Równania stanu

Report
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych
Podamy kilka przykładów modeli systemów dynamicznych budowanych w
oparciu o wykorzystanie praw zachowania
Systemy dynamiczne leżące w obszarze naszych zainteresowań – systemy
techniczne, środowiskowe … są różnej natury
Wśród systemów technicznych możemy wyróżnić systemy:
 mechaniczne
 elektryczne
 elektromechaniczne
 płynowe (gazy, ciecze)
 cieplne ........
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Co różni modele matematyczne tych systemów?
 charakter najczęściej stosowanych przybliżeń
 „technologie” wyboru zmiennych modelu
 stosowane równania równowagi i spójności
 stosowane zależności wiążące zmienne poszczególnych elementów systemu
W podręczniku: Robert H. Cannon jr., Dynamika układów fizycznych –
przedstawione są szczegółowe procedury precyzujące wymienione elementy
budowy modeli matematycznych dla różnych systemów technicznych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy elektryczne – przykładowe modele
Pokażemy jak korzystając z praw Kirchhoff’a (przykład praw zachowania)
można budować fenomenologiczne modele systemów elektrycznych
Prawa zachowania
eBA
iA
A
B
eAZ
A
eZC
C
Z
iC
iB
C
B
Z
eAZ  eBA  eZC  0
Równanie spójności
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
iA  iB  iC  0
Równanie równowagi
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Elementy elektryczne i odpowiadające im zależności wiążące
u12 t   Rit 
Rezystor
u12
u12 t   L
Indukcyjność
u12
u12 t  
Pojemność
u12
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
di t 
1 t
; i t    u12  d
dt
L 
1 t
du12 t 




i

d

;
i
t

C
C 
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 1.
Dany jest układ nie obciążanego prądowo czwórnika RLC
uR(t)
uL(t)
R
L
iRL(t)
iobc(t)
iC(t)
uwe(t)
uC(t)
C
Cel modelowania:
Interesuje nas zależność pomiędzy napięciem wejściowym
wyjściowym
uwy t 
uwy(t)
uwe t  a napięciem
Prawo zachowania – równanie spójności dla wejściowego oczka (II prawo Kirchhoff’a)
uwe t   uR t   uL t   uC t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące dla poszczególnych elementów układu:
u R t   iRL t R;
Tożsamości:
u L t   L
di RL t 
;
dt
iC t   C
du C t 
dt
uwy t   uC t 
Z warunku nie obciążania prądowego czwórnika:
iRL t   iC t 
Podstawienie:
RC
iRL t R  L
d
iRL t   uC t   u we t 
dt
iC t R  L
d
iC t   u wy t   u we t 
dt
d
d 
d

u wy t   L
u wy t   u wy t   u we t 
C
dt
dt 
dt

d
d2
RC
u wy t   LC
u wy t   u wy t   u we t 
dt
dt 2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Porządkując:
d2
d
LC 2 uwy t   RC u wy t   u wy t   u we t 
dt
dt
Dla znalezienia rozwiązania potrzebne – warunki początkowe:
uwy 0  uwy ,0
d
u wy 0   u wy ,0
dt
Uzyskany model: model wejście - wyjście
Postać standardowa:
d2
R d
1
1






u
t

u
t

u
t

u we t 
wy
wy
wy
2
dt
L dt
LC
LC
Warunki początkowe:
uwy 0  uwy ,0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
d
u wy 0   u wy ,0
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń:
ut  - wejście
yt  - wyjście
 - parametry przy zmiennej wejścia
 - parametry przy zmiennej wyjścia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model:
Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe niejednorodne (w dziedzinie czasu)
d2
 d



y
t


y t    0 y t   0u t 
1
2
dt
dt

2
Warunki początkowe
y0   y0
d
u 0   u0
dt
Uzyskany model wejście – wyjście dany jest w formie równania różniczkowego
(zwyczajnego)
Postać standardowa:
d2
d


y
t


y t    0 y t   0 u t 
1
dt 2
dt
gdzie,
 1
1  
2
,
Warunki początkowe
 0
0  
2
,
y0   y0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0
0  
2
d
u 0   u0
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Czy można zapisać model wejście – wyjście w innej formie?
Fakt:
Uzyskany model wejście – wyjście jest liniowy i stacjonarny
Poddajmy obustronnie uzyskany model transformacji Laplace’a przy zerowych
warunkach początkowych
Otrzymamy równanie operatorowe w dziedzinie zmiennej zespolonej s:
 2 s 2Y s   1 sY s   0Y S    0U s 
lub z postaci standardowej
s 2Y s   1 sY s    0Y S    0U s 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
W rozważanym przykładzie
Modele fenomenologiczne - przykłady
d2
d
LC 2 uwy t   RC u wy t   u wy t   u we t 
dt
dt
LCs 2Y s   RCsY s   1  Y S   1  U s 
lub z postaci standardowej
s 2Y s  
d2
R d
1
1
uwy t  
uwy t  
uwy t  
u we t 
2
dt
L dt
LC
LC
R
1
1
sY s  
Y s  
U s 
L
LC
LC
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Stąd łatwo inna forma modelu transmitancja operatorowa:
 0
Y s 
Gs  

