第05章

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第5讲 空间杆件结构的有限元法
第一节
局部坐标系下的单元分析
第二节 空间单元坐标变换
第三节空间刚架分析举例
第一节
局部坐标系下的单元分析
图 2-1 所示为空间刚架中的任一
杆件单元。选取局部坐标系时,去
形心轴为 x 轴,横截面的主轴分
别为坐标系的 y 轴和 z 轴。 x 、y、z
轴的方向按右手定则确定。这样,
单元在 x y 平面内的位移与 x z
平面内的位移是彼此独立的。设杆截面面积为 A,在 x z 平面内的抗弯刚
度为 EI y ,
线刚度 i y
杆件的抗扭刚度为

GJ
l
EI y
l
。
;
在 x y 平面内的抗弯刚度为 EI x ,
线刚度 i x 
EI x
l
;
空间刚架单元的两端分别与结点 i 和 j 相联结。每一个结点有六个结点位移分量
和六个结点力分量。在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵  e 和杆端力列阵 F e 分
别为
 e  u i

F e  Xi
vi
wi
Yi
Zi
 xi  yi  zi
M xi
M yi
u
M zi
j
vj
Xj
wj
Yj
 xj  zj
Zj
M xj
 zj 
T
M yj
M zj

T
其中 u 为轴向位移,v、w 为横向位移, x 为杆件的扭转角, y、 z 分别为绕 y 轴和
z
轴弯曲时的转角; X 为杆件单元的轴力, Y、Z 分别为沿 y 轴和 z 轴作用的剪力,
这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭
M x、M y、M z 为作用在杆端的力偶矩。
头表示;力和线位移的指向用单箭头表示。图 2-1 中所示的杆端力和杆端位移为正
方向。
与平面单元的推导方法一样,首先求出当杆端位移  e 中的一个分量为 1,而其余分
e 的 i 端发生单位位移时,杆端力与杆端
量均为零时的杆端力。图 2-2 所示为当单元○
位移之间的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量,在该情况下数值为零。
依同样方法可以确定当单元 j 端发生单位位移时,杆端力与杆
端位移之间的关系。
当单元的杆端位移分量为任意值时,可以写出空间单元刚度方
程,以矩阵表示为
 EA
0
 l

12EI z
 0
Xi  
l3
  
 Yi   0
0
  
 Zi  
0
   0
M  
 xi  
0
M   0
 yi  
6 EI z
M   0
 zi  
l2

   EA
0
 X j  
l
  
 Y j   0  12EI z
  
l3
Z
 j  
   0
0
 M xj  
  
0
 M yj   0
  
 M zj  
0
 0

6 EI z
 0

l2
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
0


6 EI y
0
l2
0
4 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
l3
6 EI y
l2
0

GJ
l
0
0
l2
l2
0
12EI y
6 EI z
6 EI y
0
0

GJ
l

0
6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
EA
l
0
0

12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4 EI z
l
0


6 EI z
l2
0

EA
l
0
6 EI z
l2
0
12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z
l
0

6 EI z
l2

0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
0
6 EI y
l2

GJ
l
0

6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12EI y
l3
0
6 EI y
l2
0
0
GJ
l
0
0
6 EI y
l2
0
4 EI y
l
0


6 EI z 
 2 
l  ui 
 
0  vi 
 
 w 
0  i 
  xi 
0  
  yi 
2 EI z   
  
l   zi 
 
0 u j 
 
6 EI z   v j 
 2
l   w 
 j 
0   
  xj 
 
0   yj 
 
  
0   zj 
4 EI z 
l 
0
式(2-1)
F e  k e
式(2-1)可以简写为
e
(2-2)
其中单元刚度矩阵为
 EA
0
 l

12EI z
 0

l3

 0
0


0
 0

 0
0


6 EI z
 0
l2
ke 
 EA
0

 l
12EI
 0
 3 z

l

 0
0


0
 0


0
 0

6 EI z
 0
l2

(
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
GJ
l
0


6 EI y
l2
0
4 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
l3

6 EI y
l
0
2
GJ
l
0
0
l
l2
0
12EI y
6 EI z
6 EI y
0
0

0

6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0

0
2
0
0

12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4 EI z
l
6 EI z
l
0

EA
l
0

EA
l
2
0
6 EI z
l2
0
12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z
l
0

6 EI z
l2

0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
0
6 EI y
l2

GJ
l
0

6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12EI y
l3
0
6 EI y
l
2
0
0
GJ
l
0
0
6 EI y
l2
0
4 EI y
l
0


