(em (1))

Report
Electrical Engineering Mathematic
11-210-321 คณิตศาสตร์ วศิ วกรรมไฟฟ้า
พินิจ เนื่องภิรมย์
Complex Number
คอมเพล็กซ์ นัมเบอร์ หรือ จานวนเชิงซ้ อน คือ ตัวเลขทีป่ ระกอบไปด้วย
จานวนจริง (Real Number) และจานวนจินตภาพ (Imaginary Number) เพือ่
ใช้ เป็ นตัวช่ วยในการวิเคราะห์ ระบบต่ าง ๆ
X2  1 
X
 X
2
0
 -1

-1
Complex Number

จาก X
-1
จากค่ า X  - 1 เป็ นจานวนทีไ่ ม่ ใช่ จานวนจริง นักคณิตศาสตร์ จึงตั้ง
ชื่อว่ า จานวนจริงลบ หรือ จานวน จินตภาพ และใช้ สัญลักษณ์ i หรือ j แทนค่ า
- 1 ดังกล่ าว
ดังนัน้ j

-1
หรือ
i

-1
2

-1

-1
และ j
หรือ
i
2
Complex Number
รู ปแบบของจานวนเชิงซ้ อน
 a  jb
z
เมื่อ Z คือจานวนเชิงซ้ อน
a คือ จานวนจริง
jb คือ จานวนจินตภาพ
รู ปแบบของจานวนเชิงซ้ อนยังสามารถแยกออกเป็ น
# กรณี a และ b ไม่ เท่ ากับศูนย์
z
เรียกว่ าจานวนเชิงซ้ อน
 a  jb
Complex Number
รู ปแบบของจานวนเชิงซ้ อน
รู ปแบบของจานวนเชิงซ้ อนยังสามารถแยกออกเป็ น
# กรณี a เท่ ากับศูนย์ และ b ไม่ เท่ ากับศูนย์
z

jb
เรียกว่ าจานวนจินตภาพ
# กรณี a ไม่ เท่ ากับศูนย์ และ b เท่ ากับศูนย์
z
เรียกว่ าจานวนจริง

a
Complex Number
1.1 การบวกจานวนเชิงซ้ อน
ลักษณะการบวกกัน ของจานวนเชิงซ้ อน มีหลักการคือ ให้ นาส่ วนที่
เป็ นจานวนจริงมาบวกกัน และนาส่ วนทีเ่ ป็ นจานวนจินตภาพมาบวกกัน แล้ว
นาจานวนทั้งสองมาเขียนในรู ปของจานวนเชิงซ้ อน
ตัวอย่างที่ 1.1 จงหาผลลัพธ์ จากการบวกกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = 3 + j4 และ Z2 = 5 + j6
ตัวอย่างที่ 1.2 จงหาผลลัพธ์ จากการบวกกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = 90 + j100 และ Z2 = j20
Complex Number
1.2 การคูณจานวนเชิงซ้ อน
2
(a  jb)  (c  jd)  ac  jad  jbc  j bd
ตัวอย่างที่ 1.3 จงหาผลลัพธ์ จากการคูณกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = 3 + j4 และ Z2 = 5 + j6
ตัวอย่างที่ 1.4 จงหาผลลัพธ์ จากการบวกกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = 90 + j100 และ Z2 = j20
Complex Number
1.3 การลบจานวนเชิงซ้ อน
การลบจานวนเชิงซ้ อน ใช้ หลักการเดียวกันกับการบวกคือ นาจานวนจริง ลบ
กับจานวนจริง และจานวน จินตภาพลบกับจานวนจินตภาพ
ตัวอย่างที่ 1.5 จงหาผลลัพธ์ จากการลบกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = 3 + j4 และ Z2 = 5 + j6
Complex Number
1.4 การหารจานวนเชิงซ้ อน
สั งยุคของจานวนเชิงซ้ อน Conjugate) ถ้ า Z = a + jb เป็ นจานวนเชิงซ้ อนใด ๆ
สั งยุคของ Z จะเขียนได้ ดงั นี้ Z  a  jb
กรณีทสี่ ั งยุคคูณกันจะได้
(a  jb)  (a  jb)  a 2  b 2
การหารจานวนเชิงซ้ อน
ให้ นาสั งยุคของส่ วนของจานวนเชิงซ้ อน มาคูณทั้งเศษและส่ วน
a  jb
a  jb c  jd


c  jd
c  jd c  jd
Complex Number
ตัวอย่างที่ 1.6 จงหาผลลัพธ์ จากการหารกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = 3 + j4 และ Z2 = 5 + j6
ตัวอย่างที่ 1.7 จงหาผลลัพธ์ จากการหารกันของจานวนเชิงซ้ อน Z1 และ Z2
เมือ่ Z1 = j4 + 9 และ Z2 = 5 - j6
Complex Number
1.5 เฟสเซอร์ ในรู ปคอมเพลกซ์ นัมเบอร์
การเขียนเฟสเซอร์ แทนปริมาณ กระแส หรือแรงดัน ของไฟสลับ ในวงจรไฟฟ้า
จะสามารถแยกพิจารณาออกเป็ น สองลักษณะ คือ
1) การเขียนเฟสเซอร์ ในรู ปของโพล่ าร์ ฟอร์ ม (Polar Form)
2) การเขียนเฟสเซอร์ ในรู ปของเรคแทงกิวล่ าร์ ฟอร์ ม (Rectangular Form)
Complex Number
1.6 เฟสเซอร์ ในรู ปแบบของโพล่ าร์ ฟอร์ ม
+y
2
V
r
1