U t   2 s 2  1 s   0
lub w postaci standardowej
Gs  
0
Y s 
 2
U t  s   1 s   0
Transmitancja widmowa:
 0
Y  j 
G j  
 
U  j   2  j 2  1  j    0
lub w postaci standardowej
G j  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0
Y  j 

U  j   j 2  1  j    0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
W rozważanym przykładzie transmitancja operatorowa
LCs 2Y s   RCsY s   1  Y S   1  U t 
G s  
Y s 
1

U t  LCs 2  RCs  1
lub z postaci standardowej
s 2Y s  
1
Y s 
LC
Gs  

R
1
U t 
s2  s 
L
LC
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
R
1
1
sY s  
Y S  
U t 
L
LC
LC
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
W rozważanym przykładzie transmitancja widmowa
LCs 2Y s   RCsY s   1  Y S   1  U t 
G j  
Y  j 
1

U  j  LC  j 2  RC j   1
lub z postaci standardowej
G  j  
Y  j 

U  j 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
s 2Y s  
 j 2
1
LC
R
1
  j  
L
LC
R
1
1
sY s  
Y S  
U t 
L
LC
LC
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Różne formy modeli wejście – wyjście:
- równanie różniczkowe
- równanie operatorowe (system liniowy)
- transmitancja operatorowa (system liniowy)
- transmitancja widmowa (system liniowy)
- …..
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Modele wejście – wyjście  modele zewnętrzne
Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść
m – najwyższa pochodna wejść, n – najwyższa pochodna wyjść
Ogólna struktura modelu zewnętrznego




 f1 y1n  ,  , y1 , , yq n  ,  , yq , u1m  ,  , u1 ,  , u pm  ,  , u p , t  0

.......................................................................................................
 f y n  ,  , y , , y  n  ,  , y , u m  ,  , u ,  , u m  ,  , u , t  0
1
q
q
1
1
p
p
 q 1
Warunek początkowy:
y1 0  y1,0 ,, y1n1 0  y1n,01 ,, yq 0  yq,0 ,, yqn1 0  yqn,01
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model zewnętrzny macierzowo – system wielowymiarowy (MIMO):


f y n  ,, y , um  ,, u,t  0
Warunek początkowy:
y0  y0 ,, y n1 0  y0n1
y1 t 
u1 t 
ut 
u2 t 



f y
n 
m 
,, y , u

,, u,t  0
y2 t 

yt 
y p t 
u p t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przyjmijmy:
x1 t   yt   uwy t   uC t 
x2 t  
d
d
d
d
d 1
x1 t  
yt  
uwy t  
uC t  

dt
dt
dt
dt
dt  C
1
 1




i

d


i
t

iRL t 

C
C

C
C

t
Model rozważanego układu możemy zapisać:
Stan układu:
d2
d
y t    1
y t    0 y t   0 u t 
2
dt
dt
d
 dt x1 t   x2 t 
d
 x2 t    1 x2 t    0 x1 t   0 u t 
 dt
Warunki początkowe:
x1 0   x1,0 ;
x2 0   x2,0
Wyjście układu:
yt   x1 t 
Uzyskany model – model stanu (model przestrzeni stanu)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
System jednowymiarowy – jedno wejście i jedno wyjście (SISO)


f yn  ,, y ,,um ,,u ,t  0
Warunek początkowy:
y0  y0 ,, yn1 0  y0n1
Rząd systemu – rząd najwyższej pochodnej wyjścia
Wymiarowość systemu – określona liczbą wejść - wyjść
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Wykorzystując pierwotne oznaczenia zmiennych:
x1 t   yt   uC t 
LC
d
d
1
x1 t  
uC t   iRL t 
dt
dt
C
Równania stanu
d2
d
uwy t   RC u wy t   u wy t   u we t 
dt 2
dt
x2 t  