6 EI z 
 2 
l 

0 


0 

0 

2 EI z 

l 

0 

6 EI z 
 2
l 

0 


0 


0 
4 EI z 
l 
0
(2-3)
式(2-3)为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。它是 12 阶方阵,其性质也与平面结构
的相同。
第二节 空间单元坐标变换
将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩
e 在端点 i 的三个杆端
阵,是通过坐标转换矩阵完成的。首先考虑单元○
力分量,在局部坐标系 x yz 中,它们是 X i、Yi、Z i ;在整体坐标系 xyz
中,是 X i、Yi、Z i 与 X i、Yi、Z i 之间的关系。设 x 轴与 x、y、z 轴的夹角分
别为 x x、x y、xz (图 2-3)
,则 x 轴在 xyz 坐标系中的方向余弦为
l x x  cos( x , x )
l x y  cos( x , y )
l x z  cos( x , z )
将杆端力 X i、Yi、Z i 在 x 轴上投影,
可求得杆端力
X i  X i l xx  Yi l xy  Z i l xz
同理可得
Yi  X i l yx  Yi l yy  Z i l yz
Z i  X i l zx  Yi l zy  Z i l zz
综合上三式
 X i  l xx
  
 Yi   l yx
  
 Z i  l z x
  
l xy
l yy
l zy
l xz   X i 
 
l yz   Yi 
 
l zz   Z i 
(2-4)
这就是在端点 i 由整体坐标系中的杆端力 X i、Yi、Z i 推算局部坐标系中
杆端力 X i、Yi、Z i 的转换关系式。其中两坐标系的转换矩阵(简称“关系矩
阵”
)为
l xx

t  l yx

l z x

l xy
l yy
l zy
l xz 

l yz 

l zz 
参照上述方法,同样可以推出以
X j 、Y j 、Z j
表示
X j、 Y j、 Z j
其转换矩阵也是 t。
(2-5)
M xi 、 M yi 、 M zi
表示M xi、M yi、M zi ,以
M x j 、 M yj 、 M z j
,以 M xj、M yj、M zj 表示
的表达式,
e 与局部坐标系
综合以上分析,整体坐标系中的单元杆端力分量列阵 F○
中单元杆端力分量列阵 F e 之间的关系,可用下时表达
F e  T eF e
(2-6)
同理,可导出整体坐标系与局部坐标系杆端位移之间的转换关系
 e  T e e
(2-7)
在以上两式中
 t 0 0 0


0 t 0 0 
e

T 
0 0 t 0 


 0 0 0 t 
(2-8)
称为“单元坐标转换矩阵”;它是 12×12 阶矩阵,是一个正交矩阵,故
有
T e1  T eT
(2-9)
在平面结构中,确定了单元的两个结点 i 和 j 的坐标,就确定了杆件的
位置。在空间结构中,仅仅确定两个端点的坐标还不能完全确定刚架杆件
在空间的位置,因为相同的 ij 杆,其截面形心主轴仍可由不同的方向。为
确定刚架杆件在空间的确切位置,还需要在杆轴线外在取一点 k,以确定其
形心主轴的方向。
取结构的整体坐标系为 xyz,单
元局部坐标系为 x yz , O y 为杆件截
面形心主轴之一,如图 2-4 所示。单
元的位置由 i、j、k 三个点的坐标决
定。这里 i 为单元起始结点号,j 为
单元终点号,由 i、j 两点可确定 O x
的方向。K 点在单元所在的 xO y 平面
内,但又不在 x 轴上,如果刚架上找
不到合适的点,可用一个假想的点代替。
设i、j、k三点在整体坐标系xyz中的坐标分别为
(xi、yi、zi)、(xj、yj、zj)、(xk、yk、zk),
那么如何根据这三个点的坐标值来确定坐标系
的关系矩阵t中的九个元素呢?t中的第一行元素
较容易确定。如图2-4可得
l xx
l xy
l xz
x j  xi 


l

y j  yi 


l 
z j  zi 


l

(2-10)
其中 l 为杆长,可按下式求得
l  ( x j  xi ) 2  ( y j  y i ) 2  ( z j  z i ) 2
(2-11)
Ox
设 i、j、k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量,
x  l xx i  l xy j  l xz k
轴矢量 x 可表示为
(2-12)
因为 O z 轴的矢量 z 与平面 ijk 垂直,所以有
i
j
k


