2.数学建模案例

Report
北方城镇的窗户玻璃是双层的,
这样做主要是为室内保温目的,试用
数学建模的方法给出双层玻璃能减
少热量损失的定量分析结果。
模型准备:
热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果:
厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由
温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与
T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d
k为热传导系数.(物理定律)
模型假设:(根据上定律做假设)
1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射);
2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单
位面积的热量是常数);
3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
Ta
符号说明:
d:玻璃厚度
T1:室内温度
T2:室外温度
L
Ta:靠近内层玻璃温度
Tb:靠近外层玻璃的温度
L:玻璃之间的距离
k1:玻璃热传导系数
k2:空气热传导系数
T2
T1
Tb
模型构成:
由热量守恒定律:
过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
T1  Ta
Ta  Tb
Tb  T2
Q  k1
 k2
 k1
d
L
d
消去不方便测量的T1 ,T2,有
T1  T2
k1
L
Q  k1
, sh
,h 
d ( s  2)
k2
d
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层
玻璃,有热传导:
T1  T2
Q  k1
,
2d
而
Q
2

,  Q  Q
Q s  2
说明双层玻璃比单层玻璃保温!
为得定量结果,考虑的s的值,查资料有
常用玻璃:k1=410-3

810-3 (焦耳/厘米.秒.度)
静止的干燥空气:k2=2.510
-4
(焦耳/厘米.秒.度)
若取最保守的估计,有
k1
Q
1
L

 16,

,h 
k2
Q  8h  1
d
显然Q/Q'可以反映双层玻璃在减少热量损失
的功效,它是h的函数.
从图形考察它的取值情况.
此函数无极小值,从图中可知:
当h从0变大时,Q/Q'迅速下降,但
h超过4后下降变慢.
h不易选择过大,以免浪费材料!
模型应用:
通常取h4,有Q/Q'3%,此
时双层玻璃比单层玻璃避免
热量损失达97%
将一块积木作为基础,在
它上面叠放其他积木,问上
下积木之间的“向右前伸”
可以达到多少?
模型准备
这个问题涉计到重心的概念
关于重心的结果有:
设xoy平面上有n个质点,它们的坐标分别为
(x1 ,y1),(x2 ,y2),…, (xn ,yn),对应的质量分别为
m1,m2,…, mn, 则该质点系的重心坐标满足关系式
n
n
 mi  x i
x  i 1
n
 mi
i 1
 mi  y i
,
y  i 1
n
 mi
i 1
模型假设
•
所有积木的长度和重量均为一个单位
•
参与叠放的积木有足够多
•
每块积木的密度都是均匀的,密度系数相同
•
最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上
模型构成
1.考虑两块积木的叠放情况
对只有两块积木的叠放,注
意到,此时使叠放后的积木
平衡主要取决于上面的积木,
而下面的积木只起到支撑作
用。假设在叠放平衡的前提
下,上面的积木超过下面积
木右端的最大前伸距离为x。
x
上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积
木的长度是1),于是,上面的积木可以向右前伸的最大距离
为1/2。
模型构成
2.考虑n块积木的叠放情况
为有利于问题的讨论,我们把前两块搭好
的积木看作一个整体且不再移动它们之间的
相对位置,而把增加的积木插入在最底下的
积木下方。于是,我们的问题又归结为两块
积木的叠放问题,不过,这次是质量不同的
两块积木叠放问题。
这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题:即假
设已经叠放好n(n>1)块积木后,再加一块积木的怎样
叠放问题。
下面我们就n+1(n>1)块积木的叠放问题来讨论。
假设增加的一块积木插入最底层积木后,我们选择这
底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系(见图)。
考虑上面的n块积木的重心关系。
把上面的n块积木分成两部分
1. 从最高层开始的前n-1块积木,
记它们的水平重心为x1,总质
量为n-1;
2. 与最底层积木相连的第n块积
木, 记它的水平重心为x2,质
量为1.
1.把上面的n块积木看作一个整体,记它的重心水平坐标
x 。n块积木的质量
为n。在平衡的前提下,上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的
右端,即有 x  0 ;
2.假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,在保证平衡的前提
下,从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z,即有 x1=z,而第
n块积木的水平重心在距第n块积木左端的处,于是在图的坐标系下,有第n
1
块积木的水平重心坐标为 x2  z  。由重心的关系,有
2
1
z  (n  1)  ( z  )
x1  (n  1)  x2 1
2 0
x