1

C
x1 t   yt   uwy t   uC t 
x2 t  
d
d
d
1
1
y t  
u wy t  
uC t   iC t   iRL t 
dt
dt
dt
C
C
d
1
uC t   iRL t 
dt
C
d
R
1
1
iRL t   
iRL2 t  
uC t  
uwe t 
dt
LC
LC
LC
Równanie wyjścia
uwy t   uC t 
Ostatecznie:
1
d


u
t

iRL t 
 dt C
C
d
R
1
1
 iRL t    iRL2 t   uC t   uwe t 
L
L
L
 dt
uC 0   uC ,0 ;
iRL 0   iRL,0
uwy t   uC t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Modele stanu  modele wewnętrzne
Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść, n – liczba stanów
Ogólna struktura modelu wewnętrznego
Równania stanu:
 x1  f 1 x1 , , xn ,u1 , ,u p ,t   0

 ..............................................
 x  f x , , x ,u , ,u ,t   0
n
1
n
1
p
 n
Warunek początkowy:
 x1 
 
x  
x 
 n
 u1 
 
u  
u 
 p
Wektor stanu
Wektor wejścia
x1 0   x1,0 ,, xn 0   xn ,0
Równania wyjścia:
 y1  g 1 x1 , , xn ,u1 , ,u p ,t   0

 ..............................................
 y  f x , , x ,u , ,u ,t   0
q
1
n
1
p
 q
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
 y1 
 
y  
y 
 q
Wektor wyjścia
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Modele stanu – notacja wektorowa
 g 1  x t , ut ,t  


g  x t , ut ,t   


 g  x t , ut ,t 
 q

 f 1  x t , ut ,t  


f  x t , ut ,t   


 f  x t , ut ,t 
 n

 t   f  xt , ut ,t  , xt0   x0
x
- równanie stanu
yt   g xt , ut ,t 
- równanie wyjścia
ut 
u2 t 

u p t 
y1 t 
x1 t 
u1 t 

x t   f  xt , ut ,t 
xt0   x0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x2 t 

yt   g xt , ut ,t 
xn t 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
y2 t 


yt 
yq t 
22
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń:
ut  - wejście, wektor o wymiarze p, ut   R p
yt  - wyjście, wektor o wymiarze q, yt   R q
x t  - stan, wektor o wymiarze n, x t   R n
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Fakt:
Uzyskany model stanu jest liniowy i stacjonarny
Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego
 x t   At xt   Bt ut ,

 yt   C t xt   Dt ut 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
x0  x 0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego stacjonarnego
 x t   Ax t   But ,

 yt   Cx t   Dut 
x0  x 0
A : macierz stanu (systemu, dynamiki), stała, rzeczywista, wymiaru n n
tzn. A  R nn
B : macierz wejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru n  p
tzn. B  R n p
C : macierz wyjścia, stała, rzeczywista, wymiaru q  n
tzn. C  R
qn
D : macierz bezpośredniego przejścia (sterowania), stała, rzeczywista,
wymiaru q  p , tzn. D  R q p
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
W rozważanym przykładzie
1
d


u
t

iRL t 
 dt C
C
d
R
1
1
 iRL t    iRL2 t   uC t   uwe t 
L
L
L
 dt
uC 0   uC ,0 ;
iRL 0   iRL,0
uC 0   uC ,0 ;
iRL 0   iRL,0
uwy t   uC t 
Postać macierzowa

 u C   0

  

 i RL    1
 L
1

 0 
C   u C    1  u
R   i RL     we
 
 L
L

u 
u wy t   1 0 C 
 i RL 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
czyli
 x1   u C 

x     

x
i
 2   RL 
u  u1   u  u we

 0
A
  1
 L
1

C
R
 
L

C  c T  1 0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
y   y1   y  u wy
 0 
Bb 1
 
