3x
2x
2x
Soal latihan
2
d y
1.
 4y  0
2
dx
2
d y
dy
2.

4

5
y

0
2
dx
dx
3
2
d y
d y
dy
3.
3 2 3  y  0
3
dx
dx
dx
3
2
d y
d y
dy
4.
3 2 9
 13y  0
3
dx
dx
dx
4
d y
5.
0
4
dx
5
3
d y
d y
dy
6.

8

16

0
5
3
dx
dx
dx
home
PERSAMAAN
DIFERENSIAL
TIDAK HOMOGEN
Pers Dif Tidak Homogen
Bentuk umum PD orde 2:
y  a1 ( x) y  a2 ( x) y  k ( x)
''
'
PDTH Orde 2 dengan koefisien konstan:
y  a1 y  a2 y  k ( x)  0
''
'
Penyelesaian?
……(*)
Penyelesaian PDTH dapat
direduksi atas tiga tahapan
1.Tentukan penyelesaian umum dari
persamaan homogen y’’ + a1y’ + a2y = 0,
ditulis yh.
2.Tentukan suatu penyelesaian khusus
terhadap persamaan tak homogen (*),
ditulis yk.
3.Tambahkan kedua penyelesaian di atas,
yh + yk = y (dinamakan penyelesaian
umum dari (*)).
Metode
Metode ?
Metode
Koefisien
Tak Tentu
Metode
Variasi
Parameter
Metode Koefisien Tak Tentu
Perhatikan persamaan:
y  a1 y  a2 y  k ( x)
''
'
Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling
mungkin adalah berupa polinom,
eksponen, sinus dan kosinus.
Untuk menentukan yk didasarkan pada
penyelesaian coba-coba.
Fungsi coba2
Penyelesaian Coba-coba
k(x) ?
1
2
3
1
Coba yk
?
2
3
k ( x)  bm x  ...  b1 x  b0
m
yk  Bm x  ...  B1 x  B0
m
k ( x)  be
rx
yk  Be
rx
k ( x)  b cos x  c sin x
yk  B cos x  C sin x
Catatan:
Jika salah satu fungsi dari k(x)
adalah suatu penyelesaian
terhadap penyelesaian
homogen, maka kalikan
penyelesaian coba-coba
dengan x (atau mungkin
dengan suatu pangkat dari x
yang lebih tinggi).
Metode Variasi Parameter
Jika u1(x) dan u2(x) adalah penyelesaian
yang saling bebas terhadap persamaan
homogen, maka terdapat suatu
penyelesaian khusus terhadap persamaan
tak homogen yang berbentuk:
y k  v1 ( x)u1 ( x)  v 2 ( x)u 2 ( x)
de n gan
v1 ( x)u1 ( x)  v 2 ( x)u 2 ( x)  0
'
'
v1 ( x)u1 ( x)  v 2 ( x)u 2 ( x)  k ( x)
'
'
'
'
Contoh soal
Tentukan penyelesaian umum dari
persamaan berikut dengan menggunakan
metode variasi paramater!
y  y  sec x
''
Penyelesaian:
Untuk menentukan penyelesaian
homogen, cari dulu persamaan bantu
sehingga diperoleh:
yh  C1 cos x  C2 sin x
Untuk menentukan penyelesaian khusus,
maka tulis yk sebagai berikut:
y k  v1 ( x) cos x  v 2 ( x) sin x
de ngan
v1 ( x) cos x  v 2 ( x) sin x  0
'
'
 v1 ( x) sin x  v 2 ( x) cos x  sec x
'
'
…(*)
Dengan menyelesaikan sistem (*),
maka diperoleh:
v1 ( x)   tan x
'
dan v2 ( x)  1
'
Sehingga:
v1 ( x)    tan xdx  ln cos x
v2 ( x)   dx  x
yk  (ln cos x ) cos x  x sin x
Berdasarkan uraian di atas, maka
penyelesaian umum yang harus
dicari adalah:
y  (ln cos x ) cos x  x sin x 
C1 cos x  C 2 sin x
Soal latihan
1. y  9 y  x
''
2. y  2 y  y  x  x
''
'
2
3. y  5 y  6 y  e
''
'
x
4. y  4 y  3 y  e
''
'
3 x
5. y  y  2 y  2 sin x
''
'
6. y  9 y  sin x  e
''
2x
home
Untuk mengakhiri pembelajaran ini,
marilah kita bersama-sama
membaca “ALHAMDULILLAH”

similar documents