(1):等腰三角形的两个底角相等。

Report
等腰三角形的性质与判定
1.性质
(1):等腰三角形的两个底角相等。
(2):等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。
2.判定
定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角
形。
等腰三角形:
1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。
2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三
角形。
3 , 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半
 等腰三角形性质与判定的应用
(1)计算角的度数
利用等腰三角形的性质,结合三角形
内角和定理及推论计算角的度数,是等腰
三角形性质的重要应用。
①已知角的度数,求其它角的度数
②已知条件中有较多的等腰三角形(此时
往往设法用未知数表示图中的角,从中得
到含这些未知数的方程或方程组)
(2)证明线段或角相等
 以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
 如图:若AB=AC
A
 ①作AD⊥BC于D,必有结论:∠1=∠2,
12
BD=DC
 ②若BD=DC,连结AD,必有结论:∠1=∠2,
AD⊥BC
B
C
D
 ③作AD平分∠BAC必有结论:AD⊥BC,
BD=DC
 作辅助线时,一定要作满足其中一个性质
的辅助线,然后证出其它两个性质,不能
这样作:作AD⊥BC,使∠1=∠2.

例1 已知一腰和底边上的高,求作等腰三角形。
分析:我们首先在草稿上画好一个示意图,然后对照此图写出已知和求作并
构思整个作图过程……
A
已知:线段a、h
求作:△ABC,使AB=AC=a,高AD=h
a
作法:
1、作PQ⊥MN,垂足为D
2、在DM上截取DA=h
3、以点A为圆心,以a为半径作弧,交PQ
B
于点B、C
4、连结AB、AC
则△ABC为所求的三角形。
h
h
a
D
C
A
M
P
B
D
N
C
Q
例2.如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,
CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点。求证:BM=CM。







证明:∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∴BD⊥AC于D,CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°,
∠2+∠ABC=90°(直角三角形
两个锐角互余)
∴∠1=∠2(等角的余角相等)
∴BM=CM(等角对等边)
A
E
B
D
M
1
2
C
说明:本题易习惯性地用全等来
证明,虽然也可以证明,但过程
较复杂,应当多加强等腰三角形
的性质和判定定理的应用。
例3.已知:如图,∠A=90°,∠B=15°,BD=DC.
请说明AC=BD的理由.
 解∵BD=DC,∠B=15°
 ∴∠DCB=∠B=15°(等角对等边)
 ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
 (三角形的外角等于和它不相邻
D
的两个内角的和)

∵∠A=90°

∴AC= 1DC

2
∴AC= 1 BD
2
B
A
C

例4.已知:如图,∠C=90°,BC=AC,D、E分别在BC和
AC上,且BD=CE,M是AB的中点.
求证:△MDE是等腰三角形.
分析:要证△MDE是等腰三角形,只需证MD=ME。连结
CM,可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明:连结CM
∵∠C=90°,BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA
(等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合)
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB(等角对等边)
在△BDE和△CEM中
 BD  CE
∴△BDM≌△CEM(SAS)

B  MCE
∴MD=ME
 BM  CM
∴△MDE是等腰三角形

B
D
M
C
E
A
例5.如图,在等边△ABC中,AF=BD=CE,请
说明△DEF也是等边三角形的理由.

解:∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC,∠A=∠C
∵CE=BD
∴BC-BC=AC-CE
∴CD=AE
在△AEF和△CDE中

 AE  CD

A  C
 AF  CE

∴△AEF≌△CDE(SAS)









∴EF=DE
同理可证EF=DF
∴EF=DE=DF
∴△DEF是等边三角形
A
E
F
B
D
C
说明:证明等边三角形有三种思路:
①证明三边相等 ②证明三角相等
③证明三角形是有一个角为
60°的等腰三角形。
具体问题中可利用不同的方式进行求
解。
例6 .如图2-8-1,中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长
线上一点,且BD=CE,DE交BC于G
请说明DG=EG的理由.

