第12章保险精算

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第十二章





保险精算
保险精算概述
保险费率的概念
保险精算的基本任务及基本原理
非寿险精算
寿险精算
第一节 保险精算概述
一、保险精算学的界定


保险精算学是以金融学、保险学为基础,以数学、统计学为工具,
对保险业务中需要精确计算的有关问题进行研究的一门学科 。
保险精算学主要分为
 寿险精算学
 以概率论和数理统计为工具研究人寿保险的寿命分布规律,
寿险出险规律,寿险产品的定价,责任准备金的计算,保
单现金价值的估值等问题的学科 。
 非寿险精算学
 是研究除人寿以外的保险标的的出险规律,出险事故损失
额度的分布规律,保险人承担风险的平均损失及其分布规
律,保费的厘定和责任准备金的提存等问题的学科。
二、保险精算的产生与发展



保险精算的产生是以哈雷慧星的发现者,英国天文学家哈
雷(Halley)在1693年发表的世界上第一张生命表为标志,
至今已有三百多年的历史 。
进入20世纪以来,保险精算学得到了长足发展,精算技术
发生了根本的变化,精算水平显著提高,精算在保险业务
中具有核心作用。
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入我国的,
虽然起步较晚,但在开始引进时就与国际接轨,通过“派
出去,请进来”的直接学习方式,直接吸收国际上最新成
果,直接与国外学者进行交流。目前,我国保险精算学学
术水平已接近世界先进水平。
三、保险精算的基本任务
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

保险精算的首要任务是保险费率的确定,其中纯费率的
确定是至关重要的
保险产品的定价
责任准备金的计提
再保险的计划安排
偿付能力管理
保险基金的运用
保险公司财务分析及破产预警
四、基本原理
1、收支相等原则:就是使保险期内纯保费收入的现金价
值与支出保险金的现金价值相等。
2、大数法则:用来说明大量的随机现象由于偶然性相互
抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
收支相等原则



根据保险期间末期的保费收入的本利和(终值)及支付保
险金的本利和(终值)保持平衡来计算;
根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现
值相等来计算;
根据在某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或
“现值”相等来计算。
第二节 保险费率的概念
一、保险费与保险费率
保险费率 (Insurance Rate)简称费率,是每
一保险额单位应缴纳的保险费的比率,是保险
人计算保险费的标准。
保险费(Premium)简称保费,是投保人为转移
危险,取得保险人在约定责任范围内所承担的
赔偿(或给付)责任而交付的费用。亦即:保
险人为承担约定的保险赔偿责任而向投保人收
取的费用。
保费的构成



总保险费=纯保费+附加保费
纯保费Pure Premium:履行补偿或给付职能,不能有
利润因素。
附加保费Loading:支付各种营业费用:包括员工的工
资,企业的各种广告费用,提供损失准备,以及企业
的预期利润和应急准备金。
二、保险费率的构成
1、纯保险费率:基本部分。由此计算出保费用于建立赔偿
基金,以保证保险赔偿或给付。纯保险费率由保险额损失
率加稳定系数组成。
保险额损失率=保险赔款总额/总保险金额×100%
纯保险费率=保险金额损失率×(1+稳定系数)
保险定价中确定纯保费的关键是保额损失率的测算。
2、 附加费率
指企业经营保险业务的各项费用和适当利润与纯保险收入
总额的比率。(两种计算方法)
经营业务的费用总额和预期利润
附加费率 =
×100%
纯保费收入总额
经营业务的费用总额和预期利润
附加费率 =
×100%
总保费收入
二种不同的方法计算附加费率时,总费率计算为何不同?
3. 总费率
毛费率 = 纯费率 + 附加费率
 毛费率属于中间费率,一般不能适应某一大类分项业务的
需要,还要根据不同的风险的特点,占用性质等进行分项
调整。即进行“级差″调整。最后形成实际业务中使用的
保险费率。
 总保险费率由毛费率调整而得到。
三、保险费率的厘订原则




充分性原则Adequacy 基本原则
公平合理性 Fairness and Reasonableness
稳定灵活性 Stability and Flexibility
促进预防原则 Inducement for Loss Privation
第三节
非寿险精算
一、纯费率
纯费率=保额损失率×(1+稳定系数)
保险额损失率=保险赔款总额/总保险金额 ×100%

