Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1

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Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1 - MEDICIONES, ERRORES Y AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
Definiciones y conceptos básicos
Magnitud física atributo cuerpo, fenómeno o sustancia susceptible de ser medido.
Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la carga eléctrica, etc.
Medir: comparar objeto con otro tomado como patrón universal que se define como unidad.
Proceso medición intervienen: mesurando (magnitud objeto a medir) , método de
medición ( sistema de comparación), instrumento de medición (incluye al observador)
- y definir unidades de medición.
En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el
método de medición, el observador y el entorno en que se realiza la medición. Asimismo, el
mismo proceso de medición introduce errores o incertezas.
No podemos obtener con certeza “el” valor del mesurando
solo podemos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente
contenido el mejor valor del mesurando.
Resultado final de una
medición: un número real,
valor de una magnitud física,
su unidad correspondiente y un
intervalo de incertidumbre:
x  x
Héctor Korenko -2012
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Definiciones y conceptos básicos
x  x
x
N mediciones: valor medio o promedio
1
x
N
N
x
i 1
i
N = 1 es el resultado de la única medida realizada
x
incertidumbre absoluta o error absoluto.
ERRORES O INCERTIDUMBRES
Medición: o no conocemos valor exacto o verdadero de la magnitud o no existe dicho valor.
Extraño en términos física clásica
Habitual en física moderna (mecánica cuántica) magnitudes no tienen valor determinado, y lo
que se mide es algo probabilístico.
Resultado medición: valor mejor representa magnitud y estimación incertidumbre medida.
Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición.
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Tipos de errores –error nominal
Error de apreciación σap – Asociado mínima división de escala o mínima
división que podemos resolver con algún método de medición.
No precisamente mínima división del instrumento, sino mínima división discernible por
observador. Puede ser mayor o menor que apreciación nominal, dependiendo habilidad (o
falta de ella) del observador.
Error de exactitud σexac - Error absoluto con que el instrumento ha sido
calibrado. Se suministra como información del instrumento.
Error de interacción σint - Proviene de la interacción del método de medición
con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor
se estima de un análisis cuidadoso del método usado.
Ejemplo: Medición de temperatura con un termómetro de bulbo.
Error falta definición objeto sujeto a medición σdef -Incertidumbre asociada
con la falta de definición del objeto a medir (incertidumbre intrínseca).
Ejemplos: actividad material radiactivo, longitud con apreciación muy pequeña (límites del
objeto dejan de estar bien definidos).
Error nominal de una medición σnom- En un experimento todas estas fuentes
de incertidumbres, independiente entre sí, pueden estar presentes, resulta útil
definir:
2
2
2
2
 nom   ap   def   int   exac
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Errores estadísticos- Error absoluto
Errores estadísticos σest- los que se producen al azar, debidos a causas
múltiples y fortuitas.
Pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Midiendo varias
veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente.
Teoría estadística comúnmente hace referencia de ellos como errores de medición.
Para determinar el error estadístico, procederemos de
la siguiente forma.
Calculamos primeramente la desviación estándar Sx
 x
N
Sx 
Finalmente determinamos el error estadístico est
j 1
j
x
N 1
 est

N
2

 x
j 1
2
j
N 1
Sx

N
Error absoluto o efectivo Δx resulta de combinar el error nominal con el
estadístico de la siguiente forma:
2
2
2
2
2
2
2
x   est
  nom
  est
  ap
  def
  int
  exac
Si hacemos una única medida:
σest = 0
y
Δx = σnom
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Número óptimo de mediciones
Sx (desviación estándar) dispersión de cada medición y no depende de N
(número de medidas) sino de la calidad de las mediciones,
σest (error estadístico) sí depende de N, y es menor cuanto más grande es N.
Por ejemplo si medimos una longitud con regla graduada en mm, por más que aumentamos
N (disminuyendo σest ) nunca con esta regla podremos dar con certeza cifras del orden de
los micrones, por más que realicemos muchas mediciones.
Al aumentar N, σest disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x
solo puede disminuir hasta hacerse igual o del orden de σnom.
No es razonable esforzarse en disminuir σest mucho más que σnom.
Suponiendo que Sx es constante con N, hacemos un número pequeño de
mediciones Nprel, de 5 a 10 y calculamos Sx:
2
 SX 

N OPTIMO  

 nom 
Si NOPTIMO > Nprel, se completan las mediciones hasta NOPTIMO.
Si NOPTIMO < Nprel, no se realizan más mediciones que las preliminares y se usan todas ellas.
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Tipos de errores –error interacción
Error de interacción σint
Barra ajuste micrómetro
confeccionada para ser usada
a 20ºC.
Apreciación instrumento:
0,01 mm (10 mm)
coefiente dilatación lineal
del acero:
1,1x10-5 /ºC)
Temp. ambiente 5ºC
Longitud calibre 150 mm
L = 25 mm
L    T  L
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Tipos de errores –error definición
Error falta definición objeto sujeto a medición σdef : Medir una longitud con
una apreciación de micras
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Cifras significativas
Regla 1: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del
primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 2: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras
decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.
Regla 3: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas
del resultado es igual al del factor con menos cifras.
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Propagación de errores
Para determinar errores de una magnitud V que se calcula a través de
otras magnitudes x, y , z cuyos errores se conocen (Δx, Δy y Δz )
 V
 V 
2
V  
 .x  

x


 y
2
Segundo orden
Primer orden
Z  x y
2

 V 
2
 .y 2  
 .z  ...
 z 

2
V
V
V
V 
.x 
.y 
..z  ...
x
y
z
Z 2  x 2  y 2
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL
O LINEALIZACIÓN
Minimizo:
2
  i  Yi  f ( X i )   Yi aX i b  .
2
   i2
0
a
a
y
2
   i2
0
b
n X i Yi  X i . Yi
n. X i2   X i 
2
 X . Y   X . X Y
b
n. X   X 
2
i
i
i
2
i
Coeficiente de correlación:
r
i i
2
i
n. xi . yi   xi . yi
n. x    x  . n. y    y 
2
i
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2
i
2
i
2
i
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL
O LINEALIZACIÓN
Funciones no lineales que se pueden linealizar: cambio de variables
Y  aX  b
Exponencial
Potencial
y  ce

y  cx
ax
Y i ln(yi )
X i  xi
Y i log(yi )
X i  log(xi )
Racional
y

xC
Y i
1
yi
X i  xi
c  eb
y  eb e ax
 a
c  10
b
y  10b x a
 a
1

a
C
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b
a
y
1
a
x
b
a
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