MT2

Report
İSKENDERİYE OKULU: EUCLİD VE ARCHİMEDES
• EUCLID (MÖ 330-275)
•
İskenderiye okulunun en tanınmış matematikçisi
Euclid’dir. “Elementler” adlı eseri tarih boyunca
matematikçiler için en önemli kaynak kitap
olmuştur.
•
İlk defa modern anlamda matematiğe ispat
kavramını tanıtan Euclid’in Elementler kitabı
matematikteki bir çok konuyu içermektedir. Euclid
kitabında kendine özgü problemler çözmüştür. Bu
çözümlerin matematiğin bazı branşlarının
doğmasına da neden olması bakımından ne kadar
önemli olduğunu belirtmeliyiz
.
•
1.
2.
3.
4.
5.
Elementler’in büyük bir bölümü Euclid’in kendi adıyla
anılan geometrisi ile ilgili önermelerinden
oluşmaktadır. Özdeşlik, simetri, Pythagoras bağıntısı,
bazı cebirsel özellikler, geometrik şekillerin alanları,
daireler, çokgenler, benzerlik ve aritmetik bu kitapta
yer alan diğer matematik konularıdır. Euclid bazı
kabullerden hareketle nokta, doğru çember gibi
matematiksel nesneleri tanımlayarak aşağıdaki 5
önermenin mümkün olabileceğini göstermiştir:
Herhangi bir noktadan bir başka noktaya bir ve yalnız
bir doğru çizilir.
Bir doğrudan sonlu bir doğru parçası elde edilir.
Merkez ve yarıçap yardımı ile bir çember ifade
edilebilir.
Bütün dik açılar birbirine eşittir.
Eğer iki doğruyu kesen bir doğru parçasının bu doğrular
üzerinde oluşturduğu iç açılar iki dik açıdan küçük ise
doğrular bu açıların yönünde bir noktada kesişirler.
• Matematik dünyasında derin tartışmalara
neden olan, kuşkular uyandıran ve Euclid-dışı
geometrilerin oluşmasına neden olan 5.
Önermeyi Euclid şu şekilde açıklamaktadır:
a + b < 1800
a
b
•
Euclid’in çözdüğü ikinci derece denklemlerin tipleri farklı idi.
Aslında Euclid m boyunda bir AB doğru parçasının belli
koşullarda bölünmesi problemini ve parçaların bir birlerine
oranını inceledi. Bunu Elementlerde yer alan bir problemle
örnekleyelim: AB doğru parçasının boyu n olsun, AB doğru
parçasını x ve n-x olarak öyle bölünüz ki n(n - x) = x2 olsun.
Euclid bu problemi oluşturduğu kareler yardımıyla şu şekilde
çözmüştür.
x
F
G
H
A
n-x
B
n
E
D
K
C
Euclid ilk önce ABCD karesini oluşturuyor. AD nin orta noktası E yi B köşesine birleştiriyor ve ABE dik
üçgenini elde ediyor. Sonra AF = EB olacak şekilde DA yi uzatarak F noktasını belirliyor ve FGAH karesini elde
ediyor. Sırasıyla;
1.AE = ED (E orta nokta)
2.A(FGKD) = (EF + ED)(EF - ED) = EF2-ED2
3.A(FGKD) + ED2 =EF2
4.AB2 + AE2 = EB2 = EF2
...............
(EF =EB ve ABE üçgeni dik).
5. AB2 + AE2 = A(FGKD) + AE2 ................................(ED = AE)
6. AB2 + AE2 = A(FGKD) + AE2
7. A(FGKD) = AB2
8. A(FGKD) den A(AHKD) çıkarırsak AH2 kalacak
9.A(ABCD) = A(FGKD) ise A(FGKD) den A(AHKD) çıkarsak (ABCK)dikdörtgeni elde e edilir.
10. A(HBCK) = AH2olur.
HBCK = AH2 sonucu n(n - x) = x2 olduğunu gösterir. Böylece Euclid AH veya x in sayısal değerinden denklemi
çıkarabiliyordu.
n( 5  1)
x
Aslında Euclid bizim kolayca bulduğumuz
eşitliğini bulmadan çok verilen AB doğru parçasını
2
istenilen oranda bölmeyi cebirsel formüle dönüştürmüştü.
• Euclid’e ait bir algoritma
olarak bilinen iki sayının en
büyük ortak bölenini
bulmanın cebirsel ifadesini
bugünkü gösterimlerle
aşağıdaki gibi yazabiliriz:
• a = q1b + r1
• b = q2 r1 + r2
• r 1 = q3 r 2 + r 3
• ... .... ....
• rn-1 = qn+1rn + 0
•
ERATOTHENES (MÖ 300–250)
Dik çubuk
Güneş ışını
7,50
İskenderiye
Güneş ışını
800km
21 Haziran
Öğle vakti
7,50
Asvan
Dik çubuk
ARCHIMEDES (MÖ 287-212)
“Bana yeterli büyüklükte bir sırık bulun Dünyayı yerinden oynatayım”
• Gençlik yıllarını İskenderiye’de geçiren
Archimedes’in Euclid’i gördüğü ve
onunla çalıştığı söylenir.
• O esas Sicilya’da meşhur olmuştur.
Sicilya kralı Heiron’un himayesinde
matematik ve fizik (mekanik) üzerine
bir çok çalışmalar yapmıştır.
• Sicilya’nın Romalılara karşı
savunulması sırasında yaptığı mekanik