关键:稳定系数的计算。

保额损失率与保险业务核算中所使用的赔付率指标是两

个不同的概念;
保额损失率是保险赔款与保险金额之比;
赔付率是保险赔款与保费收入之比。

例:某保险公司业务以往七年各年保额损失率按大小排序如
下:(平均保额损失率 M=3‰)
年份(N)
N=7
保额实际损失
率(X‰)
偏差(X-M)
偏差平方
(X-M)²
1
2.5
-0.5
0.25
2
2.7
-0.3
0.09
3
2.8
-0.2
0.04
4
3.0
0
0
5
3.1
0.1
0.01
6
3.4
0.4
0.16
7
3.5
0.5
0.25
∑X=21‰
∑(X-M)= 0
∑(X-M)² =
0.8
稳定系数的计算
平均保额损失率
M=ΣX/N=21‰/7=3‰
标准差б= √ ∑(X-M)² /(N-1)=0.365‰
稳定系数K=б/m
=0.365‰/3‰ ≈ 12. 17%
纯费率=3‰ ×(1+12. 17%)=3.36‰
NOTE:


X-m 值越大,保额损失率数列的稳定性越小,稳定系数越
大;
反之,系数小。
由统计规律可知:
实际损失在(m-б )与(m+б )间的概率为 68.27%;
(m-2б)与(m+2б)间的概率为94.45%;
 (m-3б)与(m+3б)间的概率为99.73%
理论上:
无论什么保险,只要在纯费率上加三倍标准差,就能充分保
障保险人财务稳定性。
实践中:
强制保险①广泛性②连续性(到期必须续保)
K=б/m,足以保证财务稳定性。
自愿保险,由于“逆选择”,K=2б/m
危险程度高,且受巨灾损失时,K=3б/m
二、附加费率
根据以往若干年度附加费用构成的实际数额和预
期利润占保险金额比率确定:
附加费用总额
附加费率 =
╳ 100%
保险金额总数
附加费率的计算
例:某财产保险总保险金额为80亿,纯费率为2.1‰,
附加费用有:
(1)代理手续费65.4万元
(2)其它管理费150.6万元
(3)职工工资等86万元
(4)营业税收106万元
(5)预期经营利润40万元
附加费用总额
附加费率 =
×100%
保险金额
65.4+150.6+86+106+40
=
800,000
=0.056% =0.56‰
总费率= 纯费率+附加费率 =2.66 ‰
三、毛费率




毛费率 = 纯费率 + 附加费率
由公式计算出来的毛费率,一般只是承担的某一大类标的
平均数,不能适应某一大类分项业务的风险情况需要。
∵保额损失率实际上是由统计资料得出的,只能是某一险
种的总损失率,而且实际业务中,根据不同风险要按具体
情况分类制定。
∴在以往年度统计求得的保额损失率基础上,针对不同标
的,风险性质和风险程度,分项调整,这种调整即级差费
率。
第四节





寿险精算
寿险精算主要研究以生存和死亡为两大保险事故而引发
的问题。
寿险只讨论纯费率和附加费率。
附加费率如:营业、代理、理赔费、税等等。
精算着重于纯费率。
纯费率由:预定死亡率(生存率);预定利率。
一、生命表
1、概念
①一定的调查时期;②一定国家或地区;③一定的人群类别
(如男性.女性)等实际而完整的统计资料,经过分析、
整理、计算出某一人群中各种年龄的人的生存和死亡概率,
汇编而成的一种表格。
世界上第一份以科学方式编制的生命表是天文学家哈雷
1693年发表的。
2、生命表的种类
①反映程序详细否:完全生命表、简易生命表
②资料来源:国民生命表、经验生命表
3、 生命表内容
按年龄死亡率编制,反映一批人(最少十万/一百万人为单位)从出
生后陆续死亡的全过程。即从O岁起,逐年计算每个年龄人的生存人
数,死亡人数,直至表上人全死为止。生命表中规定最高年龄  。
生命表中次目有:
1. X:当年生存者年龄
2. Lx:生存数,指从初始年龄至满X岁尚生存的人数。
3. dX: X岁的人一年内死亡人数,即Lx中,从 X → X + 1 岁一年中
死亡人数 d x  lx  lx1
4. Px:生存率 X → X + 1 岁仍生存概率 px  lx 1 lx
5. Qx:死亡率 X → X + 1 岁前死亡概率 qx  d x lx
6. ex :平均余命或生命期望值,表示x岁的人以后还能生存的平均年
数。
1990-1993年中国人寿保险业经验生命表(男性)
x
Qx
Lx
dX
ex
0
0.003037
1,000,000
3,037
73.64
1
0.002157
996,963
2,150
72.86
2
0.001611
994,813
1,603
72.02
10
0.000437
987,916
431
64.50
20
0.001049
981,140
1,029
54.91
30
0.000963
971,627
936
45.40
40
0.002051
958,785
1,966
35.93
50
0.005260
928,133
4,882
26.93
60
0.013553
853,391
11,566
18.79
70
0.034504
687,094
23,707
11.98
80
0.085069
394,946
33,598
6.91
90
0.194795
99,580
19,398
3.66
100
0.386299
3,911
1,511
1.85
104
0.479911
438
210
1.02
105
1
228
228
0.50
1990-1993年中国人寿保险业经验生命表(女性)
x
Qx
Lx
dX
ex
0
0.002765
1,000,000
2,765
77.76
1
0.001859
997,235
1,854
76.98
2
0.001314
995,381
1,308
76.12
10
0.000249
990,406
247
68.49
20
0.000500
987,056
494
58.70
30
0.000566
981,927
556
48.98
40
0.001208
974,308
1,177
39.32
50
0.003277
955,337
3,131
29.99
60
0.009022
905,045
8,165
21.33
70
0.024610
779,707
19,189
13.84
80
0.065364
518,795
33,911
8.05
90
0.162374
174,756
28,376
4.21
100
0.349518
11,150
2,706
1.84
104
0.446863
1,585
708
1.05
105
1
228
228
0.50
二、资金的时间价值
1、资金的时间价值:资金在运动的过程中随着时间的变化而
发生的增值。
2、单利与复利