z  (i k )  ( j k )  x k  x i
y k  yi
z k  zi
xk  x j
yk  x j
zk  z j
(2-13)
YZ 
yk  yi
zk  zi
yk  y j
zk  z j
ZX  
为后面的运算方便,可设
XY 
则有
O z 轴的方向余弦为
xk  xi
zk  zi
xk  x j
zk  z j
xk  xi
yk  yi
xk  x j
yk  y j
Z  YZi  ZXj  XYk
l xx  YZ / l 2 

l xy  ZX / l 2 

l xz  XY / l 2 
YZ 
y k  yi
z k  zi
yk  y j
zk  z j
ZX  
为后面的运算方便,可设
XY 
x k  xi
z k  zi
xk  x j
zk  z j
x k  xi
y k  yi
xk  x j
yk  y j
Z  YZi  ZXj  XYk
则有
Oz
轴的方向余弦为
l xx  YZ / l 2 

l xy  ZX / l 2 

l xz  XY / l 2 
式中
l 2  (YZ ) 2  ( ZX ) 2  ( XY ) 2
由于
Oy
Ox
轴与
轴垂直,
Oy
Oz
轴与
(2-16)
Oy
轴垂直,且
1,于是有
yx  0

y  (x  i k)  0
l y2x  l y2y  l y2z  1
的方向余弦之和等于
以上三式可组成联立方程
l yx l x x  l y y l x y  l y z l x z  0


l yx
l yy
l yz


l xx
l xy
l x z  0

x k  xi y k  y i z k  z i


l 2 y x  l 2 y y  l 2 yz  1

(2-20)
解式(2-20)的联立方程,可得
l yx  S 1 / l 3 

l yy  S 2 / l 3 

l yz  S 3 / l 3 
(2-21)
式中
S1  (1  l x2x )( x k  xi )  l xx l xy ( y k  y i )  l xx l xz ( z k  z i )
S 2  l xy l xx ( x k  xi )  (1  l x2y )( y k  y i )  l xy l xz ( z k  z i )
S 3  l xz l xx ( x k  xi )  l xx l xy ( y k  y i )  (1  l x2z )( z k  z i )
l 3  S 21  S 2 2  S 2 3
由式(2-10)
、式(2-15)和式(2-21)便可确定坐标关系矩阵 t。
,化简整理后,可得空间刚架杆件单
将式(2-6)和式(2-7)代入式(2-2)
元整体坐标系中的单元刚度方程
F e  T eT k eT e
(2-22)
设
k e  T eT k eT e
(2-23)
则
F e  k e e
(2-24)
k e 为空间单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。式(2-23)为两种坐标系的
单元刚度矩阵的转换关系式。式(2-24)和式(2-23)在形式上与平面结构
的公式一样
第三节
空间刚架分析举例
空间刚架整体刚度矩阵 K 的形成、结点荷载列阵的形成和支承条
件的引入,均与平面刚架的处理方法相同。
例 2-1 试求图 2-5a 所示空间刚架 B 结点的位移及各杆内力。设各杆
的材料和几何性质相同。
E  2.1  10 2 GPa, G  9  10 4 GPa, A  0.005 m 2 , l  2.3m, J  2.6  10 5 m 4 ,
I y  1.2  10 5 m 4 , I z  3.0  10 5 m 4 , P  10 kN , q  15 kN / m.
(矩形截面梁在扭转时将发生翘曲。本题中杆件为实体截面,约束所引起的附
加正应力已略去,J 为“相当极惯性矩”
。
)
解:(1)确定结点,划分单元,建立坐标系。括号内数字为结点位移编号,见
(图 2-5b)
。
k
(2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
e
EA
 4.375  10 5 k N / m,
l
EI y  2.52  10 3 k N  m,
GJ
 9.75  10 2 k N  m
l
EI z  6.3  10 3 k N  m 2
2 EI y
4 EI y
 2.1 10 3 k N  m,
l
2 EI z
 5.25  10 3 k N  m,
l
6 EI y
3

2
.
625

10
k N,
2
l
12 EI y
3

2
.
1875

10
k N / m,
3
l
 4.2  10 3 k N  m
l
4 EI z
 1.05  10 4 k N  m
l
6 EI z
3

6
.
5626

10
kN
2
l
12 EI z
3

5
.
4688

10
kN/ m
3
l
将以上数据代入式(2-3)
,得局部坐标系中的单元刚度矩阵
 437500 0

 0
5469

 0
0

 0
0

 0
0

 0
6562
1 
k 
437500 0

 0
5469


0
 0

0
 0

0
 0

6562
 0
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
5469
0
2188
0
2625
0
0
0
2188
0
975
0
0
0
0
0
4200
0
0
0
2625
2625 0
0
0
0
10500
0
6562
0
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
5469
0
2625
0
0
0
2188
0
0
0
0
0
2100
0
0
0
2625
0
5250
0
6562
0
2188 0
0
975
2625 0
0
0
0 