 L
Dd 0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy mechaniczne – przykładowe modele
Pokażemy jak korzystając z praw Newton’a (przykład praw zachowania) można
budować fenomenologiczne modele systemów mechanicznych
Ruch postępowy
Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać modele systemów mechanicznych z
ruchem postępowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a
d2
m
x   f zew ,i
dt
i
gdzie sumowanie obejmuje wszystkie siły zewnętrzne działające ma masę m
Jeżeli zdefiniować siłę bezwładności masy m
fm
d2
m
x
dt
Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a
f
zew ,i
0
i
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
28
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ruch postępowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności
wiążące
Element
sprężysty
prostoliniowy
f s  k s x1  x2 
ks – współczynnik sprężystości
Element
tłumiący
prostoliniowy
d 
d
f t  k t  x1  x2 
dt 
 dt
kt – współczynnik tłumienia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 2.
x2
x1
k12
f(t)
k1
m2
m1
B1
k1 x1
B1 x1
m1x1
B2
B12
k12 x2  x1 
m1
B12 x2  x1 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
k12 x2  x1 
B12 x2  x1 
B2 x2
f(t)
m2
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
m2 x2
30
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model wejście - wyjście
d 2 x2
dx
 dx dx 
m2 2  f t   B2 2  B12  2  1   k12 x2  x1 
dt
dt
 dt dt 
d 2 x1
dx
 dx dx 
m1 2  B12  2  1   k12 x2  x1   B1 1  k1 x1
dt
dt
 dt dt 
dx2 0 
 x2 ,0
dt
dx 0 
x1 0   x1,0 , 1  x1 ,0
dt
x2 0   x2 ,0 ,
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Naturalny (fizykalny) wybór zmiennych stanu
- jako zmienne stanu wybieramy wyjścia wszystkich integratorów
prowadzących do uzyskania zmiennej z całkowania najwyższej pochodnej
tej zmiennej; robimy to dla wszystkich zmiennych wyjścia
Na przykład
d 2 x1
dt 2
 x1 i
d 2 x1
dt 2

dx 1
dt

x1
dx 1
są zmiennymi stanu,
dt
nie jest zmienną stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dla rozważanego przykładu, zmienne
z1  x1
z 2  x2
z3 
dx1
dt
z4 
dx2
dt
d 2 x1
dx
 dx dx 
m1 2  B12  2  1   k12 x2  x1   B1 1  k1 x1
dt
dt
 dt dt 
d 2x
dx
 dx dx 
m2 22  f t   B2 2  B12  2  1   k12 x2  x1 
dt
dt
 dt dt 
są naturalnymi zmiennymi stanu, które charakteryzują system
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Model stanu:
Jedno równanie dla pierwszej pochodnej każdej zmiennej stanu
d 2 x1
dx
 dx dx 
m1 2  B12  2  1   k12 x2  x1   B1 1  k1 x1
dt
dt
 dt dt 
d 2x
dx
 dx dx 
m2 22  f t   B2 2  B12  2  1   k12 x2  x1 
dt
dt
 dt dt 
Dla rozważanego przykładu
dz 1 dx1

 z3
dt
dt
dz
dx
z2  2  2  z4
dt
dt
z1 
z1  x1
z 2  x2
dz3 d 2 x1 B12  dx2 dx1  k12
B1 dx1 k1


z3 
 2 


x

x


x1


2
1
dt
dt
m1  dt dt  m1
m1 dt m1
B
k
B
k
 12 z4  z3   12 z2  z1   1 z3  1 z1
m1
m1
m1
m1
z3 
dx1
dt
z4 
dx2
dt
dz4 d 2 x2
1
B2 dx2 B12  dx2 dx1  k12


x2  x1 
z4 


f
t





2
dt
dt
m2
m2 dt m2  dt
dt  m2

1
B
B
k
f t   2 z4  12 z4  z3   12 z2  z1 
m2
m2
m2
m2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Po uporządkowaniu:
Równania stanu
z1  z3
z2  z4
z3  
z4 
k1  k12
k
B  B12
B
z1  12 z2  1
z3  12 z4
m1
m1
m1
m1
k12
k
B
B  B12
1
z1  12 z2  12 z3  2
z4 
f t 
m2
m2
m2
m2
m2
Warunki początkowe:
z1 0   z1,0  x1,0
z 2 0   z 2 ,0  x2 ,0
z3 0   z3 ,0  x1 ,0
z4 0   z4 ,0  x2 ,0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zapis macierzowy
0


 z1 
0
  
 z2    k1  k12
 z   
m
 3  k 1
 z  
12
 4 
 m2
0
0
k12
m1
k
 12
m2
1
0
B  B12
 1
m1
B12
m2
0

  z1   0 
1
    0 
B12
  z2   
   z    0  f t 
m1
 1 
3



B  B12   z   
 2
 4   m2 
m2 
Oznaczając:
 z1 
 
 z2 
z   
z
 3
 z 
 4
0


0

 k1  k12
A  
m1
 k
12

 m
2

0
0
k12
m1
k
 12
m2
1
0
B  B12
 1
m1
B12
m2
0

 0 

 z1 
 
1
 

 0 
z
B12



2
B   0  f   f t 
z




m1
z
 1 
 3

 
z 
B2  B12 
 4

 m2 
m2 
Możemy zapisać
z  Az  Bf
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Drugi składnik modelu przestrzeni stanu – równanie wyjścia
Równania wyjścia oblicza wyjścia, to znaczy zmienne, które
wybraliśmy do obserwacji (pomiarów)
Weźmy w naszym przykładzie
y  x2
Wówczas
y  z2
lub macierzowo
 z1 
 