savunma düzenekleri ile Romalıları çok
zor durumda bırakmıştır.
r
• Yaptığı buluşlarla sanki
adayı tek başına güçlü Roma
donanması karşısında
savunuyordu. Ada uzun süre
Roma kuşatmasında kalınca
açlığa yenik düştü. Romalı
askerlerin şehri talanı
sırasında, Archimedes küller
üzerinde bir geometri
problemi ile uğraşıyordu.
2r
• Archimedes
önermelerini arka
arkaya sıralayarak
ispatlamış, bir
problemin çözümünü
veya yeni bir önermenin
ispatını bir önce
ispatladığı
önermelerden
yararlanarak yapmıştır.
Archimedes den sonra Yunan matematikçisi olarak bahsetmemiz gereken bazı
matematikçiler de şunlardır: Heron, Appolonius, Ptolemy ve Diophantus.
HERON, Archimedes gibi mekanik ile geometriyi birleştirerek çalışmalar yaptı. Bugün bile
jeodezinin kullandığı bazı ölçme tekniklerini Heron bulmuştur. Heron’ a ait olduğu
söylenen formül:
APPOLONIUS, Euclid’in düzlem geometride yaptığını o konikler üzerinde yaptı.
Bugün ,
x2 y2
 2 1 ,
2
a
b
2
ax2  bxy  cyve
1
eşitlikler
ax  by
1
olarak ifade ettiğimiz koniklerin özelliklerini açıklamıştır.
Geometri de Euclid ne ise PTOLEMY de astronomi de öyledir. Ptolemy astronomiyi bir
sistem haline getirdi. Almagest olarak bilinen çalışmasını Müslümanlar Rönesans
Avrupa’sına tanıtmışlardır. Ptolemy’nin bu çalışması Kepler ve Copernic için ilham kaynağı
olmuştur.
• DIOPHANTUS cebirde yaptığı çalışmalar ile
meşhur olmuştur. Diophantus’un yunan
tarihinde meşhur olan bir problemi vardır:
Onun çocukluğu hayatının 1/6 sı kadar
sürmüş, hayatının 1/12’sinde sakal bırakmış,
1/7 sinde evli kalmış ve oğlu evlendikten 5 yıl
sonra doğmuş, ½’sinde oğlu ile yaşamış ve
Diophantus oğlundan 4 yıl sonra ölmüş.
Diophantus kaç yıl yaşamış?
• Bazı kübik denklemlerin çözümünü yapan, bayağı kesirleri ve ikinci
dereceden denklemlerin köklerini bulan Diophantus 4 = 4x + 20 gibi
eşitliğin çözümünün olmadığını söylemesi bize garip gelebilir. Ancak
zamanında negatif sayıların varlığının büyüklük olarak tanımlanmadığı
düşünülürse Diophantus’un yaşadığı zorluğun normal olduğu anlaşılır.
• Onun çalışmaları yüzyıllar sonra Fermat’ya ilham kaynağı olacaktır.
Diophantus x4 + y4 + z4 = u2 şeklindeki eşitliğin çözümünü veren 4 tam sayı
bulmasına rağmen x4 + y4 = u4 tipindeki denklemlerin çözümlerini
araştırmamıştır. Bu durumu Fermat yüzyıllar sonra hayretle karşılıyor ve
yoksa bu tip eşitliklerin çözümlerinin olmadığını bildiği için mi Diophantus
bunların üzerinde çalışmadı diye düşünmeye başlıyor.
• Fermat buradan hareketle bugün bildiğimiz meşhur önermesini elindeki
Diophantus’un orijinal kitabının kenarına “ xn + yn = un n > 2 için çözümün
olmadığını göstermek oldukça kolaydır. Ancak, bu sayfada yer kalmadığı
için ispatını buraya yazamıyorum” şeklinde not düşüyor. Bu önerme
günümüzde bile matematikçilerin yoğun ilgisini çekmeye devam
etmektedir. Bilindiği gibi Wiles tarafından 1993 yılında matematikçilerin
kabul ettiği bir ispatı yapılmıştır.
BRAHMAGUPTA (Ms 598-665)
• Brahmagupta 7. yüzyılda yaşamış bir Hint
matematikçisidir. Geometri ve cebir alanında yaptığı
ilginç çalışmalarla Batıda çok iyi tanınan bu
matematikçi x2 + px - q = 0 tipindeki ikinci derece
p  4q  p
x
denklemin bir kökünü veren
formülünü
2
kullanmıştır. Bazı dörtgenlerin alanları için doğru olan
formülünü kullanmıştır. Bu formülde a, b, c, d
dörtgenin kenar uzunlukları ve dir. İki açısı verilen
herhangi bir dörtgenin genel formülü
Brahmagupta’nın formülünden yararlanarak
aşağıdaki gibi geliştirilmiştir.
2
• Heron’un formülünün bir özel durumu olarak bazı
dörtgenlerin alanları için doğru olan
s  as  bs  cs  d 
• formülünü kullanmıştır. Bu formülde a, b, c, d
1
s  (a  b dir.
c  dİki
)
dörtgenin kenar uzunlukları ve
2
açısı verilen herhangi bir dörtgenin genel formülü
Brahmagupta’nın formülünden yararlanarak
aşağıdaki gibi geliştirilmiştir.
d
 
