les composantes du contrôle

Report
CRMEF –CO SETTAT
Caractérisation des situations favorisant
le développement du contrôle exercé
par les étudiants sur l'activité
mathématique
Prof: Said Abouhanifa
OMSEFEM- Première école d’été de didactique des mathématiques
du 10 au 13 Juin 2014 à Rabat
Plan
MASEN et SELDEN (1989), SELDEN et AL (1999), LEWIS (1991), WHEALTAY (1992) étude auprès
des étudiants ayant réussi un cours de calcul différentiel. En effet, ils ont éprouvé de grandes
difficultés à s’approprier les mêmes contenues lors du résultat de tâches complexes.
Pourquoi rencontrent-ils des difficultés dans la résolution de problème complexe en contexte
des situations équivalentes nouvelles ?
ERSENBERG et DREYFUS (1991) ont émis l’hypothèse que les étudiants n’arriveraient pas à
résoudre ce type de problèmes par ce qu’ils n’arrivent pas suffisamment recours à différentes
représentation des concepts, peux particulièrement à des représentations visuelles.
SELDEN et AL (1999). le manque de contrôle exercé par les étudiants lors de la résolution de
tâches complexes peut exprimer certaines difficultés.
D’autres auteurs ont soulevé aussi ce manque de contrôle dans le contexte de résolution de
problèmes des étudiants à l’université, les résultats ont permis de constater que certaines
mobilisation des stratégies;
- Identifier comment se caractérisent ces situations problèmes élaborées en vue de
développer un contrôle sur l'activité mathématique chez les étudiants?
- Comment se caractérisent les stratégies d'intervention de l’enseignant en classe pour
développer et mettre en place un tel contrôle chez les étudiants?
la capacité d'articuler les différentes composantes du contrôle contribue de manière
significative au développement de la rationalité mathématique.
Eclairages sur le concept du contrôle selon les
dimensions:
Sociologique;
Psychologique;
Educative;
Mathématique.
Didactique ;
Anticipation
Syntaxique
Le
contrôle
Recours à des
métaconnaissa
nces
Discernement / Choix
éclairé
caractérisation du concept de contrôle en lien
avec les composantes
Il s’agit d’observer comment les étudiants décident de
résoudre cette situation et surtout d’identifier les
stratégies ainsi que la façon dont ils y auront recours.
« Un consommateur dépense son revenu de 48dhs pour
l’achat de deux biens : x et y.
Les prix de x et de y sont respectivement 2dhs et 3dhs.
La fonction d’utilité du consommateur est donnée par la
formule : U(x, y) = - x² - 2y² + 2xy
Combien d’unités du bien x et du bien y doit-il
consommer pour maximiser son utilité ? »
les catégories de groupe d’étudiants et les moyennes de leurs notes,
obtenues dans l’examen :
Parties de l’examen
du Janvier 2014
Le nombre d’étudiants qui ont traité
ou ayant commencé la résolution
du problème
Exercice 1
20
Barème
20
6
sur
La moyenne de notes
obtenues pour les 20
étudiants
Observations
2,60
•
Exercice 2
16
4
2,31
Exercice 3
18
4
3,31
Problème 4
14
6
2,32
20
9,05
Somme
•
76 étudiants ont obtenu des notes sur 20 entre 0
et 2.
Total du groupe 8 de la section est de 168
étudiants inscrits.
La situation « la firme productive » effectuée dans les travaux
dirigés avec ces étudiants, est la suivante :
« Une firme produit des appareils dans deux usines différentes.
Les coûts totaux de production pour les deux usines sont
respectivement :
CT1= 200+6q1+0,03q1² et CT2= 150+10q2+0,02q2² où q1 et q2
représentent le nombre d’appareils produits dans chaque usine.
La firme s’est engagée à livrer 100 appareils à une entreprise.
Les frais de transport par appareil sont de 4dhs pour les
livraisons à partir de la première usine et de 2dhs pour les
livraisons à partir de la seconde usine. Les frais de transport sont
supportés par la firme productive.
Afin de minimiser le coût total de production y compris le coût
de transport, la firme veut savoir le nombre d’appareils que doit
produire chaque usine ».
Dans la mise en œuvre ; et à partir de la fonction d’utilité
U(x, y) et de la contrainte c(x, y) = 0.
L’étudiant sera en mesure de :
» Former une fonction auxiliaire appelée un lagrangien :
L(x, y,λ ) = U(x, y) + λ c(x, y) Où ¸ λ (multiplicateur de
Lagrange) est une inconnue.
» Identifier les points critiques (résoudre le système de trois
équations à trois inconnus formé par les dérivées partielles
premières de L par rapport à x, y et λ).
