met210-111-VI-3-1_2D-Windsysteme_Grundgleichung

Report
Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
Clemens Simmer
VI Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
2
VI.3 Zweidimensionale Windsysteme
1.
2.
3.
Vereinfachte 2-dimensionale Bewegungsgleichung
Gradientwind (Druck-Coriolis-Zentrifugal)
Weitere 2-dimensionale Windsysteme
–
–
–
Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal)
Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal)
Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)
3
VI.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im
natürlichen Koordinatensystem
 Das natürliche Koordinatensystem führt zu einer einfacheren Form der
horizontalen Bewegungsgleichung, welche die Zentrifugalbeschleunigung durch gekrümmte Stromlinien explizit enthält.
Ausgangspunkt ist die horizontale Bewegungsgleichung, allerdings
approximiert durch das Weglassen des 2Ωwcosφ-Terms in der ersten
Komponente, also.
dv h
1

   h p  fk  v h  f R , h
vh
dt


n

s

natürliches
Koordinatensystem
dv h

dt
d
dt

 vh s 
dv h
dt
s  vh
ds
dt
ds
 v

  h  v   vh  s  vh
dt
 t



4
zur Erinnerung: Navier-Stokes-Gleichung

dv

dt

v
t

  
  
1 
 ( v   )v    p  g k  2   v  f R

oder komponentenweise
du

dt
dv

dt
dw

dt
u
t
v
t
w
t
u
u
u
x
v
x
u
u
v
v
w
x
w
y
v
y
v
w
w
y
u

z
v

z
w
w
z

1 p
 x
1 p
 y
1 p
 z
 2   v sin   w cos    f R , x


2  u sin 
2  u cos 
 fR,y
-g
 f R ,z
nur Horizontalkomponenten und Vernachlässigung von wcosφ
du

dt
dv
dt

u
t
v
t
u
u
u
x
v
x
v
v
u
y
v
y
w
w
u
z
v
z


1 p
 x
1 p
 y
 2  v sin   f R , x
fv
 2  u sin   f R , y
fu
5
Horizontale Bewegungsgleichung im
natürlichen Koordinatensystem
ds
 v

  h  v   vh  s  vh
dt
dt
 t


vh

n

dv h






  vs   s  
 v
 
v
  h  vn   
    n   h
t

  v k   






k





s
natürliches
Koordinatensystem

vh  vs
vn  vk  0


ds

s

v
h

dt



vh 
ds
 vh
 vs

 s  vh

t

s
dt


2
dv h
… mit
Produktregel
dt

vh
t
s 
lokalzeitl.
Ä nderung

vh
2 s  v ds
h
s
dt
A dvektion
B etragsänderung der
W indgeschw indigkeit
entlang der W indrichtung
R ichtungsänderung

ds
?
dt
6
Horizontale Bewegungsgleichung im
natürlichen Koordinatensystem

ds

s
:



 s  s (t 0   t )  s (t 0 )

s



a)       s    s    , da s  1
s


 
 
b)  s  s   s || n
s s
dt
Δφ

s (t 0   t )

s (t 0 )

dv h
dt

v h 

s 
t
dv h
dt

vh
t

s
v
c)     l
2
h
s

v
2 s  v
h
2
h
s
2 s
B eschleunigung
entlang der B ahn
R

ds

s
 



n

dt
 t a ), b )  t

ds
1 l  v h 

n 
n

t
R
c R 
dt
v
2
h

n

n
R>0
R<0
vh
n
R
B eschleunigung
quer zur B ahn
(Zentrifugalbeschl.)
Achtung: Der Krümmungsradius
R ist wieder so definiert, dass er
bei zyklonaler Krümmung
positiv ist!
7
Horizontale Bewegungsgleichung im
natürlichen Koordinatensystem

dv h
dt

2
2


v h  
v
h
2

s 
s 
n
t
s
R

dv h
dt
vh
2
h
v 

n
R
Weitere Annahmen:
a) Stationarität →∂vh/∂t=0
b) keine Änderung des Betrags der
Windgeschwindigkeit entlang der Bahn
→∂(vh2/2)/∂s=0
2

vh
n 
R
1

 h p  fk  v h  f R , h
1 p
Reibung und Druckgradient
kompensieren sich parallel
der Strömung.

s:
Zentrifugal-, Druckgradient
und Coriolisbeschleunigung
kompensieren sich
senkrecht zur Strömung
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
0 
 s
Annahme: Keine Reibung senkrecht
zur Strömung (sinnvoll da vn=0)
 f R,s
 f R ,n
8
Fallunterscheidung und Bezeichnungen
Je nach wirkenden Kräften ergeben sich unterschiedliche
Bewegungssysteme, die im folgenden diskutiert werden.
Druckgradient
CoriolisBeschl.
Reibung
Zentrifugalbeschleunigung
geostrophischer
Wind
synoptische Systeme
Gradientwind
zyklostrophischer
Wind
Staubteufel
Trägheitskreis
Grenzschichtstrahlstrom
antitriptischer
Wind

s:
0 
Äquator
1 p
 s
 f R,s
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
9
Übungen zu VI.3.1
1. Welche Vorteile hat die Einführung des natürlichen
Koordinatensystems und welche Approximationen wurden bei der
Ableitung der Bewegungsgleichung in diesem Zusammenhang
gemacht?
2. Schätze die Größenordnung der Terme der Bewegungsgleichung im
natürlichen Koordinatensystem für Tiefdruckgebiete ab
(Skalenanalyse).
10

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