单利法:只以本金作为计算利息的基数 。

复利法:以本金和累计利息之和作为计算利息的基数 。
基本参数:
P:现值 Present Value;
F:未来值 Future Value;
r: 利率 Interest Rate;
n: 计息周期。
单利法计算利息结果
复利法计算利息结果
F  P(1  r )
n
未来值的计算
未来值是指若干计息周期以后包括本金和利息在内
的未来价值,即本利和。一次支付未来值的计算 :
F=?
0
1
2
3
…
n
P
现值的计算
现值的计算是指在已知未来值F求现值P的情况,是
上述未来值计算的逆运算。一次支付现值的计算:
F
r
0
1
2
n
P=?
普通年金的未来值计算
所谓等额年金是指在所考虑的期限内,各年的现金流量都相等。
从第一年年末到第n年年末,每年存入银行A元钱,在利率为r的情况下,
在第n年年末能取出多少钱?
F=?
r
0
1
2
3
n
.
.
.
A
(1  r ) n  1
FA
 A( F A, r , n)
r
普通等额年金的偿债基金
从第一年年未到第n年年末等额存入银行一笔资金的目的是为了能在
第n年年末偿还一笔借债。如果还款金额一定,那么每年应该存入银
行多少钱呢?这就是普通等额年金的偿债基金问题。
F
r
0
1
2
3
n
.
.
.
A=?
r
A F
 F ( A F , r , n)
n
(1  r )  1
普通等额年金的现值
P=?
r
0
1
2
3
n
.
.
.
A
(1  r ) n  1
P A
n  A( P A, r , n)
r (1  r )
普通等额年金的资金回收
如果在有一笔投资P,准备在n年内等额回收,在利率为r的
条件下,每年要回收多少才能全部收回投资?这就是普通等
额年金的资金回收问题。
P
r
0
1
2
3
n
.
.
.
A=?
r (1  r ) n
A P
 P( A P, r , n)
(1  r ) n  1
三、寿险保费的计算
在以后的计算中假设:

生死规律遵循预定生命表
年初缴费(同一种类的保险合同,全部于该年龄初同
时订立)

保险金年末支付

保费按预定利率复利生息,并假定利率为i

保险金额为1元,因而所求得的纯保费就是纯保险费率
生命表中某一年龄的人都向保险公司投保了某种保险


假设
1
V
1 i
V
n
 1 


 1 i 
Dx  V .lx
x
Cx  V x 1.d x
M x  Cx 
Nx  Dx 
 Cw
 Dw
n
计算原理:在整个保险期间内,收支相等,计算时基于
某一时点:
 收取的与欲收的保费的时间价值=给付的与欲给付
的保险金的时间价值
资金的时间价值
利率 :i
复利终值:1元在n期后的价值 1  i  n
复利现值: n期末1元在现在的价值
1  i 
n
四、趸缴纯保费
趸缴:投保人在保险开始时向保险公司一次缴清其全
部应缴的保险费的缴费方式。
1、定期人寿保险的纯保费
假设保险期限为n年。按照定期人寿保险的承保
条件,如果被保险人在保险期内遭遇死亡,则由保险
公司按保险金额给付;如果被保险人生存至期满,则
保险公司无须支付。
假定被保险人的年龄为x岁,年初每个投保人应
1
缴的纯保费为 Ax:n 元:
lx A1x:n  1d x v  1d x 1v 2 
 1d x  n 1v n
A1x:n
d x v  d x 1v 2 