0
-x
+x
3
4
-y
I2
V
2 I1
1


I
3
I3
Complex Number
1.7 เฟสเซอร์ ในรู ปแบบของเรคแทงกิวล่ าร์ ฟอร์ ม
jy
2
1
0
-x
3
jb
+x
jb
a
4
-j y
-a
-jb
a
-jb
Complex Number
1.8 การเปลีย่ นเฟสเซอร์
2.4.1 การเปลีย่ นโพล่าร์ ฟอร์ มเป็ นเรคแทงกิวล่ าฟอร์ ม
r
r

jb

a
Complex Number
1.8 การเปลีย่ นเฟสเซอร์
2.4.1 การเปลีย่ นโพล่าร์ ฟอร์ มเป็ นเรคแทงกิวล่ าฟอร์ ม
ขาม
b
Sin 

ฉาก
r
r
r

jb

a
ชิ ด
a
Cos 

ฉาก
r
ขาม b
Tan 

ชิด
a
Complex Number
1.8 การเปลีย่ นเฟสเซอร์
2.4.1 การเปลีย่ นโพล่าร์ ฟอร์ มเป็ นเรคแทงกิวล่ าฟอร์ ม
b
Sin 
r
a
Cos 
r
then
a = r cos
and
b = r sin 
Complex Number
1.8 การเปลีย่ นเฟสเซอร์
2.4.2 การเปลีย่ นเรคแทงกิวล่ าฟอร์ มเป็ นโพล่ าร์ ฟอร์ ม
r
jb

a
r

Complex Number
1.8 การเปลีย่ นเฟสเซอร์
2.4.2 การเปลีย่ นเรคแทงกิวล่ าฟอร์ มเป็ นโพล่ าร์ ฟอร์ ม
r
r
jb

r

2
r
2
 a b

2
2
a b
a
ขาม
b
tan 

ชิด
a
  tan
1
b
a
2
Complex Number
1.9 เลขคณิตของเฟสเซอร์
Complex Number
1.9 เลขคณิตของเฟสเซอร์
Complex Number
1.9 เลขคณิตของเฟสเซอร์
Complex Number
1.9 เลขคณิตของเฟสเซอร์
Complex Number
1.9 เลขคณิตของเฟสเซอร์
Complex Number
1.9 เลขคณิตของเฟสเซอร์
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
1) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) ( j2)( j5)
b) (j2)(-j5)
c) (-j2)(-j5)
2) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
d) (j2)(j5)(-j2)
2
e) (-j2) ( j5)
2
a) (15  j15)  (10  j10) d) (1 + j5) + j6
b) (1 + j2) + (2 - j1)
e) (3  j4)  (2  j2)
c) (8 - j4) + (-2 - j2)
f) (2 - j3) + (3 + j4)
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
3) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
o
o
a) (520 )  (610 )
o
d) (1520 )  (519 )
b) (7  10o )  (850o )
o
o
e) (3920 o )  (6  15o )
o
c) (12  8 )  (20  20 )
4) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) (1035o )  (815o )
o
o
f) (5020 )  (10080 )
d) (35 40o ) - (1510o )
b) (2530o )  (5  50o )
e) (3837 o ) - (20  25o )
c) (11  48o )  (22  15o )
f) (9060 o ) - (14490o )
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
5) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) (15  j20)  (15  j20)
b) (-10 - j20)  (15 - j30)
6) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
c) (- j50)  (10 + j50)
d) (10  j10)  (15  j15)
a) ( j15)  ( j25)
c) ( -j29)  (-j32)
b) ( j11)  (-j12)
d) (  j12)  (  j45)  ( j35)
e) (- j20) 2  (j30) 2
f) ( j10) 2  (-j9) 2  (  j18) 2
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
7) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) (16  j11)  (26  j26)
c) (21 - j36) + (-16 - j26)
e) (41 + j41) - (30 - j21)
b) (25+ j45) + (45 - j11)
d) (31  j81)  (  j101)
f) (21  j26)  (21  j26)
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
8) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
o
o
o
o
a) (17 20 ) (9 15 )
b) (31 66 ) (6 21 )
c) (36 26o ) (11 146o )
d) (56 31o ) (12 9o )
o
o
e) (39 36 ) (21 26 )
o
o
f) (121 31 ) (301 61 )
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
9) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) (19 36o ) + (11 13o )
b) (36 86o ) + (17 51o )
c) (21 23o ) + (14 15o )
d) (46 66o ) + (19 19o )
o
o
e) (51 36 ) - (36 26 )
o
o
f) (61 46 ) - (176 91 )
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
10) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) (20  j21 )(26  j26)
c) (6  j11 )(  11  j21 )
e) (51  j51 )(41  j21 )
b) (11  j31)(21  j11)
d) (11  j11 )(  j16 )
f) (31  j41 )(16  j21 )
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
11) จงหาผลลัพธ์ ต่อไปนี้
a) (5  j5 )  (11  j11)
c) (16  j31 )  (  21  j41 )
e) (41  j41 )  (21  j11 )
b) (26  j26)  (21  j11)
d) (16  j76 )  (  j16 )
f) (46  j61 )  (16  j19 )
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
12) จงเปลีย่ นปริมาณ ให้ อยู่ในรู ปของเรคแทงกิวล่ าร์ ฟอร์ ม
a) 100 36
o
b) 360 86
o
c) 210 43o
d) 26 76 o
e) 81 36o
f) 51 46 o
Complex Number
1.10 แบบฝึ กหัด
13) จงเปลีย่ นปริมาณ ให้ อยู่ในรู ปของโพล่ าร์ ฟอร์ ม
a) 54  j55
c) 16  j31
e) 60 - j360
b) 126  j56
d) 26  j76
f) 200  j56

similar documents