квантовая траектория

Report
Квантовые траектории в
диссипативной динамике
одиночного кубита
Гельман Александр Иосифович,
нс 170 отд, ИПФ РАН, г. Н. Новгород
Предмет исследования и
актуальность темы
Квантовая оптика Квантовая информация Нанотехнологии
Закон Мура
Квантовые эффекты
становятся определяющими в
работе современных
высокотехнологичных
устройств:
Полупроводниковая техника
Компьютеры (процессоры)
Сверхпроводящие объекты
Вся наноэлектроника
Сверхсовременное направление – квантовая информация
ROADMAP №1, Europe, www.qurope.net, апрель 2010
ROADMAP №2, USA, www.ostp.gov, 2009, 2004
1. Квантовая криптография
Принципиально не дешифруемая передача данных, доведено до уровня готовых
приборов; www.idquantique.com, www.magiqtech.com
2. Квантовый компьютер
Квантовые сверхскоростные вычисления, взлом существующих систем кодирования
Основной рабочий элемент – квантовый бит, кубит
Квантовая информация
Среднесрочные планы
Постановка задачи
 Кубит является основным рабочим элементом квантового компьютера, физически
реализуется в виде двухуровневой квантовой системы, например фотона, атома,
донора в полупроводнике, ядерного спина, серхпроводящего контура
 Важнейшей характеристикой кубита является время декогерентности
 Наиболее перспективные устройства для реализации квантового компьютера кубиты на основе джозефсоновских переходов
M. Nakahara and T. Ohmi Quantum computing: from linear algebra to physical
realizations. – London, 2008
Проблемы:
- измерение скоростей релаксации кубита
- управление динамикой кубитов в сильном переменном поле
- измерения состояния кубита в условиях шума
3JJ qubit: гамильтониан
Искусственный атом
W.D.Oliver,et.al.,Quant inf Process 8,261(2009)
T  20mK
f 0.50
f 0.50 f
J.E. Mooij, et.al,Science 285,1036 (1999)
Yu. Makhlin, et.al., Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001)
0 h/2e
f (t)  f dc  f ac(t )  внешниймагнитныйпоток
 (t )  2I p ( f  0.5)  (t )   0  A cos t
1
H s  ( (t ) z   x )   туннельное расщепление уровней
2
 z , x  матрицыПаули

1  
E1,0   0 / 2
0  
0
Данные состояния могут быть измерены,
соответствуют току в кубите по- и против
часовой стрелки
Шум в системе
Механизмы релаксации в кубите:
• Флуктуация заряда на джозефсоновских контактах
• Квазичастицы на островках сверхпроводимости (конечное
сопротивление)
• Ядерные спины в подложке (флуктуация магнитного поля)
• Радиационное затухание, связь с управляющим полем
 1
  H s ,    1 4   2 z  z   z z   z z  
t i
  
Флуктуация потока
M.Sillanpaa, et al.,PRL 96,187002(2006),W.D.Oliver,et.al., Science 310,1653(2005),
D. M. Berns, et al., Nature 455,51(2008)
Метод Монте-Карло (квантовых траекторий)
1. C. W. Gardiner, P. Zoller. Quantum noise. – Berlin: Springer, 2000.
2. M. B. Plenio, P. L. Knight. Rev. Mod. Phys. 1998. V. 70, №1. P. 101–143.
3. H.-P. Breuer, F. Petruccione. The theory of open quantum systems. – Cambridge:
Oxford University Press, 2002.
4. А.И. Гельман, В.А. Миронов. Численное моделирование квантовой релаксации
в многоуровневых атомных системах методом Монте-Карло: препринт №773;
ИПФ РАН. – Н. Новгород, 2008. – 42 с
Квантовая теория релаксации:
метод Монте-Карло
Общий вид уравнения для оператора плотности
в марковском приближении - форма Линдблада
Nc
Nc
1
i




   [ H sys ,  ]    j  2с j  с j   с j с j  с j с j     ( Heff    Heff )   J j 
j 1 2
j 1
Nc
i
Nc число скоростей релакс.
 H sys    j c j  c j неэрмитов эффективный
Гамильтониан
оператор системы,
2 j 1
с j взаимодействующий

J j    j c j  c j оператор квантового скачка
с j резервуаром
i
H eff
Возможна следующая интерпретация
M. B. Plenio, P.L. Knight, Rev. Mod. Phys., 70(1), 101-143 (1998).
детектор
Динамика системы – в условиях эксперимента (мысленного)
по регистрации спонтанно испущенных системой фотонов
отсутствие
фотоотсчета
система
динамика под действием H eff
i
Mollow, B.R., 1975,PRA 12,1919
   ( H eff    H eff )
зарегистрирован
фотоотсчет
квантовый скачок
  J j
Метод МК:
алгоритм численного моделирования
Расчет ведется для волновой функции системы
Имеется волновая функция системы  (t )в момент времени t
1. Вероятность излучения фотона
P(t )   Pj (t )  1, Pj (t )   j t  (t ) c j c j  (t )
j
1  P(t )  не излучился фотон
2. генерация случайного числа r, равномерно распределенного на отрезке [0,1]
r  [0, P]
r ( ,P]1
нет излучения
 (t  t )
1