» Faire le lien entre la notion du développement limité à
l’ordre 2 d’une fonction de 2 variables et la définition du
concept extremum.
» Faire le lien entre les dérivées partielles secondes et le
discriminant ∆.
On peut s’attendre à ce que l’étudiant réécrit la fonction auxiliaire
L(x, y, λ ) = U(x, y) + λ c(x, y) ; un engagement réfléchi peut s’exprimer par un
retour aux fondements et à la recherche du sens pour savoir d’où provient
les conventions (lorsqu’il s’agit de maximiser, en utilise la fonction suivante :
L(x, y, λ ) = U(x, y) + λ c(x, y) et lorsqu’il s’agit de minimiser, en utilise :
L(x, y, λ ) = U(x, y) - λ c(x, y)). Ceci demande un certain contrôle sémantique
puisque l’étudiant doit choisir entre le signe positif ou négatif.
Ensuite, il aura besoin d’un contrôle syntaxique pour identifier les points
critiques en manipulant les dérivées partielles premières afin de résoudre le
système de trois équations à trois inconnus, dont la valeur de λ ne présente
pas d’intérêt et n’est pas donc à chercher.
Ayant trouvé le point critique (
336 , 240
29
29
), l’étudiant doit être en mesure de calculer les dérivées
partielles secondaire (il s’agit d’un contrôle syntaxique) pour vérifier à partir du signe de
240
29
) s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum (contrôle de vérification et de validation).
Alors, l’étudiant peut trouver
² 336 , 240
² 336 , 240
 ²
 ²
( 29
)=-2;
29
( 29
²
336 240
,
)
=
4
et
(
29
 29
29
Ensuite, par un contrôle syntaxique, l’étudiant peut poser
∆=
²

(
336 240
29
,
29
) ²–
² 336 , 240
 ²
(
29
29
)×
² 336 , 240
 ²
(
29
29
)=-4
)=2
² 336 ,
(
 ² 29
0
0
0
0
0
0
1
1
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
1-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
111
10
0
0
10
0
0
10
0
1-
Sémantique
11
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
11
1-
Syntaxique
Discernement /
Choix éclairé
ET1
ET2
ET3
ET4
ET5
ET6
ET7
ET8
ET9
ET10
ET11
ET12
ET13
ET14
ET15
ET16
ET17
ET18
ET19
ET20
Sensibilité à la
contradiction.
Capacité de
dépasser
Engagement
réfléchi
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
1
Etudiants (ET)
Recours à des
métaconnaissances
Vérification /
Validation
Anticipation
Composantes
du contrôle
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-
1 : signifie que l’on a observé des indicateurs que l’étudiant a exercé une action mathématiques liée à cette composante.
1- : signifie que l’action menée par l’étudiant comportait certaines erreurs.
0 : signifie absence d’indicateurs liés à cette composante que l’étudiant doit exercer pour accéder au contrôle espéré.
- : signifie que l’étudiant n’a émet aucune réponse.
au cours de l’analyse des productions des étudiants, elle était plus
remarquable d’évaluer le contrôle sémantique et des métaconnaissances. En
effet, la demande était tellement grande au niveau du sens et des
métaconnaissnces que le contrôle syntaxique qui ne sert qu’outil.
De plus, aucune démarche évoquée par les étudiants ne montre la présente
d’indicateurs de sensibilité à la contradiction ou de la capacité à la surpasser.
L’étudiant ET14 n’a pas pu réagir face à l’erreur suivante (extrait de sa
solution) :
…bien x = 19,2 et bien y = - 4,8 pour consommer et pour maximiser
Le genre de situations proposées aux étudiants permet la mobilisation
de nombreuses connaissances mathématiques et sollicitent d’avantage
de faire appel aux différents indicateurs de l’activité de contrôle que doit
exercer l’étudiant lors de la résolution de la situation. Le cadre de
référence de l’activité de contrôle développé par les chercheurs ; (
Saboya, 2010) et (Dufour & Jeannotte, 2013) ; nous a servis d’ancrage
pour repérer et faire comprendre les difficultés qui entravent le
processus de résolution de la situation complexe, voire, mettre en place
les composantes du contrôle exercé par l’étudiant et recenser les
éléments essentiels dans l’élaboration des situations d’apprentissages
qui favorisent le développement des composantes de contrôle chez les
étudiants.
» le manque de développements de différentes composantes du contrôle
était l’origine de la non maitrise de la démarche de résolution de
problème complexe.
»
ARTIGUE, M. (1993). Connaissances et métaconnaissances -une perspective didactique. Dans
M. Baron A. Robert A. (Dir.), Métaconnaissances en lA, en EIAO et en didactique des
mathématiques (p.29-54). Cahier de DIDIREM, IREM, Paris.