 z2 
y  0 1 0 0      0    f t 
z
 3
z 
 4
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Oznaczając:
y  y
C  0 1 0 0
D  0
Możemy zapisać
y  Cz
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ruch obrotowy
Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać również modele systemów
mechanicznych z ruchem obrotowym – jest to inna postać II prawa dynamiki
Newton’a dla ruchu obrotowego
d2
J
   M zew ,i
dt
i
gdzie sumowanie obejmuje wszystkie momenty zewnętrzne działające ma ciało o
bezwładności J
Jeżeli zdefiniować moment bezwładności
MJ
d2
J
θ
dt
Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a
M
zew ,i
0
i
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ruch obrotowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności
wiążące
ks
Element
sprężysty
obrotowy
M s  k s 1   2 
Ms
Ms
kt
Element
tłumiący
obrotowy
Mt
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Mt
ks – współczynnik sprężystości
d 
d
M t  k t  1   2 
dt 
 dt
kt – współczynnik tłumienia
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 3a – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał
u  napiecieobwodutwornika
L  indukcyjnosc obwodutwornika
i  prad obwodutwornika
R  rezystancja obwodutwornika
J m  m om entbezwladnosci twornika
 m  polozeniekatowe twornika
J l  m om entbezwladnosci obciazenia
 l  polozeniekatowe obciazenia
k  wspolczynnik sprezystosci polaczeniaelastycznego
b  wspolczynnik tlum ienialepkiego polaczeniaelastycznego
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
- z II zasady dynamiki Newtona
bm


J mm  Kai  k l m   b l m  bmm


J ll  k l m   b l m  bll
bl
Konwencja:
Ta  m om entobrotowynapedowy
K a  stala elektrom echanicznam om entunapedowego
bm  wspolczynnik tarcia lepkiegolozysk twornika
Tk  m om entobrotowysprezystosci walu
Tb  m om entobrotowytlum ienialepkiego
bl  wspolczynnik tarcia lepkiegolozysk obciazenia
- z II prawa Kirchhoff’a
lub
u  Ri  Li  kem

1
i  u  Ri  kem
L
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
ke  stala m echanoelektryczna

indukowania sily
przeciwelektrom otorycznej twornika
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady


J mm  Kai  k l m   b l m  bmm


J ll  k l m   b l m  bll
1
i  u  Ri  kem 
L
1 wejście:
ut 
1 wyjście: l
t 
5 zmiennych stanu:
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
i t  , m t , m t ,l t  , l t 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Zmienne modelu:
- zmienne stanu
x  x1
x3
x3
x5

x  i
Modele fenomenologiczne - przykłady
x5   i  m
- zmienna wyjścia
Równania stanu:
T

m

l


m
y  l   x4 
m

l
l

T
T


 l   x1
x3
x3
x5


T
x5 
T
J mm  Kai  k l m   b l m  bmm
ke
R
1
x1   x1  x3  u
L
L
L
x2  x3


J ll  k l m   b l m  bll
1
i  u  Ri  kem 
L
Ka
b  bm
k
k
b
x1 
x2 
x3 
x4 
x5
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm
x4  x5
x3 
x5 
b  bl
k
b
k
x2  x3  x4 
x5
Jl
Jl
Jl
Jl
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania stanu w postaci macierzowej:
 R

 L
 0
Ka

x  
Jm
 0

 0

0
0
k

Jm
0
k
Jl
ke
L
1
b  bm

Jm
0
b
Jl

0
0
k
Jm
0
k

Jl


1
 

0 
L
b 
0
 x   0 u
Jm 
 

1
0

b  bl
0


 
Jl 
0
Równanie wyjścia:
y  x4
Równania wyjścia w postaci macierzowej:
y  0 0 0 1 0 x
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 3b – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał
k 
Teraz
 m  l  
J  J m  Jl

bb  bm  bl

J mm  Kai  k l m   b l m  bmm


J ll  k l m   b l m  bll
J  Kai  bb

i  1 u  Ri  ke
L
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

46
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Zmienne modelu:
- zmienne stanu
x  x1
- zmienna wyjścia
x2
Modele fenomenologiczne - przykłady

x  i

  x
T
x3   i  

T
T
1
x 2
y     x2 
T
x 3 
J  Kai  bb

1
i  u  Ri  ke
L

Równania stanu w postaci macierzowej:
 R

 L
x   0
 Ka
 J

ke 
1

 
L
L
0
1  x   0 u
bb 
0
0  
 
J 
 
0 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Równanie wyjścia:
y  x2
Równania wyjścia w postaci macierzowej:
y  0 1 0 x
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przykład 3c – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny
wał
L0
Model podsystemu elektrycznego
u  Ri  ke
Model podsystemu mechanicznego bez zmian
J  Kai  bb
Zmienne modelu:
- zmienne stanu
x  x1