i
H eff t   (t )
излучился фотон
 (t  t )   j 
c j  (t )
 j  Pj / P
Pj (t ) / ( t j )
3. повтор шагов 1,2 для расчета эволюции за требуемое время – квантовая траектория
4. повтор шагов 1-3 n раз для получения статистического ансамбля квантовых
траекторий – усредненная динамика системы, соответствует уравнению для
оператора плотности
Доказательство эквивалентности
Имеется волновая функция системы  (t )в момент времени t
1  P(t )
 (t  t ) r  1  P(t )   (t  t )  (t  t )   Pj (t )  j  j
 (t  t ) r   (t ) 
i t
   (t )  (t )
j 1
1


[ H sys ,  ]   t   j  2с j  с j   с j с j  с j с j   Усредняем по n реализациям
j 1 2
Nc
Метод МК: преимущества
Расчет среднего
1 n
A n (t )    i (t ) A i (t )
n i 1
а(t )  A (t )  Tr[ (t ) A]
A, B - операторы системы
Расчет двухвременных корреляционных функций
C(t, )  A(t  )B(t )
K. Molmer,Y. Castin, J. Dalibard,
J. Opt. Soc. Am. B, 10, 524 (1993)
Квантовая теорема регрессии
Расчет единичных реализаций процессов в квантовых системах
Расчет диссипативной динамики одиночных квантовых систем
Размерность системы ДУ для волновой функции N вместо N2 для матрицы плотности
Простота и эффективность распараллеливания алгоритма
Расчет систем в немарковском приближении
W. T. Strunz et.al, Phys. Rev. Lett, 82, 1999

Точность
n
1
2
i
i
( A)( n ) (t ) 

(
t
)
A

(t )  A n (t )

n(n  1) i 1

2
 A( n )
1
n
Статистически
независимые
реализации
Результаты тестирования
1. Двухуровневый атом под действием резонансного поля, в вакууме
i


   p  10
   [ H sys ,  ]   2 01 10   11   11 
1
2
01 E p


 ij  i j , i, j  0,1
H






(



)
sys
11
01
10

Ep
H eff
0
d
i
 (t )   H eff  (t )
dt
 (t )  a(t ) 0  b(t ) 1
1
0.9

 (  i ) 11  ( 01   10 )
2
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
|b(t)|2
P1 (t )  t | b(t ) |2
Усредненная динамика системы
2 (ансамбля атомов)
| a(t ) |
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
00
c1  (t )  b(t ) 0
a(t )  ib(t )

b(t )  (  i)b(t )  ia(t )
2
Динамика одного атома
(одна из реализаций метода)
c1   01
1
2
Гt
3 000
0

10000 реализаций
| b(t ) |2
1
Гt
1000 реализаций
2
3
3JJ qubit: квантовые траектории
  ,  0  ,однофотонныйрезонанс
  ,  0  30,  0 , A  
A  0.1
0
A25.1
A   0
  0.09
  0.81
  4
Эффективный гамильтониан
в резонансном приближении
t /T
1 0

H
(
t
)


A  8.5
2 
1(8.5)0.27
Rabi+LZ
n 

0
 n

n  J n ( A / )
n   0  0
PLZ  1  exp(22 / )
A43.3
300.14
Rabi+LZ
С увеличением Г
динамика существенно
меняется.
A45.5
Кубит
может
возбуждаться
1(10.2)0
30  0
КПТ на верхний уровень.
PLZ  0.1
Нет пленения на ~Т/2
КПТ
(между пересечениями
уровней). Даже при сильном
t /T
A10.2
t /T
поле влияние шума
существенно
t /T
t /T
t /T
3JJ qubit: усредненная динамика
  ,  0  ,one-photon resonance
  ,  0  30,  0 , A  
После усреднения по 3000
A  0.1
A  25.1
реализация метода МК
t /T
A10.2
1  0
(соответствует условиям
эксперимента) наблюдается
классическая Раби - динамика
Видно отличие
релаксационной динамики в
одной реализации от
усредненной динамики, когда
наблюдается насыщение и
выход населенности на
стационарное значение
t /T
A43.3
30 0.14
A. Gelman, A.M. Satanin, JETP
lett. 91, 535-540 (2010)
t /T
A  8.5
1  0.27
КПТ
t /T
Совпадение с моделью
и экспериментом:
D. M. Berns atal. PRL 97,150502(2006)
J n2 ( A /  )
2
W

2 n ( 0  n)2  2
1
tstat
 2W
0
  0.09
  0.81
  4
t /T
A45.5
КПТ
30  0
t /T
3JJ qubit: усредненная динамика
При большом шуме   4
эффекты когерентности (КПТ) исчезают
Затухание поляризации на временах  1
независимо от параметров поля
A  8.5
0  
 
