(aD 2 +bD+c)y=0 之解

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工程數學
第二章
高階常微分方程式
工程數學
微分運算子

D
d
y  y'
dx
d2
2
D y  2 y  y' '
dx
D n y  y (n)
Dy 
線性n階微分運算子
L( D)  an ( x) D n  an 1 ( x) D n 1  an  2 ( x) D n  2  .....a1 ( x) D  a0 ( x)
線性n階微分方程式_可表為
L( D) y  r ( x)

齊次&非齊次, 線性&非線性
C1 y ' 'C2 y 'C3 y  r ( x)(常係數常微an ( x), an 1 ( x),.....a1 ( x), a0 ( x) 為常係數)
C1 y ' 'C2 y 'C3 y  0(常係數線性齊次L( D) y  0)
C1 y ' 'C2 y 'C3 y  3x 2  x (常係數線性非齊次L
1
( D) y  0)
x 2 y ' ' xy'2 y  3x 2 ( 尤拉_科西an ( x)  an x n , an 1 ( x)  an x n 1.....)線性非齊次
y ' ' yy'2 y  x(非線性非齊次)
工程數學
高階線性常微

1. y ' '3 y '2 y  e x
( D 2  3 D  2) y  e x
2. y ' '3 y '2 y  0
( D 2  3 D  2) y  0
y1  e x
y2  e 2 x
y3  C1e x  C2 e 2 x
若y1為其解,y 2 為其解,則y 3  C1 y1  C2 y2 為其解
y1 / y2  常數,則 y,y
1
2 為線性獨立
若y,y
1
2 為線性獨立解,即為其 通解之基底
......y3  C1 y1  C2 y2 為其通解
y1 / y2=常數,則 y,y
1
2 為線性相依
工程數學
線性獨立

P.68 :
定義:
y1 , y2 , y3 ........,yn
C1 y1  C2 y2  ........ Cn yn  0
只有在..C1  C2  ........ Cn  0.才才成立.
線性獨立
若存在..一組不全為0之C1 , C2 ........Cn ..線性相依
exp5
工程數學
判斷線性獨立

P.69 :
1. y1  x, y2  x 2
y1 / y2  1 / x  常數.....線性獨立
2. y1  x, y2  2 x
y1 / y2  1 / 2  常數.....線性相依
Wronskian  Deter min ant朗斯基行列式
W ( y,y
1 ,y
2
3 ......y n )=
y1
y1 '
y1
( n 1)
y2 .....
y2 '
yn
y 'n
yn
( n 1)
W ( y,y
1 ,y
2
3 ......y n )  0則y,y
1 ,y
2
3 ......y n 為線性獨立
W ( y,y
1 ,y
2
3 ......y n )  0則y,y
1 ,y
2
3 ......y n 為線性相依
exp7
工程數學
L(D)y=0 & L(D)y=r(x)之解

p.70
1. y ' '3 y '2 y  0
yh  C1e x  C2 e 2 x 為其通解
2. y ' '3 y '2 y  e3 x
1 3x
y p  e 為其一特解
2
3. y ' '3 y '2 y  e3 x
之通解:y  yh  y p
工程數學
(aD2+bD+c)y=0 之解(一)

p.73
1.ay' 'by' cy  ( aD2  bD  c) y  0
化為a ( D  1 )(D  2 )  0
設新參數z  ( D  2 ) y
則( D  1 ) z  0
此為線性一階
e 1 x z   e 1x  0dx  K1..........z  K1e 1x 為其解
帶入z  ( D  2 ) y  K1e 1x
解:e 2 x  y   e 2 x K1e 1x dx  K 2
y  K1e 2 x  e ( 1 2 ) x dx  K 2 e 2 x
工程數學
(aD2+bD+c)y=0 之解(二)

p.73
ay' 'by'cy  (aD2  bD  c) y  0
y  K1e 2 x  e ( 1 2 ) x dx  K 2 e 2 x
1 , 2 為(aD2  bD  c)  0之解
I、 1  2 ...
y
K1
K1
e 2 x e ( 1 2 ) x  K 2 e 2 x 
e 1x  K 2 e 2 x  C1 e 1x  C2 e 2 x
(1  2 )
(1  2 )
II、 1  2  ..y  K1 xe2 x  K 2 e 2 x  C1 e x  C2 xex
III、 1  p  iq, 2  p  iq
下頁
工程數學
(aD2+bD+c)y=0 之解(三)

