Chapter Nineteen

Report
Microeconomia I
Prof. Edson Domingues
Minimização de Custos
Referências
VARIAN, H. Microeconomia: princípios
básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2003 (6a
edição americana).
Capítulo 20
Minimização de custos
 Uma
firma minimiza os custos se
produz qualquer nível de produção
y  0 ao menor custo total.
 c(y) denota o menor custo total
possível de produzir y unidades.
 c(y) é a função de custo total.
Minimização de custos
 Quando
a empresa observa um
conjunto de preços de insumos
w = (w1,w2,…,wn) a função de custo
total pode ser escrita como
c(w1,…,wn,y).
O problema da minimização de custos
 Considere
uma firma que usa dois
insumos e produz 1 produto.
 A função de produção é
y = f(x1,x2).
 Tome um nível de produção y  0
dado.
 Dados os preços dos insumod w1 e
w2, o custo da cesta de insumos
(x1,x2) é w1x1 + w2x2
O problema da minimização de custos
 Dados
w1, w2 e y, o problema da
minimização de custos
da firma é resolver
min w 1x1  w 2x 2
x1 ,x 2  0
sujeito a
f ( x1 , x 2 )  y .
O problema da minimização de custos
 Os
níveis x1*(w1,w2,y) e x1*(w1,w2,y) na
cesta de insumos mais barata são as
demandas condicionais pelos insumos
1 e 2.
 O (menor possível) custo total para
produzir y unidades é portanto
*
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x1 ( w 1 , w 2 , y )
*
 w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ).
Demandas condicionais por insumos
 Dados
w1, w2 e y, como a cesta mais
barata é encontrada?
 E como a função de custo total é
calculada?
Isocustos
 Uma
curva que contém todas as
cestas de insumo com o mesmo
custo toal é uma curva de isocusto.
 E.g., dados w1 e w2, a isocusto de
$100 possui a equação
w1x1  w 2x 2  100.
Isocustos
 Em
geral, dados w1 e w2, a equação
de isocusto de $c é
i.e.
w1x1  w 2x 2  c
w1
c
x2  
x1 
.
w2
w2
 Inclinação
é - w1/w2.
Isocustos
x2
c”  w1x1+w2x2
c’  w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
Isocustos
x2
Inclinação = -w1/w2.
c”  w1x1+w2x2
c’  w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
A isoquanta de y’ unidades
x2
todas as cestas que geram y’
unidades de produto. Qual é a
mais barata (menos custo)?
f(x1,x2)  y’
x1
O problema da minimização de custos
x2
todas as cestas que geram y’
unidades de produto. Qual é a
mais barata (menos custo)?
f(x1,x2)  y’
x1
O problema da minimização de custos
x2
todas as cestas que geram y’
unidades de produto. Qual é a
mais barata (menos custo)?
f(x1,x2)  y’
x1
O problema da minimização de custos
x2
todas as cestas que geram y’
unidades de produto. Qual é a
mais barata (menos custo)?
f(x1,x2)  y’
x1
O problema da minimização de custos
x2
todas as cestas que geram y’
unidades de produto. Qual é a
mais barata (menos custo)?
x 2*
f(x1,x2)  y’
x 1*
x1
O problema da minimização de custos
x2
Num ponto de solução interior:
(a) f ( x*1 , x*2 )  y 
x 2*
f(x1,x2)  y’
x 1*
x1
O problema da minimização de custos
x2
Num ponto de solução interior:
(a) f ( x*1 , x*2 )  y  e
(b) inclinação da isocusto = inclinação
da isoquanta
x 2*
f(x1,x2)  y’
x 1*
x1
O problema da minimização de custos
x2
Num ponto de solução interior:
(a) f ( x*1 , x*2 )  y  e
(b) inclinação da isocusto = inclinação
da isoquanta, logo:
w1
PMg1
  TMST  
em ( x1* , x2* ).
w2
PMg 2
x 2*
f(x1,x2)  y’
x 1*
x1
Exemplo para Cobb-Douglas
 Função
de produção Cobb-Douglas
y  f ( x1 , x 2 )  x11/ 3x 22/ 3 .
 Preços
dos insumos: w1 e w2.
 Quais as demandas condicionais
pelos insumos da firma?
Exemplo para Cobb-Douglas
Na cesta de insumos (x1*,x2*) que minimiza
o custo de produzir y unidades:
* 1/ 3 * 2/ 3
(a) y  ( x1 ) ( x 2 )
(b)  w 1    y /  x1
w2
 y /  x2
e
* 2 / 3 * 2 / 3
(1 / 3)( x1 )
(x2 )