  3 (3)
   (2)
  0.3 (1)
 0  30
A  45.5 (CDT )
A  43.3 ( Rabi)
A  43.3
 0  30
 
Перекрытие резонансов
J n2 ( A /  ) 1 (30, 45.5)  5.98T
2
W

2 n ( 0  n)2  2 1 (30, 43.3)  5.48T
 
1.Kayanuma, Y. Phys. Rev B., 47, 9940 (1992)
0
  0.09
  4
Приложение к амплитудной
спектроскопии
2
n
1 
P ( A,  0 )   2
2 n0  n  ( 0  n )2
n  J n ( A / )
J n2 ( A /  )
2
W

2 n ( 0  n)2  2
  n   
Населенность верхнего уровня кубита после воздействия импульса длительностью   10T
постоянной амплитуды А при различных значениях шума (D.Berns et.al.,PRL 97, 150502 (2006))
  0.14, A  0  50,  0  0  45,   90MHz    (0.13  0.2)
N=3000 realizations
 
  0.01
  0.09
  0.25
  0.09
  0.25
  0.81
Подгонка параметров шума при прямом численном моделировании под результаты
эксперимента позволит восстановить параметры образца с хорошей точностью
Приложение к амплитудной спектроскопии:
измерение состояния кубита
 
  0.09
N  10
Зависимость интерференционной картины
от числа реализаций метода
(числа измерений в эксперименте).
A/
N  100
A/
N  500
В хорошем соответствии с N=3000 в
предыдущем рассмотрении и эксперименте,
где обычно N=3000-10000.
A. I. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010).
A/
Зависимость интерференционной картины
от флуктуации начальной фазы импульса
A  30,   
A  30,   
P(t)
  0.09
0
  0.09
t /T
P(t)
  0.1
0
D. M. Berns, et.al. Phys. Rev.
Lett. 97, 150502 (2006).
  0.81
t /T
 (t )   0  A cos(t  0 )
0 [0, 2 ] Равномерное распределение, в каждой реализации - случайное
В условиях шума при усреднении по 2000 реализаций населенность по окончании импульса не
зависит от начальной фазы импульса. Усреднение по мелкомасштабным осцилляциям Ландау-Зинера.
Глобальная динамика (насыщение и выход населенности на стационарное значение) сохраняется
Основные результаты
1. Дана интерпретация переходам ЛЗ в условиях шума и методу АС на
примере сверхпроводящих кубитов с точки зрения единичных
реализаций, а также установлена связь с усредненной динамикой
системы, наблюдающейся в экспериментах.
2. Рассмотрено влияние различного уровня шума на населенности
кубитов и зависимость резкости интерференционной картины метода
АС от числа измерений состояния кубитов. Показана возможность
контрастного формирования интерференционной картины уже при 100
реализациях, что может быть существенным при проведении
эксперимента.
3. Промоделирован процесс измерения кубита, включая в рассмотрение
классический шум, вызванный флуктуациями начальной фазы
возбуждающего импульса в методе АС. Показано что такой шум не
влияет на усредненную по реализациям интерференционную картину.
4. Программный комплекс протестирован на известных задачах квантовой
оптики, использовались вычислительные кластерные системы ИПФ РАН и
ННГУ
5. Проект получил финансовую поддержку на конкурсе «У.М.Н.И.К.», 2010 г.
6. Элементы методики расчета использованы при чтении спецкурса
«Квантовая оптика» автором на физическом факультете ННГУ, для
студентов 4-5 курса в весеннем семестре 2010 г.
7. Диплом 15-ой Нижегородской сессии молодых ученых (естественные
науки), 2010
Список публикаций
1. А. И. Гельман, А. М. Сатанин. Релаксационная динамика сверхпроводящих
джозефсоновских кубитов в сильном переменном поле // ФТТ. 2010.Т.52.С. 2094
2. А. И. Гельман, А. М. Сатанин. Квантовые скачки при переходах Ландау-Зинера в
диссипативной динамике сверхпроводящего кубита // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т.
91. С. 584.
3. А. И. Гельман, А. М. Сатанин. Квантовые скачки при спонтанной релаксации
сверхпроводящего кубита под действием сильного ВЧ поля // Вестник ННГУ.
2010.
4. А. И. Гельман, М.В. Денисенко, А. М. Сатанин. Динамический контроль
квантовых состояний джозефсоновских кубитов // Вестник ННГУ. 2010.
5. А. И. Гельман, В. А. Миронов. Подавление шума в атомной системе под
действием поля в сжатом когерентном состоянии // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. С. 627.
6. A. Gelman, V. Mironov. Noise suppression in three-level atomic system driven by
quantized field // Proc. SPIE. 2009. V. 7521. P. 75210F.
7. A. I. Gelman, M. V. Denisenko, A. M. Satanin, and F. Nori Amplitude and phase
effects in Josephson qubits driven by a biharmonic electromagnetic field (in
preparation)
8. A. Shvetsov, A. M. Satanin, A Gelman, A. Zagoskin, S. Savel'ev, and F. Nori.
Quantum photonic crystals with tuneable electromagnetic properties (in preparation)
9. A. Shvetsov,A. M. Satanin, A. Gelman, A. Zagoskin, S. Savel'ev, and F. Nori. Control
of superconducting metamaterials (in preparation)
10.А. И. Гельман, Диссертация «Диссипативная динамика и контролируемая
релаксация в одиночных квантовых системах», ИПФ РАН, 2010
Квантовая теория релаксации:
методы исследования
Природа диссипации взаимодействие системы с резервуаром
с большим числом степеней свободы
Htot  H sys  H B  Hint
система
Метод оператора плотности
i
 tot (t )   [ H tot ,  tot (t )]