p.74
ay' 'by'cy  (aD2  bD  c) y  0
III、 1  p  iq, 2  p  iq
尤拉公式 ( Euler' s  Form ula)...ei  cos  i sin 
y  C1 e 1x  C2 e 2 x  e px [C1 eiqx  C2 e iqx ]
 e px [C1 (cosqx  i sin qx)  C2 (cosqx  i sin qx)]
 e px [(C1  C2 ) cos qx  i (C1  C2 ) sin qx]
 e px [ A cos qx  B sin qx]
A, B任意常數, , e px cos qx, e px sin qx通解之(基底)
(aD2+bD+c)y=0 之解(四)

P76-78….Exp-3~10
工程數學
(aD2+bD+c)y=r(x) 之解(一)

yh 為aD2  bD  c  0之之通解
y p 為aD2  bD  c  r ( x )一特解
aD2  bD  c  r ( x )之通解y  yh  y p
y p 之求法
1.分解降階,2.待定係數 3.參數變換 4.逆運算子
   待定係數
I .. y ' '3 y '2 y  e 3 x
....令yp  Ae3 x ...則y' p  3 Ae3 x , y ' ' p  9 Ae3 x
....帶入上式 ....9 Ae3 x  9 Ae3 x  2 Ae3 x  e 3 x
....2 A  1.....A  1 / 2
yh  C1e x  C2 e 2 x 為y ' '3 y '2 y  0通解
yh  C1e x  C2 e 2 x  1/2e 3 x 為y ' '3 y '2 y  e 3 x 通解
工程數學
(aD2+bD+c)y=r(x) 之解(二)

待定係數
II..y ' '3 y '2 y  cos3x
....令yp  A cos3 x  B sin 3 x...則y' p  3 A sin 3 x  3B cos3 x.,
y ' ' p  9 A cos3x  9 B sin 3 x
....帶入上式....(9 A cos3 x  9 B sin 3 x)  3(3 A sin 3 x  3B cos3 x)  2( A cos3 x  B sin 3 x)  cos3 x
7
9
,B 
130
130
yh  C1e x  C2 e 2 x 為y ' '3 y '2 y  0通解
....比較係數

 7 A9 B 1
9 A 7 B  0
yh  C1e x  C2 e 2 x 
解之A 
7
9
cos3x sin 3 x為y ' '3 y '2 y  cos3 x通解
130
130
(aD2+bD+c)y=r(x) 之解

P84-86….Exp-11~14
工程數學
尤拉科西微分方程式(一)
an x n y ( n )  an 1 x n 1 y ( n 1) .... a0 y  r ( x )
ax2 y ' 'bxy' cy  0 線性齊次
設x  e z , 即z  ln x, 以z取代x
原y  y ( x ), 設y ( z )  y ,
dy
dy '
 y',
 y' '
dz
dz
dz
1 d 2z
1
 ,

dx
x dx2
x2
dy
dy dz
1 dy 1
y' 


 y',
dx
dz dx
x dz
x
d2y
d 1
1 dy '
d 1
y' ' 

(
y
'
)


y
'
( )
dx2
dx x
x dx
dx x
1 dz dy '
1
1
1

 y ' ( 2 )  2 y ' ' y ' ( 2 )
x dx dz
x
x
x
1
1
1
ax2 y ' 'bxy' cy  ax2 [ 2 y ' ' y ' ( 2 )]  bx y ' cy  0
x
x
x
ay ' ' (b  a ) y ' cy  0.....新的常係數常微
工程數學
尤拉科西微分方程式(二)
ay ' ' (b  a ) y ' cy  0.....新的常係數常微
1 , 2 為(aD2  (b  a ) D  c  0之解
I、(b  a ) 2  4ac  0....1  2
y  C1 e 1 z  C2 e 2 z
y  C1 e 1 ln x  C2 e 2 ln x  C1 x 1  C2 x 2
II、(b  a ) 2  4ac  0.....1  2  
y  C1 e z  C2 ze z
y  C1 e  ln x  C2 ze  ln x  C1 x   C2 x  ln x
III、(b  a ) 2  4ac  0....1  p  iq, 2  p  iq
y  e pz [ A cos qz  B sin qz]
y  x p [ A cos q ln x  B sin q ln x]

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