( 2 / 3)( x*1 )1/ 3 ( x*2 ) 1/ 3
x*2

.
*
2x1
Exemplo para Cobb-Douglas
* 1/ 3 * 2/ 3
(a) y  ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x*2

.
(b)
w 2 2x*1
Exemplo para Cobb-Douglas
* 1/ 3 * 2/ 3
(a) y  ( x1 ) ( x 2 )
De (b),
2w 1 *
*
x2 
x1 .
w2
w 1 x*2

.
(b)
w 2 2x*1
Exemplo para Cobb-Douglas
* 1/ 3 * 2/ 3
(a) y  ( x1 ) ( x 2 )
De (b),
2w 1 *
*
x2 
x1 .
w2
w 1 x*2

.
(b)
w 2 2x*1
Substituir em (a) para obter
* 1/ 3  2w 1 * 
y  ( x1 ) 
x1 
 w2 
2/ 3
Exemplo para Cobb-Douglas
* 1/ 3 * 2/ 3
(a) y  ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x*2

.
(b)
w 2 2x*1
2w 1 *
*
x1 .
From (b), x 2 
w2
Substituir em (a) para obter
2/ 3
2/ 3
 2w 1 
* 1/ 3  2w 1 * 
*
y  ( x1 ) 
x1 

x1 .

 w2 
 w2 
Exemplo para Cobb-Douglas
* 1/ 3 * 2/ 3
(a) y  ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x*2

.
(b)
w 2 2x*1
2w 1 *
*
x1 .
From (b), x 2 
w2
Substituir em (a) para obter
2/ 3
2/ 3
 2w 1 
* 1/ 3  2w 1 * 
*
y  ( x1 ) 
x1 

x1 .

 w2 
 w2 
2/ 3
*  w2 
y é a demanda condiciona
Logo x1  

 2w 1 
da firma pelo insumo 1.
Exemplo para Cobb-Douglas
2w 1 *
*  w2 
*
x1  
x1 e
Como x 2 

 2w 1 
w2
2/ 3
1/ 3
 2w 1 
2w 1  w 2 
*
x2 
y


 y
 w2 
w 2  2w 1 
2/ 3
y
é a demanda condicional da firma pelo insumo 2.
Examplo para Cobb-Douglas
Portanto a cesta de insumos mais barata
que produz y unidades é

*
*
x1 ( w 1 , w 2 , y ), x 2 ( w 1 , w 2 , y )
  w  2/ 3  2w  1/ 3 
1
  2 
y, 
y .