T
x2    

T
- zmienna wyjścia
y     x1 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
u  Ri  ke
J  K i  b 
u  k e
i
R
a
b
u  ke
u  ke bb 
K k b R
K





J  K a
 bb    K a
    a e b   a u
R
JR
J
JR
JR
Równania stanu w postaci macierzowej:
1
0

 0 
K a ke  bb R   x   K a   u
x  
0 



JR


 JR 
Równania wyjścia w postaci macierzowej:
y  1 0 x
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Systemy elektromechaniczne – przykładowy model
Przykład 4
Cel modelowania: zbudować model obcowzbudnego silnika prądu stałego (SPS) pozwalający
badać zachodzące w nim procesy przejściowe elektromechaniczne
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Idealizacja trzech wyróżnionych podsystemów:
 mechanicznego
 elektrycznego – obwodu wzbudzenia
 elektrycznego – obwodu twornika
Część elektromagnetyczna:
ut
ut - napięcie twornika
it - prąd twornika
Rt - rezystancja twornika
Lt - indukcyjność twornika
t - strumień twornika
it
t
Lt
Rt
w
Lw
Rw
iw
uw
uw - napięcie wzbudzenia
iw - prąd wzbudzenia
Rw - rezystancja wzbudzenia
Lw - indukcyjność wzbudzenia
w - strumień wzbudzenia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania ruchu systemu – podsystem mechaniczny
Prawo zachowania – równanie równowagi – II prawo dynamiki Newton’a
J
t : czas s 
d t 
 M n t   M o t 
dt
J : bezwładność wypadkowa sprowadzona do wału silnika, czyli bezwładność obejmująca

wirnik silnika i części ruchome układu napędzanego kg  m
 : prędkość kątowa wału silnika s 1 
M n : moment napędowy działający na wał silnika
M o : moment oporowy działający na wał silnika
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
2

N  m
N  m
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące
Moment napędowy M n określony jest w teorii maszyn elektrycznych wzorem
M n t   cM  w t   it t 
c M : współczynnik stały dla określonego silnika, zależny od jego danych konstrukcyjnych
N  m Wb
1
 A1

 w : strumień magnetyczny (strumień indukcji magnetycznej|) obwodu wzbudzenia
Wb 
it : prąd twornika  A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
53
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Wybrane zmienne systemu: momenty obrotowe, prędkości i położenia kątowe, prądy,
napięcia  należy wyrugować strumień magnetyczny obwodu wzbudzenia jako zmienną
Charakterystyka magnesowania obwodu wzbudzenia
Możemy napisać
 w , w
 w t    w iw t 
w
 w i w t 
: funkcja magnesowania obwodu wzbudzenia
oraz
iw
M n t   cM   w iw t   it t 
Przyjmiemy na razie, że moment oporowy jest dowolną funkcją czasu
Otrzymane równanie ruchu podsystemu mechanicznego
J 
d t 
 c M   w i w t   it t   M o t 
dt
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
54
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania ruchu systemu – podsystem obwodu wzbudzenia
Prawo zachowania – równanie spójności – II prawo Kirchhoff’a dla oczka obwodu
wzbudzenia
uw t   u Rw t   u Lw t 
t : czas s 
u w : napięcie podawane na uzwojenie wzbudzenia V 
u Rw : napięcie na rezystancji uzwojenia wzbudzenia V 
u Lw : napięcie na indukcyjności uzwojenia wzbudzenia V 
W maszynach elektrycznych wirujących napięcie na indukcyjności obwodu wzbudzenia to
siły elektromotoryczne indukowane w tym uzwojeniu
 w
u Lw t   eind
w 
eind
: siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wzbudzenia V 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
55
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące
a) napięcie na rezystancji uzwojenia wzbudzenia
u Rw t   Rw  iw t 
Rw : rezystancja uzwojenia wzbudzenia  
iw : prąd płynący przez uzwojenie wzbudzenia A
b) siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wzbudzenia
 w
t  
eind
składowa wynikająca
ze zmian w czasie
strumienia sprzężonego
z uzwojeniem wzbudzenia
 w
t  
eind
eitw t 
+