n
n
1
1
z  (n  1)  ( z  )  0  z 
2
2n
设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为
dn+1,则有
1 1
1
d n1     
2 4
2n
说明随着积木数量的无限增加,最顶层的积木可以前伸到
无限远的地方。
本题给出的启示
当问题涉及到较多对象时,对考虑的进行合理的分类进行
解决,往往会使问题变得清晰。此外,一些看似不可能的事
情其实并非不可能。
某学院的最初人数见下表,此系设20个学生代表席位
系名
甲
乙
丙
总数
学生数
100
60
40
200
学生人数比例 100/200
60/200
40/200
席位分配
6
4
10
20
按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位
若出现学生转系情况:
系名
甲
乙
丙
总数
学生数
103
63
34
200
学生人数比例
103/200
63/200
按比例分配席位 10.3
6.3
按惯例席位分配
6
10
34/200
3.4
20
4
20
惯例席位分配方法为:
比例分配出现小数时,先按整数分配席位,余下
席位按小数的大小依次分配之.
为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加
一席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席
位,有
系名
甲
乙
丙
总数
学生数
103
63
34
200
学生人数比例
103/200
63/200
34/200
按比例分配席位 10.815
6.615
3.57
21
按惯例席位分配
7
3
21
11
出现增加一席后,丙系却少一席的情况,说明按惯例
分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配席位方法.
模型构成
讨论由两个单位公平分配席位的情况,设
单位
人数
席位数
单位A
p1
n1
单位B
p2
n2
要公平,应该
p1 p2

n1 n2
每席代表人数
p1/n1
p2/n2
p1 p2

n1 n2
但
一般不成立!
若p1/n1 > p2/n2 则单位A 吃亏(对单位A不公平 )
若p1/n1 < p2/n2 则单位B 吃亏(对单位B不公平 )
用
p1 p2
p

n1 n2
来衡量分配不公平程度
但此公式有不足之处(绝对数的特点),如:
n1 =n2
=10 , p1 =120
, p2=100,
n1 =n2
=10 , p1 =1020 , p2=1000,
p=2
p=2
采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式:
p1
p2
若

, 定义
n1
n2
p1
p
 2
n1
n2
rA ( n1 , n2 ) 
p2
n2
为对A的相对不公平值
p2
p1
若

, 定义
n2
n1
p2
p
 1
n2
n1
rB ( n1 , n2 ) 
p1
n1
为对B的相对不公平值
对某方的不公平值越小,对某方越有利,因此可以用
使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平.
确定分配方案:(使用不公平值的大小来确定分配方案)
假设单位A和单位B的人数分别为p1和p2 ,对应的席位为
n1和 n2 ,再分配一个席位时,有
1.当该席位分配给单位A时有对单位B的不公平值为
p2
p
 1
n
n1  1 (n1  1) p 2
rB (n1  1, n 2 )  2

1
p1
p1  n 2
n1  1
2.当该席位分配给单位B 时有对单位A的不公平值为
p1
p2

n n 2  1 (n 2  1) p1
r A (n1 , n 2  1)  1

1
p2
p 2  n1
n2  1
究竟这个新席位应该分给哪一方,用这两个新的不公平值
来决定。为得出一个便于使用的分配公式,我们从分配的结
果来寻找这个新的分配公式。
若rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1),用不公平值的公式应该有增
加的一席应给A,对应的不等式为
p22
p12