 tot Оператор плотности
«система+резервуар»
ˆ
 TrB ( tot ) Оператор плотности
системы
резервуар
взаимодействие
система-резервуар
Метод Гейзенберга-Ланжевена
i
ci (t )  [ H tot , ci (t )]
i
b j (t )  [ H tot , b j (t )]
i  1, n
j  1, m
ci -полный набор операторов системы
bj -полный набор операторов резервуара
C.W.Gardiner, P.Zoller, Quantum noise, Springer, 2000
Скалли М. О., Зубайри М. С., Квантовая оптика, М., Физматлит, 2003
Квантовая теория релаксации:
методы исследования
марковское приближение
времена корреляции
параметров резервуара
<<
времен изменения
параметров системы
общее решение - уравнения I порядка по времени
Метод оператора плотности
Решение уравнений для элементов оператора плотности, n2 штук
t
1

 (t )   2  dt TrB [ H int (t ),[ H int (t ),  (t )   B ]] в представлении взаимодействия
 0
U I (t )  e
i
 ( H sys  H B )t
I  UI (t ) tot (t )UI (t )
 (t )  TrB ( I (t ))
Метод Гейзенберга-Ланжевена, квантовый шум
Решение стохастических дифференциальных уравнений для операторов
ci (t )  f (c1,...cn )  Fci (t )
Fci (t ) -операторы шума Ланжевена
Fci (t ) Fc j (t )  Dij (t , t )
Dij (t, t)  Dij (t  t) - белый шум
Соответствует флуктуационно-диссипационной теореме
Оба метода изначально предполагают описание ансамбля систем
1
 1   2
2
Отсчет, 1/с
Одиночный V-атом: флуоресценция
t, с
Резонансная флуоресценция одиночного иона 138Ba+ на переходе |0>-|1>.
Оптические поля действуют на оба перехода. Если ион переходит в состояние |2>
(метастабильное), флуоресценция исчезает. Через промежуток времени, обычно
равный времени жизни уровня 2 (32 сек. в данном эксперименте) атом возвращается в
состояние 0, и флуоресценция на переходе |0>-|1> восстанавливается.
Bergquist, J. C. et. al. Observation of quantum jumps in a single atom // PRL. 1986. V. 57. P. 1699
Nagourney, W. et.al Shelved optical electron amplifier: Observation of quantum jumps //PRL.1986,56,P.2797
Sauter, T. et. al. Observation of quantum jumps Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1696.
Для описания такого поведения потребовалась новая теория
(у ансамбля атомов скачков не будет)
Метод МК: интерпретация
Общий вид уравнения для оператора плотности системы
с учетом релаксации в марковском приближении - форма Линдблада
Nc
Nc
1
i




   [ H sys ,  ]    j  2с j  с j   с j с j  с j с j     ( Heff    Heff )   J j 
j 1 2
j 1
i
H eff
i Nc
 H sys    j c j  c j эффективный Гамильтониан Nc
2 j 1
сj

J j    j c j  c j оператор квантового скачка
число скоростей релакс.
оператор системы,
взаимодействующий
с j резервуаром
Возможна следующая интерпретация
M. B. Plenio, P.L. Knight, Rev. Mod. Phys., 70(1), 101-143 (1998).
Динамика системы – в условиях эксперимента (мысленного)
по регистрации спонтанно испущенных системой фотонов
детектор
отсутствие
фотоотсчета
система
динамика под действием H eff
i
   ( H eff    H eff )
d
i
 (t )   Hˆ eff  (t )
dt
зарегистрирован
фотоотсчет
квантовый скачок
  J j
 (t1  dt )  сˆ j  (t1 )
Метод МК: преимущества
Расчет среднего
1 n
A n (t )    i (t ) A i (t )
n i 1
а(t )  A (t )  Tr[ (t ) A]
A, B - операторы системы
Расчет двухвременных корреляционных функций
C(t, )  A(t  )B(t )
K. Molmer,Y. Castin, J. Dalibard,
J. Opt. Soc. Am. B, 10, 524 (1993)
Квантовая теорема регрессии
Расчет единичных реализаций процессов в квантовых системах
Расчет диссипативной динамики одиночных квантовых систем
Размерность системы ДУ для волновой функции N вместо N2 для матрицы плотности
Простота и эффективность распараллеливания алгоритма
Расчет систем в немарковском приближении
W. T. Strunz et.al, Phys. Rev. Lett, 82, 1999

