CHUONG 2-BNN VA QUI LUAT PPXS

Report
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
NỘI DUNG:
I. BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN)
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
III. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
1. Khái niệm
Biểu diễn định lượng các kết quả của thí
nghiệm ngẫu nhiên (phép thử ngẫu nhiên)
 X là biến ngẫu nhiên
X(B)

X :  R

X ( )
B
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
1. Khái niệm
Biến ngẫu
nhiên
Biến ngẫu nhiên
rời rạc
Biến ngẫu nhiên
liên tục
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
1. Khái niệm
BNN rời rạc: Có miền giá trị là tập hữu hạn
hoặc vô hạn đếm được
 Ví dụ

Tung một con xúc sắc 2 lần
Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.

Tung đồng xu 5 lần
Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.

Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
1. Khái niệm
BNN liên tục: Có miền giá trị là R hoặc một
tập con của R.
 Ví dụ
- Chiều cao, cân nặng.
- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.

I. BIẾN NGẪU NHIÊN
2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)
BNN rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.
 Bảng phân phối xác suất của X:

x1
X
P( X ) p1

Chú ý:
x2
p2
1) pi  P  X  xi 
n
2) pi  1
i 1
xn
pn
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)
Ví dụ: Tung 2 đồng xu.
Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình.
4 khả năng có thể xảy ra
Phân phối xác suất
S
H
H
S
H
S
H
x
P(x)
0
1/4 = .25
1
2/4 = .50
2
1/4 = .25
Xác suất
S
.50
.25
0
1
2
x
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)

Hàm mật độ xác suất: f(x) gọi là hàm mật độ
xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu
i) f ( x)  0 x

ii)  f ( x)dx  1


Ví dụ: cho hàm mật độ xác suất của X
2

cx
, x   0, 2

f ( x)  

0 , x   0, 2
Tìm c
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)

Tìm P(a<X<b)?
f(x)
P (a ≤ x ≤ b)
a
b
P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)
b
 P(a  X  b)   f ( x)dx
a
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
4. Hàm phân phối xác suất

Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác
suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như
sau
F ( x)  P  X  x 
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị
x1, x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất
tương ứng p1, p2, …, pn.
Bảng phân phối xác suất của X
X x1 x 2 …
xn-1 xn
P p1 p 2 …
pn-1 pn
Hàm phân phối xác suất:
F(x) 
p
xi x
i
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)
0 , x  x1
p ,x  x  x
2
 1 1
 p1  p2 , x2  x  x3
F ( x)  P( X  x)  

 p1  p2  pn1 , xn1  x  xn

1 , x  xn
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác
suất của X
F ( x)  P  X  x  
x


f (u)du
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)

Ví dụ
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
3 2
 x , x  0, 2
f ( x)   8
0
, x  0, 2



Tìm hàm phân phối F(x).
Tính P(1<X<3/2).
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
4. Hàm phân phối xác suất
Tính chất
1) 0  F ( x)  1.

2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a)  F(b).
F ()  lim F ( x)  0
x 
3)
F ()  lim F ( x)  1
x 
4)
P(a  X  b)  F (b)  F (a)
5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm
phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại
những điểm liên tục của X.
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
1. Kỳ vọng
Kỳ vọng: Là giá trị trung bình theo xác
suất của tất cả các giá trị có thể có của
biến ngẫu nhiên.
 Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của
phân phối xác suất

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)

BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X
P
x1 x2 …
p 1 p2 …
xn-1 xn
pn-1 pn
n
Kỳ vọng của X: E ( X )   xi pi
i 1
Kỳ vọng thường được ký hiệu là .
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)
Ví dụ: Tung 2 đồng xu.
Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính E(X).
Bảng phân phối xác suất

X 0
1
P 0.25 0.5
2
0.25
E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
1. Kỳ vọng (BNN liên tục)
BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x).

Kỳ vọng của X:

E( X ) 
 xf ( x)dx

Ví dụ: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ
3 2
 x , x   0,2
f ( x)   8
0 , x  0,2

Tính E(X).
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
1. Kỳ vọng
Tính chất của kỳ vọng:

E(a) = a, a: hằng số

E(aX) = aE(X)

E(X + Y)=E(X) + E(Y)

E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
2. Phương sai

Phương sai: Biểu thị độ phân tán của các giá trị của
biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó.
Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần
trung bình.

Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X), phương sai
của X
2
V ar(X)  E  X  E ( X ) 
 V ar(X)= E ( X 2 )  E ( X ) 2

Phương sai thường được ký hiệu là 2.
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
2. Phương sai (BNN rời rạc)

Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
n
Var ( X )  E  X  E ( X )    xi  E ( X ) pi
2
2
i 1
hoặc
n
Var ( X )  E ( X 2 )   EX    xi2 pi  E ( X ) 2
2
i 1
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
2. Phương sai (BNN rời rạc)
Ví dụ: Tung 2 đồng xu.
Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính Var(X).
Bảng phân phối xác suất

X 0
1
P 0.25 0.5
2
0.25
E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25 = 1
Var(X) = E(X2) – E(X)2 =
= (02x0.25 + 12 x0.5 + 22x0.25) – 12 = 0.5
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
2. Phương sai (BNN liên tục)

Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật
độ xác suất f(x).
Var ( X )  E  X  E ( X ) 
2

  x  E( X ) 
2
f ( x)dx

hoặc

Var ( X )  E ( X 2 )  E ( X )2 


x 2 f ( x)dx  E( X )2
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
2. Phương sai (BNN liên tục)

Ví dụ
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
3 2
 x , x  0, 2
f ( x)   8
0
, x  0, 2

Tính E(X), Var(X).
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
2. Phương sai
Tính chất của phương sai:
 Var(a) = 0, a:hằng số
 Var(aX) = a2Var(X)
3) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
(nếu X và Y độc lập)
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
3. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn:Là căn bậc hai của
phương sai.
    VarX
2
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
4. Số mode (Giá trị tin chắc)
Số mode: Là giá trị của BNN có xác suất lớn
nhất.
 Ví dụ: Tung 2 đồng xu.
Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Bảng phân phối xác suất

X 0
1
P 0.25 0.5
Mod(X) = 1
Vì P(X = 1) = 0.5
2
0.25
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
5. Số trung vị

Số trung vị: Là giá trị của BNN chia phân
phối xác suất thành 2 phần có xác suất
bằng nhau.
1
P(X  med(X))  P(X  med(X)) 
2
Nguoàn : TuoåiTreû,ngaø
y 4/9/2003
ÑIEÅ
M
30.0
29.0
28.0
27.0
26.0
25.0
24.0
23.0
22.0
21.0
20.0
19.0
18.0
17.0
16.0
15.0
14.0
13.0
12.0
11.0
10.0
9.0
8.0
7.0
0
6.0
5000
5.0
10000
4.0
25000
3.0
26595
30000
32797
34878
35707
35506
35357
34640
33588
32802
31724
30629
29420
28858
27731
26697
25326
24237
23161
21803
20560
19509
18769
17397
16543
15350
14540
13442
12746
11668
10663
10036
9081
8587
7734
6939
6308
5764
5023
4469
3887
3519
3038
2531
2185
1818
1613
1275
1041
825
609
433
293
207
100
60
32
4
2
19413
35000
2.0
15000
12482
12451
20000
1.0
0.0
BIEÅ
U ÑOÀPHAÂ
N PHOÁ
I ÑIEÅ
M CUÛ
A 141 TRÖÔØ
NG ÑAÏI HOÏC NAÊ
M 2003
SOÁTHÍ SINH
40000
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1. Phân phối nhị thức

BNN X có phân phối nhị thức, X  B n,p
p(x)  P(X  x)  Cn p 1  p 
x
x
nx
; x  0,1,
, n
Ví dụ: Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trong 1 lô hàng
là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 100 sản phẩm
ra để kiểm tra. Tính xác suất để:
a) Có 3 sản phẩm bị lỗi.
b) Có không quá 3 sản phẩm bị lỗi.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1. Phân phối nhị thức

Nếu n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1 thì
ta có công thức xấp xỉ sau:
 k  np 
1
1) P(X  k) 
f


np(1  p)  np(1  p) 
 b  np 
 a  np 
2) P(a  X  b)   
 
 np(1  p) 
 np(1  p) 