A  (s - a)(s - b)(s - c) - abc cos
2
2

a
c

b
•
2
Brahmagupta Brahma-sphuta-siddhanta adlı eserinde
x 2  92y türden
1
denklemlerin çözümünden söz etmektedir.
Ona göre bir kişinin matematikçi olabilmesi
için bu denklemi bir yılda çözebilmesi gerekmektedir.
x 2  92y 2  1
Denklemini x =10, y = 1 ve k = 8 olarak düzenleyelim.
102  92.12  8 Eşitlik
sağlanmaktadır. Brahmagupta böylece birinci üçlüyü (10, 1,8) olarak bulur..
Brahmagupta’nın genel üçlüsünde bunları yerine yazarsak;
(10x10+92x1x1,10x1+1x10,8x8) =(192,20,64). Bulduğumuz son üçlüyü denklemde
yerine yazarsak
1922 –92(202)=82 elde edilir.eşitliğin her iki tarafını 8’in karesine bölersek
242-92(5/2)2 =1 olur. Bu durumda (24,5/2,1) şeklinde yeni bir üçlü daha elde
etmiş oluruz. Bunu genel üçlüde kullanırsak
5
5
5
olur.
(24 2  92( ) 2 ,24( )  ( )=24(1151,120,1)
,1)
2
2
2
Böylece, denkleminin çözümünü veren yeni kökler
x =1151 ve y =120 olarak bulunur. Aynı işlemlere devam edildiğinde çözümü
sağlayan yeni üçlüler bulunacaktır. Brahmagupta’nın tipinden denklemler için
yaptığı bu genelleme Brahmagupta’nın dehasını ve titiz çalışmasını yansıttığı
gibi aynı zamanda Hint matematiğinin 7. yüzyıldaki durumu ile ilgili de bir fikir
vermektedir.

similar documents