Точность
n
1
2
i
i
( A)( n ) (t ) 

(
t
)
A

(t )  A n (t )

n(n  1) i 1

2
 A( n )
1
n
Статистически
независимые
реализации
Результаты тестирования
1. Двухуровневый атом под действием резонансного поля, в вакууме
i


   p  10
   [ H sys ,  ]   2 01 10   11   11 
1
2
01 E p


 ij  i j , i, j  0,1
H






(



)
sys
11
01
10

Ep
H eff
0
d
i
 (t )   H eff  (t )
dt
 (t )  a(t ) 0  b(t ) 1
1
0.9

 (  i ) 11  ( 01   10 ) c1   01  0 1
2
Динамика одного атома
(одна из реализаций метода)
1
0.9
0.8
0.8
0.7
| b(t)|
0.6
0.7
2
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
1
P1 (t )  t | b(t ) |2
Динамика ансамбля атомов
(усредненная динамика)
| a(t ) |2
0.6
0.5
0
c1  (t )  b(t ) 0
a(t )  ib(t )

b(t )  (  i)b(t )  ia(t )
2
2
Гt
3 0
0

10000 реализаций
1000 реализаций
| b(t ) |2
1
Гt
2
3
Метод МК:
алгоритм численного моделирования
Расчет ведется для волновой функции системы
Имеется волновая функция системы  (t )в момент времени t
1. Вероятность излучения фотона
P(t )   Pj (t )  1, Pj (t )   j t  (t ) c j c j  (t )
j
1  P(t )  не излучился фотон
2. генерация случайного числа r, равномерно распределенного на отрезке [0,1]
r  [0, P]
r ( ,P]1
нет излучения
 (t  t )
1


i
H eff t   (t )
излучился фотон
 (t  t )   j 
c j  (t )
 j  Pj / P
Pj (t ) / ( t j )
3. повтор шагов 1,2 для расчета эволюции за требуемое время – квантовая траектория
4. повтор шагов 1-3 n раз для получения статистического ансамбля квантовых
траекторий – усредненная динамика системы, соответствует уравнению для
оператора плотности
Доказательство эквивалентности
Имеется волновая функция системы  (t )в момент времени t
1  P(t )
 (t  t ) r  1  P(t )   (t  t )  (t  t )   Pj (t )  j  j
 (t  t ) r   (t ) 
i t
   (t )  (t )
j 1
1


[ H sys ,  ]   t   j  2с j  с j   с j с j  с j с j   Усредняем по n реализациям
j 1 2
Nc
Метод МК – простейший вывод
   pi  i  i
i
Расcмотрим
p1  1
Nc
i
   ( H eff      H eff )    j c j   c j 
j 1
i
   H eff 
  j  cj 
Стохастическая эволюция. t -дискретное время
i
 (t  t )  (1  H eff t )  (t )
 (t  t )  (t  t )  1  P(t )
Pj (t )  t j  (t ) c j c j )  (t )

 (t  t ) 
(1 
i
H eff t )
1  P(t )
В первом
порядке по t
P(t )   Pj (t )
j 1
 (t )
Аналогично
Nc
j 
t  j
Pj
j
Nc
 (t  t )  1  P(t )   (t  t )  (t  t )   Pj (t )  j  j
j 1
В среднем динамика унитарна, существует строгая теория КСДУ, теория измерения
Известные приложения метода
1.Лазерное охлаждение Dalibard, J. Wave-function approach to dissipative processes
in quantum optics // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 580.
(учет импульса)
2. Взаимодействие квантованного света с атомными системами
Nakano, M. // Phys. Rev. A. 2004. V. 70. P. 033407.
Гельман, А. И. // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. С. 627-636.
3. Устойчивость квантовых протоколов в зашумленной среде (одиночные системы)
Jun J. // Phys. Rev. A. 2006. V. 73. P. 064301.
Goto, H. et.al.// Phys. Rev. A. 2005. V. 72. P. 054301.
Carlo, G. et.al. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. P. 257903.
4. Динамика Бозе-конденсата в зашумленной среде
Witthout, D. et.al.// Phys. Rev. A 2009. V. 79. P. 033621
5. Динамика сверхпроводящих кубитов в условиях шума
A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010)
А.И. Гельман, В.А. Миронов. Численное моделирование квантовой релаксации в многоуровневых
атомных системах методом Монте-Карло:препринт №773 ИПФ РАН.2008.(42 с)
Прочитан спецкурс на Физическом факультете ННГУ, весенний семестр 2010 г. (4-5 курсы)
Победа в конкурсе УМНИК: численное моделирование динамики квантовых систем с
использованием суперкомпьютерных технологий
Результаты тестирования
2. Трехуровневый атом с Λ-конфигурацией электронных уровней под
действием резонансных полей, в вакууме
a