0
0
6562

0 2625 0 

955 0
0 

0
0
0 

0
0
0 

0
0
0 

0
0 6562

0
2625 0 

975
0
0 

0
4200 0 

0
0
10500
0
0
k 2  k1
(3)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵
单元①: k 1  k 1
单元②:先形成关系矩阵 t 和单元坐标转换矩阵 T,见式(2-5)
和式(2-8)。根据单元②的局部坐标系与整体坐标系之间的关
系(图 2-6)
,可得
0 0  1
t  0 1 0 
1 0 0 
单元坐标转换矩阵为
0

0

1

0

0

0
T  
0

0


0

0

0

 0
0
 1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

 1

0 

0 
根据单元刚度矩阵的转换关系
k e  T eT k eT e
可求得整体坐标系中单元②的单元刚度矩阵
 2188

 0

 0

 0

 2625

 0
2
k 
 2188

 0


 0

 0

 2625

 0
0
0
0
 2625
0
 2188
0
5469
0
6562
0
0
0
 5469
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
10500
0
0
0
 6562
0
0
0
4200
0
2625
0
0
0
0
0
975
0
0
0
0
0
2625
0
2188
0
 5469
0
 6562
0
0
0
5469
0
 437500
0
0
0
0
0
6562
0
5250
0
0
0
 6562
0
0
0
2100
0
2625
0
0
0
0
0
 975
0
0
 2625
0 

0 
0
6562
0

0 
0
 437500 0

0 
0
0
0

2100 0 
0
0

 975
0
0
0

2625 0 
0
0

0 
 6562 0
0

0 
0
437500 0

0 
10500 0
0

4200 0 
0
0

975 
0
0
0
0
0
(4)根据直接刚度法组集整体刚度矩阵。以下所列为以子块表示的整体
刚度矩阵,各子块中的元素由k 1和k 2 中的元素组成。
 k ii1

K   k 1ji

0

k ij1
k 1jj  k ii2
k 2ji
0

k ij2 

k 3jj 
(5)引入支承条件,修改整体刚度矩阵 K,可得修改后的整体刚度矩阵
 439687

 0

 0
KF  
 0

  2625

 0

0
0
0
 2625
10937
0
6562
0
0
439687
0
2625
6562
0
11475
0
0
2625
0
8400
 6562
0
0
0


 6562 

0 

0 

0 

11475 
0
(6)组集结点荷载列阵 P0,并引入支承条件,求自由结点荷载列阵 PF。
单元①、单元②的固端力分别为
F f1  0
5
F f2  0 18
0
3 0
0
0
0
0
0
7 .2
0
5
0
0 18
0
0
0
 3
T
 7 .2 
T
0
单元①、单元②的等效结点荷载
Pee  T eT F fe
Pe1  0
Pe2  0
5 0
 18 0
0
5 0
3 0
0
0
0
 7 .2
0
0
 18 0
0 3
T
0
0
7 .2 
T
整个结构的总载荷列阵
P0  0  5 0 0 0  3 0  23 0  7.2 0 3 0  18 0 7.2 0 0
T
引入支承条件修改后
p F  0  23 0  7.2 0 3
T
(7)解方程,求自由结点位移。
由引入支承条件后整个结构的刚度方程:
K F  F  PF
求得自由结点位移
 F  0  5.0029  10 3
0 2.2337  10 3
0  2.5997  10 3 
T
进而可确定整体坐标系下各单元的杆端位移
 1  0 0 0 0 0 0 0 5.0029103 0 2.2337103 0  2.5997103 
T
 2  0 5.0029103 0 2.2337103 0  2.5997103 0 0 0 0 0 0
T
(8)求单元的杆端力
单元①:
F 1  Ff1  T 1k 1 1
 0 15.299 0  2.1778 0 22.183 0  5.299 0 2.1718 0 2.5347
T
单元②:
F 2  Ff2  T 2 k 2 2
 0 5.299 0 2.5347 0  2.1778 0 30.701 0  2.5374 0  28.305
T
(9)绘内力图。结果如图 2-7 所示。

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