składowa wynikająca
z ruchu zwojów
uzwojenia wzbudzenia
względem
jakiegoś strumienia
eirw t 
eit w : siła elektromotoryczna indukowana transformacji uzwojenia wzbudzenia V 
eir w : siła elektromotoryczna indukowana rotacji uzwojenia wzbudzenia V 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
56
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dla uzwojenia wzbudzenia
eirw  0
Założenie: z uzwojeniem wzbudzenia sprzężone są jedynie linie strumienia
magnetycznego wytwarzanego przez to uzwojenie
eitw  t  
d w t 
;
dt
przy czym  w t   z w  w t 
 w : strumień magnetyczny sprzężony z uzwojeniem wzbudzenia Wb 
 w : strumień magnetyczny zastępczy uzwojenia wzbudzenia odpowiadający w Wb 
zw : liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia 
Skorzystamy z pojęcia indukcyjności własnej
Lw 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
w
iw
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
57
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Możemy napisać
Lw iw t  
 w iw t 
iw t 
  w iw t   Lw iw t   iw t 
Stąd
d w t  d
di t 
dL i 
 Lw iw t   iw t   Lw iw   w  iw t   w w 
dt
dt
dt
dt

dLw iw  diw t 
  Lw iw   iw t  

diw  dt

eit w  t  
Otrzymane równanie ruchu podsystemu obwodu wzbudzenia

dL i  di t 
uw t   Rw  iw t    Lw iw   iw t   w w   w
diw  dt

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
58
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Równania ruchu systemu – podsystem obwodu twornika
Prawo zachowania – równanie spójności – II prawo Kirchhoff’a dla oczka obwodu
twornika
ut t   uRt t   uLt t 
t : czas s 
u t : napięcie podawane na uzwojenie twornika V 
u Rt : napięcie na rezystancji uzwojenia twornika V 
uLt : napięcie na indukcyjności uzwojenia twornika V 
W maszynach elektrycznych wirujących napięcie na indukcyjności obwodu twornika to siły
elektromotoryczne indukowane w tym uzwojeniu
t 
uLt t   eind
t 
eind
: siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika V 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
59
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zależności wiążące
a) napięcie na rezystancji uzwojenia twornika
uRt t   Rt  it t 
Rt : rezystancja uzwojenia twornika  
it : prąd płynący przez uzwojenie twornika  A
b) siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika
t 
t  
eind
składowa wynikająca
ze zmian w czasie
strumienia sprzężonego
z uzwojeniem twornika
t 
t  
eind
eitt  t 
+
składowa wynikająca
z ruchu zwojów
uzwojenia twornika
względem
jakiegoś strumienia

eirt  t 
eitt  : siła elektromotoryczna indukowana transformacji uzwojenia twornika V 
eirt  : siła elektromotoryczna indukowana rotacji uzwojenia twornika V 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
60
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dla uzwojenia twornika
eirt   0
Siła elektromotoryczne indukowana rotacji dla uzwojenia twornika wynika z jego ruchu
względem strumienia magnetycznego uzwojenia wzbudzenia
Określany jest w teorii maszyn elektrycznych wzorem
eirt  t   cE  w t   t 
cE : współczynnik stały dla określonego silnika, zależny od jego danych konstrukcyjnych
V Wb
1
s

 w : strumień magnetyczny (strumień indukcji magnetycznej|) obwodu wzbudzenia

Wb 
 
: prędkość kątowa wirnika silnika s 1
Musimy wyrugować  w
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
61
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Skorzystamy
wówczas
Modele fenomenologiczne - przykłady
 w t    w iw t 
eirt   cE  w iw t   t 
Założenie: z uzwojeniem twornika sprzężone są jedynie linie strumienia magnetycznego
wytwarzanego przez to uzwojenie
eitt  t  
d t t 
;
dt
przy czym  t t   zt  t t 
t : strumień magnetyczny sprzężony z uzwojeniem twornika Wb 
 t : strumień magnetyczny zastępczy uzwojenia twornika odpowiadający t Wb 
z t : liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia 
Skorzystamy z pojęcia indukcyjności własnej
Lt 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
t
it
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
62
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Możemy napisać
Lt it t  
t it t 
it t 
  t it t   Lt it t   it t 
Stąd
d t t  d
di t 
dL i 
 Lt it t   it t   Lt it   t  it t   t t 
dt
dt
dt
dt