n2 ( n2 1)
n1 ( n1 1)
故可以令
pi2
Qi 
ni ( ni 1)
于是增加的席位分配由Qi的最小值决定。
上面的讨论说明Qk大的一方应该得到新增的一个席
位。这说明我们可由Qk的大小决定新席位的分配。
上面的分配方式可以推广到两个以上单位的情况,此
时有新的席位应该给所有Qk的最大者对应的单位,称用Qk
的最大值决定席位分配的方法为Q值法。
对多个单位(m个单位)的席位分配Q值法可以描述为:
1.先计算每个单位的Q值:
Qk , k=1,2,…,m
2.求出其中最大的Q值Qi(若有多个最大值任选其中一个
即可);
3.将席位分配给最大Q值Qi对应的第i个单位。
这种分配方法很容易编程处理。
模型求解
先按应分配的整数部分分配,余下的部分按Q值分配。
本问题的整数名额共分配了19席,具体为
甲
10.815
n1=10
乙
6.615
n2=6
丙
3.570
n3=3
第20席的分配由Q值决定
1032
632
Q1 
 96.4 Q2 
 94.5
10  11
67
应该将席位分给甲
342
Q3 
 96.3
3 4
第21席的分配由Q值决定为
1032
632
Q1 
 80.4 Q2 
 94.5
11 12
67
应该将席位分给丙
342
Q3 
 96.3
3 4
最后的席位分配为:
甲
11席;乙
6席;丙
4席
注:若一开始就用Q值分配,以n1=n2=n3=1逐次增加
一席,也可以得到同样的结果。该方法可以推广到
一般情况。
甲有玉米若干千克,乙有山羊
若干只。因为各自的需要,甲
乙想交换彼此的东西,问怎样
做才能完成交换活动?
模型准备
实物交换问题在个人之间或国家之间的
各类贸易中经常遇到。通常,交换的结果
取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。
由于偏爱程度是一个模糊概念,较难给出
一个确切的定量关系,此时,可以采用图
形法建模的方式来描述双方如何交换物品
才能完成交换活动。
模型假设
• 交换不涉及其他因素,只与交换双方
对所交换物品的偏爱程度有关
• 交换按等价交换原则进行
模型构成
设交换前甲有玉米为X千克,乙有山羊Y只,交换后甲
有玉米为x千克、山羊y只。
在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只,于是可
以用一个平面坐标中的二维点坐标(x, y)描述一种交换
方案,而这些坐标点满足
0 x X, 0 y Y
即交换只在这个平面矩形区域内发生。
衡量偏爱程度的无差别曲线概念
无差别曲线表示为 f (x, y) = c,c称为在点(x, y)的满意度。
无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线
或可以看成二元函数f (x, y)的等高线,虽然f (x, y)
没有具体的表达式,但我们可以讨论这族无差别
曲线的特点。
无差别的曲f(x, y) = c的特点:
1.无差别曲线是彼此不相交的;
2.无差别取曲线是单调递减的;
3.满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方
4.无差别曲线是下凸的。
实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生,要借
助交换的原则。由假设2,交换按等价交换的原则。
设玉米的价格为每千克p元,山羊的价格为每只q元,则
有交换前甲方拥有玉米的价值为pX, 乙方拥有山羊的价值为
qY。若交换前甲乙拥有物品的价值相同,即
pX=qY
则交换发生后,甲方拥有玉米和山羊的价值为
px+qy
乙方拥有玉米和山羊的价值为
p(X-x)+q(Y-y)
按按等价交换的原则应该有
px+qy=p(X-x)+q(Y-y)
用关系pX=qY,可得实际交换的点(x,y)满足关系式:
x/X+y/Y = 1
此曲线是一条直线,在交换路径坐标系中画出此曲
线就得到实际交换发生的点。
y
(X,Y)
x
建模实例:
椅子能在不平的地面上放稳吗?
模型假设
1、椅子的四条腿一样长,椅子脚与地面接触可以视为一个点,四脚
连线是正方形(对椅子的假设)
2、地面高度是连续变化的,沿任何方向都不出现间断。(对地面的
假设)
3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地,(对椅子和地面之间关
系的假设)
模型构成:
用变量表示椅子的位置,引如平面图形及坐标系如图
图中A、B、C、D为椅子的四只脚,坐标系原点选为椅子中
心,坐标轴选为其对角线,由假设2,椅子的移动位置可以由
正方形沿坐标原点旋转的角度来唯一表示。
设某椅子脚与地面的垂直距离为y,显然它是的函数,记为
y=f(),由于正方形的中心对称性,可以用对应的两个脚与地
面的距离之和来表示这两个脚与地面的距离关系
记 f()为A、C的距离之和
g()为B、D的距离之和
B
B
A
显然f()0、 g()0,都是的连续
函数(假设2),由假设3,对任意

C
A
的,有f()、 g()至少有一个为0,
不妨设当=0时,f()>0、 g()=0
故此本问题归为证明如下数学命题:
D
C
D
数学命题:(本问题的数学模型)
已知f()、 g()都是的非负连续函数,对任
意的,有f() g()=0,且f(0) >0、 g(0)=0 ,
则有存在0,使f(0)= g(0)=0
模型求解
证明:将椅子旋转90°,对角线AC与BD互换,由
f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0
令h()=f() - g(), 则有h(0) >0和h(/2) <0
由h()的连续性及连续函数的中值定理,必存在
一个0(0, /2),使h(0)=0,即则有存在0,
使f(0)= g(0)=0。

similar documents