Giá trị của hàm f(x) tra bảng phụ lục 1, f(- x) = f(x)
Giá trị của hàm φ(x) tra bảng phụ lục 2, φ(- x) = - φ(x)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1. Phân phối nhị thức
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất sản phẩm với tỷ
lệ sản phẩm loại A là 20%. Nếu lấy ngẫu
nhiên 400 sản phẩm, tính xác suất để:
a) Được 80 sản phẩm loại A.
b) Được từ 60 đến 80 sản phẩm loại A.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2. Phân phối possion

BNN X có phân phối possion, X  P(λ)
p(x)  P(X  x) 
x
x!
e ; x  0,1,

, n
Ví dụ: Một nhà máy dệt có 1000 ống sợi.
Xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có 1
ống sợi bị đứt là 0,2%. Tính xác suất để trong
1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi
bị đứt.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2. Phân phối possion
Mô hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết
quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n  100) và p nhỏ (p  0,01
và np  20).
Khi đó X ~ P(). Với  =np
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2. Phân phối possion

Ví dụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ
em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị
phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001.
Tính xác suất trong 2000 trẻ có không
quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
3. Phân phối siêu bội

BNN X có phân phối siêu bội, X H(N, M, n)
x
CM
CnNxM
p(x)  P(X  x) 
; x  0,1, , n
n
CN
Ví dụ: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm,
trong đó có 4 loại A. Lấy ngẫu nhiên 4 sản
phẩm từ lô hàng, tính xác suất để có 2 sản
phẩm loại A
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
3. Phân phối siêu bội
Nhận xét:
x
nx
M
x x
n x
C
.C
M
N

M
Nếu n << N thì
 Cn p (1  p)
,p = N
C
n
N
Suy ra:
M
Khi n << N, thì H(N, M, n)  B(n;p) , p =
N
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
4. Phân phối chuẩn

BNN X có phân phối chuẩn, X  N(μ; σ2)
( x   )2

2 2

1
f (x) 
e
 2
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X
bằng cách đặt
X μ
Z
σ


Khi đó E(Z) = 0 và Var(Z) = 1. Ta nói Z có phân
phối chuẩn hóa. Ký hiệu X  N(0; 12)
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
4. Phân phối chuẩn
Nhận xét: X  N(μ; σ2)
 x2   
 x1   
1) P(x1  X  x 2 )   
 







 
2) P  X       2  
 
 P  X       68%

  P  X    2   95%;

 P  X    3   99.99%
x
3) P(X  x)  0.5   

  
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
4. Phân phối chuẩn
Ví dụ: Lãi suất đầu tư vào Công ty B là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn , biết xác
suất để đạt được lãi suất trên 20%/ 1 năm là
0.2 và dưới 10%/ 1 năm là 0.1.
a) Tìm kỳ vọng và phương sai .
b) Tính xác suất để khi đầu tư vào công ty B đó
được lãi suất ít nhất 14%/ 1 năm.

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
5. Phân phối mũ

BNN X có phân phối mũ, X  Exp(λ)
p(x)  P(X  x)  ex , x  0
: số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị
thời gian.
x: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.
e = 2.71828
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
5. Phân phối mũ
Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là
15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách
hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao
nhiêu.
 Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó 
= 15

3 phút = 0.05 giờ

T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.

P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276

Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách
hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
6. Phân phối student
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) và Y ~ 2(n);
X và Y độc lập với nhau.
 Đặt

X
T
Y
n
Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối
Student với n bậc tự do.
 Ký hiệu: T ~ t(n)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
7. Phân phối chi bình phương

Xét Z1, Z2, ..., Zn là n biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn hóa, tức là Zi ~ N(0,1) với i=1,..,n. Z1, Z2, ...,
Zn độc lập với nhau.

Đặt
n
 2  Zi2  Z12  Z 22  Z n2
i 1

Biến ngẫu nhiên  2 gọi là có phân phối Chi – bình
phương với n bậc tự do.

Ký hiệu:
 2 ~  2 (n)

similar documents