H eff  H 
Ep
Es
cab  c1   ba ;
1   b
cac  c2   ca ;
2  c
ccb  c3   cc   bb ;  3  Г 2
c
b
i
i 
( b   c ) aa 
( bb   cc )
2
2 2
Эффект
когерентного пленения населенностей
1
0.9
 bb
0.8
0.7
0
 cc
0.6
0.5
s   p  0.7
0.4
0.3
0.2
 aa
0.1
0
0
2
t
4
6
8
10
N=5000, N=10000, результат неотличим от точного решения
Агапьев Б.Д и др., УФН 163, 9 (1993)
Джозефсоновский переход
Сверхпроводящий
электрод 1
I J  IC sin 
Сверхпроводящий
электрод 2
Изолятор
Q  2 Ne
  2  1
1  0ei1
EJ , C
2  0ei2
IС  критический ток
dQ
  I ext  I С sin 
dt
I ext
1
2
H  EC N  EJ (cos  
)
2
Ic
d
2eV

dt
IC
EJ 
2e
(2e)2
EC 
C
Кулоновская энергия
[ N ,  ]  i
Джозефсоновская энергия
N
C d
4e 2 dt
Число куперовских пар
Переход к квантовому описанию, соотношение неопределенностей
В зависимости от того, какая энергия больше,
выделяют зарядовый и фазовый (потоковый) кубиты (определяется геометрией)
Сверхпроводящий потоковый кубит
(3JJ qubit)
2πf-φ1-φ2
EJ 1  EJ 2  IC 0 / 2
EJ 3   EJ 1  IC
(б)
0  h / 2e
T  20mK
f  q / 0  внешний магнитный поток
i  разность фаз волновой функции на i-ом переходе
J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999).
Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman, Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001)
3JJ qubit: гамильтониан
H
C 0 2
C 0
(1  22 )  
(1  2 ) 2  EJ {cos 1  cos 2   cos(2 f  1   2 )}
2 2
2 2
2 ftot  3  1  2
ftot  f  LI / 0 , LI / 0  f для потокового кубита
самоиндукция
  (1  2 ) / 2   (1  2 ) / 2
2
P
1 
2 P2
H

 EJ {2cos  cos    cos(2 f  2 )}
2 M  2 M
P  M 2
P  M 2
M   ( 0 / 2 )2 2C (1  2 )
M  (0 / 2 )2 2C
Частица с анизотропной массой в 2d джозефсоновском потенциале
U J  EJ {2cos cos    cos(2 f  2 )}
3JJ qubit: гамильтониан
J.E. Mooij, et.al,
Science 285,
1036 (1999).
U J  EJ {2cos cos    cos(2 f  2 )}
f  q / 0  внешний магнитный поток, может быть подстроен
При f  0.5 минимумпотенциальнойэнергииU J :
 0
cos 0 
1
2
0.5    1
Ip 
2e U 2e U 2e U


1
2
3
I p   Ic sin 
0
Сверхпроводящий ток в противоположных направлениях,
одинаков через каждый переход
Движение возможно только в одном направлении – эффективный двухъямный потенциал
3JJ qubit: гамильтониан
Искусственный атом
U J  2I p ( f 1/ 2)
W.D. Oliver, et.al., Quant inf Process 8, 261 (2009)
Учет нижнего уровня в каждой яме
1
H s  ( 0 z   x )
2
f  0.5
f  0.5   f
  туннельное расщепление уровней
 0  U J  2I p ( f  0.5)
T  20mK
 z , x  матрицыПаули
E1,0
1 2

 0  2
2
0   sin  / 2   cos  / 2 
1  cos  / 2   sin  / 2 
  arctan  /  0
z    , z    
0  0
E1,0   / 2
1  (1/ 2,1/ 2)T
0 
E1,0   0 / 2
1  (1, 0)T  
0  (0,1)T  
0  (1/ 2,1/ 2)T
Данные состояния могут быть измерены,
соответствуют току в кубите по- и против часовой стрелки
3JJ qubit: управление динамикой
f dc
f
Ip
ac
f (t )
Воздействие на кубит внешними полями:
1.постоянным магнитным полем fdc
2.переменным ВЧ электромагнитным полем fac
SQUID
Схема измерения состояния кубита
f (t )  f dc  f ac (t )
 (t )   0  A cos t
f ac (t )  A cos t
f dc   0  2I p ( f  0.5)
 
1   (t )
Hs  

2    (t ) 
Гамильтониан справедлив для описания динамики всех типов сверхпроводящих
кубитов (не только потокового)
Различие заключается в способе управления внешними параметрами
В случае 3JJ кубита – путем изменения амплитуды внешних полей fdc и fac
W.D. Oliver, S.O. Valenzuela Quant Inf Process 8, 261 (2009)
3JJ qubit: резонансное приближение
0
1
H (t )   i ( A/ )sin t
2  e
ei ( A/ )sin t 