lx
 d x  n 1v n
A1x:n
d x v  d x 1v 2 

lx
 d x  n 1v n
A1x:n 
x 1
x2
d
v

d
v

 x
x 1
lx v x
 d x  n 1v n  x 
Cx  V
x 1
M x  Cx 
1
x:n
A
Dx  V .lx
x
.d x
 Cw
 (Cx  Cx 1 
M x  M xn

Dx
1
 Cx  n 1 ).
Dx
已知
L35=9373807
d35=23528
预定利率=2.5%
某35岁投保一年期的定期保险,保险金额为1000
元,请计算此人应缴纳的趸缴净保费。
1958年NAIC标准普通生命表
年龄
年初生存人数 年内死亡人数
35
9 373 807
23 528
36
9 350 279
24 685
37
9 325 594
26 112
 1d35v
1
35:1
l35 A
1
35:1
A
  d35 / l35  * v
1
35:1
1000 A
 2  45
若此人投保二年期的定期寿险,保险金额是
1000,应缴纳多少保险费?
2、终身人寿保险的纯保险费
终身人寿保险的保险期间亘于被保险人的一生,仅于被保险
人死亡时给付保险金。
Ax  (Cx  Cx 1 
1 Mx
 C )

Dx Dx
某65岁退休老人,其20000元保险金额的终身寿险
单已累计了现金价值11400元, 如果他想用这笔现
金价值把这份保险单转换为保险费缴清保险单,试
计算保险费缴清保单的保险金额.
A65  0  73080721
设Y=未知保险金额
Y*A65=11400
Y=11400/A65=15599.19元
3、纯粹生存保险的纯保险费 n E x
 纯粹生存保险提供被保险人在某一年龄之后的生活收入。
 生存保险以被保险人在一定时期内继续生存为条件,由
保险人给付保险金的责任。假若被保险人不幸在期内死
亡,则合同终止,保险人不作任何给付。
 生存保险金给付的多少,由到期时尚生存的被保险人
数量决定。
l x . n E x  v n .l x  n



n Ex
n
n
v n .l x  n

lx
Ex
v n .l x  n v x

l x .v x
Ex
Dx  n

Dx
Dx  V .lx
x
定期生存险的例子
例:30岁男性投保五年期的生存险,当保额为1000
元时所应趸交的纯保费( i=8%)
解: 5E30=L35/L30 ×(1+0.08)-5 =0.67733
纯保费=0.67733 ×1000=677.33(元)
定期死亡险的例子
例:30岁男性投保五年期的死亡险,当保额为
1000元时所应趸交的纯保费。( i=8%)
解:
1
30:5
A
d30   d31   d32   d33   d34 

l30
2
3
4
 0.00378
纯保费=0.00378 ×1000=3.78(元)
5
4、混合保险的纯保险费
 混合保险是一种生死合险,即被保险人不论生存或死亡,
到达一定时期后,保险人均须给付定额保险金。
 混合保险可看作定期保险与生存保险的组合。
Ax:n  n Ex  A
1
x:n
Dx  n  M x  M x n

Dx
定期生死二全险的例子
例:30岁男性投保五年期的生死二全险,当保
额为1000元时所应趸交的纯保费。( i=8%)
解:
1
A30:5  5 E30  A30:5
 0.67733  0.00378
 0.68111
纯保费=0.68111 ×1000=681.11(元)
五、趸缴年金保险的纯保险费

年金:按期收或支付相同的款项,数额一般是相同的。

年金保险:是一种承诺在一定时期给付一定款项的保险。
保险公司对年金保险的承保责任是被保险人的终身或者在
一定时期内,被保险人生存时每隔一定时期(一般为一
年),由保险公司按期支付一次年金直至被保险人死亡或
保险期限届满为止。



趸缴保费即期年金
 收到保费后,即开始支付
趸缴保费延期年金
 合同成立后,保险人要在一定时期或被保险人达到一定
年龄后,才开始给付年金.
1、即期年金
期首付年金:


假定x岁的人投保为n年的年金保险。
保险公司每年初支付的保险金分别为
lx元、lx1元、 、lxn1元

投保人应缴的纯保费为 ax:n
Dx  V x .lx
 lx  n 1.v n 1
lx .ax:n  lx  lx 1.v 
ax:n 
 lx  n 1.v n 1
lx  lx 1.v 
 ax:n
lx
D x  Dx 1 

Dx
DX  n 1
Nx  Dx 
ax:n
 Dw
N x  N xn

Dx


永续
Nx
ax 
Dx
期末付年金:


假定x岁的人投保为n年的年金保险。
保险公司每年末支付的保险金分别为
lx1元、lx2元、 、lxn元

投保人应缴的纯保费为 a' x:n
lx .ax' :n  lx 1.v 
a
'
x:n
l


a
'
x:n
x 1
l x  n .v n
.v 
l x  n .v
lx v x
N x 1  N x  n 1

Dx
n
v
x
期末付永续年金
'
x
a
N x 1
a 
Dx
'
x
2、延期年金
 与即期年金的区别:在保险合同成立后,保险人
要在一定时期或被保险人达到一定年龄后,才开
始给付年金。
 如,x岁的人投保期限为n年的年金保险,即支付
期为n年;m年后开始(在期首)给付,即延期m年。
 用
表示n年定期期首付延期年金的纯保险费。
m
ax:n
lx

m
m
终身
ax:n  lx  m v m  v m 1lx  m 1 
N xm  N xmn
ax:n 
Dx
m
ax 
N xm
Dx
v m  n 1 lx  n  m 1
延期期末付年金:
lx

终身
m
a ' x:n  lx  m1v m1  v m 2lx  m 2 
'
m
a x:n
N x  m1  N x  m n 1

Dx
m
N x  m 1
a 
Dx
'
x
v m  n lx  n  m
六、年度纯保险费
按年交付的保险费即为年度保险费。
假定n年定期死亡保险的纯保险费分m年付清,
用
m Px:n
表示年度纯保费,则保险公司各年收取的
纯保险费分别为
l P 元、l
P 元、 、l
P 元
x m
x:n
x 1 m
x:n
x m1 m
x:n
年度纯保费的现值之和=一次付足的纯保费的现值
lx . Ax1:n 
m
Px:nlx  lx 1 m Px:n v
lx  2 m Px:n v 2 

m
Px:n
lx  m 1 m Px:n v m 1
lx . A1x:n v x

(lx  lx 1v  l x  2 v 2 
lx  m 1v m 1 ).v x
lx . Ax1:n v x
 x
v lx  lx 1vv x  lx  2 v 2 v x 
A1x:n D x

Dx  Dx  m 1
M x  M xn

N x  N xm
l x  m 1v m 1v x
M x  M xm x
D
x
D

N x  N xm
例: 30岁男性投保五年期的死亡险,当保额
为1000元时年交纯保费。( i=8%)
1
l30  A30:5
 l30  5 P30:5  l31  5 P30:5v  l32  5 P30:5v 2  l33  5 P30:5v3  l34  5 P30:5v 4
1
A30:5
(5 P30:5  (l30  l31  (1  0.08)1  l32  (1  0.08) 2  l33  (1  0.08) 3
 l34  (1  0.08)4 )) l30
0.00378  5 P30:5  4.25074
 5 P30:5  0.00378 4.25074  0.00089元
年交纯保费=1000×0.00089=0.89元
七、人寿保险的毛保险费
1、比例法:假定附加保费为毛保费的一定比例,设为K。
若纯保费为P,毛保费为P’,则
P  P  KP
'
'
 P '  P (1  K )
2、比例常数法:根据每张保单的平均保额,推算出每单位
保额所必须支付的费用,作为一个固定常数(用C表示),
然后再确定一个毛保费的比例作为附加费用,则
P '  P  KP '  C
 P '  ( P  C ) (1  K )
八、责任准备金及其计算
基本原理:
t年以前全部已收纯保险费的积存值+t年以后全部未收纯保
险费的现值=根据生命表t年以前已付保险金的积存值+t年
以后保险责任的现值
责任准备金
=t年以前全部已收纯保险费的积存值-根据生命表t年以前已
付保险金的积存值 (过去法)
=t年以后保险责任的现值-t年以后全部未收纯保险费的现值
(未来法)
定期死亡险责任准备金
假定缴费次数与保险年限相同

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