***** 1

Report
Паралельність
прямих і площин у
просторі
Геометрія, 10 клас
Профільний рівень
Основні теми розділу
•
•
•
•
Мимобіжні та паралельні прямі
Паралельність прямої та площини
Паралельність площин
Паралельне проектування та його
властивості
• Зображення фігур у стереометрії
• Методи побудови перерізів
многогранників
Мета: вчити
• Формулювати означення паралельних і мимобіжних
прямих, паралельних прямої і площини, паралельних
площин; ознаки паралельності прямих і площин;
властивості паралельності прямих і площин.
• Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і
площин, площин у просторі.
• Знаходити і зображати паралельні прямі, прямі та
площини на малюнках, будувати зображення фігур.
• Розв’язувати задачі на застосування властивостей та
ознак паралельності прямих і площин.
• Застосовувати метод слідів та проекцій для побудови
перерізів многогранників.
Взаємне розміщення двох
прямих у просторі
Дві прямі
Лежать в одній
площині
перетинаються
паралельні
Не лежать в одній
площині
мимобіжні
перетинаються
паралельні
мимобіжні
Пряма і площина у просторі
можуть:
а
α
а
α
Мати одну
спільну точку
Безліч
спільних точок
а
α
Пряма
паралельна
до площини
Паралельність прямої і площини
• Пряма і площина називаються паралельними, якщо
вони не мають спільних точок.
• Якщо пряма а паралельна площині α, пишуть а||α.
а
α
Ознака паралельності прямої і площини
• Якщо пряма , яка не лежить у площині, паралельна
якій-небудь прямій площини, то вона паралельна і
самій площині.
β
b
a
α
b||α
Властивість паралельності прямої і площини
Якщо площина проходить через пряму, паралельну
другій площині , і перетинає цю площину, то пряма їх
перетину паралельна даній прямій.
β
b
α
a
a||b
Мають одну
спільну точку
Не мають
спільної точки


β

β
β
Перетинаються
по прямій
Мають безліч
спільних
точок
 ║β
Накладання
площин  і β
1. a
C

a
b
a1
C1
b1
β

a ∩ b=C
2. a1
b1

∩ ∩
b
∩ ∩
Якщо дві прямі, що перетинаються і лежать в
одній площині, паралельні двом прямим
другої площини, то такі площини паралельні.
β
β
a1 ∩ b1 = C1
3. a ║ а1
b ║ b1
=>  ║ β
Властивості паралельних площин
1.Площина, яка проходить
через прямі АВ і СD,
перетинає паралельні площини
по паралельних прямих.
AC||BD
A
α
C
2.Відрізки паралельних прямих,
що відтинаються паралельними
площинами, рівні.
AB=CD
β
B
D
Метод паралельного проектування
Нехай дано довільну
площину , довільну
пряму l і точку А.
Тоді образ точки А
можна
побудувати
провівши
через
неї
пряму,
паралельну
прямій l і яка перетинає
площину
.
Точкою
перетину
прямої
з
площиною є точка А1.
l
А
L
А1

Зображення
Оригінал
B
K
C
A
M
D
B1
A1
K1
M1
C1
D1
B
C
D
А
Оригінал
B1
C1
D1
А1
Зображення
Оригінал
B
K
Зображення
C
B1
A
M
D
A1
K1
M1
AB : BC = 1 : 2
A1B1 : B1C1 = 1 : 2
CD : AD = 1 : 2
C1D1 : A1B1 = 1 : 2
BK : KC = B1K1 : K1C1
AM : MD = A1M1 : M1D1
C1
D1
Тестове завдання
1. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Яке взаємне розташування
прямих МА і СD ?
А) Перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) паралельні або мимобіжні.
2. Пряма а паралельна площині
 , пряма b належить
площині
.
Яким може бути взаємне розміщення прямих а і b?
А) Паралельні; Б) перетинаються; В) мимобіжні; Г) мимобіжні або паралельні.
3.Точка М лежить поза площиною трикутника АВС. Точки К, Р, Е і D – середини
відрізків МА, АВ, МС і ВС відповідно. Яке взаємне розміщення прямих
КР і ЕD?
А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) мимобіжні або перетинаються.
4. Сторона АВ паралелограма ABCD належить площині  , а сторона СD не
належить цій площині. Яке взаємне розміщення прямої СD і площини ?
А) пряма СD перетинає площину  ; Б) пряма СD паралельна площині  ;
В) пряма СD лежить у площині  .
5. Пряма а паралельна площині