 0

 i A
 
U (t )  exp  
sin t   z 
 
 2 
Аналогичный гамильтониан широко известен в оптике:
резонансное взаимодействие 2-хуровневого атома с частотно-модулированным лазерным полем
    0  detuning from resonance
G. S. Agarwal et.al.,
Phys. Rev. A 50, R4465 (1994)
e
iA/ sin t



n 
A
J n ( )eint
1 0
H (t )  
2  n
n  0
n   0  0

n 

0 
  frequencyof modulation
A /   index of modulation


отличие от оптики
n  J n ( A / )
S. Ashhab, et.al.,
Phys. Rev. A 75, 063414 (2007)
n  n  Раби-динамика
- Эффект когерентного подавления туннелирования (КПТ), даже в присутствии
сильного поля накачки частота Раби равна нулю, кубит не возбуждается.
2n
1
P   2
2 n n  ( 0  n )2
Средняя по времени населенность верхнего уровня кубит.
Ф. Бесселя приводит к интерференционной картине в
зависимости населенности от амплитуды постоянного и
переменного полей (для определения параметров кубита)
3JJ qubit: переходы Ландау-Зинера
Впервые исследованы при рассмотрении пересечения уровней при столкновении атомов
L. D. Landau,
Phys. Z. Sowjetunion 2, 46 (1932)
C. Zener. Proc. R. Soc. A137, 696 (1932)
Hs 
1

1
( (t ) z   x )
2

 (t )   0  A cos t
 (t )
0
 (t )  0 - уровни пересекаются в неадиабатическом базисе  z (без учета туннелирования)
Вероятность перехода    в пределе бесконечно большого времени
PLZ  1  exp(22 / )
   (t ) / t (t )0
 ZL  2 /   коэффициент адиабатичности
Скачки населенности происходят при каждом пересечении уровней. Периодическое
пересечение приводит к интерференционной картине P ( A,  0 )
W. D. Oliver, Y. Yu, J. C. Lee, et.al., Science 310, 1653 (2005)
Основная цель работы –
изучение влияния шума на динамику кубита и переходы ЛЗ
3JJ qubit: квантовый шум в системе
1
H s  ( (t ) z   x )
2
Fx  продольная релаксация(переворот спина)
(флуктуации заряда)
Hint  Fz z  Fx x
Fz  поперечная релаксация(дефазировка)
(флуктуация потока)
  (t  s )  F (t ) F ( s)
  скорость дефизировки
  скорость релаксации энергии
 ()  const,  [0,  0 ]
   для потокового кубита
M. Sillanpaa, et al., Phys. Rev.Lett. 96, 187002 (2006).
W. D. Oliver, et al., Science 310, 1653 (2005).
D. M. Berns, et al., Phys. Rev. Lett. 97, 150502 (2006).
D. M. Berns, et al., Nature 455, 51 (2008).
Кинетическое уравнения в марковском приближении
 1
  H s ,    1 4   2 z  z   z z   z z  
t i
3JJ qubit: шум в системе
Leggett, A., et.al. (1987) Dynamics of the dissipative two-state system, Rev. Mod. Phys. 59, 1.
Schon, G., and A. D. Zaikin, 1990, Phys. Rep. 198, 237; Weiss, U. (1999) Quantum Dissipative Systems
H  12 (   (t )) z  12  x  q (bqbq  1/ 2)
S  1
q
2
 (t ) (0)   (0) (t )

 J ( ) coth

SV  1 V (t)V (0)V (0)V (t)   ReZ eff coth
2
2kBT
i LR
Z eff 
R  i L
M
 I   V / i L   M  I 
V
i L

MI
  I s  s  V J ( ) 
i L
1   2 / c2
c  L / R,   4M 2 I s2 / h(Z  2R)

2kBT
3JJ qubit: квантовые траектории
  ,  0  ,однофотонныйрезонанс
A  0.1
A   0
Кубит приготовлен в состоянии |0>
J. You, et.al, Phys. Rev. Lett. 100, 047001(2008)
0   sin  / 2   cos  / 2 
0
  0.81
t /T
A  8.5
t /T
t /T
  0.09
  4
1 (8.5)  0.27 Эффективный гамильтониан в
резонансном приближении
Rabi+LZ
n  J n ( A / )
1  0 n 
PLZ  0.45

H (t )  

n   0  0
2  n 0 
A  10.2
PLZ  1  exp(22 / )
1 (10.2 )  0
   (t ) / t (t )0  A
КПТ
С увеличением Г динамика существенно
меняется. Кубит может возбуждаться на верхний
уровень. Нет пленения населенностей на
временах ~Т/2 (между пересечениями уровней)
3JJ qubit: квантовые траектории
  ,  0  30,30-фотонный резонанс, сильное поле: 0 , A  
A  25.1
A   0
t /T
A  43.3
t /T
J. You, et.al, Phys. Rev. Lett. 100, 047001(2008)
0   sin  / 2   cos  / 2 
0
  0.09
  0.81
  4
 (t )   0  A cos t
30 (43.3)  0.14
T1  1 arccos  0 / A
Rabi+LZ
T2  1 (1  arccos  0 / A)