BEDNARZ, N. ET SABOYA, M. (2007). Questions didactiques soulevées par l'enseignement de
l'algèbre auprès d'une élève en difficulté au secondaire: une étude de cas. Actes de l 'ACFAS
200S. Montréal (Québec).
BLOCH I. ( 2005d), 'La sémiotique de C.S.Peirce et la didactique des mathématiques : Vers
une analyse des processus de production et d'interprétation des signes mathématiques dans
les situations d'apprentissage', Séminaire SFIDA 24, Université de Turin.
BLOCH, I. (2005). Quelques apports de la théorie des situations à la didactique des
mathématiques dans l'enseignement secondaire et supérieur (Doctoral dissertation,
Université Paris-Diderot-Paris VII).
BROUSSEAU G. (1996). L’enseignant dans la théorie des situations didactiques, in Actes de la
8ème Ecole d’Eté de didactique des mathématiques, in Perrin-Glorian, Noirfalise (ed), I.R.E.M.
de Clermont-Ferrand, 3-46.
BROUSSEAU G. (1998). Théorie des situations didactiques, La pensée Sauvage.
BROUSSEAU, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
Recherche en didactique des mathématiques, 7 (2),33-115.
BURGERMEISTER, P.F. & CORAY, M., (2008 ). Processus de contrôles en résolution de
problèmes dans le cadre de la proportionnalité des grandeurs : une analyse descriptive,
Recherches en Didactique des Mathématiques 28/1, 63-105.
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
COPPÉ, S. & HOUDEMENT, C. (2002), Réflexions sur les activités concernant la résolution de problèmes à l’école
primaire, Grand N, 69, 53–63.
COPPE, S. (1993) Processus de vérification en mathématiques chez les élèves de première scientifique en situation de
devoir surveillé. Thèse de doctorat inédite. Université de Lyon.
COPPÉ, S. (1995), Types de connaissances mises en œuvre par les élèves dans la détermination de la composante
publique de son travail, Différents types de savoirs et leur articulation, Grenoble : La Pensée Sauvage Éditions, 129–
144.
COQUIN-VIENNOT, D. & MOREAU, S. (2007), Arithmetic problems at school: When there is an apparent contradiction
between the situation model and the problem model, British Journal of Educational Psychology, 77, 69–80.
DUFOUR & JEANNOTTE, (2013).Analyse d’une situation non routinière sous l’angle du contrôle. Cas de calcul
différentiel. Bulletin AMQ Vol. LIII, n°4,
ERMEL (équipe de didactique de mathématiques), DOUAIRE Jacques (Dir.), HUBERT Christiane (Dir.) (1999) Vrai ? Faux
? … On en débat ! De l’argumentation vers la preuve au cycle 3, INRP.
GIDDENS, A. (1987) La constitution de la société: éléments de la théorie de la structuration. Paris: Presses
universitaires de France.
HADAMARD, J. (1945/1975). Essai sur la psychologie de l'invention dans le domaine mathématique. Paris, GauthierVillars.
JULO, J. (1995), Représentation des problèmes et réussite en mathématiques, Presses Universitaires de Rennes.
JULO, J. (2002), Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes ? Grand N,69, 31–52.
KRUTETSKII, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in school children. Dans J. Kilpatrick et I. Wirszup
(DiL). Chicago and London. The University of Chicago Press.
MARGOLINAS, C. (1992). Éléments pour l'analyse du rôle du maître: les phases de conclusion. Recherches en
Didactique des Mathématiques, Vol. 12, 1, 113-158.
PERKINS, D.N., ET SIMMONS R. (1988). Patterns of Misunderstanding : An Integrative Model for Science, Math, and
Programming. Review ofEducational Research. 58 (3), 303-326.
PERRIN-GLORIAN M. J. & HERSANT C. (2003) Milieu et contrat didactique, outils pour l'analyse de séquences
ordinaires, Recherches en didactique des mathématiques, 23(2), 217-276.
PIAGET, J. (1974). Recherches sur la contradiction. Avec la collaboration de A. Blanchet, G. Cellerier, C. Dami. M.
Gainotti-Amann, Ch. Giliéron, A. Henriques-Christophides, M. Labarthe, J. De Lannoy, R. Maier, D. Maurice, J.
Montangero, O. Mosimann, C. Othenin-Girard, D. Uzan, Th. Vergopoulo. Les différentes formes de la contradiction.
Volume 2. Presses Universitaires de France. Paris.
POLYA, G. (1945/1965). Comment poser et résoudre un problème. Éditions Jacques Gabay.

similar documents