. Скільки площин, паралельних площині

можна провести через пряму а?
А) Одну; Б) дві; И) жодної; Г) безліч.
6. Як розташовані площини  і  , якщо пряма а перетинає площину 
і паралельна площині  ?
А) Паралельні; Б) перетинаються; В) збігаються; Г) визначити неможливо.
7. Точка М не належить жодній із паралельних площин  і  .
Скільки всього існує площин, які проходять через точку М і паралельні площинам
 і ?
А) Одна; Б) дві; В) жодної; Г) безліч.
8. Площини  і  паралельні. Пряма а перетинає площину  .
Як розташована пряма а відносно площини  ?
А) Паралельна площині; Б) лежить у площині; В) перетинає площину;
Г) визначити неможливо.
9. Основи трапеції паралельні площині  . Яке взаємне розміщення площини
трапеції і площини  ?
А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються; Г) визначити неможливо.
10. Площини
і 
паралельні. Площина
по прямій а , а з площиною


перетинається з площиною

- по прямій b. Яке взаємне розміщення прямих
а і b?
А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) визначити неможливо.
Відповіді до тесту
1В , 2Г , 3В , 4Б , 5А ,
6Б , 7А , 8В , 9А , 10В
Задача. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1
площиною, що проходить через середини ребер
АD і СD паралельно до ребра DD1.
В1
А1
N1
М1
С1
D1
ММ1 || DD1
NN1 || DD1
МM1N1N - шуканий
переріз
В
А
М
С
N
D
Задача. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що
проходить через середину ребра АС паралельно ребрам AB і DC.
D
MK || DC
K
F
MN || AB
NF || DC
MKFN – шуканий переріз
A
B
M
N
C
Методи побудови
перерізів
Метод слідів
Метод
внутрішньої
проекції
Комбінований
метод
Пряма, по якій січна площина перетинає
площину α, називається слідом січної площини в
площині α. Точка, в якій січна площина
перетинає пряму, -слід січної площини на цій
прямій.
Задача.
Побудуйте переріз куба
ABCDA1B1C1D1 площиною, що
проходить через точки K, P, T.
Якщо многогранником, переріз якого будується, є
піраміда, то використовується центральне
проектування на площину основи. Центром
проектування є вершина піраміди, в якій сходяться всі
бічні ребра.
Задача.
Побудуйте переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, яка
проходить через точки M, N, K.
S
P
F
N
M
C
B
E
O2
K
M1
R
A
N1
D
O1
Задача.
Побудуйте переріз призми ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить
через точки K, P, T.
Чотирикутник
A1B1C1D1
є
зображенням квадрата. Точка М –
середина
АВ,
AC
і
DM
перетинаються
у
точці
N.
Побудувати зображення ортоцентра
трикутника ANM .
B
C
B1
C1
O
M
N
M1
K1
К
N1
D A1
A
Оригінал
D1
Зображення
Дано куб АВСДА1В1С1Д1. Точки L, M, M1 – cередини
ребер АВ, АД, А1 Д1 відповідно. Яке взаємне розміщення
площин ДВ1Д1 і LMM1?
M1
(ДВ1Д1) || (LMM1)
MZ || DB як середня лінія ABD
MM1 || DD1 за ознакою паралельності площин
M
L
Задача для самостійного
розв’язування
Дано прямокутниий паралелепіпед ABCDA B C, D
1 1 1 1
у якого АВ= 70, ВС= 99 , AA1 = 126 .
Через вершину D1 зроблено переріз
паралелепіпеда, паралельний площині
A1BD . Знайдіть площу цього перерізу.

similar documents