dLt it  dit t 
  Lt it   it t  

dit  dt

eitt  t  
Otrzymane równanie ruchu podsystemu obwodu twornika

dLt it   dit t 
ut t   Rt  it t   cE w iw t    t    Lt it   it t  

di
dt
t


 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
63
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zestawimy równania modelu
d t 
 c M   w i w t   it t   M o t 
dt

dLw iw  diw t 
uw t   Rw  iw t    Lw iw   iw t  

diw  dt

J

dLt it  dit t 
ut t   Rt  it t   cE w iw t    t    Lt it   it t  

dit  dt

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
64
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
lub
J
d t 
 c M   w i w t   it t   M o t 
dt

dLw iw  diw t 
 uw t   Rw  iw t 
 Lw iw   iw t  

diw  dt


dLt it  dit t 




L
i

i
t

 ut t   Rt  it t   cE w iw t    t 
t
 t t

dit  dt

Kategorie otrzymanego modelu
 parametryczny
 dynamiczny
 ciągły
 nieliniowy
 o parametrach skupionych
 niestacjonarny
 deterministyczny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
65
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
I próba uproszczenia modelu
Ograniczenie zakresu zmienności prądu wzbudzenia i twornika
iw
 w , Lw
 t , Lt
w
t
Lt
Lw
it
iw
iwl
itl
Założenia:
 w pewnym obszarze zmian prądu wzbudzenia i w i twornika it związane z nimi
charakterystyki magnesowania są liniowe
 silnik ma pracować w obszarze liniowych części charakterystyk magnesowania zarówno
dla obwodu twornika jak wzbudzenia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
66
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Przy podanych założeniach
 w t   w iw t   kw  iw t   Lw  const
t t   t it t   kt  it t   Lt  const
oraz

dLw iw  diw t 
diw t 




L
i

i
t



L
w
 w w w

di
dt
dt
w



dLt it  dit t 
dit t 




i

i
t



L
t
t
 t

di
dt
dt
t


 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
67
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ponadto
M n t   cM  w iw t  it t   cM  kw  iw t  it t 
eirt   cE w iw t  t   cE  kw  iw t  t 
W tych wyrażeniach przy stosowaniu jednostek SI i prędkości kątowej stałe cM oraz cE
są sobie równe
cM  cE
a zatem
cM  kw  cE  kw  G
G ma wymiar indukcyjności [H] i jest nazywana indukcyjnością rotacji
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
68
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Zestawienie równań modelu po pierwszym uproszczeniu
Lw 
diw t 
 u w t   Rw  iw t 
dt
dit t 
Lt 
 ut t   Rt  it t   G  iw t    t 
dt
d t 
J
dt
 G  iw t   it t   M o t 
Kategorie otrzymanego modelu
 parametryczny
 dynamiczny
 ciągły
 nieliniowy
 o parametrach skupionych
 stacjonarny
 deterministyczny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
69
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Forma modelu
Jeżeli traktować otrzymany układ równań modelowych jako model relacji wejście
wyjście to SPS jest systemem o trzech wejściach i trzech wyjściach
 u w t  


ut    ut t  ;
 M t 
 o 
 u w t  


ut    ut t  
 M t 
 o 
 iw t 


y t    it t  
  t  


f  yt , yt , ut   0
 iw t 


 it t    y t 
  t  


 f w  yt , y t , ut  




f  y t , y t , ut    f t  y t , y t , ut  
 f  yt , y t , ut 
 m

f w  yt , yt ,ut   Lw  iw t   Rw  iw t   uw t 
ft  yt , yt ,ut   Lt  it t   Rt  it t   G  iw t  t   ut t 
f m  yt , yt , ut   J   t   G  iw t  it t   M o t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
70
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Ale naturalnym jest traktować otrzymany układ równań modelowych jako równania stanu
modelu stanu - SPS jest systemem o trzech zmiennych wejściowych i trzech zmiennych
stanu
 u w t  


ut    ut t  ;
 M t 
 o 
 iw t 


x t    it t  
  t  


Jeżeli wybierzemy jako wyjście prędkość kątową
yt    t 
 u w t  


ut    ut t  
 M t 
 o 
x t   f  xt , ut 
 f w  x t , ut 


f  x t , ut    f t  x t , ut  
 f  x t , ut 
 m

 iw t 




i
t
 t   x t  yt   g  xt 
  t  


yt    t 
1
 Rw  iw t   uw t 
Lw
1
f t  xt , ut    Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
Lt
1
f m  x t , ut   G  iw t   it t   M o t 
J
f w  x t , ut  
g  xt   t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
71
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015
Modele fenomenologiczne - przykłady
Dziękuję
– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
72

similar documents