A  45.5
30  0
PLZ  0.1
t /T
Кубит приготовлен в состоянии |0>
Даже при сильном управляющем поле
КПТ влияние шума существенно
С увеличением Г динамика существенно
меняется. Кубит может возбуждаться на верхний
уровень. Нет пленения населенностей на
временах ~Т/2 (между пересечениями уровней)
3JJ qubit: усредненная динамика
 (t )   0  A cos(t )   (t )
J n2 ( A /  )
2
W

2 n ( 0  n)2  2
Влияние резервуара классические флуктуации магнитного потока
(белый шум)
Средняя скорость переходов ЛЗ   
в рамках теории возмущений, когда W<<Г
(средняя по реализациям)
D. M. Berns at.al.PRL 97, 150502 (2006)
 z (t )   zstat  (  z0   zstat )e t

stat
z


2W  
Согласно подходу скоростных уравнений
  2W  
В случае сильного внешнего воздействия:
W  
1
 zstat  0, tstat

 0
1
 zstat  0, tstat
 2W
W 0
 zstat  1 (кубит на нижнем уровне)
3JJ qubit: усредненная динамика
  ,  0  ,one-photon resonance
После усреднения по 3000 реализация метода МК
A  0.1
(что соответствует условиям эксперимента)
наблюдается классическая Раби - динамика
A  10.2
t /T
Видно отличие релаксационной динамики в одной
реализации – стохастическое случайное движение
от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение
и выход населенности на стационарное значение
A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010)
1  0
Совпадение с моделью и экспериментом:
D. M. Berns at.al. PRL 97, 150502 (2006)
t /T
A  8.5
1  0.27
t /T
КПТ
(динамическая локализация)
J n2 ( A /  )
2
1
W
t

2
2
stat  2W
2 n ( 0  n)  
0
  0.81
  0.09
  4
3JJ qubit: усредненная динамика
  ,  0  30,30-photon resonance,strong control field: 0 , A  
После усреднения по 3000 реализация метода МК
A  25.1
(что соответствует условиям эксперимента)
наблюдается классическая Раби - динамика
t /T
A  43.3
30  0.14
Видно отличие релаксационной динамики в одной
реализации – стохастическое случайное движение
от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение
и выход населенности на стационарное значение
A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010)
1
J n2 ( A /  )
2
t
W
stat  2W

2
2
2 n ( 0  n)  
PRL 97, 150502 (2006) D. M. Berns at.al.
t /T
A  45.5
30  0
Параметры кубита могут быть получены из анализа
результатов эксперимента (частота Раби, ширина
резонанса, населенности уровней)
Even for CDT regime
t /T
0
  0.09
  0.81
  4
3JJ qubit: усредненная динамика
При большом шуме   4
эффекты когерентности (КПТ) исчезают
Затухание поляризации на временах  1
независимо от параметров поля
A  8.5
0  
 
  3 (3)
   (2)
  0.3 (1)
 0  30
A  45.5 (CDT )
A  43.3 ( Rabi)
A  43.3
 0  30
 
Перекрытие резонансов
J n2 ( A /  ) 1 (30, 45.5)  5.98T
2
W

2 n ( 0  n)2  2 1 (30, 43.3)  5.48T
 
1.Kayanuma, Y. Phys. Rev B., 47, 9940 (1992)
0
  0.09
  4
Приложение к амплитудной
спектроскопии
2
n
1 
P ( A,  0 )   2
2 n0  n  ( 0  n )2
J n2 ( A /  )
2
W

2 n ( 0  n)2  2
  n   
n  J n ( A / )
Населенность верхнего уровня кубита после воздействия импульса длительностью   10T
постоянной амплитуды А при различных значениях шума (D.Berns et.al.,PRL 97, 150502 (2006))
  0.14, A  0  50,  0  0  45,   90MHz    (0.13  0.2)
N=3000 realizations
 
  0.1
  0.01
  0.09
  0.25
Приложение к амплитудной спектроскопии
Более контрастная картина наблюдается для резонансов высокого порядка.
Хорошее совпадение с экспериментом (D.Berns et.al.,PRL 97, 150502 (2006))
  0.14, A  0  50,  0  0  45,   90MHz    (0.13  0.2)
 
  0.09
  0.1
  0.25
  0.81
A/
A/
Подгонка параметров шума при прямом численном моделировании под результаты
эксперимента позволит восстановить параметры образца с хорошей точностью
Приложение к амплитудной спектроскопии:
измерение состояния кубита
 
  0.09
N  10
Зависимость интерференционной картины
от числа реализаций метода
(числа измерений в эксперименте).
Расчет без усреднения по времени.
A/
N  100
A/
N  500
In good correspondence with N=3000 in
previous consideration and experiments.
In experiments usually N=3000-10000.
A. I. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010).
A/
Приложение к амплитудной спектроскопии:
фазовый контроль населенности
 (t )   0  A(cos  t   cos(2 t   ))   1/ 2
P
  0.5
 0  2
P
  0.5
 0  2
A/
M. V. Denisenko, A. I. Gelman, A. M. Satanin (in preparation).

similar documents