  2w 1 



w
2



Curvas de demanda condicional por
insumos
x2
w1 e w2 fixos.
y
y
y
x1
Curvas de demanda condicional por insumos
x2
y
w1 e w2 fixos.
y
y x*2 ( y )
y
y
x*2 ( y )
y
y
x*1 ( y )
x*2
x1
x*1 ( y )
x*1
Curvas de demanda condicional por insumos
x2
y
w1 e w2 fixos.
y
y
y x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y
y
y
x*1 ( y )
x*1 ( y )
x*2
x1
x*1 ( y )
x*1 ( y )
x*1
Curvas de demanda condicional por insumos
x2
y
w1 e w2 fixos.
y
y
y
y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2
*
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y
y
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1 ( y )
x 2 ( y )
x1
x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1
x*1 ( y )
Curvas de demanda condicional por insumos
x2
y
w1 e w2 fixos.
y
caminho de
expansão da
produção
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2
*
y
y
y
y
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1 ( y )
x 2 ( y )
x1
x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1
x*1 ( y )
Curvas de demanda condicional por insumos
x2
y
w1 e w2 fixos.
y
caminho de
expansão da
produção
x*2 ( y )
x*2 ( y )
x*2 ( y )
y
y
y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2
*
y
y
y
y
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1 ( y )
x1
demanda cond.
pelo
insumo 2
x 2 ( y )
demand
cond.
y
pelo
y
insumo 1
x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1
*
x1 ( y )
Exemplo para Cobb-Douglas
Para a função de produção
y  f ( x1 , x 2 )  x11 / 3x 22 / 3
a cesta de insumo mais barata que produz
y unidades é

x*1 ( w 1 , w 2 , y ), x*2 ( w 1 , w 2 , y )
  w  2/ 3  2w  1/ 3 
1
  2 
y, 
y .

  2w 1 



w
2



Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y )  w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y )
Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
*
*
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x1 ( w 1 , w 2 , y )  w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y )
2/ 3
1/ 3
 w2 
 2w 1 
 w1 
y  w2

 y
 2w 1 
 w2 
Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y )  w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y )
 w2 
 w1 

 2w 1 
 1
 
 2
2/ 3
2/ 3
 2w 1 
y  w2

 w2 
1/ 3
y
w 11/ 3 w 22/ 3 y  21/ 3 w 11/ 3 w 22/ 3 y
Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y )  w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y )
 w2 
 w1 

 2w 1 
 1
 
 2
2/ 3
2/ 3
 2w 1 
y  w2

 w2 
4
y
w 11/ 3 w 22/ 3 y  21/ 3 w 11/ 3 w 22/ 3 y
1/ 3
2
 w 1w 2 
 y.
 3

1/ 3

Exemplo para Complementos Perfeitos
 Função
de produção
y  min{4x1 , x 2 }.
 Preços
dos insumos: w1 e w2.
 Quais as demandas condicionais
pelos insumos da firma?
 Qual a função de custo total?
Exemplo para Complementos Perfeitos
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2}  y’
x1
Exemplo para Complementos Perfeitos
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2}  y’
x1
Exemplo para Complementos Perfeitos
x2
4x1 = x2 Qual a cesta de insumos
de menor custo para
y’ unidades?
min{4x1,x2}  y’
x1
Exemplo para Complementos Perfeitos
x2
4x1 = x2 Qual a cesta de insumos
de menor custo para
y’ unidades?
min{4x1,x2}  y’
x2* = y
x 1*
= y/4
x1
Exemplo para Complementos Perfeitos
Função de produção
y  min{4x1 , x 2 }
demandas condicionais pelos insumos da firma
y
*
x1 ( w 1 , w 2 , y ) 
4
e
*
x 2 ( w 1 , w 2 , y )  y.
Exemplo para Complementos Perfeitos
Função de produção
y  min{4x1 , x 2 }
demandas condicionais pelos insumos da firma
y
*
x1 ( w 1 , w 2 , y ) 
4
e
*
x 2 ( w 1 , w 2 , y )  y.
Então a função de custo total é
*
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x1 ( w 1 , w 2 , y )
*
 w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y )
Exemplo para Complementos Perfeitos
Função de produção
y  min{4x1 , x 2 }
demandas condicionais pelos insumos da firma
y
*
x1 ( w 1 , w 2 , y ) 
4
e
*
x 2 ( w 1 , w 2 , y )  y.
Então a função de custo total é
*
c( w 1 , w 2 , y )  w 1x1 ( w 1 , w 2 , y )
 w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y )
y
 w1

 w1  w 2y  
 w 2  y.
 4

4

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