思路 因为△GDB和△GEC
不全等,所以考虑在△GDB
内作出一个与△GEC全等的
三角形。
说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不
全等,故要构造三角形的全等,本题的另一种证法是过E
作EF∥BD,交BC的延长线于F,证明△DBG≌△EFG,同
学们不妨试一试。
例7. 如图2-8-6,在△ABC中,AB=AC=CB,AE=CD,
AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q.
请说明BP=2PQ的理由.

思路 在Rt△BPQ中,本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明 ∵AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°,
AE=CD,
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ
说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数,这种转换问题的方
法值得同学们细心体会。
A
例8:如图、在△ABC中,D,E在
直线BC上,且AB=BC=AC=CE=BD,
求∠EAC的度数。
D
探索:如图、在△ABC中,D,E
在直线BC上,且AB=AC=CE=BD,
∠DAE=100°,求∠EAC的度数。
D
C
B
E
A
B
C
E
1. 下列结论叙述正确的个数为( )
 ( 1)等腰三角形高、中 线、角平分线重合;
 ( 2)等腰三角形两底角 的外角相等;
 ( 3)等腰三角形有且只有一条对称轴;
 ( 4)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角
形。
 (A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3
个

2.等腰三角形顶角为36°,底角为_________。
3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°,则顶角
度数为_____________。
4.等腰三角形两个角之比为4:1,则顶角为
__________,底角为___________。
5.等腰三角形两边长为4、6,这个三角形周长为
_____________。
6.已知△ABC中AB=AC,AB垂直平分线交AC于E,
交AB于D,连结BE,若∠A=50°,
∠EBC=__________。
7.△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC的周
长为50,△ABD的周长为40,则
AD=____________。
8.若等腰三角形顶角为n度,则腰上的高与底边的夹
角为_____________。
9. 如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以
OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直
线a上,这样的等腰三角形能画多少个?
D
150°
H
O
C
E
F a
9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角
形周长分成2:1两部分,已知三角形
底边长为5,求腰长?
A
解:如图,令CD=x,则AD=x,
AB=2x
∵底边BC=5
x
2x
D
x
B
5
∴BC+CD=5+x
C
AB+AD=3x
∴(5+x):3x=2:1
或3x:(5+x)=2:1
10、如图,D是正△ABC边AC上的中点,E是BC
延长线上一点,且CE=CD,试说明BD=DE的理由.
解:∵ △ABC是正三角形
∴ ∠ABC= ∠ACB=600
(
∵ D是AC边上的中点
)
1
∴∠1= ∠ABC=300(
)
2
1
∵CE=CD
B
∴∠2= ∠E(
)
∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600(
)
∴ ∠E=300, ∴ ∠1= ∠E
∴BD=DE(
)
A
D
2
C
E
3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,
∠CAB的平分线AD交BC于D,AB边上的高
线CE交AB于E,交AD于F,求证:CD=CF
分析:CD=CF
B
∠1=∠2
∠1=∠B+∠BAD
∠1=90°-∠BAD
E
D
∠2=∠3+∠DAC
∠2=90
°-∠CAD
C
∠3=∠B
∠ACB =90°,CE是AC边上高
12F
3
A
互余
1 在直角三角形中,两个锐角_______。
两直角边
斜边
2、直角三角形_____________的平方和等于_______的
平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条
a2
c2
b2
直角边和斜边,那么_____+
_____=_____。
较大
3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边
较小
的平方,那么这个三角形是直角三角形,________所对
斜边
的角是直角。
4、在直角三角形中,如果一个锐角等于 _____度,
30
斜边
那么它所对的直角边等于_________的一半。
斜边的一半
5、在直角三角形中,如果一条直角边等于___________,
那么这条直角边所对的角等于300。
直角三角形全等的判定方法:
A
A′
C
B C′
1) ASA,
AAS
2) SAS
B′
3) SSS
4) HL
温故知新:
(一)填空
1、在ΔABC中,如果∠A+ ∠B= ∠C,且AC=1/2AB,
o
30
则∠B=_______ 。
2、如图ΔABC中, ∠ACB=90o,CD ⊥AB,垂足是D,
7.5
BC=5cm,BD=1/2BC,则AD=
cm。
3、如果等腰三角形底边上的
高线等于腰长的一半,那么
这个等腰三角形的三内角
30o 30o 120o
分别是_______________。
B
C
D
A
4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航
行,另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东
南方向航行,那么它们离开港口1.5小时后,相距
30
__________千米。
(二)、选择。
 1、满足下列条件的ΔABC,不是直角三角形的
是:(
)
 A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
 C、∠A:∠B:∠C=3:4:5
 D、a:b:c=12:13:15

2、下列条件中,不能判定两个直角三角形全等
的是(
)
 A、一条直角边和一个锐角分别相等
 B、两条直角边对应相等
 C、斜边和一条直角边对应相等
 D、两个锐角对应相等

3、如图,EA⊥AB,BC⊥AB,AB=AE=2BC,
D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC (2)DE⊥AC,
(3) ∠CAB=30o (4) ∠EAF=∠ADE,期中正确
结论的个数是:(
)
A、 一个
B、两个 C、三个
D、四个
4、如图,在ΔABC中,∠ACB=90o ,CD是高线,
E是AB上一点,且AE=AC,∠ACE:∠ACD=3:1,
则与∠DCE相等的角是(
)
A 、∠A
B、 ∠B
C 、 ∠BCE D、以上都错
E
C
A
F
A
D
B 第三题
C
D
E
B 第四题
5、如图,一个长为25分米的梯子,斜立在一竖直的
墙上,这时梯足距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿
墙下滑4分米。那么梯足将滑(
)
(A)15分米(B)9分米(C)8分米(D)5分米
6、如图,某校A与公路距离为3000米,又与该公路旁
上的某车站D的距离为5000米,现要在公路边建一个
商店C,使之与该校A及车站D的距离相等,则商店与
车站的距离约为(
)
(A)875米(B)3125米(C)3500米(D)3275米
C
A
D
应用与延伸:
例9、如图,设A城市气象台测得台风中心,在A城
正西方向300千米的B处,正向北偏东600的BF方向
移动,距台风中心200千米的范围内是受台风影响
的区域,那么A城是否受到这次台风的影响?为什
么?如果你是气象员,请你算一算。
解:作AD ⊥ BF
∵由已知可得:∠ FBA=300
∴ AD=1/2AB=150KM
而 150<200
∴ A城会受到台风的影响
北
D
F
600
B
A
东
思考:若A城与B地的方向保持不变,为了确保A城不受
台风影响至少离B地多远?
例10、如图,已知AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于
点O,若AB=5,AC=7,BD=6,求∠BCD的度数
分析:∵AB=AD
∴点A在线段BD的中垂线上
同理点也在BD的中垂线上
∴AC⊥BD且平分BD
∵BD=6
∴BO=3
∵AB=5
由勾股定理得 AO=4
∵AC=7
∴OC=3
∴△BOC等腰直角三角形
∴∠BCO=45°
同理∠DCO=45°
∴∠BCD=90°
A
B
O
C
D
例11、如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°AB=4,
D
BC=3,AD=12,DC=13 ,求四边形ABCD的面积
A
B
C
如图已知四边形ABCD中,∠A=60°∠B=∠D=90°,
BC=3,CD=2,求AB2的值
A
D
B
C
E
例12、如图,A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,
过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,请说明:
1、BD平分EF
2、若将ΔDEC的边EC沿AC方向移动变为图(2)时
其余条件不变,上述结论是否成立,请说明理
由。
B
B
E
E
A
F
G
D
C
图(1)
A
F G
D
C
图(2)

similar documents